26.1.2 第1课时 反比例函数的图象和性质
一、选择题
1．若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是( )
A．0 B．1 C．2 D．以上都不正确
2．下列给出的函数中，其图象是中心对称图形的是( )
①函数y＝x；②函数y＝x2；③函数y＝.
A．①② B．②③
C．①③ D．都不是
3．反比例函数y＝的图象在( )
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
4．2017·兴安盟下列关于反比例函数y＝－的说法正确的是( )
A．y随x的增大而增大
B．函数图象过点(2，)
C．函数图象位于第一、三象限
D．当x>0时，y随x的增大而增大
5．反比例函数y＝的图象大致是( )
图K－2－1
6．2018·威海若点(－2，y1)，(－1，y2)，(3，y3)都在双曲线y＝(k＜0)上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1
C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
7．已知y＝(m＋1)xm2－5是关于x的反比例函数，在每个象限内，y随x的增大而增大，则m的值是( )
A．2 B．－2 C．±2 D．－
8．2017·永州在同一平面直角坐标系中，函数y＝x＋k与y＝(k为常数，k≠0)的图象大致是( )
图K－2－2
9．2017·枣庄如图K－2－3，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为(－3，4)，顶点C在x轴的负半轴上，函数y＝(x<0)的图象经过顶点B，则k的值为( )
图K－2－3
A．－12 B．－27 C．－32 D．－36
10．2017·河北如图K－2－4，若抛物线y＝－x2＋3与x轴围成的封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k，则反比例函数y＝(x＞0)的图象是( )
图K－2－4
图K－2－5
二、填空题
11．2018·南京已知反比例函数y＝的图象经过点(－3，－1)，则k＝________．
12．2017·上海如果反比例函数y＝(k是常数，k≠0)的图象经过点(2，3)，那么在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x值的增大而________．(填“增大”或“减小”)
13．2017·新疆生产建设兵团如图K－2－6，它是反比例函数y＝的图象的一支，根据图象可知常数m的取值范围是________．
图K－2－6
14．已知点(m－1，y1)，(m－3，y2)是反比例函数y＝(m<0)的图象上的两点，则y1________y2(填“>”“＝”或“<”)
15．2017·南宁对于函数y＝，当函数值y＜－1时，自变量x的取值范围是________．
三、解答题
16．作出函数y＝的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)当x＝－2时，求y的值；
(2)当2＜y＜3时，求x的取值范围；
(3)当－3＜x＜2时，求y的取值范围．
17．已知圆柱体的体积不变，当它的高h＝12.5 cm时，底面积S＝20 cm2.
(1)求S与h之间的函数解析式；
(2)画出函数图象；
(3)当圆柱体的高为5 cm，7 cm时，比较底面积S的大小．
18.数形结合思想
[探究函数y＝x＋的图象与性质]
(1)函数y＝x＋的自变量x的取值范围是________；
(2)下列四个函数图象中，函数y＝x＋的图象大致是________；
图K－2－7
(3)对于函数y＝x＋，求当x＞0时，y的取值范围．
请将下列求解过程补充完整．
解：∵x＞0，
∴y＝x＋＝()2＋()2＝(－)2＋________.
∵(－)2≥0，
∴y≥________．
[拓展运用]
(4)已知函数y＝，则y的取值范围是多少？
详解详析
1．A
2．[解析] C 根据中心对称图形的定义可知函数①③的图象是中心对称图形．
故选C.
3．[解析] B [解析] ∵反比例函数y＝中，k＝2＞0，∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限．
4．[解析] D A．反比例函数y＝－，在每个象限内，y随x的增大而增大，故此选项错误；
B．函数图象过点(2，－)，故此选项错误；
C．函数图象位于第二、四象限，故此选项错误；
D．当x>0时，y随x的增大而增大，故此选项正确．
故选D.
5．[解析] D ∵k2＋1＞0，∴反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限．
故选D.
6．[解析] D 如图，反比例函数y＝(k＜0)的图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，而－2＜－1＜0＜3，∴y3＜y1＜y2.故选D.
7．[解析] B 依题意，得解得m＝－2.
8．[解析] B 选项A中，由一次函数y＝x＋k的图象知k<0，由反比例函数y＝的图象知k>0，矛盾，所以选项A错误；选项B中，由一次函数y＝x＋k的图象知k>0，由反比例函数y＝的图象知k>0，正确，所以选项B正确；由一次函数y＝x＋k知，其图象从左到右上升，所以选项C，D错误．
9．[解析] C ∵A(－3，4)，∴OA＝＝5.∵四边形OABC是菱形，∴AO＝CB＝OC＝AB＝5，则点B的横坐标为－3－5＝－8，故点B的坐标为(－8，4)，将点B的坐标代入y＝，得4＝，解得k＝－32.故选C.
10．[解析] D 抛物线y＝－x2＋3中，当y＝0时，x＝±；当x＝0时，y＝3.
则抛物线y＝－x2＋3与x轴围成的封闭区域(边界除外)内的整点(点的横、纵坐标都是整数)有点(－1，1)，(0，1)，(0，2)，(1，1)，共4个，∴k＝4.故选D.
11．[答案] 3
[解析] ∵反比例函数y＝的图象经过点(－3，－1)，∴－1＝，解得k＝3.
故答案为3.
12．[答案] 减小
[解析] ∵反比例函数y＝(k是常数，k≠0)的图象经过点(2，3)，
∴k＝2×3＝6＞0，
∴在这个函数图象所在的每个象限内，y的值随x值的增大而减小．
故答案为：减小．
13．[答案] m＞5
[解析] 根据反比例函数y＝的性质“当k＞0时，反比例函数y＝的图象在第一、三象限”，得m－5＞0，解得m＞5.
14．>
15．[答案] －2[解析] ∵当y＝－1时，x＝－2，
∴当函数值y＜－1时，－2＜x＜0.
故答案为：－2＜x＜0.
16．解：所作图象如图所示．(1)当x＝－2时，
y＝＝－6.
(2)当y＝2时，x＝＝6；当y＝3时，x＝＝4.
故当2＜y＜3时，x的取值范围是4＜x＜6.
(3)当x＝－3时，y＝＝－4；当x＝2时，y＝＝6.故当－3＜x＜2时，y的取值范围是y＜－4或y＞6.
17．[解析] (1)由圆柱体体积＝圆柱体的底面积×高，可知S与h之间的函数解析式；(2)依据画反比例函数图象的步骤作图；(3)由反比例函数在第一象限的增减性来判断．
解：(1)∵当圆柱体的体积不变时，它的底面积S与高h成反比例，∴可设S＝(V≠0)．
将h＝12.5和S＝20代入上式，得20＝，
解得V＝250.
∴S与h之间的函数解析式为S＝(h＞0)．
(2)∵h＞0，故可列表如下：
h 10 12 15 16 20 25
S 25 20 16 15 12 10
根据表中数据描点并连线，如图，即得函数S＝(h>0)的图象．
(3)∵反比例函数在第一象限内S随h的增大而减小，∴当圆柱体的高为5 cm时的底面积大于高为7 cm时的底面积．
[点评] 对于反比例函数y＝(k为常数，k≠0)来说，x的取值范围是不等于0的一切实数，因此反比例函数的图象是由两部分(对应自变量的取值范围分别为x>0和x<0)组成的．但是当反比例函数被赋予了一定的实际意义时，自变量的取值范围应使实际问题有意义，如本题中h的取值范围是 h＞0，故画图象时只能画出第一象限的部分，应特别注意这一点．
18.
解：(1)x≠0 (2)C
(3)∵x＞0，
∴y＝x＋＝()2＋()2＝(－)2＋4.
∵(－)2≥0，∴y≥4.
故答案为4，4.
(4)①当x＞0时，y＝＝x＋－5＝()2＋()2－5＝(－)2＋1.
∵(－)2≥0，∴y≥1；
②当x＜0时，y＝＝x＋－5＝－＝－(－)2－11.
∵－(－)2≤0，
∴y≤－11.
故y的取值范围是y≥1或y≤－11.
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26.1.2 第2课时 反比例函数的性质的应用
一、选择题
1．对于反比例函数y＝－的图象的对称性，下列叙述错误的是( )
A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于直线y＝－x对称 D．关于x轴对称
2．位于第一象限的点E在反比例函数y＝的图象上，点F在x轴的正半轴上，O是坐标原点．若EO＝EF，△EOF的面积等于2，则k的值为( )
A．4 B．2 C．1 D．－2
3．点P在反比例函数y＝－的图象上，过点P分别作两坐标轴的垂线段PM，PN，则四边形OMPN的面积为( )
A. B．2 C．2 D．1
4．如图K－3－1，过反比例函数y＝(x＞0)的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB＝2，则k的值为( )
图K－3－1
A．2 B．3 C．4 D．5
5．以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图K－3－2所示的平面直角坐标系，双曲线y＝经过点D，则正方形ABCD的面积是( )
图K－3－2
A．10 B．11 C．12 D．13
6．如图K－3－3，边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数y＝与y＝－的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中阴影部分的面积之和是( )
图K－3－3
A．2 B．4 C．6 D．8
7．如图K－3－4，在直角坐标系中，点A在函数y＝(x＞0)的图象上，AB⊥x轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数y＝(x＞0)的图象交于点D，连接AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积等于( )
图K－3－4
A．2 B．2
C．4 D．4
二、填空题
8．若点A(－2，3)，B(m，－6)都在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，则m的值是________．
9．已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的图象的一个交点的坐标为(1，3)，则另一个交点的坐标是________．
10．如图K－3－5，A，B是双曲线y＝上的两点，分别过点A，B作x轴和y轴的垂线段．若图中阴影部分的面积为2，则两个空白矩形面积的和为________.
图K－3－5
11.如图K－3－6，直线y＝ax与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点A(1，2)，则不等式ax＞的解集是________．
图K－3－6
12．2017·铁岭如图K－3－7，菱形ABCD的面积为6，边AD在x轴上，边BC的中点E在y轴上，反比例函数y＝的图象经过顶点B，则k的值为________．
图K－3－7
三、解答题
13．2017·湘潭已知反比例函数y＝的图象过点A(3，1)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若一次函数y＝ax＋6(a≠0)的图象与反比例函数的图象只有一个交点，求一次函数的解析式．
14．2018·青岛如图K－3－8，已知反比例函数的图象经过三个点A(－4，－3)，B(2m，y1)，C(6m，y2)，其中m>0.
(1)当y1－y2＝4时，求m的值；
(2)过点B，C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若△PBD的面积是8，请写出点P的坐标(不需要写解答过程)．
图K－3－8
15．2017·成都如图K－3－9，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象交于A(a，－2)，B两点．
(1)求反比例函数的解析式和点B的坐标；
(2)P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．
图K－3－9
16. 转化思想在平面直角坐标系中，已知点A(，1)，B(2，0)，O(0，0)，反比例函数y＝的图象经过点A.
(1)求k的值；
(2)将△AOB绕点O逆时针旋转60°，得到△COD，其中点A与点C对应，点B与点D对应，试判断点D是否在该反比例函数的图象上．
详解详析
1．[解析] D ∵双曲线y＝－的两个分支分别在第二、四象限，∴两个分支关于原点对称，关于直线y＝x对称，故A，B选项正确．此双曲线的每一个分支关于直线y＝－x对称，故C选项正确．只有选项D错误．故选D.
2．[解析] B 设点E的坐标为(x，y)．因为位于第一象限的点E在反比例函数y＝的图象上，点F在x轴的正半轴上，O是坐标原点，EO＝EF，△EOF的面积等于2，所以×2xy＝2，解得xy＝2，所以k＝2.
3．[解析] C ∵点P在反比例函数y＝－的图象上，∴过点P分别作坐标轴的垂线段PM，PN，所得四边形OMPN的面积为|－2 |＝2 .
4．[解析] C ∵点A是反比例函数y＝图象上一点，且AB⊥x轴于点B，∴S△AOB＝|k|＝2，解得k＝±4.∵反比例函数的图象在第一象限，∴k＝4.故选C.
5．[解析] C ∵双曲线y＝经过点D，∴第一象限内的小正方形的面积是3，∴正方形ABCD的面积是3×4＝12.
6．[解析] D 阴影部分的面积是4×2＝8.故选D.
7．[解析] C 设A(a，)，可求出D(2a，)，由于四边形ACBD的对角线互相垂直，计算对角线乘积的一半即可．
设A(a，)，可求出D(2a，)，
∵AB⊥CD，
∴S四边形ACBD＝AB·CD＝××2a＝4.
故选C.
8．[答案] 1
[解析] ∵点A(－2，3)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，∴k＝－2×3＝－6.
∵点B(m，－6)也在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，
∴k＝－6＝－6m，解得m＝1.
9．[答案] (－1，－3)
[解析] ∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，
∴另一个交点的坐标与点(1，3)关于原点对称，
∴该点的坐标为(－1，－3)．
10．[答案] 8
[解析] ∵点A，B是双曲线y＝上的点，
∴S矩形ACOG＝S矩形BEOF＝6.
∵S阴影DGOF＝2，
∴S矩形ACFD＋S矩形BDGE＝6＋6－2－2＝8.
11．[答案] x＞1
[解析] ∵直线y＝ax与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点A(1，2)，
∴由图象得不等式ax＞的解集是x＞1.
故答案为：x＞1.
12．[答案] 3
[解析] 在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，AB＝2BE，∴∠EAB＝30°.设BE＝a，则AB＝2a，OE＝a，由题意得2a·a＝6，∴a2＝，∴k＝a2＝3.
故答案为3.
13．解：(1)把A(3，1)代入反比例函数解析式y＝，得1＝，解得k＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝.
(2)∵一次函数y＝ax＋6(a≠0)的图象与反比例函数y＝的图象只有一个交点，
∴只有一组解，
即ax2＋6x－3＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝62－4a×(－3)＝0，
解得a＝－3，
∴一次函数的解析式为y＝－3x＋6.
14．解：(1)设反比例函数的解析式为y＝，将A(－4，－3)代入得k＝12，∴y＝.
∵y1－y2＝4，∴－＝4，解得m＝1.
经检验，m＝1是原方程的解．
故m的值为1.
(2)P1(－2，0)，P2(6，0)．
理由：由(1)得B(2，6)，C(6，2)，
∴D(2，2)，BD＝4.
设点P的坐标为(a，0)，
∵△PBD的面积是8，∴×|a－2|×4＝8，
解得a＝－2或a＝6，∴P1(－2，0)，P2(6，0)．
15．[解析] (1)把A(a，－2)代入y＝x，可得A(－4，－2)，把A(－4，－2)代入y＝，可得反比例函数的解析式为y＝，再根据点B与点A关于原点对称，即可得到点B的坐标；
(2)过点P作PE⊥x轴于点E，交AB于点C，先设P(m，)，则C(m，m)，根据△POC的面积为3，可得方程m×＝3，求得
m的值，即可得到点P的坐标．
解：(1)把A(a，－2)代入y＝x，可得a＝－4，
∴A(－4，－2)．
把A(－4，－2)代入y＝，可得k＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝.
∵点B与点A关于原点对称，
∴B(4，2)．
(2)如图所示，过点P作PE⊥x轴于点E，交AB于点C，连接OP.
设P(m，)，则C(m，m)．
∵△POC的面积为3，
∴m×＝3，
解得m＝2 或2，
∴点P的坐标为(2 ， )或(2，4)．
16.解：(1)∵反比例函数y＝的图象经过点A(，1)，∴1＝，解得k＝.
(2)∵B(2，0)，
∴OB＝2.
又∵△AOB绕点O逆时针旋转60°得到△COD，∴OD＝OB＝2，∠BOD＝60°.
如图所示，过点D作DE⊥x轴于点E.
在Rt△DOE中，OE＝1，DE＝，
∴点D的坐标是(1，)．
由(1)知，反比例函数的解析式为y＝，当x＝1时，y＝，
∴点D(1，)在该反比例函数的图象上．
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