2.1 随机变量及其概率分布
1．在一块地里种下10棵树苗，成活的树苗棵数为X.
问题1：X取什么数字？
提示：X＝0，1，2，…，10.
2．掷一枚硬币，可能出现正面向上，反面向上两种结果．
问题2：这种试验的结果能用数字表示吗？
提示：可以，用数1和0分别表示正面向上和反面向上．
3．一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球．
问题3：若用X表示所含红球个数，则X的取值是什么？
提示：X＝0，1，2，3，4.
1．随机变量的定义
一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．
2．随机变量的表示方法
(1)随机变量通常用大写拉丁字母X，Y，Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示．
(2)随机变量取的可能值常用小写拉丁字母x，y，z(加上适当下标)等表示.
1．抛掷一颗骰子，用X表示骰子向上一面的点数．
问题1：X的可能取值是什么？
提示：X＝1，2，3，4，5，6.
问题2：X取不同值时，其概率分别是多少？
提示：都等于.
2．一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以X表示取出的3 只球中的最大号码．
问题3：随机变量的可能取值是什么？
提示：X＝3，4，5.
问题4：试求X取不同值的概率．
提示：P(X＝3)＝＝；P(X＝4)＝＝；
P(X＝5)＝＝＝.
问题5：试用表格表示X和P的对应关系．
提示：
X
3
4
5
P
问题6：试求概率和．
提示：其和等于1.
1．随机变量X的分布列
一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，xn，且P(X＝xi)＝pi，
i＝1，2，3，…，n，①
则称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，也可以用下表表示：
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
通常将上表称为随机变量X的概率分布表，它和①都叫做随机变量X的概率分布．显然，这里的pi(i＝1，2，…，n)满足条件pi≥0，p1＋p2＋…＋pn＝1．
2．0－1分布(或两点分布)
随机变量X只取两个可能值0和1，这一类概率分布称为0－1分布或两点分布，并记为X～0－1分布或X～两点分布，此处“～”表示“服从”．
1．随机变量是将随机试验的结果数量化；
2．随机变量是随机试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应是人为的，但又是客观存在的；
3．随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况；
4．由于随机变量的各个可能取值之间彼此互斥，因此，随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
[例1] 判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)某天山东天成书业信息台接到咨询电话的个数；
(2)新赛季，某运动员在某场比赛中(48分钟)，上场比赛的时间；
(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；
(4)体积为64 cm3的正方体的棱长．
[思路点拨] 要根据随机变量的定义考虑所有情况．
[精解详析] (1)接到咨询电话的个数可能是0，1，2…出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
(2)该运动员在某场比赛的上场时间在[0，48]内，是随机的，故是随机变量．
(3)获得的奖次可能是1，2，3，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
(4)体积为64 cm3的正方体棱长为4 cm为定值，不是随机变量．
[一点通]
(1)判断一个变量是否为随机变量，关键看其试验结果是否可变，是否能用一个变量来表示．
(2)随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值．
1．判断下列变量中是否是随机变量．
(1)一只小猫从出生(400 g)到长大(2 000 g)中间某个时刻的体重；
(2)解答高考数学Ⅰ卷所用的时间；
(3)某手机一天内收到短信的次数；
(4)1 000 mL水的质量．
解：(1)体重在[400，2 000]范围内，出现哪一个结果都是随机的，是随机变量．
(2)做Ⅰ卷的时间在(0，120)的范围之内，是随机变量．
(3)短信的次数可能是0，1，2，…，出现哪一个结果都是随机的，是随机变量．
(4)此时水的质量为定值，不是随机变量．
2．指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)某人射击一次命中的环数；
(2)投一颗质地均匀的骰子两次出现的点数(最上面的数字)中的最小值；
(3)某个人的属相．
解：(1)某人射击一次，可能命中的环数是0环、1环、…、10环结果中的一个而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(2)一颗骰子投掷两次，所得点数的最小值可以是1，2，3，4，5，6，因此是随机变量．
(3)属相是人出生时便确定的，不是随机变量.
[例2] 写出下列各随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和Y.
(2)设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出Y所有可能取值并说明这些值所表示的试验结果．
[思路点拨]
―→→
[精解详析] (1)Y的可能取值为2，3，4，…，12.若以(i，j)表示抛掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得i点且骰子乙得j点，则{Y＝2}表示(1，1)；{Y＝3}表示(1，2)，(2，1)；{Y＝4}表示(1，3)，(2，2)，(3，1)；…；{Y＝12}表示(6，6)．
(2)Y的可能取值为0，1，2，3，4，5.
{Y＝0}表示在遇到第1盏信号灯时首次停下．
{Y＝1}表示在遇到第2盏信号灯时首次停下．
{Y＝2}表示在遇到第3盏信号灯时首次停下．
{Y＝3}表示在遇到第4盏信号灯时首次停下．
{Y＝4}表示在遇到第5盏信号灯时首次停下．
{Y＝5}表示在途中没有停下，直达目的地．
[一点通] 此类问题的解决关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．
3．在8件产品中，有3 件次品，5 件正品，从中任取一件，取到次品就停止，抽取次数为X，则“X＝3”表示的试验结果是__________________________．
解析：X＝3表示前2次均是正品，第3次是次品．
答案：共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品
4．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)盒中装有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数为X；
(2)从4张已编号(1－4号)的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和为X.
解：(1)X的所有可能的取值为0，1，2，其中，
X＝0表示取出的3支粉笔中有0支白粉笔，3支红粉笔；
X＝1表示取出的3支粉笔中有1支白粉笔，2支红粉笔；
X＝2表示取出的3支粉笔中有2支白粉笔，1支红粉笔；
X＝3表示取出的3支粉笔中有3支白粉笔，0支红粉笔；
(2)X可取3，4，5，6，7.其中，
X＝3表示取出分别标有1，2的两张卡片；
X＝4表示取出分别标有1，3的两张卡片；
X＝5表示取出分别标有1，4或2，3的两张卡片；
X＝6表示取出分别标有2，4的两张卡片；
X＝7表示取出分别标有3，4的两张卡片.
[例3] 袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量X为此时已摸球的次数，求随机变量X的概率分布列．
[思路点拨] 解答本题先确定X的所有可能的取值，然后分别求概率，最后列表即可．
[精解详析] 随机变量X可取的值为2，3，4，
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝；
P(X＝4)＝ ＝；
所以随机变量X的概率分布列为：
X
2
3
4
P
[一点通] 随机变量的分布列的作用
对于随机变量X的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值时的概率，它的分布列正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．
5．已知随机变量X的分布列为
X
1
2
3
…
n
P
…
则k的值为________．
解析：由＋＋…＋n个＝1，得k＝1.
答案：1
6．设随机变量X概率分布P＝ak(k＝1，2，3，4，5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P；
(3)求P.
解：由题意知随机变量X的概率分布如下表：
X
P
a
2a
3a
4a
5a
(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝.
(2)P＝P＋P＋P
＝＋＋＝，
或P＝1－P＝1－＝.
(3)因为＜X＜，所以X＝，，.
故P＝P＋P＋P＝＋＋＝.
7．一个盒子中装有5个白色玻璃球和6个红色玻璃球，从中摸出两球，记X＝求X的概率分布．
解：因为X服从两点分布，P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝1－＝.
所以X的概率分布为
X
0
1
P
8. 如图所示，A，B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X，求X的概率分布．
解：由已知X的取值为7，8，9，10，
∵P(X＝7)＝＝，P(X＝8)＝＝，
P(X＝9)＝＝，P(X＝10)＝＝，
∴X的概率分布为
X
7
8
9
10
P
1．随机变量的三个特征
(1)可用数来表示；
(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；
(3)在试验之前不能确定取值．
2．求随机变量的分布列应注意的几个问题．
(1)随机变量X的分布列实质上就是随机变量X与这一变量所对应的概率P的分布表，它从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律．
(2)在处理随机变量的分布列时，先根据随机变量的实际意义，利用试验结果找出随机变量的取值，再求相应的概率是常用的方法．
(3)求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确．
课下能力提升(十)
一、填空题
1．给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．
其中是真命题的有________．(填写序号)
解析：根据随机变量的概念可知，①②③④都正确．
答案：①②③④
2．抛掷两颗骰子，所得点数之和记为X，那么X＝5表示的随机试验结果是________．
解析：点数之和为5，一颗3点，一颗2点，或一颗1点，一颗4点．
答案：一颗3点，一颗2点或一颗1点，一颗4点
3．设离散型随机变量X的概率分布如下：
X
1
2
3
4
P
p
p
则p的值为________．
解析：∵p＋＋＋p＝1，∴p＝.
答案：
4．设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么n＝________．
解析：∵随机变量X等可能取1，2，3，…，n，∴取到每个数的概率均为.
∴P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3，∴n＝10.
答案：10
5．随机变量X的概率分布规律P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4，其中c是常数)，则P的值为______．
解析：由P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝1，
得＋＋＋＝1.
∴c＝1，
∴c＝.
P＝P(X＝1)＋P(X＝2)
＝＋＝＋＝＝.
答案：
二、解答题
6．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．
(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X＝求X的概率分布；
(2)从中任意摸出两个球，用“X＝0”表示两个球全是白球，用“X＝1”表示两个球不全是白球，求X的概率分布．
解：(1)由题意知P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
故X的概率分布如下表：
X
0
1
P
(2)由题意知P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝，故X的概率分布如下表：
X
0
1
P
7.一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的2倍，三级品是二级品的，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量X，求X的概率分布及P(X>1)的值．
解：依题意得P(X＝1)＝2P(X＝2)，P(X＝3)＝P(X＝2)．
由于概率分布的总和等于1，故
P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝P(X＝2)＝1.
所以P(X＝2)＝.随机变量X的概率分布如下：
X
1
2
3
P
所以P(X>1)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝.
8．袋中有3个白球，3个红球和5个黑球．从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得1个
黑球得0分．求所得分数X的概率分布列．
解：得分X的取值为－3，－2，－1，0，1，2，3.
X＝－3时表示取得3个球均为红球，
∴P(X＝－3)＝＝；
X＝－2时表示取得2个红球和1个黑球，
∴P(X＝－2)＝＝；
X＝－1时表示取得2个红球和1个白球或1个红球和2个黑球，
∴P(X＝－1)＝＝；
X＝0时表示取得3个黑球或1红、1黑、1白，
∴P(X＝0)＝＝；
X＝1时表示取得1个白球和2个黑球或2个白球和1个红球，
∴P(X＝1)＝＝；
X＝2时表示取得2个白球和1个黑球，
∴P(X＝2)＝＝；
X＝3时表示取得3个白球，
∴P(X＝3)＝＝；
∴所求概率分布列为
X
－3
－2
－1
0
1
2
3
P
2.2 超几何分布
1．在一块地里种下10棵树苗，成活的树苗棵数为X.
问题1：X取什么数字？
提示：X＝0，1，2，…，10.
2．掷一枚硬币，可能出现正面向上，反面向上两种结果．
问题2：这种试验的结果能用数字表示吗？
提示：可以，用数1和0分别表示正面向上和反面向上．
3．一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球．
问题3：若用X表示所含红球个数，则X的取值是什么？
提示：X＝0，1，2，3，4.
1．随机变量的定义
一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．
2．随机变量的表示方法
(1)随机变量通常用大写拉丁字母X，Y，Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示．
(2)随机变量取的可能值常用小写拉丁字母x，y，z(加上适当下标)等表示.
1．抛掷一颗骰子，用X表示骰子向上一面的点数．
问题1：X的可能取值是什么？
提示：X＝1，2，3，4，5，6.
问题2：X取不同值时，其概率分别是多少？
提示：都等于.
2．一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以X表示取出的3 只球中的最大号码．
问题3：随机变量的可能取值是什么？
提示：X＝3，4，5.
问题4：试求X取不同值的概率．
提示：P(X＝3)＝＝；P(X＝4)＝＝；
P(X＝5)＝＝＝.
问题5：试用表格表示X和P的对应关系．
提示：
X
3
4
5
P
问题6：试求概率和．
提示：其和等于1.
1．随机变量X的分布列
一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，xn，且P(X＝xi)＝pi，
i＝1，2，3，…，n，①
则称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，也可以用下表表示：
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
通常将上表称为随机变量X的概率分布表，它和①都叫做随机变量X的概率分布．显然，这里的pi(i＝1，2，…，n)满足条件pi≥0，p1＋p2＋…＋pn＝1．
2．0－1分布(或两点分布)
随机变量X只取两个可能值0和1，这一类概率分布称为0－1分布或两点分布，并记为X～0－1分布或X～两点分布，此处“～”表示“服从”．
1．随机变量是将随机试验的结果数量化；
2．随机变量是随机试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应是人为的，但又是客观存在的；
3．随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况；
4．由于随机变量的各个可能取值之间彼此互斥，因此，随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
[例1] 判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)某天山东天成书业信息台接到咨询电话的个数；
(2)新赛季，某运动员在某场比赛中(48分钟)，上场比赛的时间；
(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；
(4)体积为64 cm3的正方体的棱长．
[思路点拨] 要根据随机变量的定义考虑所有情况．
[精解详析] (1)接到咨询电话的个数可能是0，1，2…出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
(2)该运动员在某场比赛的上场时间在[0，48]内，是随机的，故是随机变量．
(3)获得的奖次可能是1，2，3，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
(4)体积为64 cm3的正方体棱长为4 cm为定值，不是随机变量．
[一点通]
(1)判断一个变量是否为随机变量，关键看其试验结果是否可变，是否能用一个变量来表示．
(2)随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值．
1．判断下列变量中是否是随机变量．
(1)一只小猫从出生(400 g)到长大(2 000 g)中间某个时刻的体重；
(2)解答高考数学Ⅰ卷所用的时间；
(3)某手机一天内收到短信的次数；
(4)1 000 mL水的质量．
解：(1)体重在[400，2 000]范围内，出现哪一个结果都是随机的，是随机变量．
(2)做Ⅰ卷的时间在(0，120)的范围之内，是随机变量．
(3)短信的次数可能是0，1，2，…，出现哪一个结果都是随机的，是随机变量．
(4)此时水的质量为定值，不是随机变量．
2．指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)某人射击一次命中的环数；
(2)投一颗质地均匀的骰子两次出现的点数(最上面的数字)中的最小值；
(3)某个人的属相．
解：(1)某人射击一次，可能命中的环数是0环、1环、…、10环结果中的一个而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(2)一颗骰子投掷两次，所得点数的最小值可以是1，2，3，4，5，6，因此是随机变量．
(3)属相是人出生时便确定的，不是随机变量.
[例2] 写出下列各随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和Y.
(2)设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出Y所有可能取值并说明这些值所表示的试验结果．
[思路点拨]
―→→
[精解详析] (1)Y的可能取值为2，3，4，…，12.若以(i，j)表示抛掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得i点且骰子乙得j点，则{Y＝2}表示(1，1)；{Y＝3}表示(1，2)，(2，1)；{Y＝4}表示(1，3)，(2，2)，(3，1)；…；{Y＝12}表示(6，6)．
(2)Y的可能取值为0，1，2，3，4，5.
{Y＝0}表示在遇到第1盏信号灯时首次停下．
{Y＝1}表示在遇到第2盏信号灯时首次停下．
{Y＝2}表示在遇到第3盏信号灯时首次停下．
{Y＝3}表示在遇到第4盏信号灯时首次停下．
{Y＝4}表示在遇到第5盏信号灯时首次停下．
{Y＝5}表示在途中没有停下，直达目的地．
[一点通] 此类问题的解决关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．
3．在8件产品中，有3 件次品，5 件正品，从中任取一件，取到次品就停止，抽取次数为X，则“X＝3”表示的试验结果是__________________________．
解析：X＝3表示前2次均是正品，第3次是次品．
答案：共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品
4．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)盒中装有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数为X；
(2)从4张已编号(1－4号)的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和为X.
解：(1)X的所有可能的取值为0，1，2，其中，
X＝0表示取出的3支粉笔中有0支白粉笔，3支红粉笔；
X＝1表示取出的3支粉笔中有1支白粉笔，2支红粉笔；
X＝2表示取出的3支粉笔中有2支白粉笔，1支红粉笔；
X＝3表示取出的3支粉笔中有3支白粉笔，0支红粉笔；
(2)X可取3，4，5，6，7.其中，
X＝3表示取出分别标有1，2的两张卡片；
X＝4表示取出分别标有1，3的两张卡片；
X＝5表示取出分别标有1，4或2，3的两张卡片；
X＝6表示取出分别标有2，4的两张卡片；
X＝7表示取出分别标有3，4的两张卡片.
[例3] 袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量X为此时已摸球的次数，求随机变量X的概率分布列．
[思路点拨] 解答本题先确定X的所有可能的取值，然后分别求概率，最后列表即可．
[精解详析] 随机变量X可取的值为2，3，4，
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝；
P(X＝4)＝ ＝；
所以随机变量X的概率分布列为：
X
2
3
4
P
[一点通] 随机变量的分布列的作用
对于随机变量X的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值时的概率，它的分布列正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．
5．已知随机变量X的分布列为
X
1
2
3
…
n
P
…
则k的值为________．
解析：由＋＋…＋n个＝1，得k＝1.
答案：1
6．设随机变量X概率分布P＝ak(k＝1，2，3，4，5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P；
(3)求P.
解：由题意知随机变量X的概率分布如下表：
X
P
a
2a
3a
4a
5a
(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝.
(2)P＝P＋P＋P
＝＋＋＝，
或P＝1－P＝1－＝.
(3)因为＜X＜，所以X＝，，.
故P＝P＋P＋P＝＋＋＝.
7．一个盒子中装有5个白色玻璃球和6个红色玻璃球，从中摸出两球，记X＝求X的概率分布．
解：因为X服从两点分布，P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝1－＝.
所以X的概率分布为
X
0
1
P
8. 如图所示，A，B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X，求X的概率分布．
解：由已知X的取值为7，8，9，10，
∵P(X＝7)＝＝，P(X＝8)＝＝，
P(X＝9)＝＝，P(X＝10)＝＝，
∴X的概率分布为
X
7
8
9
10
P
1．随机变量的三个特征
(1)可用数来表示；
(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；
(3)在试验之前不能确定取值．
2．求随机变量的分布列应注意的几个问题．
(1)随机变量X的分布列实质上就是随机变量X与这一变量所对应的概率P的分布表，它从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律．
(2)在处理随机变量的分布列时，先根据随机变量的实际意义，利用试验结果找出随机变量的取值，再求相应的概率是常用的方法．
(3)求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确．
课下能力提升(十)
一、填空题
1．给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．
其中是真命题的有________．(填写序号)
解析：根据随机变量的概念可知，①②③④都正确．
答案：①②③④
2．抛掷两颗骰子，所得点数之和记为X，那么X＝5表示的随机试验结果是________．
解析：点数之和为5，一颗3点，一颗2点，或一颗1点，一颗4点．
答案：一颗3点，一颗2点或一颗1点，一颗4点
3．设离散型随机变量X的概率分布如下：
X
1
2
3
4
P
p
p
则p的值为________．
解析：∵p＋＋＋p＝1，∴p＝.
答案：
4．设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么n＝________．
解析：∵随机变量X等可能取1，2，3，…，n，∴取到每个数的概率均为.
∴P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3，∴n＝10.
答案：10
5．随机变量X的概率分布规律P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4，其中c是常数)，则P的值为______．
解析：由P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝1，
得＋＋＋＝1.
∴c＝1，
∴c＝.
P＝P(X＝1)＋P(X＝2)
＝＋＝＋＝＝.
答案：
二、解答题
6．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．
(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X＝求X的概率分布；
(2)从中任意摸出两个球，用“X＝0”表示两个球全是白球，用“X＝1”表示两个球不全是白球，求X的概率分布．
解：(1)由题意知P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
故X的概率分布如下表：
X
0
1
P
(2)由题意知P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝，故X的概率分布如下表：
X
0
1
P
7.一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的2倍，三级品是二级品的，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量X，求X的概率分布及P(X>1)的值．
解：依题意得P(X＝1)＝2P(X＝2)，P(X＝3)＝P(X＝2)．
由于概率分布的总和等于1，故
P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝P(X＝2)＝1.
所以P(X＝2)＝.随机变量X的概率分布如下：
X
1
2
3
P
所以P(X>1)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝.
8．袋中有3个白球，3个红球和5个黑球．从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得1个
黑球得0分．求所得分数X的概率分布列．
解：得分X的取值为－3，－2，－1，0，1，2，3.
X＝－3时表示取得3个球均为红球，
∴P(X＝－3)＝＝；
X＝－2时表示取得2个红球和1个黑球，
∴P(X＝－2)＝＝；
X＝－1时表示取得2个红球和1个白球或1个红球和2个黑球，
∴P(X＝－1)＝＝；
X＝0时表示取得3个黑球或1红、1黑、1白，
∴P(X＝0)＝＝；
X＝1时表示取得1个白球和2个黑球或2个白球和1个红球，
∴P(X＝1)＝＝；
X＝2时表示取得2个白球和1个黑球，
∴P(X＝2)＝＝；
X＝3时表示取得3个白球，
∴P(X＝3)＝＝；
∴所求概率分布列为
X
－3
－2
－1
0
1
2
3
P
2.3 独立性
第1课时 条 件 概 率
三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回地抽取．
问题1：三名同学抽到中奖奖券的概率相等吗？
提示：相等．
问题2：求第一名同学没有抽到中奖奖券的概率．
提示：用A表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”，
则P(A)＝.
问题3：求最后一名同学抽到中奖奖券的概率．
提示：用B表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”，
则P(B)＝.
问题4：如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少？
提示：用C表示事件“在第一名同学没有中奖的前提下，最后一名同学抽到中奖奖券”．事件C可以理解为还有两张奖券，其中一张能中奖，则P(C)＝.
1．条件概率的概念
一般地，对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件B发生的条件下事件A的条件概率，记为P(A|B)．
2．条件概率的计算公式
(1)一般地，若P(B)>0，则事件B已发生的条件下A发生的条件概率是P(A|B)＝．
(2)利用条件概率，我们有P(AB)＝P(A|B)P(B)．
1．由条件概率的定义可知，P(A|B)与P(B|A)是不同的；另外，在事件B发生的前提下，事件A发生的可能性大小不一定是P(A)，即P(A|B)与P(A)不一定相等．
2．在条件概率的定义中，要强调P(B)>0.
3．P(A|B)＝可变形为P(AB)＝P(A|B)P(B)，即只要知道其中两个值就可以求得第三个值．
[例1] 抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．
(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；
(2)当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少？
[思路点拨] 根据古典概型的概率公式及条件概率公式求解．
[精解详析] (1)
设x表示抛掷红色骰子所得到的点数，用y表示抛掷蓝色骰子所得到的点数，则试验的基本事件总数的全集Ω＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤6，1≤y≤6}，如图所示，由古典概型计算公式可知：
P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝.
(2)P(B|A)＝＝＝.
[一点通] 利用P(A|B)＝求条件概率的一般步骤：
(1)计算P(B)；
(2)计算P(AB)(A，B同时发生的概率)；
(3)利用公式P(A|B)＝计算．
其中(1)(2)可利用古典概型等有关计算概率的方法求解．
1．袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是________．
解析：记事件A为“第一次取到白球”，事件B为“第二次取到白球”，则事件AB为“两次都取到白球”，依题意知P(A)＝，P(AB)＝×＝，所以在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是P(B|A)＝.
答案：
2．一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的．已知这个家庭有一个是女孩，问另一个小孩是男孩的概率是多少？
解：一个家庭的两个小孩只有4种可能：{两个都是男孩}，{第一个是男孩，第二个是女孩}，{第一个是女孩，第二个是男孩}，{两个都是女孩}．由题意知这4个事件是等可能的，A＝“其中一个女孩”，B＝“其中一个男孩”，则A＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}．
∴P(AB)＝，P(A)＝.
∴P(B|A)＝＝＝.
3．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
解：设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为
A＝30，
根据分步计数原理第1次抽到舞蹈节目的事件数为AA＝20，
于是P(A)＝＝.
(2)因为第1次和第2次都抽到舞蹈节目的事件数为A＝12，
于是P(AB)＝＝.
(3)由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
P(B|A)＝＝＝.
[例2] 有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球，若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验为成功．求试验成功的概率．
[思路点拨]
→→
[精解详析] 设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}，
B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，
R＝{第二次取出的球是红球}，
W＝{第二次取出的球是白球}，
则容易求得P(A)＝，P(B)＝，
P(R|A)＝，P(W|A)＝，
P(R|B)＝，P(W|B)＝.
事件“试验成功”表示为RA＋RB，又事件RA与事件RB互斥，故由概率的加法公式，得
P(RA＋RB)＝P(RA)＋P(RB)
＝P(R|A)·P(A)＋P(R|B)·P(B)
＝×＋×＝0.59.
[一点通] 为了求得比较复杂事件的概率．往往可以先把它分解成两个(或若干个)互斥的较简单事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．
4．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占，而且三好学生中女生占一半．现在从该班同学中任选一名参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为________．
解析：设事件A表示“任选一名同学是男生”；事件B为“任取一名同学为三好学生”，则所求概率为P(B|A)．
依题意得P(A)＝＝，P(AB)＝＝.
故P(B|A)＝＝＝.
答案：
5．在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀，已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．
解：设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，而另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A＋B＋C，E＝A＋B.
由古典概型的概率公式及加法公式可知
P(D)＝P(A＋B＋C)
＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋，
P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，
P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)．
＋＝＋＝.
故所求的概率为.
1．P(A|B)表示事件A在“事件B已发生”这个附加条件下的概率，与没有这个附加条件的概率是不同的．也就是说，条件概率是在原随机试验的条件上再加上一定的条件，求另一事件在此“新条件”下发生的概率．
2．若事件A，C互斥，则P[(A＋C)|B]＝P(A|B)＋P(C|B)．
课下能力提升(十二)
一、填空题
1．已知P(AB)＝，P(B)＝，则P(A|B)＝________．
解析：P(A|B)＝＝＝.
答案：
2．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．
解析：设事件A为“第一次取到不合格品”，事件B为“第二次取到不合格品”，则P(AB)＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
答案：
3．把一枚骰子连续抛掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为________．
解析：“第一次抛出偶数点”记为事件A，“第二次抛出偶数点”记为事件B，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝.
所以P(B|A)＝＝＝.
答案：
4．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“三个人去的景点不相同”，B＝“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于________．
解析：由题意知，P(B)＝＝，P(AB)＝＝.
∴P(A|B)＝＝＝.
答案：
5．设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它能活到25岁的概率是________．
解析：设动物活到20岁的事件为A，活到25岁的事件为B，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，由AB＝B，
所以P(AB)＝P(B)．
所以P(B|A)＝＝＝＝0.5.
答案：0.5
二、解答题
6．某个班级有学生40人，其中有共青团员15人，全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中共青团员4人，如果要在班里任选一人当学生代表，那么这个代表恰好在第一小组里的概率是多少？现在要在班级任选一个共青团员当团员代表，问这个代表恰好在第一小组的概率是多少？
解：设A＝{在班里任选一个学生，该学生属于第一小组}，B＝{在班里任选一个学生，该学生是共青团员}，
P(A)＝＝，即这个代表恰好在第一小组里的概率是.
P(A|B)＝＝＝，即这个团员代表恰好在第一小组的概率为.
7．任意向x轴上(0，1)这一区间内投掷一个点，问
(1)该点落在区间内的概率是多少；
(2)在(1)的条件下，求该点落在内的概率．
解：由题意可知，任意向(0，1)这一区间内投掷一点，该点落在(0，1)内哪个位置是等可能的．
令A＝，由几何概型的计算公式可知．
(1)P(A)＝＝.
(2)令B＝，
则AB＝，
故在A的条件下B发生的概率为
P(B|A)＝＝＝.
8．某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中选3人参加学校的义务劳动，在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．
解：记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B.
P(A)＝＝＝，P(BA)＝＝，
P(B|A)＝＝，即在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为.
第2课时 事件的独立性
有这样一项活动：甲箱里装有3个白球，2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球，从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A＝“从甲箱里摸出白球”，B＝“从乙箱里摸出白球”．
问题1：事件A发生会影响事件B发生的概率吗？
提示：不影响．
问题2：试求P(A)，P(B)．
提示：P(A)＝，P(B)＝.
问题3：P(A|B)与P(A)相等吗？
提示：相等．
问题4：P(AB)为何值？
提示：∵P(A|B)＝＝P(A)，
∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝.
事件的独立性
概念
一般地，若事件A，B满足P(A|B)＝P(A)，则称事件A，B独立
性质
(1)若A，B独立，且P(A)>0，则B，A也独立，即A与B相互独立
(2)约定任何事件与必然事件独立，任何事件与不可能事件独立，则两个事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B)
概率计算公式
若事件A与B相互独立，则A与B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率之积，即P(AB)＝P(A)P(B).
推广：若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)＝P(A1)·P(A2)…P(An)
结论
如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立.
1．事件A与B相互独立就是事件A(或B)是否发生不影响事件B(或A)发生的概率．
2．相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B)，这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积．
[例1] 容器中盛有5个白球和3个黄球．
(1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？
[思路点拨] 从相互独立事件的定义入手判断．
[精解详析] (1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
(2)由于把取出的白球放回容器，故对“从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．
[一点通] 解决此类问题常用的两种方法：
(1)定量计算法：利用相互独立事件的定义(即P(AB)＝P(A)P(B))可以准确地判定两个事件是否相互独立．
(2)定性判断法：看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件；有影响就不是相互独立事件．
1．同时掷两颗质地均匀的骰子，A＝{第一颗骰子出现奇数点}，B＝{第二颗骰子出现偶数点}，判断事件A，B是否相互独立．
解：同时掷两颗质地均匀的骰子，则
A＝{第一颗骰子出现1，3，5点}，共有3种结果．
B＝{第二颗骰子出现2，4，6点}，共有3种结果．
AB＝{第一颗骰子出现奇数点，第二颗骰子出现偶数点}，
共有C·C＝9种结果．
由于每种结果的出现均是等可能的，由古典概型的有关知识可知
P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝＝.
∴P(AB)＝P(A)·P(B)，
即事件A、事件B相互独立．
2．分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设A是事件“第1枚为正面”，B是事件“第2枚为正面”，C是事件“2枚结果相同”，问：A，B，C中哪两个相互独立？
解：P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，
P(AB)＝0.25，P(BC)＝0.25，P(AC)＝0.25，可以验证：P(AB)＝P(A)P(B)，P(BC)＝P(B)P(C)，P(AC)＝P(A)P(C)．
∴事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立．
[例2] 制造一种零件，甲机床的正品率为0.90，乙机床的正品率为0.80，分别从它们制造的产品中任意抽取一件．
(1)两件都是正品的概率；
(2)两件都是次品的概率；
(3)恰有一件正品的概率．
[思路点拨] 两件都是正品(次品)的概率，就是正品(次品)的概率相乘；恰有一件正品的概率要用到互斥事件．
[精解详析] 记“从甲机床抽到正品”为事件A，“从乙机床抽到正品”为事件B，“抽取的两件产品中恰有一件正品”为事件C，由题意知A，B是相互独立事件．
(1)P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.90×0.80＝0.72；
(2)P()＝P()·P()＝0.10×0.20＝0.02；
(3)P(C)＝P(A)＋P(B)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＝0.90×0.20＋0.10×0.80＝0.26.
[一点通] 解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义．若A，B相互独立，是A与B，A与B，A与B也是相互独立的．
3．甲射击命中目标的概率为，乙射击命中目标的概率为，当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为________．
解析：P＝×＋×＋×＝.
答案：
4．在一次班委干部的选任中，甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为P(甲)＝0.8，P(乙)＝0.6，P(丙)＝0.5，且知三人在选举中互不影响，则三人都被选上的概率为________，三人中至少有一人被选上的概率为________．
解析：三人都被选上的概率为
P1＝P(甲)·P(乙)·P(丙)＝0.8×0.6×0.5＝0.24.
三人中至少有一人被选中的概率为
P2＝1－(1－P(甲))·(1－P(乙))·(1－P(丙))
＝1－0.2×0.4×0.5＝1－0.04＝0.96.
答案：0.24 0.96
5．一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：
(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；
(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率．
解：记：“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B，“第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球”的事件为C，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互独立事件．
(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝·＝·＝.
故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是.
(2)P(CA)＝P(C)P(A)＝·＝·＝.
故第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是.
[例3] 某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9 000元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次)．设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为，，，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：
(1)获赔的概率；(2)获赔金额X的概率分布．
[思路点拨] (1)利用对应条件去求获赔的概率；
(2)分析X的所有取值，写出概率分布．
[精解详析] 设Ak表示第k辆车在一年内发生此种事故，
k＝1，2，3，由题意知A1，A2，A3独立，且P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.
∴P(A1)＝，P(2)＝，P(3)＝，
(1)该单位一年内获赔的概率为
1－P(123)＝1－P(1)P(2)P(3)
＝1－××＝.
(2)X的所有可能值为0，9 000，18 000，27 000.
P(X＝0)＝P(123)＝P(1)P(2)P(3)
＝××＝，
P(X＝9 000)＝P(A123)＋P(1A23)＋P(12A3)
＝P(A1)P(2)P(3)＋P(1)P(A2)P(3)＋P(1)P(2)P(A3)
＝××＋××＋××
＝＝，
P(X＝18 000)＝P(A1A23)＋P(A12A3)＋P(1A2A3)
＝P(A1)P(A2)P(3)＋P(A1)P(2)P(A3)＋P(1)P(A2)P(A3)
＝××＋××＋××
＝＝.
P(X＝27 000)＝P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)
＝××＝.
综上知，X的概率分布为
X
0
9 000
18 000
27 000
P
[一点通] 解决此类问题要明确事件中关键词的意义，将事件合理分析：已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则A，B中至少有一个发生的事件为A＋B；A，B都发生的事件为AB；A，B都不发生的事件为A－B－；A，B恰有一个发生的事件为AB－＋A－B；A，B中至多有一个发生的事件为AB－＋A－B＋A－B－.
6．2014年3月30日，深圳迎来今年首场强降雨．天气预报提示在未来24小时，深圳A，B两地区有强降雨的概率分别为，.则A，B两地在未来24小时至少有一处有强降雨的概率为________．(假设A，B两地距离较远，是否降雨相互独立)
解析：转化为对立事件求解：P＝1－×＝1－＝.
答案：
7．某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计，甲、乙、丙三人100 m跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别是，，.如果对这三名短跑运动员的100 m跑成绩进行一次检测；
(1)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？
(2)出现恰有几人合格的概率最大？
解：设“甲、乙、丙三人100 m跑合格”分别为事件A，B，C，显然A，B，C相互独立，P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，
所以P(A)＝1－＝，P(B)＝1－＝，
P(C)＝1－＝.
设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0，1，2，3)．
(1)三人都合格的概率为
P3＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.
三人都不合格的概率为
P0＝P(A－B－C－)＝P(A－)P(B－)P(C－)＝××＝.
所以三人都合格的概率与三人都不合格的概率都是.
(2)因为ABC－，AB－C，A－BC两两互斥，所以恰有两人合格的概率为P2＝P(ABC－＋AB－C＋A－BC)
＝P(ABC－)＋P(AB－C)＋P(A－BC)
＝P(A)P(B)P(C－)＋P(A)P(B－)P(C)＋P(A－)P(B)P(C)
＝××＋××＋××＝.
恰有一人合格的概率为P1＝1－P0－P2－P3＝1－－－＝＝.由(1)(2)知P0，P1，P2，P3中P1最大，所以出现恰有一人合格的概率最大．
相互独立事件常与互斥事件、对立事件综合考查，解决此类问题的一般步骤：
(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；
(2)理清事件之间的关系(互斥、对立、相互独立)，列出关系式；
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
课下能力提升(十三)
一、填空题
1．坛子中放有3个白球和2个黑球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1和A2是________事件．
解析：由题意知，A1是否发生，对A2发生的概率没有影响，所以A1和A2是相互独立事件．
答案：相互独立
2．有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是________．
解析：设“任取一书是文科书”的事件为A，“任取一书是精装书”的事件为B，则A，B是相互独立的事件，所求概率为P(AB)．
据题意可知P(A)＝＝，P(B)＝＝，
故P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
答案：
3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为________．
解析：问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝×＝.故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝.
答案：
4．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一个被录取的概率为________．
解析：P＝0.6×0.3＋0.4×0.7＋0.6×0.7＝0.88.
答案：0.88
5．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关，那么，连过前两关的概率是________．
解析：设过第一关为事件A，当抛掷一次出现的点数为2，3，4，5，6点中之一时，通过第一关，所以P(A)＝.设过第二关为事件B，记两次骰子出现的点数为(x，y)，共有36种情况，第二关不能过有如下6种情况(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)．
P(B)＝1－P(B)＝1－＝.
所以连过前两关的概率为：P(A)P(B)＝.
答案：
二、解答题
6．天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率为0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：
(1)甲、乙两地都降雨的概率；
(2)甲、乙两地都不降雨的概率；
(3)其中至少一个地方降雨的概率．
解：(1)甲、乙两地都降雨的概率为
P1＝0.2×0.3＝0.06.
(2)甲、乙两地都不降雨的概率为
P2＝(1－0.2)×(1－0.3)＝0.8×0.7＝0.56.
(3)至少一个地方降雨的概率为
P3＝1－P2＝1－0.56＝0.44.
7．设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.
(1)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少？
(2)计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率．
解：记“机器甲需要照顾”为事件A，“机器乙需要照顾”为事件B，“机器丙需要照顾”为事件C.由题意，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A，B，C是相互独立事件．
(1)由已知得P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05，
P(AC)＝P(A)P(C)＝0.1，
P(BC)＝P(B)P(C)＝0.125.
解得P(A)＝0.2，P(B)＝0.25，P(C)＝0.5.
所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2，0.25，0.5.
(2)记A的对立事件为，B的对立事件为，C的对立事件为，“这个小时内至少有一台机器需要照顾”为事件D，则P()＝0.8，P()＝0.75，P()＝0.5，
于是P(D)＝1－P()
＝1－P()P()P()＝0.7.
所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7.
8．据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0，1，2的概率分别为0.4，0.5，0.1.
(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；
(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．
解：(1)设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.5＝0.9.
(2)设事件Ai表示“第i个月被投诉的次数为0”，事件Bi表示“第i个月被投诉的次数为1”，事件Ci表示“第i个月被投诉的次数为2”，事件D表示“两个月内共被投诉2次”．
∴P(Ai)＝0.4，P(Bi)＝0.5，P(Ci)＝0.1(i＝1，2)．
∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P(A1C2＋A2C1)，
一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2)，
∴P(D)＝P(A1C2＋A2C1)＋P(B1B2)
＝P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(B1B2)．
由事件的独立性得
P(D)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33.
2.4 二项分布
1．定义
一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与A，每次试验中P(A)＝p>0.我们将这样的试验称为n次独立重复试验，也称为伯努利试验．
2．概率公式
在n次独立重复试验中，每次试验事件A发生的概率均为p(0
连续掷一颗骰子三次，就是做三次独立重复试验．
用Ai(i＝1，2，3)表示第i次出现6点这一事件，用B1表示“仅出现一次6点”这一事件．
问题1：试用Ai表示B1.
提示：B1＝(A123)＋(1A23)＋(12A3)．
问题2：试求P(B1)．
提示：∵P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝，
且A123，1A23和12A3互斥，
∴P(B1)＝P(A112)＋P(1A23)＋P(12A3)
＝×＋×＋×
＝3××.
问题3：用Bk表示出现k次6点这一事件，试求P(B0)，P(B2)，P(B3)．
提示：P(B0)＝P(123)＝，
P(B2)＝3××，P(B3)＝.
问题4：由以上结果你得出何结论？
提示：P(Bk)＝C，k＝0，1，2，3.
若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Cpkqn－k，其中01．满足以下条件的试验称为独立重复试验：
(1)每次试验是在同样条件下进行的；
(2)各次试验中的事件是相互独立的；
(3)每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生；
(4)每次试验中，某事件发生的概率是相同的．
2．独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题．但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似地看作此类型，因此独立重复试验在实际问题中应用广泛．
3．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是对立性，即一次试验中，事件发生与否二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．
[例1] 某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后面第2位)
(1)5次预报中恰有2次准确的概率；
(2)5次预报中至少有2次准确的概率．
[思路点拨] 由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(或准确或不准确)，符合独立重复试验模型．
[精解详析] (1)记预报一次准确为事件A，
则P(A)＝0.8.
5次预报相当于5次独立重复试验，
2次准确的概率为P＝C×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，
因此5次预报中恰有2次准确的概率为0.05.
(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，
其概率为
P＝C×(0.2)5＋C×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01.
所以所求概率为1－P＝1－0.01＝0.99.
所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99.
[一点通] 解答独立重复试验中的概率问题要注意以下几点：
(1)先要判断问题中所涉及的试验是否为n次独立重复试验；
(2)要注意分析所研究的事件的含义，并根据题意划分为若干个互斥事件的和．
(3)要善于分析规律，恰当应用排列、组合数简化运算．
1．种植某种树苗，成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，则恰好成活4棵的概率为________．
解析：恰好成活4棵的概率为C×0.94×0.1≈0.33.
答案：0.33
2. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为________．
解析：记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，则事件A的对立事件为B，若小球落入B袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，
故P(B)＝＋＝，
从而P(A)＝1－P(B)＝1－＝.
答案：
3．某城市的发电厂有5台发电机组，每台发电机组在第一季度里停机维修率为，已知2台以上(不包括2台)发电机组停机维修，将造成城市缺电，计算：
(1)该城市在一个季度里停电的概率；
(2)该城市在一个季度里缺电的概率．
解：(1)若停电，则表示每台发电机组都不能工作，由于每台发电机组停机维修是互不影响的，故每台发电机组停机维修是相互独立的，该城市停电必须5台发电机组都停机维修，所以停电的概率为
C×＝.
(2)当3台或4台发电机组停机维修时，该城市将缺电，所以缺电的概率为
C×＋C×＝10××＋5××＝.
[例2] 一名学生骑自行车去上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的概率分布；
(2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的概率分布；
(3)求这三名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
[思路点拨] 解答本题可先求出x，y的可能数值，再根据二项分布的公式求概率分布．(3)可用对立事件求解．
[精解详析] (1)依据已知条件，可将遇到每个交通岗看作一次试验，遇到红灯的概率都是p＝，且每次试验结果都是相互独立的，所以X～B.
∴P(X＝k)＝C
＝C，
k＝0，1，2，…，6.
∴所求X的概率分布为
X
0
1
2
3
4
5
6
P
(2)由题意知，Y＝k(k＝0，1，2，…，5)表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k＋1个路口遇上红灯，则其概率为P(Y＝k)＝·，Y＝6表示路上没有遇上红灯，其概率为P(Y＝6)＝.
∴所求Y的概率分布为
Y
0
1
2
3
4
5
6
P
(3)由题意可知，“至少遇到一次红灯”的对立事件是“一次红灯都没有遇到”，因此有
P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－＝.
[一点通] 利用二项分布来解决实际问题的关键是建立二项分布模型，解决这类问题时要看它是否为n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布．
4．若随机变量X～B，则P(X＝3)＝________．
解析：P(X＝3)＝C··＝.
答案：
5．甲、乙两人参加某高校的自主招生考试，若甲、乙能通过面试的概率都为，且甲、乙两人能否通过面试相互独立，求面试结束后通过人数X的概率分布．
解析：由题意可知，X服从二项分布B，
则P(X＝0)＝C＝，
P(X＝1)＝C××＝，
P(X＝2)＝C＝.
所以X的概率分布为
X
0
1
2
P
1．独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两种结果(即某事件要么发生，要么不发生)，并且在任何一次试验中，事件发生的概率均相等．
2．独立重复试验是相互独立事件的特例，一般有“恰好”“恰有”字样的问题时用独立重复试验的概率公式计算更简捷，要弄清n，p，k的意义．
3．二项分布实际上是对n次独立重复试验从概率分布的角度作了进一步的阐述，与n次独立重复试验恰有k次发生的概率对应，是概率论中最重要的几种分布之一．
课下能力提升(十四)
一、填空题
1．某学生通过英语听力测试的概率为，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是________．
解析：P＝C＝.
答案：
2．下列说法正确的是________．
①某同学投篮命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10，0.6)；
②某福彩的中奖概率为P，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，P)；
③从装有5红球5白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～B.
解析：①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．
答案：①②
3．若X～B，则P(X≥2)＝________．
解析：P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝.
答案：
4．已知一个射手每次击中目标的概率都是，他在4次射击中，击中两次目标的概率为________，刚好在第二、三这两次击中目标的概率为________．
解析：刚好击中两次目标的概率为C＝.
在第二、三这两次击中目标的概率为·＝.
答案：
5．位于直角坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为，向右移动的概率为，则质点P移动五次后位于点(1，0)的概率是________．
解析：依题意得，质点P移动五次后位于点(1，0)，则这五次移动中必有某两次向左移动，另三次向右移动，
因此所求的概率等于C＝.
答案：
二、解答题
6．某一中学生心理咨询中心的服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题通过电话询问该咨询中心，且每人只拨打一次，
(1)求他们三人中恰有1人成功咨询的概率；
(2)求他们三人中成功咨询的人数X的概率分布．
解：每位同学拨打一次电话可看作一次试验，三位同学每人拨打一次可看作3次独立重复试验，接通咨询中心的服务电话可视为咨询成功．故每位同学成功咨询的概率都是.
(1)三人中恰有1人成功咨询的概率为
P＝C××＝.
(2)由题意知，成功咨询的人数X是一随机变量，
且X～B.
则P(X＝k)＝C，k＝0，1，2，3.
因此X的概率分布为
X
0
1
2
3
P
7.某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．
(1)记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的概率分布；
(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．
解：(1)由题设知，X的可能取值为10，5，2，－3，且
P(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72，
P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18，
P(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08，
P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02.
由此得X的概率分布为
X
－3
2
5
10
P
0.02
0.08
0.18
0.72
(2)设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4－n件．
由题设知4n－(4－n)≥10，解得n≥.
又n∈N，得n＝3，或n＝4.
所以P＝C×0.83×0.2＋C×0.84＝0.819 2.
故所求概率为0.819 2.
8．在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是.
(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的概率分布；
(2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率．
解：(1)X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.
依条件可知，X～B，
P(X＝k)＝C(k＝0，1，2，3，4，5，6)．
X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
5
6
P
(2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，则
P(A)＝C＋C＋＝.
故教师甲在一场比赛中获奖的概率为.
2.5 随机变量的均值和方差
第1课时 离散型随机变量的均值
设有12个西瓜，其中4个重5 kg，3个重6 kg，5个重7 kg.
问题1：任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试想X的取值是多少？
提示：x＝5，6，7.
问题2：x取上述值时，对应的概率分别是多少？
提示：，，.
问题3：试想西瓜的平均质量该如何表示？
提示：5×＋6×＋7×.
1．离散型随机变量的均值(或数学期望)
(1)定义：若离散型随机变量X的概率分布为
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
则称x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望，也称为X的概率分布的均值，记为E(X)或μ，即E(X)＝μ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn．其中，xi是随机变量X的可能取值，pi是概率，pi≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1．
(2)意义：刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度．
2．两种常见概率分布的均值
(1)超几何分布：若X～H(n，M，N)，则E(X)＝．
(2)二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝np．
1．随机变量的均值表示随机变量在随机试验中取值的平均水平，又常称随机变量的平均数，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数．
2．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，它是一个常数，是随机变量的多次独立观测值的算术平均值的稳定性，即由独立观测组成的随机样本的均值的稳定值．而样本的平均值是一个随机变量，它随着观测次数的增加而趋于随机变量的均值．
[例1] 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
(1)求取出的4个球均为黑球的概率；
(2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
(3)设X为取出的4个球中红球的个数，求X的概率分布和均值．
[思路点拨] 首先确定X的取值及其对应的概率，然后确定随机变量的概率分布及均值．
[精解详析] (1)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.
由于事件A，B相互独立，且P(A)＝＝，
P(B)＝＝.
故取出的4个球均为黑球的概率为
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，
“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.
由于事件C，D互斥，且P(C)＝·＝，
P(D)＝·＝.
故取出的4个球中恰有1个红球的概率为
P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝＋＝.
(3)X可能的取值为0，1，2，3.
由(1)，(2)得P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，
P(X＝3)＝·＝.
从而P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝.
所以X的概率分布为
X
0
1
2
3
P
故X的均值
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
[一点通] 求离散型随机变量X的均值的步骤：
(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的概率分布表(有时可以省略)；
(4)利用定义公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求出均值．
1．(广东高考)已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
则X的均值E(X)＝________．
解析：E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
答案：
2．若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为，乙解出该题的概率为，设解出该题的人数为X, 求E(X)．
解：记“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，X可能取值为0，1，2.
P(X＝0)＝P(A B)＝P(A)·P(B)
＝×＝，
P(X＝1)＝P(AB)＋P(AB)
＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)
＝×＋×＝，
P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
所以，X的分布列如下表：
X
0
1
2
P
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
[例2] 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为X，乙击中目标的次数为Y.
(1)求X的概率分布；
(2)求X和Y的均值．
[思路点拨] 甲、乙击中目标的次数均服从二项分布．
[精解详析] (1)P(X＝0)＝C＝；
P(X＝1)＝C＝；
P(X＝2)＝C＝；
P(X＝3)＝C＝.
所以X的概率分布如下表：
X
0
1
2
3
P
(2)由(1)知E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.5，
或由题意X～B，Y～B，
所以E(X)＝3×＝1.5，E(Y)＝3×＝2.
[一点通] 超几何分布和二项分布是两种特殊的而且应用相当广泛的概率分布，解题时如果能发现是这两种分布模型，就可以直接利用规律写出概率分布，求出均值．
3．某运动员投篮命中率为p＝0.6.
(1)求一次投篮时命中次数X的均值；
(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的均值．
解：(1)投篮一次，命中次数X的概率分布如下表：
X
0
1
P
0.4
0.6
则E(X)＝p＝0.6.
(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5，0.6)．
则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.
4．一个箱子中装有大小相同的1个红球，2个白球，3个黑球．现从箱子中一次性摸出3个球，每个球是否被摸出是等可能的．
(1)求至少摸出一个白球的概率；
(2)用X表示摸出的黑球数，写出X的概率分布并求X的均值．
解：记“至少摸出一个白球”为事件A，则事件A的对立事件A为“摸出的3个球中没有白球”，
则P(A)＝＝，
P(A)＝1－P(A)＝，
即至少摸出一个白球的概率等于.
(2)X的所有可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
X的概率分布为
X
0
1
2
3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，即X的数学期望为.
[例3] 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．
(1)求第4局甲当裁判的概率；
(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的均值．
[思路点拨] (1)第4局甲当裁判的前提是第2局甲胜，第3局甲参加比赛且负．
(2)X的取值为0，1，2.
[精解详析] (1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛，结果为甲负”，
A表示事件“第4局甲当裁判”．
则A＝A1·A2.
P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝.
(2)X的可能取值为0，1，2.
记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．
则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)P(A3)＝，P(X＝2)＝P(1·B3)＝P(1)P(B3)＝，
P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－－＝，
E(X)＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＝.
[一点通] 解答此类题目，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出概率分布表，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值．
5．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元，设一年内E发生的概率为p，为使公司收益的均值等于a的10%，公司应要求投保人交多少保险金？
解：设保险公司要求投保人交x元保险金，以保险公司的收益额X作为随机变量，则不难得出其概率分布表如下：
X
x
x－a
P
1－p
p
由上述概率分布表可求得，保险公司每年收益的均值为
E(X)＝x(1－p)＋(x－a)p＝x－ap，
由题意可知x－ap＝0.1a，解得x＝(0.1＋p)a.
即投保人交(0.1＋p)a元保险金时，可使保险公司收益的均值为0.1a.
6．现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得1分，没有命中得0分；向乙靶射击一次，命中的概率为，命中得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
(1)求该射手恰好命中两次的概率；
(2)求该射手的总得分X的概率分布及均值．
解：(1)记“该射手恰好命中两次”为事件A，“该射手第一次射击甲靶命中”为事件B，“该射手第二次射击甲靶命中”为事件C，“该射手射击乙靶命中”为事件D.
由题意知，P(B)＝P(C)＝，P(D)＝，
所以P(A)＝P(BC)＋P(BD)＋P(CD)
＝P(B)P(C)P()＋P(B)P()P(D)＋P()P(C)P(D)
＝××＋××＋××＝.
(2)根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4.
P(X＝0)＝P()＝××＝，
P(X＝1)＝P(B)＋P(C)＝××＋××＝.
P(X＝2)＝P(BC)＋P(D)＝××＋××＝，
P(X＝3)＝P(BD)＋P(CD)＝××＋××＝，
P(X＝4)＝P(BCD)＝××＝.
故X的概率分布是
X
0
1
2
3
4
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝..
1．求随机变量X的均值，关键是正确求出X的分布列，在求X取每一个值的概率时，要联系概率的有关知识，如古典概型、互斥事件的概率、独立事件的概率等．
2．对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出aX＋b的概率分布表，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便．
课下能力提升(十五)
一、填空题
1．已知随机变量X的概率分布为
X
－2
－1
0
1
2
P
m
则E(X)＝________．
解析：由随机变量分布列的性质得，＋＋＋m＋＝1，解得m＝，
于是，X的概率分布为
X
－2
－1
0
1
2
P
所以E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.
答案：－
2．若随机变量X～B(n，0.6)，且E(X)＝3，则P(X＝1)＝________．
解析：∵X～B(n，0.6)，E(X)＝3，
∴0.6n＝3，即n＝5.
∴P(X＝1)＝C×0.6×(1－0.6)4＝3×0.44＝0.076 8.
答案：0.076 8
3．考察一种耐高温材料的一个重要指标是看其是否能够承受600度的高温．现有一种这样的材料，已知其能够承受600度高温的概率是0.7，若令随机变量X＝则X的均值为________．
解析：依题意X服从两点分布，其概率分布为
X
1
0
P
0.7
0.3
所以X的均值是E(X)＝0.7.
答案：0.7
4．设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的均值为________．
解析：设取得次品数为X(X＝0，1，2)，
则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
答案：
5. (湖北高考改编)如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝________．
解析：X的取值为0，1，2，3且P (X＝0)＝，
P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，
故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
答案：
二、解答题
6．两名战士在一次射击比赛中，战士甲得1分，2分，3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；战士乙得1分，2分，3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名战士中获胜希望较大的是哪一个？
解：设这次射击比赛中战士甲得X分，战士乙得Y分，则它们的概率分布如下：
X
1
2
3
P
0.4
0.1
0.5
Y
1
2
3
P
0.1
0.6
0.3
根据均值公式，得
E(X)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，
E(Y)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2.
∵E(Y)＞E(X)，
∴这次射击中战士乙得分的均值较大，即获胜的希望也较大．
7．一接待中心有A，B，C，D四部热线电话，已知某一时刻电话A，B占线的概率均为0.5，电话C，D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互间没有影响，假设该时刻有X部电话占线，试求随机变量X的概率分布和它的均值．
解：P(X＝0)＝0.52×0.62＝0.09，
P(X＝1)＝C×0.52×0.62＋C×0.52×0.4×0.6＝0.3，
P(X＝2)＝C×0.52×0.62＋CC×0.52×0.4×0.6＋C×0.52×0.42＝0.37，
P(X＝3)＝C×0.52×0.4×0.6＋CC×0.52×0.42＝0.2，
P(X＝4)＝0.52×0.42＝0.04.
于是得到X的概率分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.09
0.3
0.37
0.2
0.04
所以E(X)＝0×0.09＋1×0.3＋2×0.37＋3×0.2＋4×0.04＝1.8.
8．某种项目的射击比赛，开始时在距目标100 m处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150 m处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200 m处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，且比赛结束．已知射手甲在100 m处击中目标的概率为，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的．
(1)求射手甲在这次射击比赛中命中目标的概率；
(2)求射手甲在这次射击比赛中得分的均值．
解：(1)记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A，B，C，三次都未击中目标为事件D，依题意P(A)＝，
设在x m处击中目标的概率为P(x)，
则P(x)＝，且＝，
∴k＝5 000，即P(x)＝，
∴P(B)＝＝，
P(C)＝＝，
P(D)＝××＝.
由于各次射击都是相互独立的，
∴该射手在三次射击中击中目标的概率
P＝P(A)＋P(·B)＋P(··C)
＝P(A)＋P()·P(B)＋P()·P()·P(C)
＝＋·＋··＝.
(2)依题意，设射手甲得分为X，则P(X＝3)＝，
P(X＝2)＝×＝，P(X＝1)＝××＝，
P(X＝0)＝.
所以E(X)＝3×＋2×＋1×＋0×＝＝.
第2课时 离散型随机变量的方差和标准差
A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：
A机床
次品数X1
0
1
2
3
P
0.7
0.2
0.06
0.04
B机床
次品数X2
0
1
2
3
P
0.8
0.06
0.04
0.10
问题1：试求E(X1)，E(X2)．
提示：E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.
问题2：由E(X1)和E(X2)的值说明了什么？
提示：E(X1)＝E(X2)．
问题3：试想利用什么指标可以比较加工质量？
提示：样本方差．
1．离散型随机变量的方差和标准差
(1)离散型随机变量的方差
①定义：设离散型随机变量X的均值为μ， 其概率分布为
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
则(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn(其中pi≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1)称为离散型随机变量X的方差，也称为X的概率分布的方差，记为V(X)或σ2．
②变形公式：V(X)＝pi－μ2．
③意义：方差刻画了随机变量X与其均值μ的平均偏离程度．
(2)离散型随机变量的标准差
X的方差V(X)的算术平方根称为X的标准差，即σ＝．
2．两点分布、超几何分布、二项分布的方差
(1)若X～0－1分布，则V(X)＝p(1－p)；
(2)若X～H(n，M，N)，则V(X)＝；
(3)若X～B(n，p)，则V(X)＝np(1－p)．
1．随机变量的方差是常数，它和标准差都反映了随机变量X取值的稳定性和波动、集中与离散程度．V(X)越小，稳定性越高，波动越小．
2．随机变量的方差与样本方差的关系：随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，是不随抽样样本变化而客观存在的；样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．
[例1] 已知随机变量X的概率分布为
X
0
1
x
P
p
若E(X)＝，求V(X)．
[思路点拨] 解答本题可先根据i＝1求出p值，然后借助E(X)＝，求出x的取值，最后代入公式求方差．
[精解详析] 由＋＋p＝1，得p＝.
又E(X)＝0×＋1×＋x＝，∴x＝2.
∴V(X)＝×＋×＋×＝.
[一点通] 求方差和标准差的关键是求概率分布，只要有了概率分布，就可以依据定义求得均值，进而求得方差或标准差．
1．已知X的概率分布为
X
1
2
3
4
P
0.3
0.2
0.2
0.3
则V(X)＝________．
解析：∵E(X)＝1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.3
＝0.3＋0.4＋0.6＋1.2＝2.5.
∴V(X)＝0.3×(1－2.5)2＋0.2×(2－2.5)2＋0.2×(3－2.5)2＋0.3×(4－2.5)2＝1.45.
答案：1.45
2．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则V(X)＝________.
解析：由题意知取到次品的概率为，∴X～B，
∴V(X)＝3××＝.
答案：
[例2] 某投资公司在2016年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
[思路点拨] 分别计算项目一、二中获利的均值与方差后，作出判断．
[精解详析] 若按“项目一”投资，设获利X1万元，
则X1的概率分布为
X1
300
－150
P
∴E(X1)＝300×＋(－150)×＝200(万元)．
若按“项目二”投资，设获利X2万元，
则X2的概率分布为
X2
500
－300
0
P
∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200(万元)．
V(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000，
V(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000，
∴E(X1)＝E(X2)，V(X1)这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．
[一点通] 离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此在实际决策问题中，需先运算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定，当然不同的模型要求不同，应视情况而定．
3．甲、乙比赛时，甲每局赢的概率是0.51，乙每局赢的概率是0.49.甲、乙一共进行了10局比赛，当各局比赛的结果是相互独立时，计算甲平均赢多少局，乙平均赢多少局．谁的技术比较稳定？
解：用X表示10局中甲赢的局数，则X～B (10，0.51)，故E(X)＝10×0.51＝5.1，即甲平均赢5.1局．
用Y表示10局中乙赢的局数，则Y～B(10，0.49)．
故E(Y)＝10×0.49＝4.9，于是乙平均赢4.9局．
又V(X)＝10×0.51×0.49＝2.499，
V(Y)＝10×0.49×0.51＝2.499.
所以他们技术的稳定性一样.
[例3] 在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值和方差．
[思路点拨] →→→
[精解详析] X可能取的值为1，2，3，4，5.
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××＝，
P(X＝4)＝×××＝，
P(X＝5)＝××××1＝.
∴X的概率分布为
X
1
2
3
4
5
P
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
由定义知，E(X)＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
V(X)＝0.2×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.
[一点通] 求离散型随机变量X的均值与方差的基本步骤：
(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的概率分布；
(4)由均值的定义求E(X)；
(5)由方差的定义求V(X)．
4．把本例中的条件改为“若摸出一球观察颜色后放回，摸球5次，求摸出红球的次数Y的均值和方差．”
解：由题意知Y～B，
∴E(Y)＝5×＝1，
V(Y)＝5××＝.
5．甲，乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，
(1)求该题被乙独立解出的概率；
(2)求解出该题的人数X的均值和方差．
解：(1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A，B.
设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2，
则P(A)＝P1＝0.6，P(B)＝P2，
P(A＋B)＝1－P( )＝1－(1－P1)·(1－P2)＝
P1＋P2－P1P2＝0.92，
∴0.6＋P2－0.6P2＝0.92.
则0.4P2＝0.32，即P2＝0.8.
(2)P(X＝0)＝P(A)·P(B)＝0.4×0.2＝0.08，
P(X＝1)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)
＝0.6×0.2＋0.4×0.8＝0.44，
P(X＝2)＝P(A)P(B)＝0.6×0.8＝0.48.
X的概率分布为
X
0
1
2
P
0.08
0.44
0.48
E(X)＝0×0.08＋1×0.44＋2×0.48＝0.44＋0.96＝1.4，
V(X)＝(0－1.4)2·0.08＋(1－1.4)2·0.44＋(2－1.4)2·0.48＝0.156 8＋0.070 4＋0.172 8＝0.4.
1．已知随机变量的概率分布，求它的均值、方差(或标准差)，可直接由定义(公式)求解．
2．已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数y＝aX＋b的均值和方差，可直接用X的均值，方差的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b，V(aX＋b)＝a2V(X)．
3．若能分析出所给随机变量服从两点分布或二项分布，则可直接用它们的均值、方差公式计算．
课下能力提升(十六)
一、填空题
1．已知X的概率分布为
X
1
2
3
P
a
0.1
0.6
则V(X)＝________．
解析：∵a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3.
∴E(X)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3.
∴V(X)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81.
答案：0.81
2．一批产品中，次品率为，现有放回地连续抽取4次，若抽的次品件数记为X，则V(X)的值为________．
解析：由题意，次品件数X服从二项分布，即X～B，
故V(X)＝np·(1－p)＝4××＝.
答案：
3．已知X～B(n，p)，且E(X)＝7，V(X)＝6，则p＝________.
解析：∵E(X)＝np＝7，V(X)＝np(1－p)＝6，
∴1－p＝，即p＝.
答案：
4．已知随机变量X的概率分布为
X
0
1
x
P
p
且E(X)＝1.1，则V(X)的值为________．
解析：由随机变量分布列的性质可得p＝1－－＝.
又E(X)＝0×＋1×＋x×＝1.1，解得x＝2，可得V(X)＝(0－1.1)2×＋(1－1.1)2×＋(2－1.1)2×＝0.49.
答案：0.49
5．篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他一次罚球得分的方差为________．
解析：设一次罚球得分为X，X服从两点分布，即
X
0
1
P
0.3
0.7
所以V(X)＝p(1－p)＝0.7×0.3＝0.21.
答案：0.21
二、解答题
6．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为X，求E(X)和V(X)．
解：这3张卡片上的数字和X的可能取值为6，9，12.
X＝6表示取出的3张卡片上都标有2，
则P(X＝6)＝＝.
X＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，
则P(X＝9)＝＝.
X＝12表示取出的3张卡片中两张标有5，一张标有2，
则P(X＝12)＝＝.
所以X的分布列如下表：
X
6
9
12
P
所以E(X)＝6×＋9×＋12×＝7.8.
V(X)＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3.36.
7．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的概率分布分别为：
X
0
1
2
3
P
0.3
0.3
0.2
0.2
Y
0
1
2
P
0.1
0.5
0.4
试评定这两个保护区的管理水平．
解：甲保护区违规次数X的均值和方差为
E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，
V(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.
乙保护区的违规次数Y的均值和方差为
E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，
V(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.
因为E(X)＝E(Y)，V(X)＞V(Y)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定．相对而言，乙保护区的管理较好一些．
8．编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X，求V(X)．
解：先求X的分布列．
X＝0，1，2，3.
X＝0表示三位学生全坐错了，情况有2种，
所以P(X＝0)＝＝；
X＝1表示只有一位同学坐对了，情况有3种，
所以P(X＝1)＝＝；
X＝2表示有两位学生坐对，一位学生坐错，这种情况不存在，所以P(X＝2)＝0；
X＝3表示三位学生全坐对了，情况有1种，
所以P(X＝3)＝＝.
所以X的概率分布如下：
X
0
1
2
3
P
0
所以E(X)＝0×＋1×＋2×0＋3×
＝＋＝1，
V(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×0＋(3－1)2×＝1.
2.6 正态分布
1．概率密度曲线
对于某一随机变量的频率分布直方图，若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图上的频率折线将趋于一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线．
2．正态密度曲线
函数表达式
P(x)＝e－，x∈R，其中实数μ(μ∈R)和σ(σ>0)为参数
图象的特征
(1)当x＜μ时，曲线上升；当x＞μ时，曲线下降. 当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线
(2)正态曲线关于直线x＝μ对称
(3)σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡
(4)在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1
3.正态分布
若X是一个随机变量，则对任给区间(a，b]，P(a4．标准正态分布
正态分布N(0，1)称为标准正态分布．
5．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率约为68.3%；
落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)上的概率约为95.4%；
落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为99.7%.
6．中心极限定理
在独立地大数量重复试验时，就平均而言，任何一个随机变量的分布都将趋近于正态分布，这就是中心极限定理．
1．在正态分布X～N(μ，σ2)中，μ就是随机变量X的均值，σ2就是随机变量X的方差，它们分别反映X取值的平均大小和稳定程度．
2．正态密度曲线的性质
(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
(3)曲线在x＝μ处达到峰值；
(4)曲线与x轴之间的面积为1；
(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“尖陡”；σ越大，曲线越“扁平”，如图②.
[例1] 如图所示是一个正态密度曲线．试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出随机变量的均值和方差．
[思路点拨] 解答本题可首先借助图象观察该函数的对称轴及最大值，然后结合φμ，σ(x)＝e－可知μ及σ的值．
[精解详析] 从给出的正态密度曲线可知，该正态密度曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20.
＝，解得σ＝.
于是概率密度函数的解析式是
f(x)＝· e－，x∈(－∞，∞)．
随机变量的均值是μ＝20，
方差是σ2＝＝2.
[一点通] 利用图象求正态密度曲线的方程．关键是确定μ，σ.结合图象，利用正态密度曲线的两条性质：一是对称轴，二是最值即可求出μ，σ.相应参数确定了，代入f(x)＝e－即可．
1．下列函数是正态密度函数的是________．
(1)f(x)＝e，μ，σ(σ>0)都是实数
(2)f(x)＝e－
(3)f(x)＝e－
(4)f(x)＝e
解析：本题考查正态密度函数，可对照f(x)＝e－，
其中指数部分的σ应与系数的分母处的σ保持一致，系数为正数且指数为负数．
(1)有两处错误，分别是·σ错为，指数错为正数．(3)从系数可得σ＝2，从而指数处可得σ＝，显然不符．(4)中指数为正，错误．
答案：(2)
2．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为 .求该正态分布的概率密度函数的解析式．
解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.
由于＝，得σ＝4，
故该正态分布的概率密度函数的解析式是
φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞).
[例2] 关于正态曲线φ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，σ>0有以下命题：
①正态密度曲线关于直线x＝μ对称；
②正态密度曲线关于直线x＝σ对称；
③正态密度曲线与x轴一定不相交；
④正态密度曲线与x轴一定相交；
⑤正态密度曲线所代表的函数是偶函数；
⑥曲线对称轴由μ确定，曲线的形状由σ决定；
⑦当μ一定时，σ越大，曲线越“扁平”，σ越小，曲线越“尖陡”．
其中正确的是________(填序号)．
[思路点拨] 根据正态分布曲线的性质可直接判断．
[精解详析] 根据正态分布曲线的性质可得，由于正态密度曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处于最高点并由该点向左、右两边无限延伸，逐渐降低的曲线，该曲线总是位于x轴的上方，曲线形状由σ决定，而且当μ一定时，比较若干个不同的σ对应的正态曲线，可以发现σ越大，曲线越“扁平”，σ越小，曲线越“尖陡”．故①③⑥⑦正确．
[答案] ①③⑥⑦
[一点通] 解决正态曲线的性质问题，应对正态曲线的简单性质要熟练掌握并且能够应用，尤其是对称性，最高点的位置，曲线左右无限延伸并逐渐降低，要结合正态曲线的图象理解并掌握．
3．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1＞0)和N(μ2，σ)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示．则下列说法正确的是________．
①μ1<μ2，σ1<σ2；
②μ1<μ2，σ1>σ2；
③μ1>μ2，σ1<σ2；
④μ1>μ2，σ1>σ2.
解析：当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“扁平”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“尖陡”，表示总体的分布越集中，这个性质可直接判断．由正态曲线性质知μ1<μ2，σ1<σ2.
答案：①
4．标准正态分布N(0，1)在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率分别为p1，p2，则p1与p2的大小关系为________．
解析：根据正态曲线的特点，关于x＝0对称，故在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率相等，即p1＝p2.
答案：p1＝p2
[例3] 若随机变量X～N(0，1)，查标准正态分布表，求：
(1)P(X≤1.26)；(2)P(X>1.26)；
(3)P(0.51[思路点拨] 借助正态密度曲线的性质将问题转化为P(X≤m)的形式，然后查标准正态分布表求值．
[精解详析] (1)P(X≤1.26)＝0.896 2.
(2)P(X>1.26)＝1－P(X≤1.26)
＝1－0.896 2＝0.103 8.
(3)P(0.51(4)P(X<－2.1)＝P(X>2.1)＝1－P(X≤2.1)＝1－0.982 1＝0.017 9.
[一点通] 由于标准正态分布表是针对X≥0设计的，若X<0，则须转换再查表，在查表前，可画个草图将所求的概率进行转化，然后再查表．
5．已知随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，若P(X>8)＝0.4则P(X<0)＝________．
解析：∵随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，μ＝4，P(X>8)＝0.4，∴P(X<0)＝P(X>8)＝0.4.
答案：0.4
6．已知X～N(3，σ2)，若P(X≤2)＝0.2，则P(X≤4)等于________．
解析：由正态分布知识，因为X～N(3，σ2)，
所以P(X≤3)＝0.5，P(X≤2)＝0.2＝P(X>4)，
所以P(X≤4)＝1－P(X>4)＝1－0.2＝0.8.
答案：0.8
1．求随机变量的正态密度函数时，只需求出μ σ即可，也就是求出样本的均值及标准差．
2．在利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称性．
课下能力提升(十七)
一、填空题
1．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体均值为________．
解析：正态曲线关于直线x＝μ对称，
当曲线关于y轴对称时，说明μ＝0.
答案：0
2．设随机变量X～N(1，4)，若P(X≥a＋b)＝P(X≤a－b)，则实数a的值为________．
解析：∵P(X≥a＋b)＝P(X≤a－b)，
∴＝1.∴a＝1.
答案：1
3．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，若P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝________．
解析：∵随机变量X服从标准正态分布N(0，σ2)，
∴正态曲线关于直线x＝0对称，又P(X＞2)＝0.023.
∴P(X＜－2)＝0.023.
∴P(－2≤X≤2)＝1－2×0.023＝0.954.
答案：0.954
4. 右图是三个正态分布X～N(0，0.25)，Y～N(0，1)，Z～N(0，4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的________、________、________．
解析：在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”．
答案：① ② ③
5．某中学有1 000人参加高考并且数学成绩近似地服从正态分布N(100，102)，则此校数学成绩在120分以上的考生人数约为________(φ(2)≈0.977)．
解析：用X表示此中学数学高考成绩，
则X～N(100，102)，
∴P(X>120)＝1－P(X≤120)＝1－φ≈0.023，
∴120分以上的考生人数约为1 000×0.023＝23.
答案：23
二、解答题
6．如图为某地成年男性体重的正态分布密度曲线图，试根据图象写出其正态分布密度函数，并求出随机变量的均值与方差．
解：由图易知，该正态曲线关于x＝72对称，最大值为，所以μ＝72.再＝得σ＝10，
于是概率密度函数的解析式是
f(x)＝·e，x∈(－∞，＋∞)．
总体随机变量的均值是μ＝72，方差是σ2＝100.
7．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60，100)，已知成绩在90分以上的学生有13人．
(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？
(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？
解：设学生的得分情况为随机变量X，X～N(60，100)．
则μ＝60，σ＝10.
(1)P(30∴P(X>90)＝[1－P(30∴学生总数为：＝10 000(人)．
(2)成绩排在前228名的学生数占总数的0.022 8.
设分数线为x.
则P(X≥x0)＝0.022 8.
∴P(120－x0又知P(60－2×10∴x＝60＋2×10＝80(分)．
即受奖学生的分数线是80分．
8．若随机变量X～N(0，1)，查表求：
(1)P(0(3)P(|X|<0.5)．
解：(1)P(0＝0.989 6－0.5＝0.489 6.
(2)P(－1.38≤X<0)＝P(0＝P(X≤1.38)－P(X≤0)
＝0.916 2－0.5＝0.416 2.
(3)P(|X|<0.5)＝P(－0.5＝P(－0.5＝2P(0＝2[P(X<0.5)－P(X≤0)]
＝2(0.691 5－0.5)
＝2×0.191 5＝0.383 0.
第2章 概率
一、事件概率的求法
1．条件概率的求法
(1)利用定义，分别求出P(B)和P(AB)，解得P(A|B)＝.
(2)借助古典概型公式，先求事件B包含的基本事件数n，再在事件B发生的条件下求事件A包含的基本事件数m，得P(A|B)＝.
2．相互独立事件的概率
若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)．
3．n次独立重复试验
在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为Pn(k)＝Cpkqn－k，k＝0，1，2，…，n，q＝1－p.
二、随机变量的概率分布
1．求离散型随机变量的概率分布的步骤
(1)明确随机变量X取哪些值；
(2)计算随机变量X取每一个值时的概率；
(3)将结果用二维表格形式给出．计算概率时注意结合排列与组合知识．
2．两种常见的概率分布
(1)超几何分布
若一个随机变量X的分布列为P(X＝r)＝，其中r＝0，1，2，3，…，l，l＝min(n，M)，则称X服从超几何分布．
(2)二项分布
若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Cpkqn－k，其中0三、离散型随机变量的均值与方差
1．若离散型随机变量X的概率分布为：
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
则E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn，
V(X)＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn.
2．当X～H(n，M，N)时，
E(X)＝，V(X)＝.
3．当X～B(n，p)时，E(X)＝np，V(X)＝np(1－p)．
(考试时间：120分钟 试卷总分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．已知离散型随机变量X的概率分布如下：
X
1
2
3
P
k
2k
3k
则E(X)＝________．
解析：∵k＋2k＋3k＝1，∴k＝，∴E(X)＝1×＋2×＋3×＝＝.
答案：
2．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)＝________．
解析：P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝.
答案：
3．某同学通过计算机测试的概率为，则他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为________．
解析：连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为P＝C＝3××＝.
答案：
4．已知随机变量X分布列为P(X＝k)＝a·(k＝1，2，3)，则a＝________．
解析：依题意得a＝1，解得a＝.
答案：
5．已知甲投球命中的概率是，乙投球命中的概率是.假设他们投球命中与否相互之间没有影响．如果甲、乙各投球1次，则恰有1人投球命中的概率为________．
解析：记“甲投球1次命中”为事件A，“乙投球1次命中”为事件B.根据互斥事件的概率公式和相互独立事件的概率公式，所求的概率为
P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝×＋×＝.
答案：
6．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)，若X在区间(0，1)内取值的概率为0.4，则X在区间(0，2)内取值的概率是________．
解析：∵X～N(1，σ2)，∴P(0＜X＜1)＝P(1＜X＜2)，∴P(0＜X＜2)＝2P(0＜X＜1)＝2×0.4＝0.8.
答案：0.8
7．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A＝{两个点数都不相同}，B＝{出现一个3点}，则P(B|A)＝________.
解析：若两个点都不相同，则有(1，2)，(1，3)，…，(1，6)，(2，1)，(2，3)，…，(2，6)，…，(6，1)，…，(6，5)．共计6×5＝30种结果．“出现一个3点”含有10种．∴P(B|A)＝＝.
答案：
8．袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数X的数学期望E(X)＝________．
解析：由题得X所取得的值为0或2，其中X＝0表示取得的球为两个黑球，X＝2表示取得的球为一黑一红，所以P(X＝0)＝＝，P(X＝2)＝＝，故E(X)＝0×＋2×＝1.
答案：1
9．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p，若此人未能通过的科目数X的均值是2，则p＝________．
解析：因为通过各科考试的概率为p，所以不能通过考试的概率为1－p，易知X～B(6，1－p)，
所以E(X)＝6(1－p)＝2.解得p＝.
答案：
10．若X～B(n，p)，且E(X)＝2.4，V(X)＝1.44，则n＝________，p＝________．
解析：∵E(X)＝2.4，V(X)＝1.44，
∴∴
答案：6 0.4
11．甲、乙两人投篮，投中的概率各为0.6，0.7，两人各投2次，两人投中次数相等的概率为________．
解析：所求概率为4×0.6×0.4×0.7×0.3＋0.62×0.72＋0.42×0.32＝0.392 4.
答案：0.392 4
12．甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，则甲回家途中遇红灯次数的均值为________．
解析：设甲在回家途中遇红灯次数为X，则X～B，所以E(X)＝3×＝.
答案：
13. 荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示，假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是________．
解析：青蛙跳三次要回到A只有两条途径：
第一条：按A→B→C→A，P1＝××＝；第二条，按A→C→B→A，P2＝××＝.
所以跳三次之后停在A叶上的概率为P＝P1＋P2＝＋＝.
答案：
14．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴左侧，其中a，b，c∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，在抛物线中，记随机变量X＝“|a－b|的取值”，则X的均值E(X)＝________.
解析：对称轴在y轴左侧(ab＞0)的抛物线有2CCC＝126条，X可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
答案：
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：
(1)第1次抽到理科题的概率；
(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；
(3)第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．
解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件A∩B.
(1)P(A)＝＝＝.
(2)P(A∩B)＝＝＝.
(3)P(B|A)＝＝＝.
16．(本小题满分14分)袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验．
(1)若直到取到新球为止，求抽取次数X的概率分布列及其均值；
(2)若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X的均值．
解：(1)X的可能取值为1，2，3，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
故抽取次数X的概率分布为
X
1
2
3
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
(2)每次检验取到新球的概率均为，故X～B，所以E(X)＝5×＝3.
17．(本小题满分14分)甲、乙、丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意．最终，商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上则甲得一分，乙得零分，反面朝上则乙得一分甲得零分，先得4分者获胜，三人均执行胜者的提议．记所需抛币次数为X.
(1)求X＝6的概率；
(2)求X的概率分布和均值．
解：(1)P(X＝6)＝2×C×××＝.
(2)由题意知，X可能取值为4，5，6，7，P(X＝4)＝2×C×＝，
P(X＝5)＝2×C×××＝，P(X＝6)＝，P(X＝7)＝2×C×××＝，
故X的概率分布为
X
4
5
6
7
P
所以E(X)＝4×＋5×＋6×＋7×＝.
18．(本小题满分16分)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．求X的概率分布、均值和方差．
解：由题意，得X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝＝.
故X的概率分布为：
X
0
1
2
3
4
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.
V(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
19．(本小题满分16分)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的概率分布和均值．
解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝＝.
所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.
(2)随机变量X的所有可能值为0，1，2，3.P(X＝r)＝(r＝0，1，2，3)．
所以，随机变量X的分布列是
X
0
1
2
3
P
随机变量X的均值E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
20．(本小题满分16分)(北京高考)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：
场次
投篮次数
命中次数
场次
投篮次数
命中次数
主场1
22
12
客场1
18
8
主场2
15
12
客场2
13
12
主场3
12
8
客场3
21
7
主场4
23
8
客场4
18
15
主场5
24
20
客场5
25
12
(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；
(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；
(3)记x为表中10个命中次数的平均数．从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数．比较E(X)与x的大小．(只需写出结论)
解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.
(2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，
事件B为“在随机选择的一场客观比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，
事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．
则C＝AB∪AB，A，B独立．
根据投篮统计数据，P(A)＝，P(B)＝.P(C)＝(AB)＋P(AB)＝×＋×＝.
所以在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为.
(3)E(X)＝x.
