一元二次方程根的分布专题（自制）高中数学教师欧阳文丰制作(共31张ppt)

二面角
高中数学教师欧阳文丰制作
1：零分布
（1）有两正根，（2）有两负根，（3）一正一负；
2：k分布
（1）有两个大于k的根，（2）有两个小于k的根，
（3）一个大于k，一个小于k；
（4）有一个根在区间(k1,k2)内；
（5）区间(k1,k2)内有两个根；
（6）区间(k1,k2)外有两个根；
（7）两根分别在区间 。
3：数形结合思想


一元二次方程根的分布类型
例：x2+（m-3)x+m=0 求满足下列条件的m的范围.

（1） 两个正根
解：(方法一常利用韦达定理和判别式来解)
{m|0一、一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根零分布
法二：可借助二次函数图象来研究求解(函数法）
解.设f(x)=x2+(m-3)x+m则:
一、一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根零分布
方程有两个正根
　　代数方法
方程两根都大于0
　　几何方法
结论
一、一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根零分布
变式练习： *1. 关于x的方程x2?ax+a2?4=0有两个正根，求实数a的取值范围。
答案：(a>2)

（2）有两个负根
解：法一
例：x2+（m-3)x+m=0 求满足下列条件的m的范围.
　代数方法
一、一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根零分布
法二：设f(x)=x2+(m-3)x+m则
几何方法
一、一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根零分布
2 方程有两个负根
方程有两个负根
　代数方法
几何方法
一、一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根零分布
变式练习： ?
*2. 若方程8x2+(m+1)x+m?7=0有两个负根，求实数m的取值范围。
答案：(m>7)
（3）：若方程有一个正根，一个负根且正根
的绝对值较大。
法一：代数法
问题 已知方程x?+(m–3)x+m=0，求实数m的
取值范围。
一、一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根零分布
（3）：若方程有一个正根，一个负根且正根
的绝对值较大。
如右图知
法二：几何法 设f(x)=x?+(m–3)x+m
问题 已知方程x?+(m–3)x+m=0，求实数m的
取值范围。
一、一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根零分布
　代数方法
几何方法
3、（1）方程有一正一负两个根，且负的绝对值大时
3、（2）方程有一正一负两个根，且正的绝对值大时
　代数方法
几何方法
3、（3）方程有一正一负两个根时
　代数方法
几何方法
一、一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根零分布
一、一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根零分布
1、 若一元二次方程 kx2+(2k-1)x+k-3=0 有一根为零，则另一根是正根还是负根？
变式练习
*3. 关于x的方程x2+ax+a?1=0，有异号的两个实根，求a的取值范围。
答案：(a<1)

（4） 两个根都小于1
二、一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根K分布
解:设f(x)=x2+(m-3)x+m则
例：x2+（m-3)x+m=0 求满足下列条件的m的范围.
4 .方程两根都小于m
方程两根都小于m
　代数方法
几何方法
二、一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根K分布

二、一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根K分布
解:设f(x)=x2+(m-3)x+m
例：x2+（m-3)x+m=0 求满足下列条件的m的范围.
方程两根都大于m
5.方程两根都大于m
　代数方法
几何方法
二、一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根K分布
（6） 一个根大于1，一个根小于1
二、一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根K分布
解:设f(x)=x2+(m-3)x+m则
f(1)=2m-2 <0
例：x2+（m-3)x+m=0 求满足下列条件的m的范围.
6. 方程一根大于m另一根小于m
方程一个根大于m另一根小于m
几何方法
代数方法
二、一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根K分布
2、关于x的方程2kx2?2x?3k?2=0有两个实根，一根大于1，另一个实根小于1，求k的取值范围。
3、设关于x的方程4x2?4(m+n)x+m2+n2=0有一个实根大于?1，另一个实根小于?1，则m,n必须满足什么关系。
三、一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根K分布
变式练习：
1．关于x的二次方程2x2+3x?5m=0有两个小于1的实根，求实数 m的取值范围。
（?9/40≤m<1）
（k0）
（(m+2)2+(n+2)2<4）
4、当k为何值时，关于x的方程x2+(k-1)x+k+2=0的两根都大于2？

（7） 两个根都在（0 , 2）内
三、一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根K分布
解:设f(x)=x2+(m-3)x+m则
例：x2+（m-3)x+m=0 求满足下列条件的m的范围.
7.方程两根都大于m且都小于n
即 两个根都在（m , n）内
三、一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根K分布
变式练习：
2.若方程x?–2mx+m–1=0在区间(–2，4)上有两根，
求实数m的取值范围。
1．实数m为何值时关于x的方程7x2?(m+13)x+m2?m?2=0的两个实根x1,x2满足0答案：（?2（8）：若方程的两个根有且仅有一个在( 0，2)内。
如右图知
分析 设f(x)=x?+(m–3)x+m
由于1，2，3知m的取值范围是
问题 已知方程x?+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
三、一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根K分布
8.方程两个不等的根，且只有一个根在(m,n)内：
三、一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根K分布
（9）：若方程的两个根都在（2，4）之外。
如右图知
分析 设f(x)=x?+(m–3)x+m
9、若方程的两个根都在（m，n）之外。
问题 已知方程x?+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
三、一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根K分布

（10）一个根在（-2 .0）内，另一个根在（0 . 4）内
三、一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根K分布
问题 已知方程x?+(m–3)x+m=0，求实数m的 取值范围。
10、若方程的两个根分别在（m，n）和(p,q)两个区间上。
变式练习：
1.若方程7x?–(m+13)x+m?–m–2=0在区间(0，1)、
(1，2)上各有一个实根，求实数m的取值范围。
2.若方程2x?–(m–2)x–2m?–m=0的两根在区间[0，1]
之外两旁，求实数m的取值范围。
三、一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根K分布
3．已知方程x2?mx+4=0在?1≤x≤1上有解，求实数m的取值范围。
注意：
③二次函数在实根分布界点处函数值的符号。
2、从一元二次方程实根所在的区间来看，可分两种情况处理。
(1)一元二次方程的两个实数根分布在同一个区间时,需要考虑：
①区间端点的函数值的符号；②对称轴的位置；③判别式的符号.
(2) 一元二次方程的两个实数根分布在不同的两个区间时,只需要考虑：区间端点的函数值的符号.
1、根据一元二次方程实数根的分布情况作出符合条件的二次函数图象,由图像的直观形象,写出代数表达式(不等式组),最后计算得到参数的去取值范围.
写代数表达式(不等式组)时,需从以下三个方面考虑：
1、一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a>0）的根零分布
C＝0
课堂小结
两个正根 两个负根
一正根
一负根
一根为零 一正一负，且负的绝对值大


2、一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根K分布
f(k)<0
课堂小结
两个根都小于k 两个根都大于k 一个根小于k,一个根大于k



两个根均在
(m，n)内
X1∈(m，n) ，
X2∈(p，q) 。
3、一元二次方程ax?+bx+c=0(a>0)的根K分布
两根均在[m，n]
外两旁
课堂小结



4、一元二次方程ax?+bx+c=0(a>0)的根K分布
两个根有且仅有一个在(m，n)内
课堂小结