23.2 解直角三角形及其应用课时作业（3）

23.2 解直角三角形及其应用课时作业（3）
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
某水库大坝高20米，背水坝的坡度为1：，则背水面的坡长为（　　）
A．40米 B．60米 C．30米 D．20米
如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm（如箭头所示），则木桩上升了（　　）
A．6sin15°cm B．6cos15°cm C．6tan15°cm D．cm
解放路上一座人行天桥如图所示，坡面BC的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比成为坡度）为1:2，为了方便市民推车过天桥，有关部门决定在保持天桥高度的前提下，降低坡度，使新坡面AC的坡度为1:3，AB=6m，则天桥高度CD为 ( )
A． 6m B． 6m C． 7m D． 8m
如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于（　　）
A． B． C． D．
一个钢球沿坡比为的斜坡向上滚动了米，此时钢球距地面的高度是（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（　　）
A．3.5sin29°米 B．3.5cos29°米 C．3.5tan29°米 D．米
如图，在平地MN上用一块10m长的木板AB搭了一个斜坡，两根支柱AC=7.5m，AD=6m，其中AC⊥AB，AD⊥MN，则斜坡AB的坡度是（　　）
A．3：5 B．4：5 C．3：4 D．4：3
山坡底部有一棵竖直的大树，小明从处沿山坡前进米到达处，此时转身正好看到同一水平线上的树顶．已知坡角，小明的眼睛到地面的距离为米，则树高为（ ）
A． 20米 B． 21.7米 C． (10+1.7)米 D． 11.7米
二、填空题
如果一段斜坡的垂直高度为米，水平宽度为米，那么这段斜坡的坡比________．
如图，防洪大堤的横断面是梯形，坝高AC=6米，背水坡AB的坡度i=1：2，则斜坡AB的长为__米（精确到0.1米）．
一山坡的坡度为i=1：，那么该山坡的坡角为　 　度．
每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让同学们感受国旗的神圣．升国旗时，小颖同学站在离旗杆底部米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，小颖同学视线的仰角恰为．若小颖双眼离地面米，则旗杆的高度为________米．（用含根号的式子表示）
如图，某公园入口处原有三阶台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度i=，则AC的长度是________?cm．
如图，一游人由山脚沿坡角为的山坡行走，到达一个景点，再由沿山破行走到达山顶，若在山顶处观测到景点的俯角为，则山高等于________．（结果用根号表示）
三、解答题
小明乘滑草车沿坡比为1：2.4的斜坡下滑130米，求他下降的高度。
如图，某人在D处测得山顶C的仰角为30o，向前走200米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度为i=1∶0.5，求山的高度．(答案精确到米)
如图，高速公路路基的横断面为梯形，高为4 m，上底宽为16 m，路基两边斜坡的坡度分别为i=1∶1，i′=1∶2,求路基下底宽.
某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度，（结果精确到0．lm．温馨提示：sin15°≈0.26，cosl5°≈0.97，tan15°≈0.27）
金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°，已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡角为30°，且点E、F、D在同一条直线上，求旗杆AB的高度（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角∠CAB=45°，在距A点10米处有一建筑物HQ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC=30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除？（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：=1.414，=1.732）
答案解析
一 、选择题
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】因为tanα（坡度）=垂直距离÷水平距离，可得水平距离为20米，根据勾股定理可得背水面的坡长为40米．
解：∵大坝高20米，背水坝的坡度为1：，
∴水平距离=20×=20米．
根据勾股定理可得背水面的坡长为40米．
故选：A．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】运用三角函数定义求解．
解：∵tan15°=．
∴木桩上升了6tan15°cm．
故选C．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】根据坡度的意义：坡面的铅直高度与水平宽度的比成为坡度，构成比例式，然后求解即可.
解：根据题意，可设CD=x，
可得
解得BD=2CD
同理可得
∵AB=6m
∴CD=5m
故选：A.
【点睛】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．需注意的是坡度（即坡比）是坡角的正切函数，不要混淆概念．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】如图，在Rt△ABC中，AC===120m，根据tan∠BAC=，计算即可．
解：如图，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=130m，BC=50m，
∴AC===120m，
∴tan∠BAC===，
故选C．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】可根据坡比设出坡面的铅直高度和水平宽度，然后根据勾股定理列方程求解．
解：如图．
Rt△ABC中，tanA=i=，AB=5米．
设BC=x米，则AC=3x米．
根据勾股定理，得：
x2+3x2=25，
解得：x=（负值舍去）．
故选A．
【点睛】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及勾股定理的运用能力．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】由sin∠ACB=得AB=BCsin∠ACB=3.5sin29°．
解：在Rt△ABC中，∵sin∠ACB=，
∴AB=BCsin∠ACB=3.5sin29°，
故选：A．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】首先利用勾股定理得出BD的长，再利用坡度的定义得出答案．
解：由题意可得：AB=10m，AD=6m，则BD==8（m），
故斜坡AB的坡度是：AD：BD=6：8=3：4．
故选：C．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】作辅助线过点C作CE⊥AB于点E，进而利用RT△进行求解.
解：作辅助线过点C作CE⊥AB于点E，
由题意可得，∠ACE＝30°，
∴AE＝ACsin∠ACE＝20×＝10米，
又∵小明身高为1.7米，
AB＝AE＋EB＝AE＋DC＝11.7米.
故选D.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度、坡角问题，熟练掌握坡度和坡角的定义是本题解题的关键.
二 、填空题
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】坡比=斜坡的垂直高度与水平宽度的比，把相关数值代入整理为1：n的形式即可.
解：∵一段斜坡的垂直高度为8米，水平宽度为10米，
∴坡比=8：10=1：1.25．
故答案为：1：1.25
【点睛】本题考查了坡比的求法；坡比=斜坡的垂直高度与水平宽度的比，熟练掌握坡比的公式并最终化成1：n的形式是解题关键.
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】根据坡度=垂直距离：水平距离求得BC的长，再根据勾股定理求得AB的长即可.
解：∵背水坡AB的坡度i=1：2，AC=6m，
∴BC=12m．
在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：
AB=6≈13.4（米）．
故答案为：13.4.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟知且会灵活应用公式：tanα（坡度）=垂直距离：水平距离是解题的关键．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】根据坡度i等于坡角的正切即可求解．
解：设坡角为α，
由题意得，tanα==，
∴α=30°．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】根据题意得图，已知：AC＝7m，AD＝1.5m，∠CAB＝60°，而求得是BE.
解：BE＝BC＋CE,BC＝AC×tan∠CAB＝7×tan60°＝7，CE＝AD＝1.5m，则BE＝7＋1.5，故答案为7＋1.5
【点睛】本题考查了运用所学的直角三角形知识解决实际问题，可以根据题意来画出所需要的图象，(然后解决问题将实际问题转化成数学问题).
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】过B作AC的垂线，根据坡面BC的坡度和铅直高度，可求出坡面BC的水平宽，进而可求出AC的长．
解：过B作BD⊥AC于D，
则AD=30+30=60．
Rt△BCD中，tan∠BCD=i=，BD=60．
∴CD=BD÷i=300，
∴AC=CD-AD=240（cm）．
【点睛】在坡度坡角问题中，需注意的是坡度是坡角的正切值，是坡面铅直高度和水平宽度的比．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】过B作BF⊥AD于F，BE⊥CD于E，根据45°角可求出CE的长，根据30°角求出DE的长，求出ED和CE后相加即可求出CD．
解：过B作BF⊥AD于F，BE⊥CD于E，如图：
∵△CBE是等腰直角三角形，
∴BE=CE=BC°=200=100m，
∵∠BAD=30°，
∴ED=BF=600°=600= 300m，
∴CD=CE+ED=300+100m，
故答案为：300+100
【点睛】本题解直角三角形，应先分解图形；认清图形间的关系，并解直角三角形；利用其关系求解，熟练掌握特殊角三角函数值是解题关键.
三 、解答题
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】根据坡比可设BC=x，AC=2.4x，根据勾股定理得出AB=2.6x，根据AB的长度得出x的值，从而得出BC的值，即下降的高度．
解：∵坡比为1：2.4， ∴BC：AC=1：2.4， 设BC=x，AC=2.4x，
则AB= ∵AB=130米， ∴x=50， 则BC=x=50（米）．
【点睛】本题主要考查的就是利用解直角三角形的方法求三角形的各边长，属于简单题型．在涉及坡比问题的时候，我们一定要明白坡比公式为：坡比=垂直高度：水平距离．在解答这种问题的时候，千万不能忘记直角三角形的勾股定理的应用，这个也是非常重要的．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】此题是把实际问题转化为解直角三角形问题，由题意，已知DA=200，∠CDB=30°，CB：AB=1：0.5，∠CBD=90°，求CB．设AB=x，则CB=2x，由三角函数得： =tan30°，即=，求出x，从求出CB．即求出山的高度．
解：已知山坡AC的坡度为i=1∶0.5，设山高BC = ，则AB= ，
由，
得
解得： 米．
所以山的高度约为162米.
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，根据矩形的性质求出DF=AE=4m，EF=AD=16m，根据坡度的概念进行计算即可．
解：作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
则四边形AEFD是矩形，
∴DF=AE=4m，EF=AD=16m，
∵i=1:1，AE=4m，
∴BE=AE=4m，
∵i′=1:2，DF=4m，
∴CF=2DF=8m，
∴BC=BE+EF+FC=28m.
答：路基下底宽是28m.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是坡度的概念应理解清楚.
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】先在Rt△ABD中，用三角函数求出AD，最后在Rt△ACD中用三角函数即可得出结论．
解：在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AB=10m，
∴AD=ABsin∠ABD=10×sin30°=5，
在Rt△ACD中，∠ACD=15°，sin∠ACD=，
∴AC==≈≈19.2m，
即：改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为19.2米．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的应用，求出AD是解本题的关键．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】过点C作CM⊥AB于M．则四边形MEDC是矩形，设EF=x，根据AM=DE，列出方程即可解决问题．
解：过点C作CM⊥AB于M．则四边形MEDC是矩形，
∴ME=DC=3．CM=ED，
在Rt△AEF中，∠AFE=60°，设EF=x，则AF=2x，AE=x，
在Rt△FCD中，CD=3，∠CFD=30°，
∴DF=3，
在Rt△AMC中，∠ACM=45°，
∴∠MAC=∠ACM=45°，
∴MA=MC，
∵ED=CM，
∴AM=ED，
∵AM=AE﹣ME，ED=EF+DF，
∴x﹣3=x+3，
∴x=6+3，
∴AE=（6+3）=6+9，
∴AB=AE﹣BE=9+6﹣1≈18.4米．
答：旗杆AB的高度约为18.4米．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】在Rt△ABC、Rt△DBC中，利用锐角三角函数分别计算DB、AB，然后计算DH的长，根据DH与3的关系，得结论．
解：由题意知，AH=10米，BC=10米，
在Rt△ABC中，∵∠CAB=45°，
∴AB=BC=10米
在Rt△DBC中，∵∠CDB=30°，
∴DB==10（米）
∵DH=AH﹣DA
=AH﹣（DB﹣AB）
=10﹣10+10
=20﹣10
≈2.7（米）
∴建筑物需要拆除．
【点评】本题考查了锐角三角函数的应用，难度不大．利用线段的和差关系和锐角三角函数，是解决本题的关键．