26.2 第1课时 反比例函数在日常生活中的应用
一、填空题
1．李老师参加了某电脑公司推出的分期付款(无利息)购买电脑活动，他购买的电脑价格为9800元，交了首付之后每月付款y元，x个月结清余款，y与x满足如图K－4－4的函数解析式，通过以上信息可知李老师的首付款为________．
图K－4－4
2．为预防“手足口病”，某学校对教室进行“药熏消毒”．消毒期间，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(分)的函数关系如图K－4－5所示．已知药物燃烧阶段，y与x成正比例，燃烧完后，y与x成反比例．现测得药物10分钟燃烧完，此时教室内每立方米空气的含药量为8 mg.当每立方米空气中的含药量低于1.6 mg时，对人体才能无毒害作用．那么从消毒开始，经过________分钟后教室内的空气才能达到安全要求．
图K－4－5
二、选择题
3．为了更好地保护水资源，造福人类，某工厂计划建一个容积V(m3)一定的污水处理池，池的底面积S(m2)与其深度h(m)满足解析式：V＝Sh(V≠0)，则S关于h的函数图象大致是( )
图K－4－1
4．某学校要种植一块面积为100 m2的长方形草坪，要求相邻两边长均不小于5 m，则草坪的一边长y(单位：m)随与其相邻的一边长x(单位：m)的变化而变化的图象可能是( )
图K－4－2
5．某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y(单位：公顷)与总人口数x(单位：人)的函数图象如图K－4－3所示，则下列说法正确的是( )
图K－4－3
A．该村人均耕地面积随总人口数的增多而增多
B．该村人均耕地面积y与总人口数x成正比例
C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口数为100人
D．当该村总人口数为50人时，人均耕地面积为1公顷
三、解答题
6．湖州市菱湖镇某养鱼专业户准备挖一个面积为2000平方米的长方形鱼塘．
(1)求鱼塘的长y(米)关于宽x(米)的函数解析式；
(2)由于受场地的限制，鱼塘的宽最多只能挖20米，当鱼塘的宽是20米时，鱼塘的长是多少米？
7．将油箱注满k升油后，轿车可行驶的总路程s(单位：千米)与平均耗油量a(单位：升/千米)之间是反比例函数关系s＝(k是常数，k≠0)．已知某轿车油箱注满油后，当平均耗油量为0.1升/千米时，可行驶700千米．
(1)求该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数解析式；
(2)当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？
8．某地上年度电价为0.8元/度，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55～0.75元/度之间，经测算，若电价调至x元/度，则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0.4)成反比例．又知当x＝0.65时，y＝0.8.
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]
9．2017·丽水丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售．记汽车的行驶时间为t小时，平均速度为v千米/时(汽车行驶速度不超过100千米/时)．根据经验，v，t的一组对应值如下表：
v(千米/时) 75 80 85 90 95
t(时) 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16
(1)根据表中的数据，求出平均速度v(千米/时)关于行驶时间t(时)的函数解析式；
(2)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由；
(3)若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范围．
化归思想2017·黄冈月电科技有限公司投入160万元作为新产品的研发费用，成10.功研制出一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为每件4元，在销售过程中发现，每年的年销售量y(万件)与销售价格x(元/件)的关系如图K－4－6所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为s(万元)．(注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计入下一年的成本)
(1)请求出y(万件)与x(元/件)之间的函数解析式；
(2)求出第一年这种电子产品的年利润s(万元)与x(元/件)之间的函数解析式，并求出第一年年利润的最大值；
(3)假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s(万元)取得最大值时的销售价格进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品的销售价格x(元/件)定在8元/件以上(x＞8)，当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润s(万元)与销售价格x(元/件)的函数图象，求销售价格x(元/件)的取值范围．
图K－4－6
详解详析
1．[答案] 3800元
[解析] 设反比例函数的解析式为y＝.
把(2，3000)代入解析式，得k＝2×3000＝6000，
则反比例函数的解析式为y＝.
当x＝1时，y＝6000，
∴李老师的首付款为9800－6000＝3800(元)．
2．[答案] 50
[解析] 设药物燃烧后y与x之间的函数解析式为y＝.
把(10，8)代入y＝，得8＝，
解得k＝80，
所以y关于x的函数解析式为y＝.
当y＝1.6时，由y＝得x＝50，
所以经过50分钟后教室内的空气才能达到安全要求．
3．C
4．[解析] C 由题意得y＝，由相邻两边长均不小于5 m，可得5≤x≤20，符合题意的图象只有C选项．
5．D
6．解：(1)由长方形鱼塘的面积为2000平方米，得到xy＝2000，即y＝.
(2)当x＝20时，y＝＝100.
答：当鱼塘的宽是20米时，鱼塘的长是100米．
7．解：(1)把a＝0.1，s＝700代入s＝，得700＝
，解得k＝70.
∴该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数解析式为s＝.
(2)把a＝0.08代入s＝，
得s＝875.
答：当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶875千米．
8．解：(1)∵本年度新增用电量y(亿度)与(x－0.4)成反比例关系，
∴设y＝(k为常数，且k≠0)．
∵当电价为0.65元/度时，新增用电量是0.8亿度，
∴0.8＝，
解得k＝0.2，
∴y＝＝.
(2)设当电价调至x元/度时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.
根据题意，得(0.8－0.3)×1×(1＋20%)＝(＋1)(x－0.3)，
解得x＝0.6或x＝0.5(舍去)．
故若每度电的成本价为0.3元，则当电价调至0.6元/度时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.
9．[解析] (1)把表中v，t的每一组对应值分别作为点的坐标在平面直角坐标系中描点，根据这些点的变化规律选用合适的函数模型(本题选用反比例函数模型)进行尝试，将v，t的一组对应值代入确定反比例函数解析式，并用表中v，t其他组对应值进行验证；(2)由题意先确定t＝2.5，代入函数解析式求得v的值，并与100千米/时进行比较即可；(3)根据反比例函数的图象或性质，由自变量的取值范围可确定反比例函数值的取值范围．
解：(1)根据表中的数据，可画出v关于t的函数图象(如图所示)．
根据图象形状，选择反比例函数模型进行尝试．设v关于t的函数解析式为v＝，
∵当v＝75时，t＝4，
∴k＝4×75＝300.
∴v＝.
将点(3.75，80)，(3.53，85)，(3.33，90)，(3.16，95)的坐标代入v＝，
验证：＝3.75，≈3.53，≈3.33，≈3.16，
∴v关于t的函数解析式是v＝(t≥3)．
(2)不能．理由：∵10－7.5＝2.5，∴当t＝2.5时，v＝＝120>100.
∴汽车上午7：30从丽水出发，不能在上午10：00之前到达杭州市场．
(3)由图象或反比例函数的性质得，
当3.5≤t≤4时，75≤v≤.
即平均速度v的取值范围是75≤v≤.
10.[解析] (1)根据待定系数法，即可求出y(万件)与x(元/件)之间的函数解析式；
(2)分两种情况进行讨论，当x＝8时，s最大值＝－80；当x＝16时，s最大值＝－16；
根据－16＞－80，可得当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为－16万元．
(3)根据第二年的年利润s＝(x－4)(－x＋28)－16＝－x2＋32x－128，
令s＝103，可得方程103＝－x2＋32x－128.解得x1＝11，x2＝21，然后在平面直角坐标系中，画出s与x的函数图象，根据图象即可得出销售价格x(元/件)的取值范围．
解：(1)当4≤x≤8时，设y＝，
将(4，40)代入y＝，得k＝4×40＝160，
∴y与x之间的函数解析式为y＝(4≤x≤8)；
当8＜x≤28时，设y＝k′x＋b，将(8，20)，(28，0)代入y＝k′x＋b，得
解得
∴y与x之间的函数解析式为y＝－x＋28(8综上所述，y＝
(2)当4≤x≤8时，s＝(x－4)y－160＝(x－4)·－160＝－.
∵当4≤x≤8时，s随着x的增大而增大，
∴当x＝8时，s最大值＝－＝－80；
当8＜x≤28时，s＝(x－4)y－160＝(x－4)·(－x＋28)－160＝－(x－16)2－16，
∴当x＝16时，s最大值＝－16.
∵－16＞－80，
∴第一年年利润的最大值为－16万元．
(3)∵第一年的年利润为－16万元，
∴16万元应作为第二年的成本．
又∵x＞8，
∴第二年的年利润s＝(x－4)(－x＋28)－16＝－x2＋32x－128，
令s＝103，则103＝－x2＋32x－128.
解得x1＝11，x2＝21.
在平面直角坐标系中，画出s与x的图象如下：
观察图象可知，当s≥103时，11≤x≤21，
∴当11≤x≤21时，第二年的年利润s不低于103万元．
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26.2 第2课时 反比例函数在物理学中的应用
一、选择题
1．一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图K－5－3所示，若以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10 A，则此用电器的可变电阻应( )
图K－5－3
A．不小于4.8 Ω
B．不大于4.8 Ω
C．不小于14 Ω
D．不大于14 Ω
2．教室里的饮水机接通电源后就进入自动程序，开机加热时，水的温度每分钟上升10 ℃，加热到100 ℃时，停止加热，水温开始下降，此时水温y(℃)与开机后用时x(min)成反比例关系．直至水温降至30 ℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30 ℃时，接通电源，则水温y(℃)和时间x(min)的关系如图K－5－4所示，为了在上午第一节下课时(8：25)能喝到温度不低于70 ℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的( )
图K－5－4
A．7：00 B．7：10 C．7：25 D．7：35
3．已知电流I(安培)、电压U(伏特)、电阻R(欧姆)之间的关系为I＝，当电压为定值时，I关于R的函数图象是( )
图K－5－1
4．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ(单位：kg/m3)与体积V(单位：m3)满足函数解析式ρ＝(m为常数，m≠0)，其图象如图K－5－2所示，则m的值为( )
图K－5－2
A．9 B．－9 C．4 D．－4
5．用电器的输出功率P与通过的电流I、用电器的电阻R之间的关系是P＝I2R，则下列说法正确的是( )
A．当P为定值时，I与R成反比例
B．当P为定值时，I2与R成反比例
C．当P为定值时，I与R成正比例
D．当P为定值时，I2与R成正比例
二、填空题
6. 收音机刻度盘的波长λ和频率f分别是用米和千赫兹为单位标刻的，波长λ和频率f满足解析式f＝，这说明波长λ越大，频率f就越________．
7．某人要用一根撬棒撬动一块大石头，已知阻力臂和阻力不变，分别为0.5米和1000牛，当动力臂l为2米时，撬动这块大石头需用的动力F为________．
8．在对物体做功一定的情况下，力F(牛)与此物体在力的方向上移动的距离s(米)成反比例函数关系，其图象如图K－5－5所示，则当力为20牛时，此物体在力的方向上移动的距离是________米．
图K－5－5
9. 一块长方体大理石板的A，B，C三个面的边长如图K－5－6所示，如果把大理石板的A面向下放在地上时，地面所受的压强为m帕，那么把大理石板B面向下放在地上时，地面所受的压强是________帕．
图K－5－6
三、解答题
10．暑假期间，喜欢探索的小明经过调查发现了近视眼镜的度数与镜片焦距的关系，列表如下：
眼镜度数y(度) 400 625 800 1000 … 1250
镜片焦距x(厘米) 25 16 12.5 10 … 8
(1)根据上表体现出来的规律，请写出眼镜度数y(度)与镜片焦距x(厘米)之间的函数解析式；
(2)若小明所戴眼镜的度数为500度，求该镜片的焦距．
11．家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，它的电阻R(kΩ)随温度T(℃)(在一定范围内)变化的大致图象如图K－5－7所示．通电后，发热材料的温度在由室温10 ℃上升到30 ℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到30 ℃时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度的升高而增加，温度每上升1 ℃，电阻增加 kΩ.
(1)求当10≤T≤30时，R和T之间的函数解析式；
(2)求当温度为30 ℃时，电阻R的值，并求出当T≥30时，R和T之间的函数解析式；
(3)家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过6 kΩ？
图K－5－7
12.数形结合思想近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其中含有CO.在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4 mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46 mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降，如图K－5－8.根据题中相关信息回答下列问题：
(1)求爆炸前后空气中CO的浓度y与时间x的函数解析式，并写出相应的自变量的取值范围；
(2)当空气中的CO浓度达到34 mg/L时，井下3 km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少千米/时的速度撤离才能在爆炸前逃生？
(3)矿工只有在空气中的CO浓度降到4 mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？
图K－5－8
详解详析
1．A
2．[解析] B ∵开机加热时，水的温度每分钟上升10 ℃，∴从30 ℃到100 ℃需要7 min，设一次函数的解析式为y＝k1x＋b，将(0，30)，(7，100)代入y＝k1x＋b，解得k1＝10，b＝30，
∴y＝10x＋30(0≤x≤7)．令y＝70，解得x＝4.设反比例函数的解析式为y＝.
将(7，100)代入y＝，解得k＝700，∴y＝.将y＝30代入y＝，解得x＝.
∴y＝(7≤x≤)，令y＝70，解得x＝10.
∴饮水机的一个循环周期为 min，每一个循环周期内，在4≤x≤10时间段内，水温不小于70 ℃.逐一分析各选项如下：A项，7：00至8：25之间有85 min，85－×3＝15，不在4≤x≤10时间段内，故不可行．B项，7：10至8：25之间有75 min，75－×3＝5，位于4≤x≤10时间段内，故可行．C项，7：25至8：25之间有60 min，60－×2＝≈13.3，不在4≤x≤10时间段内，故不可行．D项，7：35至8：25之间有50 min，50－×2＝≈3.3，不在4≤x≤10时间段内，故不可行．综上所述，四个选项中，唯有7：10符合题意．
3．[解析] C ∵I＝，电压为定值，
∴I关于R的函数是反比例函数，且图象在第一象限．
故选C.
4．A
5．[解析] B 由P＝I2R，得I2＝，所以当P为定值时，I2与R成反比例．
6．小
7.250牛
8.36
9．[答案] 3m
[解析] A面的面积为18，B面的面积为6.由于“压强＝压力÷受力面积”，即当压力一定时，压强与受力面积成反比例，故有18m÷6＝3m(帕)，所以B面向下放在地上时，地面所受的压强为3m帕．
10．解：(1)从表中不难发现：
400×25＝10000，800×12.5＝10000，
同样，625×16＝10000，1000×10＝10000，1250×8＝10000，可得xy＝10000，
故眼镜度数y(度)与镜片焦距x(厘米)之间的函数解析式为y＝(x>0)．
(2)当y＝500时，500＝，解得x＝20，
即该镜片的焦距为20厘米．
11．解：(1)∵温度在由室温10 ℃上升到30 ℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，
∴可设R和T之间的函数解析式为R＝.
将(10，6)代入上式，得6＝，解得k＝60.
故当10≤T≤30时，R＝.
(2)将T＝30代入R＝，得R＝＝2.
∴当温度为30 ℃时，电阻R为2 kΩ.
∵在温度达到30 ℃时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度的升高而增加，温度每上升1 ℃，电阻增加 kΩ，
∴当T≥30时，R＝2＋(T－30)＝T－6.
(3)把R＝6代入R＝T－6，得T＝45，
∴家用电灭蚊器在使用过程中，温度在10～45 ℃时，发热材料的电阻不超过6 kΩ.
12.解：(1)∵爆炸前CO的浓度呈直线型增加，
∴可设y与x的函数解析式为y＝k1x＋b.
由图象知直线y＝k1x＋b过点(0，4)与(7，46)，
∴解得
∴y＝6x＋4，此时自变量x的取值范围是0≤x≤7.
∵爆炸后CO的浓度成反比例下降，
∴可设y与x的函数解析式为y＝.
由图象知双曲线y＝过点(7，46)，
∴＝46，即k2＝322，
∴y＝，此时自变量x的取值范围是x＞7.
(2)将y＝34代入y＝6x＋4，得6x＋4＝34，
解得x＝5，
∴矿工撤离的最长时间为7－5＝2(h)，
∴矿工撤离的最小速度为3÷2＝1.5(km/h)．
答：他们至少要以1.5 km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生．
(3)将y＝4代入y＝，解得x＝80.5，
80．5－7＝73.5(h)．
答：矿工至少在爆炸后73.5 h才能下井．
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