23.2 解直角三角形及其应用课时作业（1）
文档属性
| 名称 | 23.2 解直角三角形及其应用课时作业（1） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-11-05 08:27:22 | ||
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文档简介
23.2 解直角三角形及其应用课时作业（1）
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题
如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（ ）
A．2+ B．2 C．3+ D．3
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（ ）
A． B．2 C．5 D．10
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB，垂足为D，若AC=，BC=2．则sin∠ACD的值为（）
A． B． C． D．
如图 ，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连结AC，若tanB＝，则tan∠CAD的值为 ( )
A. B. C. D.
如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则（ ）
A． S1=S2 B． S1=S2 C． S1=S2 D． S1=S2
如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，D是AC上一点．若tan∠DBA=，则AD的长为（ ）
A． 2 B． C． D． 1
如图，在?ABCD中，AB：AD=3：2，∠ADB=60°，那么cos∠A的值等于（）
A． B． C． D．
二、填空题
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，tanA=，则AB= ．
如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC=，AC=6，则BD的长是 ．
已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°,a－b=2，则c=________________.
△ABC中，AB=12，AC=，∠B=30°，则△ABC的面积是 ．
如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为 ．
如图，过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC，AB恰好平分∠DAC，AF平分∠EAC交BC的延长线于点F．在AF上取点M，使得AM=AF，连接CM并延长交直线DE于点H．若AC=2，△AMH的面积是，则的值是 ．
三、解答题
如图 ，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6 cm，
求AB、AD的长.
如图 ，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求sinC的值．
如图，在△ABC中，BC=12，tanA=，∠B=30°；求AC和AB的长．
如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB高应该设计为多少米（结果保留根号）？
如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC．
（1）求证：BE=AF；
（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积．
如图 ，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
(1)sin2A1＋sin2B1＝__ _；sin2A2＋sin2B2＝_ __；sin2A3＋sin2B3＝_ _；
(2)观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°.都有：sin2A＋sin2B＝__ __；
(3)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c；利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；
(4)已知：∠A＋∠B＝90°，且sinA＝，求sinB.
答案解析
一 、选择题
【考点】解直角三角形．
【分析】通过解直角△ABC得到AC与BC、AB间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求tan∠DAC的值．
解：如图，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，
∴AB=2AC，BC==AC．
∵BD=BA，
∴DC=BD+BC=（2+）AC，
∴tan∠DAC===2+．
故选：A．
【考点】解直角三角形．
【分析】设BC=x，由含30°角的直角三角形的性质得出AC=2BC=2x，求出AB=BC=x，根据题意得出AD=BC=x，AE=DE=AB=x，作EM⊥AD于M，由等腰三角形的性质得出AM=AD=x，在Rt△AEM中，由三角函数的定义即可得出结果．
解：如图所示：设BC=x，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，
∴AC=2BC=2x，AB=BC=x，
根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB=x，
作EM⊥AD于M，则AM=AD=x，
在Rt△AEM中，cos∠EAD===；
故选：B．
【考点】菱形的性质，勾股定理，解直角三角形
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，
∴∠AOB=90°，
∵BD=8，
∴OB=4，
∵tan∠ABD==，
∴AO=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB===5，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键．
【考点】 解直角三角形．
【分析】 先根据勾股定理列式求出AB的长，再根据同角的余角相等求出∠ACD=∠B，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=，BC=2，
∴AB===3，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴sin∠ACD=sin∠B==．
故选C．
【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，勾股定理，根据同角的余角相等求出∠ACD=∠B是解题的关键．
【考点】锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质
【分析】?延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，由tanB=，即$=，设AD=5k，则AB=3k，然后可证明△CDE∽△CAB然后相似三角形的对应边成比例可得：＝，进而可得DE＝AB＝k，从而可求tan∠CAD＝＝＝．
解：过点D作DE∥AB交AC于点E.
∵∠BAD＝90°，DE∥AB，
∴∠ADE＝90°，
∵tanB＝=，设AD＝5k，AB＝3k，
∵DE∥AB，
∴＝，DE＝AB＝k，
∴tan∠CAD＝＝＝.
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD放在直角三角形中．
【考点】 解直角三角形．
【分析】作AM⊥BC于M，DN⊥EF于N，如图，在Rt△ABM中利用正弦的定义得到AM=3sin50°，利用三角形面积公式得到S1=BC?AM=sin50°，同样在Rt△DEN中得到DN=7sin50°，则S2=EF?DN=sin50°，于是可判断S1=S2．
解：作AM⊥BC于M，DN⊥EF于N，如图，
在Rt△ABM中，∵sin∠B=，
∴AM=3sin50°，
∴S1=BC?AM=×7×3sin50°=sin50°，
在Rt△DEN中，∠DEN=180°﹣130°=50°，
∵sin∠DEN=，
∴DN=7sin50°，
∴S2=EF?DN=×3×7sin50°=sin50°，
∴S1=S2．
故选D．
【点评】 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了三角形面积公式．
【考点】 解直角三角形．
【分析】 想要求AD的长，求CD的长即可，根据tan∠DBA=和tan45°=1，即可求得tan∠CBD的值，即可解题．
解：∵∠CBD+∠DBA=∠ABC=45°，
∴tan∠ABC==1，
∵tan∠DBA=，
∴tan∠CBD=，
∴CD=BC?tan∠CBD=2，
∴AD=3﹣2=1．
故选D．
【点评】 本题考查了直角三角形中正切值的运用，考查了两角和的正切公式，熟练运用两角和的正切公式是解题的关键．
【考点】 解直角三角形；平行四边形的性质．
【分析】作出辅助线，构造直角三角形，运用三角形面积相等，求出三角形的高，然后运用sin2α+cos2α=1，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，由角的余弦值与三角形边的关系求解．
解：作AF⊥DB于F，作DE⊥AB于E．
设DF=x，则AD=2x，
∵∠ADB=60°，
∴AF=x，
又∵AB：AD=3：2，
∴AB=3x，于是BF=x，
∴3x?DE=（+1）x?x，
DE=x，sin∠A=，
cos∠A==．
故选A．
【点评】考查三角函数的定义及三角形面积公式．
二、填空题
【考点】解直角三角形．
【分析】根据∠A的正切求出AC，再利用勾股定理列式计算即可得解．
解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=15，
∴=，
解得AC=8，
根据勾股定理得，AB===17．
故答案为：17．
【考点】菱形的性质；解直角三角形
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OA=AC=3，BD=2OB．再解Rt△OAB，根据tan∠BAC==，求出OB=1，那么BD=2．
解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，
∴AC⊥BD，OA=AC=3，BD=2OB．
在Rt△OAB中，∵∠AOD=90°，
∴tan∠BAC==，
∴OB=1，
∴BD=2．
故答案为2．
【点评】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，锐角三角函数的定义，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
【考点】解直角三角形
【分析】由于∠C=90°，∠A=60°，则tanA=，然后利用a-b=2可计算出a，从而得到c．
解：∵∠C=90°，∠A=60°， ∴tanA=,
又a－b=2，
∴a=+3,
∴c==2+.
答案：2+
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
【考点】解直角三角形．
【分析】过A作AD⊥BC于D（或延长线于D），根据含30度角的直角三角形的性质得到AD的长，再根据勾股定理得到BD，CD的长，再分两种情况：如图1，当AD在△ABC内部时、如图2，当AD在△ABC外部时，进行讨论即可求解．
解：①如图1，作AD⊥BC，垂足为点D，
在Rt△ABD中，∵AB=12、∠B=30°，
∴AD=AB=6，BD=ABcosB=12×=6，
在Rt△ACD中，CD===，
∴BC=BD+CD=6+=7，
则S△ABC=×BC×AD=×7×6=21；
②如图2，作AD⊥BC，交BC延长线于点D，
由①知，AD=6、BD=6、CD=，
则BC=BD﹣CD=5，
∴S△ABC=×BC×AD=×5×6=15，
故答案为：21或15．
【考点】解直角三角形．
【分析】首先根据题意正确画出从O→B→A运动一周的图形，分四种情况进行计算：①点P从O→B时，路程是线段PQ的长；②当点P从B→C时，点Q从O运动到Q，计算OQ的长就是运动的路程；③点P从C→A时，点Q由Q向左运动，路程为QQ′；④点P从A→O时，点Q运动的路程就是点P运动的路程；最后相加即可．
解：在Rt△AOB中，∵∠ABO=30°，AO=1，
∴AB=2，BO==，
①当点P从O→B时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为，
②当点P从B→C时，如图3所示，这时QC⊥AB，则∠ACQ=90°
∵∠ABO=30°
∴∠BAO=60°
∴∠OQD=90°﹣60°=30°
∴cos30°=
∴AQ==2
∴OQ=2﹣1=1
则点Q运动的路程为QO=1，
③当点P从C→A时，如图3所示，点Q运动的路程为QQ′=2﹣，
④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO=1，
∴点Q运动的总路程为： +1+2﹣+1=4
故答案为：4
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
【分析】过点H作HG⊥AC于点G，由于AF平分∠CAE，DE∥BF，∠HAF=∠AFC=∠CAF，从而AC=CF=2，利用△AHM∽△FCM，=，从而可求出AH=1，利用△AMH的面积是，从而可求出HG，利用勾股定理即可求出CG的长度，所以=．
解：过点H作HG⊥AC于点G，
∵AF平分∠CAE，DE∥BF，
∴∠HAF=∠AFC=∠CAF，
∴AC=CF=2，
∵AM=AF，
∴=，
∵DE∥CF，
∴△AHM∽△FCM，
∴=，
∴AH=1，
设△AHM中，AH边上的高为m，
△FCM中CF边上的高为n，
∴==，
∵△AMH的面积为：，
∴=AH?m
∴m=，
∴n=，
设△AHC的面积为S，
∴==3，
∴S=3S△AHM=，
∴AC?HG=，
∴HG=，
∴由勾股定理可知：AG=，
∴CG=AC﹣AG=2﹣
∴==8﹣
故答案为：8﹣
三、解答题
【考点】解直角三角形
【分析】首先在Rt△ABC中，利用三角函数的定义求出；然后利用勾股定理求出AC．最后求出AD
解：如题图，在Rt△BCD中，∠BDC＝45°,
∴BC＝DC＝6.在Rt△ABC中，sinA=,
∴=.
∴AB=10.
∴AC==8.
∴AD=AC-CD=8-6=2.
【考点】解直角三角形
【分析】根据tan∠BAD=??，求得BD的长，在直角△ACD中由勾股定理得AC，然后利用正弦的定义求解．
解：∵AD⊥BC，
∴tan∠BAD＝，
∵tan∠BAD＝，AD＝12，
∴BD＝9，
∴CD＝BC－BD＝14－9＝5，
∴在Rt△ADC中，AC＝＝＝13，
∴sinC＝＝.
【考点】解直角三角形
【分析】如图作CH⊥AB于H．在Rt△求出CH、BH，这种Rt△ACH中求出AH、AC即可解决问题；
解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，
∴CH=BC=6，BH==6，
在Rt△ACH中，tanA==，
∴AH=8，
∴AC==10，
∴AB=AH+BH=8+6．
【点评】本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
【考点】解直角三角形的应用；相似三角形的应用．
【分析】延长OC，AB交于点P，△PCB∽△PAO，根据相似三角形对应边比例相等的性质即可解题．
解：如图，延长OC，AB交于点P．
∵∠ABC=120°，
∴∠PBC=60°，
∵∠OCB=∠A=90°，
∴∠P=30°，
∵AD=20米，
∴OA=AD=10米，
∵BC=2米，
∴在Rt△CPB中，PC=BC?tan60°=2米，PB=2BC=4米，
∵∠P=∠P，∠PCB=∠A=90°，
∴△PCB∽△PAO，
∴，
∴PA===10米，
∴AB=PA﹣PB=（10﹣4）米．
答：路灯的灯柱AB高应该设计为（10﹣4）米．
【考点】平行四边形的判定与性质；角平分线的性质；解直角三角形．
【分析】（1）由DE∥AB，EF∥AC，可证得四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，又由BD是△ABC的角平分线，易得△BDE是等腰三角形，即可证得结论；
（2）首先过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，易求得DG与DE的长，继而求得答案．
（1）证明：∵DE∥AB，EF∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，
∴AF=DE，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE，
∴BE=AF；
（2）解：过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，
∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠EBD=30°，
∴DG=BD=×6=3，
∵BE=DE，
∴BH=DH=BD=3，
∴BE==2，
∴DE=BE=2，
∴四边形ADEF的面积为：DE?DG=6．
【分析】（1）由前面的结论，即可猜想出：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=1；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°．利用锐角三角函数的定义得出sinA=，sinB=，则sin2A+sin2B=，再根据勾股定理得到a2+b2=c2，从而证明sin2A+sin2B=1；
解：（1）由图可知：sin2A1+sin2B1=（）2+（）2=1；
sin2A2+sin2B2=（）2+（）2=1；
sin2A3+sin2B3=（）2+（）2=1．
观察上述等式，可猜想：sin2A+sin2B=1．
（2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
∵sinA=，sinB=，
∴sin2A+sin2B=，
∵∠C=90°，
∴a2+b2=c2，
∴sin2A+sin2B=1．
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题
如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（ ）
A．2+ B．2 C．3+ D．3
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（ ）
A． B．2 C．5 D．10
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB，垂足为D，若AC=，BC=2．则sin∠ACD的值为（）
A． B． C． D．
如图 ，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连结AC，若tanB＝，则tan∠CAD的值为 ( )
A. B. C. D.
如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则（ ）
A． S1=S2 B． S1=S2 C． S1=S2 D． S1=S2
如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，D是AC上一点．若tan∠DBA=，则AD的长为（ ）
A． 2 B． C． D． 1
如图，在?ABCD中，AB：AD=3：2，∠ADB=60°，那么cos∠A的值等于（）
A． B． C． D．
二、填空题
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，tanA=，则AB= ．
如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC=，AC=6，则BD的长是 ．
已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°,a－b=2，则c=________________.
△ABC中，AB=12，AC=，∠B=30°，则△ABC的面积是 ．
如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为 ．
如图，过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC，AB恰好平分∠DAC，AF平分∠EAC交BC的延长线于点F．在AF上取点M，使得AM=AF，连接CM并延长交直线DE于点H．若AC=2，△AMH的面积是，则的值是 ．
三、解答题
如图 ，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6 cm，
求AB、AD的长.
如图 ，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，求sinC的值．
如图，在△ABC中，BC=12，tanA=，∠B=30°；求AC和AB的长．
如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB高应该设计为多少米（结果保留根号）？
如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC．
（1）求证：BE=AF；
（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积．
如图 ，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
(1)sin2A1＋sin2B1＝__ _；sin2A2＋sin2B2＝_ __；sin2A3＋sin2B3＝_ _；
(2)观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°.都有：sin2A＋sin2B＝__ __；
(3)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c；利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；
(4)已知：∠A＋∠B＝90°，且sinA＝，求sinB.
答案解析
一 、选择题
【考点】解直角三角形．
【分析】通过解直角△ABC得到AC与BC、AB间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求tan∠DAC的值．
解：如图，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，
∴AB=2AC，BC==AC．
∵BD=BA，
∴DC=BD+BC=（2+）AC，
∴tan∠DAC===2+．
故选：A．
【考点】解直角三角形．
【分析】设BC=x，由含30°角的直角三角形的性质得出AC=2BC=2x，求出AB=BC=x，根据题意得出AD=BC=x，AE=DE=AB=x，作EM⊥AD于M，由等腰三角形的性质得出AM=AD=x，在Rt△AEM中，由三角函数的定义即可得出结果．
解：如图所示：设BC=x，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，
∴AC=2BC=2x，AB=BC=x，
根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB=x，
作EM⊥AD于M，则AM=AD=x，
在Rt△AEM中，cos∠EAD===；
故选：B．
【考点】菱形的性质，勾股定理，解直角三角形
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，
∴∠AOB=90°，
∵BD=8，
∴OB=4，
∵tan∠ABD==，
∴AO=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB===5，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键．
【考点】 解直角三角形．
【分析】 先根据勾股定理列式求出AB的长，再根据同角的余角相等求出∠ACD=∠B，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=，BC=2，
∴AB===3，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴sin∠ACD=sin∠B==．
故选C．
【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，勾股定理，根据同角的余角相等求出∠ACD=∠B是解题的关键．
【考点】锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质
【分析】?延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，由tanB=，即$=，设AD=5k，则AB=3k，然后可证明△CDE∽△CAB然后相似三角形的对应边成比例可得：＝，进而可得DE＝AB＝k，从而可求tan∠CAD＝＝＝．
解：过点D作DE∥AB交AC于点E.
∵∠BAD＝90°，DE∥AB，
∴∠ADE＝90°，
∵tanB＝=，设AD＝5k，AB＝3k，
∵DE∥AB，
∴＝，DE＝AB＝k，
∴tan∠CAD＝＝＝.
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD放在直角三角形中．
【考点】 解直角三角形．
【分析】作AM⊥BC于M，DN⊥EF于N，如图，在Rt△ABM中利用正弦的定义得到AM=3sin50°，利用三角形面积公式得到S1=BC?AM=sin50°，同样在Rt△DEN中得到DN=7sin50°，则S2=EF?DN=sin50°，于是可判断S1=S2．
解：作AM⊥BC于M，DN⊥EF于N，如图，
在Rt△ABM中，∵sin∠B=，
∴AM=3sin50°，
∴S1=BC?AM=×7×3sin50°=sin50°，
在Rt△DEN中，∠DEN=180°﹣130°=50°，
∵sin∠DEN=，
∴DN=7sin50°，
∴S2=EF?DN=×3×7sin50°=sin50°，
∴S1=S2．
故选D．
【点评】 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了三角形面积公式．
【考点】 解直角三角形．
【分析】 想要求AD的长，求CD的长即可，根据tan∠DBA=和tan45°=1，即可求得tan∠CBD的值，即可解题．
解：∵∠CBD+∠DBA=∠ABC=45°，
∴tan∠ABC==1，
∵tan∠DBA=，
∴tan∠CBD=，
∴CD=BC?tan∠CBD=2，
∴AD=3﹣2=1．
故选D．
【点评】 本题考查了直角三角形中正切值的运用，考查了两角和的正切公式，熟练运用两角和的正切公式是解题的关键．
【考点】 解直角三角形；平行四边形的性质．
【分析】作出辅助线，构造直角三角形，运用三角形面积相等，求出三角形的高，然后运用sin2α+cos2α=1，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，由角的余弦值与三角形边的关系求解．
解：作AF⊥DB于F，作DE⊥AB于E．
设DF=x，则AD=2x，
∵∠ADB=60°，
∴AF=x，
又∵AB：AD=3：2，
∴AB=3x，于是BF=x，
∴3x?DE=（+1）x?x，
DE=x，sin∠A=，
cos∠A==．
故选A．
【点评】考查三角函数的定义及三角形面积公式．
二、填空题
【考点】解直角三角形．
【分析】根据∠A的正切求出AC，再利用勾股定理列式计算即可得解．
解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=15，
∴=，
解得AC=8，
根据勾股定理得，AB===17．
故答案为：17．
【考点】菱形的性质；解直角三角形
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OA=AC=3，BD=2OB．再解Rt△OAB，根据tan∠BAC==，求出OB=1，那么BD=2．
解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，
∴AC⊥BD，OA=AC=3，BD=2OB．
在Rt△OAB中，∵∠AOD=90°，
∴tan∠BAC==，
∴OB=1，
∴BD=2．
故答案为2．
【点评】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，锐角三角函数的定义，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
【考点】解直角三角形
【分析】由于∠C=90°，∠A=60°，则tanA=，然后利用a-b=2可计算出a，从而得到c．
解：∵∠C=90°，∠A=60°， ∴tanA=,
又a－b=2，
∴a=+3,
∴c==2+.
答案：2+
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
【考点】解直角三角形．
【分析】过A作AD⊥BC于D（或延长线于D），根据含30度角的直角三角形的性质得到AD的长，再根据勾股定理得到BD，CD的长，再分两种情况：如图1，当AD在△ABC内部时、如图2，当AD在△ABC外部时，进行讨论即可求解．
解：①如图1，作AD⊥BC，垂足为点D，
在Rt△ABD中，∵AB=12、∠B=30°，
∴AD=AB=6，BD=ABcosB=12×=6，
在Rt△ACD中，CD===，
∴BC=BD+CD=6+=7，
则S△ABC=×BC×AD=×7×6=21；
②如图2，作AD⊥BC，交BC延长线于点D，
由①知，AD=6、BD=6、CD=，
则BC=BD﹣CD=5，
∴S△ABC=×BC×AD=×5×6=15，
故答案为：21或15．
【考点】解直角三角形．
【分析】首先根据题意正确画出从O→B→A运动一周的图形，分四种情况进行计算：①点P从O→B时，路程是线段PQ的长；②当点P从B→C时，点Q从O运动到Q，计算OQ的长就是运动的路程；③点P从C→A时，点Q由Q向左运动，路程为QQ′；④点P从A→O时，点Q运动的路程就是点P运动的路程；最后相加即可．
解：在Rt△AOB中，∵∠ABO=30°，AO=1，
∴AB=2，BO==，
①当点P从O→B时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为，
②当点P从B→C时，如图3所示，这时QC⊥AB，则∠ACQ=90°
∵∠ABO=30°
∴∠BAO=60°
∴∠OQD=90°﹣60°=30°
∴cos30°=
∴AQ==2
∴OQ=2﹣1=1
则点Q运动的路程为QO=1，
③当点P从C→A时，如图3所示，点Q运动的路程为QQ′=2﹣，
④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO=1，
∴点Q运动的总路程为： +1+2﹣+1=4
故答案为：4
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
【分析】过点H作HG⊥AC于点G，由于AF平分∠CAE，DE∥BF，∠HAF=∠AFC=∠CAF，从而AC=CF=2，利用△AHM∽△FCM，=，从而可求出AH=1，利用△AMH的面积是，从而可求出HG，利用勾股定理即可求出CG的长度，所以=．
解：过点H作HG⊥AC于点G，
∵AF平分∠CAE，DE∥BF，
∴∠HAF=∠AFC=∠CAF，
∴AC=CF=2，
∵AM=AF，
∴=，
∵DE∥CF，
∴△AHM∽△FCM，
∴=，
∴AH=1，
设△AHM中，AH边上的高为m，
△FCM中CF边上的高为n，
∴==，
∵△AMH的面积为：，
∴=AH?m
∴m=，
∴n=，
设△AHC的面积为S，
∴==3，
∴S=3S△AHM=，
∴AC?HG=，
∴HG=，
∴由勾股定理可知：AG=，
∴CG=AC﹣AG=2﹣
∴==8﹣
故答案为：8﹣
三、解答题
【考点】解直角三角形
【分析】首先在Rt△ABC中，利用三角函数的定义求出；然后利用勾股定理求出AC．最后求出AD
解：如题图，在Rt△BCD中，∠BDC＝45°,
∴BC＝DC＝6.在Rt△ABC中，sinA=,
∴=.
∴AB=10.
∴AC==8.
∴AD=AC-CD=8-6=2.
【考点】解直角三角形
【分析】根据tan∠BAD=??，求得BD的长，在直角△ACD中由勾股定理得AC，然后利用正弦的定义求解．
解：∵AD⊥BC，
∴tan∠BAD＝，
∵tan∠BAD＝，AD＝12，
∴BD＝9，
∴CD＝BC－BD＝14－9＝5，
∴在Rt△ADC中，AC＝＝＝13，
∴sinC＝＝.
【考点】解直角三角形
【分析】如图作CH⊥AB于H．在Rt△求出CH、BH，这种Rt△ACH中求出AH、AC即可解决问题；
解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，
∴CH=BC=6，BH==6，
在Rt△ACH中，tanA==，
∴AH=8，
∴AC==10，
∴AB=AH+BH=8+6．
【点评】本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
【考点】解直角三角形的应用；相似三角形的应用．
【分析】延长OC，AB交于点P，△PCB∽△PAO，根据相似三角形对应边比例相等的性质即可解题．
解：如图，延长OC，AB交于点P．
∵∠ABC=120°，
∴∠PBC=60°，
∵∠OCB=∠A=90°，
∴∠P=30°，
∵AD=20米，
∴OA=AD=10米，
∵BC=2米，
∴在Rt△CPB中，PC=BC?tan60°=2米，PB=2BC=4米，
∵∠P=∠P，∠PCB=∠A=90°，
∴△PCB∽△PAO，
∴，
∴PA===10米，
∴AB=PA﹣PB=（10﹣4）米．
答：路灯的灯柱AB高应该设计为（10﹣4）米．
【考点】平行四边形的判定与性质；角平分线的性质；解直角三角形．
【分析】（1）由DE∥AB，EF∥AC，可证得四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，又由BD是△ABC的角平分线，易得△BDE是等腰三角形，即可证得结论；
（2）首先过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，易求得DG与DE的长，继而求得答案．
（1）证明：∵DE∥AB，EF∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，∠ABD=∠BDE，
∴AF=DE，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE，
∴BE=AF；
（2）解：过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，
∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠EBD=30°，
∴DG=BD=×6=3，
∵BE=DE，
∴BH=DH=BD=3，
∴BE==2，
∴DE=BE=2，
∴四边形ADEF的面积为：DE?DG=6．
【分析】（1）由前面的结论，即可猜想出：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=1；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°．利用锐角三角函数的定义得出sinA=，sinB=，则sin2A+sin2B=，再根据勾股定理得到a2+b2=c2，从而证明sin2A+sin2B=1；
解：（1）由图可知：sin2A1+sin2B1=（）2+（）2=1；
sin2A2+sin2B2=（）2+（）2=1；
sin2A3+sin2B3=（）2+（）2=1．
观察上述等式，可猜想：sin2A+sin2B=1．
（2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
∵sinA=，sinB=，
∴sin2A+sin2B=，
∵∠C=90°，
∴a2+b2=c2，
∴sin2A+sin2B=1．