新湘教版 数学 九年级上 3.5 相似三角形的应用教学设计
课题
3.5 相似三角形的应用
单元
第三单元
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：
①会应用相似三角形的有关性质，测量简单的物理的高度或者宽度；
②自己设计方案测量高度，体会相似三角形在解决问题中的应用。?
过程与方法：
①领会教学活动中的类比思想，提高学生学习数学的积极性；
②通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系。
情感态度与价值观：
①通过解答实际问题，激发学生学数学的兴趣，增长社会见识。
②深化对相似三角形的应用，发展学生的应用能力，建模意识，空间观念等，培养学生积极的情感和态度。
重点
会应用相似三角形的有关性质，设计方案测量简单的物理的高度或者宽度。
难点
会应用相似三角形的有关性质，设计方案测量简单的物理的高度或者宽度。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识
+
导入新课
在前面的学习中，我们已经知道关角形的相似的判定方法以及相似三角形的相关性质。今天，我们将一起学习相似三角形在生活中的应用。在上新课之前，我们一起回顾下之前学过的知识：
/
/1.在池塘外取一点C，使它可以直接看到A，B两点;
2.连接并延长AC，BC;
3.在AC的延长线上取一点D， 在BC的延长线上取一点E，
使
AC
DC
=
BC
EC
=k（k为正整数）
4.测量出DE的长度.
由相似三角形的有关知识
求出A，B两点间的距离.
2.如果
AC
DC
=
BC
EC
=2，且测得DE的长为50m，则A，B两点间的距离为多少？
∵
AC
DC
=
BC
EC
=2 ，∠ACB =∠DCE，
∴ △ABC∽△DEC．
∴
AB
EC
=2 ．
∵ DE = 50 m，
∴ AB = 2DE = 100 m.
学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。
导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
讲授新课
+
例题讲解
讲授新课
+
例题讲解
从刚刚导入新课的探究中，我们可以得到两个三角形相似的应用过程中，我们解题的步骤：
利用三角形相似解决实际问题的一般步骤：
（1）根据题意画出___示意图___;
（2）将题目中的已知量或已知关系转化为示意图中的
_______已知线段、已知角__;
（3）利用相似三角形建立线段之间的关系，求出___未知量_;
（4）写出_____答案___.
接下来，我们看一些具体的例子：
【例1】如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在河的这一边取点Q和S,使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点为R.如果测QS=45m,ST=90m,QR=60m,求河的宽度PQ.
解：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P
∴△PQR∽△PST
∴
PQ
PS
=
QR
ST
，即
PQ
PQ+QS
=
QR
ST
∴
PQ
PQ+QS
=
60
90
，得PQ=90m.
因此，何宽大约为90m.
测距的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.
/
【例2】在用步枪瞄准靶心时，要使眼睛（O）、准星（A）、靶心点（B）在同一条直线上.在射击时，李明由于有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，如图所示.已知OA=0.2m，OB=50m，AA′=0.0005m，求李明射击到的点B′偏离靶心点B的长度BB′（近似地认为AA′∥BB′）.
如何入手？
推出△OAA′∽△OBB′，
利用对应边成比例可得BB′的长度
/
解：∵ AA′∥BB′，
∴ △OAA′∽△OBB′．
∴
OA
OB
=
A
A
′
B
B
′
．
∵ OA=0.2m，OB=50m，AA′=0.000 5m，
∴ BB′=0.125m.
答：李明射击到的点B′偏离靶心点B的长度BB′为0.125m.
【例3】如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m，求树的高度.
如何入手？
分析：人、树、标杆是相互平行的，添加辅助线，过点A作AN∥BD交ID于N，交EF于M，则可得△AEM∽△ACN.
/
解：过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，因为人、标杆、树都垂直于地面，
∴∠ABF=∠EFD=∠CDF=90°,
∴AB∥EF∥CD, ∴∠EMA=∠CNA.
∵∠EAM=∠CAN,
∴△AEM∽△ACN ,
∴
EM
CN
=
AM
AN
.
∵AB=1.6m , EF=2m , BD=27m , FD=24m ,
∴
2?0.6
CN
=
27?24
27
, ∴CN=3.6m，∴CD=3.6+1.6=5.2（m）.
故树的高度为5.2m.
测高的方法
方法1：
测量不能到达顶部的物体高度，可以用“利用标杆测量高度”的原理解决.
/【例4】为了测量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具（镜子、皮尺）设计了如下测量方案：如图，①在距离树AB底部15m的E处放下镜子；②该同学站在距离镜子1.2m的C处，目高CD为1.5m；③观察镜面，恰好看到树的顶端.
你能帮助他计算出大树的大约高度吗？
解：∵∠1=∠2,∠DCE=∠BAE=90°,
∴△DCE∽△BAE.
∴
DC
BA
=
CE
AE
，即
1.5
BA
=
1.2
15
，得 BA=18.75m.
因此，树高约为18.75m.
测高的方法
方法2：
测量不能到达顶部的物体高度，“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
/
【例5】已知同一时刻物体的高度与影长成正比，在某一时刻，测得一高为4.5米的竹竿的影长为7.2米，某一高楼的影长为36米,那么高楼的高度是多少米?
解：设高楼的高度为x米，则
4.5
7.2
=
??
36
，解得x=22.5.
答:大楼高22.5米.
测高的方法
方法3：
测量不能到达顶部的物体高度，利用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
/
/
结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握成三角形相似的应用。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
讲授知识，让学生掌掌握三角形相似的应用。
让学生知道本节课的学习内容和重点。
让学生知道本节课的学习内容和重点。
课堂练习
1.如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为多少m．
/
解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，∴
BE
CD
=
AB
AC
∵BE=1.5，AB=2，BC=14， ∴AC=16
∴
1.5
CD
=
2
16
，∴CD=12．
2.大运河的两岸有一段是平行的，为了估算其运河的宽度，我们可以在对岸选定一个目标作为点A，再在运河的这一边选点B、C，使AB⊥BC，然后再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点为D.如果测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求出大运河的大致宽度AB.
/
解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90° ∴△ABD∽△ECD
∴
AB
EC
=
BD
CD
，解得AB=
BD×EC
CD
=
120×50
60
=100（m）
答：大运河的大致宽度AB是100m.
3．某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高多少米?
/
解：延长AD交地面于E，则
1.5
1.2
=
DC
CE
，
即
1.5
1.2
=
1.4
CE
.解得CE=1.12
∴BE=BC+CE=6.4+1.12=7.52米.
∴
AB
BE
=
1.5
1.2
，即
AB
7.52
=
1.5
1.2
.解得AB=9.4米.
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
课堂小结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
/
/
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。
帮助学生加强记忆知识。
板书
相似三角形的应用
/
/
借助板书，让学生知识本节课的重点。
作业
教材第92页练习第1题.
教材第93页练习第2题、习题3.5第1、2题. .
/
3.5 相似三角形的应用
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题5分）
1．如图，△ABC中，点D在线段BC上，且∠BAD=∠C，则下列结论一定正确的是（ ）
/
A．AB2=AC?BD B．AB?AD=BD?BC
C．AB2=BC?BD D．AB?AD=BD?CD
2．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（ ）
/
A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m
3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，若AB=2，BC=4．则DC的长度为（ ）
/
A．1 B．
3
C．3 D．2
3
4．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（ ）
/
A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺
5．如图是小明利用等腰直角三角板测量旗杆高度的示意图．等腰直角三角板的斜边BD与地面AF平行，当小明的视线恰好沿BC经过旗杆顶部点E时，测量出此时他所在的位置点A与旗杆底部点F的距离为10米．如果小明的眼睛距离地面1.7米，那么旗杆EF的高度为（ ）
/
A．10米 B．11.7米 C．10
2
米 D．(5
2
+1.7)米
二．填空题（共5小题，每题5分）
6．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DF=50cm，EF=30cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=20m，则树髙AB为 ．
/
7．如图，AB⊥AC，AD⊥BC，已知AB=6，BC=9，则图中线段的长BD= ，AD= ，AC= ．
/
8．为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树AB的树根7.2m的点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树稍顶点A，再用皮尺量得DE=2.4m，观测者目高CD=1.6m，则树高AB约是 ．
/
9．如图，AB⊥BC于B，CE⊥BC于C，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，则河宽AB为 m．
/
10．我国魏晋时期数学家刘徽编撰的最早一部测量数学著作《海岛算经》中有一题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直．从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何？
译文：今要测量海岛上一座山峰AH的高度，在B处和D处树立标杆BC和DE，标杆的高都是3丈，B和D两处相隔1000步（1丈=10 尺，1步=6 尺），并且AH，CB和DE在同一平面内．从标杆BC后退123步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上；从标杆ED后退127步的G处可以看到顶峰A和标杆顶端E在同一直线上．则山峰AH的高度是 ．
/
三．解答题（共4小题，每题12.5分）
11．在“三爱三节”活动中，小明准备从一张废弃的三角形铁片上剪出一个正方形做一个圆柱侧面．如图，四边形DEFG是△ABC的内接正方形，D、G分别在AB、AC上，E、F在BC上，AH是△ABC的高，已知BC=20，AH=16，求正方形DEFG的边长．
/
12．数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度AB．测量和计算的部分步骤如下：
①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在BC的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离CD=2米，小明的眼睛E到地面的距离ED=1.5米；
②将镜子从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离FH=3米；
③计算树的高度AB；
解：设AB=x米，BC=y米
∵∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD
∴△ABC∽△EDC
∴
????
????
=
????
????
……
请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整．
/
13．周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线EF，通过在直线EF上选点观测，发现当他位于N点时，他的视线从M点通过露台D点正好落在遮阳篷A点处；当他位于N′点时，视线从M′点通过D点正好落在遮阳篷B点处，这样观测到的两个点A、B间的距离即为遮阳篷的宽．已知AB∥CD∥EF，点C在AG上，AG、DE、MN、M′N′均垂直于EF，MN=M′N′，露台的宽CD=GE．实际测得，GE=5米，EN=15.5米，NN′=6.2米．请根据以上信息，求出遮阳篷的宽AB是多少米？
/
14．【问题情境】如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2=AD?AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理；
【结论运用】如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，
（1）试利用射影定理证明△BOF∽△BED；
（2）若DE=2CE，求OF的长．
/
试题解析
一．选择题
1．【分析】先证明△BAD∽△BCA，则利用相似的性质得AB：BC=BD：AB，然后根据比例性质得到AB2=BC?BD．
【解答】解：∵∠BAD=∠C，
而∠ABD=∠CBA，
∴△BAD∽△BCA，
∴AB：BC=BD：AB，
∴AB2=BC?BD．
故选：C．
【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．也考查了相似三角形的判定与性质．
2．【分析】由∠ABO=∠CDO=90°、∠AOB=∠COD知△ABO∽△CDO，据此得
????
????
=
????
????
，将已知数据代入即可得．
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO=∠CDO=90°，
又∵∠AOB=∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
则
????
????
=
????
????
，
∵AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，
∴
4
1
=
1.6
????
，
解得：CD=0.4，
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
3．【分析】由已知先证△ABC∽△DAC，可证
????
????
=
????
????
，即可求DC的长．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ADC=∠BAC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△DAC，
∴
????
????
=
????
????
，
∵AB=2，BC=4，
∴AC=2
3
，
∴
2
3
????
=
4
2
3
，
∴DC=3．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，有两角对应相等则此两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
4．【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【解答】解：设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，
∴
??
15
=
1.5
0.5
，解得x=45（尺）．
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．
5．【分析】延长BD交EF于H，如图，利用四边形ABHF为矩形得到AF=BH=10，HF=AB=1.7，再利用△BCD为等腰直角三角形，可判断△BHE为等腰直角三角形，所以EH=BH=10，
然后计算EH+HF即可．
【解答】解：延长BD交EF于H，如图，
∵BD∥AF，EF⊥AF，
∴BH⊥EF，
易得四边形ABHF为矩形，
∴AF=BH=10，HF=AB=1.7，
∵△BCD为等腰直角三角形，
∴∠CBD=45°，
∴△BHE为等腰直角三角形，
∴EH=BH=10，
∴EF=EH+HF=10+1.7=11.7．
答：旗杆EF的高度为11.7m．
故选：B．
/
【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．也考查了等腰直角三角形的性质．
二．填空题
6．【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．
【解答】解：∵∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴
????
????
=
????
????
，
∵DF=50cm=0.5m，EF=30cm=0.3m，AC=1.5m，CD=20m，
∴由勾股定理求得DE=40cm，
∴
????
0.3
=
20
0.4
，
∴BC=15米，
∴AB=AC+BC=1.5+15=16.5（米）．
故答案为：16.5m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
7．【分析】根据射影定理得AB2=BD?BC，则可计算出BD=4，再计算出CD=BC﹣BD=5，然后根据AD2=BD?CD计算出AD，利用AC2=CD?BC计算出AC．
【解答】解：∵AB⊥AC，AD⊥BC，
∴AB2=BD?BC，即62=BD?9，解得BD=4，
∴CD=BC﹣BD=5，
∵AD2=BD?CD，
∴AD=
4×5
=2
5
，
∵AC2=CD?BC，
∴AC=
5×9
=3
5
．
故答案为4，2
5
，3
5
．
【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
/
9．【分析】先证明△ABD∽△ECD，然后利用相似比计算AB的长即可．
【解答】解：∵AB⊥BC，CE⊥BC，
∴AB∥CE，
∴△ABD∽△ECD，
∴
????
????
=
????
????
，即
????
50
=
120
60
，
∴AB=100（m）．
故答案为：100．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度（测量距离）；借助标杆或直尺测量物体的高度．
10．【分析】根据题意得出△FCB∽△FAH，△EDG∽△AHG，进而利用相似三角形的性质求出即可．
【解答】解：由题意，得，AH⊥HG，CB⊥HG，
∴∠AHF=90°，∠CBF=90°，
∴∠AHF=∠CBF，
∵∠AFB=∠CFB，
∴△CBF∽△AHF，
∴
????
????
=
????
????
，
同理可得
????
????
=
????
????
，
∵BF=123，BD=1000，DG=127，
∴HF=HB+123，HG=HB+1000+127=HB+1127，
∴
3
????
=
123
????+123
，
3
????
=
127
????+1127
，
解得HB=30750，HA=753丈=1255步，
故答案为：1255步．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△FCB∽△FAH，△EDG∽△AHG是解题关键．
三．解答题
11．【分析】根据正方形的性质得到DG∥BC，证明△ADG∽△ABC，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可．
【解答】解：设正方形DEFG的边长为x，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴
????
????
=
????
????
，即
??
20
=
16???
16
，
解得，x=
80
9
．
/
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
12．【分析】根据题意得出△ABF∽△GHF，利用相似三角形的性质得出AB，BC的长进而得出答案．
【解答】解：设AB=x米，BC=y米．
∵∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD
∴△ABC∽△EDC
∴
????
????
=
????
????
，
∴
??
1.5
=
??
2
，
∵∠ABF=∠GHF=90°，∠AFB=∠GFH，
∴△ABF∽△GHF，
∴
????
????
=
????
????
，
∴
??
1.5
=
??+10
3
，
∴
??
2
=
??+10
3
，
解得：y=20，
把y=20代入
??
1.5
=
??
2
中，得
??
1.5
=
20
2
，
解得x=15，
∴树的高度AB为15米．
/
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键．
13．【分析】直接利用相似三角形的判定方法得出Rt△ACD∽Rt△DHM，△ABD∽△MM′D，进而得出AB的值，求出答案即可．
【解答】解：延长MM′交DE于H，如图，
则HM=EN=15.5米，CD=GE=5米，
MM′=NN′=6.2米，∵CD∥HM，
∴∠ADC=∠DMH，
∴Rt△ACD∽Rt△DHM，
∴
????
????
=
????
????
=
5
15.5
，
∵AB∥MM′，
∴△ABD∽△MM′D，
∴
????
????′
=
????
????
=
5
15.5
，
即
????
6.2
=
5
15.5
，
解得AB=2（米），
答：遮阳篷的宽AB是2米．
/
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．
14．【分析】【问题情境】通过证明Rt△ACD∽Rt△ABC得到AC：AB=AD：AC，然后利用比例性质即可得到AC2=AD?AB；
【结论运用】（1）根据射影定理得BC2=BO?BD，BC2=BF?BE，则BO?BD=BF?BE，即
????
????
=
????
????
，加上∠OBF=∠EBD，于是可根据相似三角形的判定得到△BOF∽△BED；
（2）先计算出DE=4，CE=2，BE=2
10
，OB=3
2
，再利用（1）中结论△BOF∽△BED得到
????
????
=
????
????
，即
????
4
=
3
2
2
10
，然后利用比例性质求OF．
【解答】【问题情境】
证明：如图1，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
而∠CAD=∠BAC，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，
∴AC：AB=AD：AC，
∴AC2=AD?AB；
【结论运用】
（1）证明：如图2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OC⊥BO，∠BCD=90°，
∴BC2=BO?BD，
∵CF⊥BE，
∴BC2=BF?BE，
∴BO?BD=BF?BE，
即
????
????
=
????
????
，
而∠OBF=∠EBD，
∴△BOF∽△BED；
（2）∵BC=CD=6，
而DE=CE，
∴DE=4，CE=2，
在Rt△BCE中，BE=
2
2
+
6
2
=2
10
，
在Rt△OBC中，OB=
2
2
BC=3
2
，
∵△BOF∽△BED，
∴
????
????
=
????
????
，即
????
4
=
3
2
2
10
，
∴OF=
6
5
5
．
/
【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．也考查了相似三角形的判定与性质和正方形的性质．
/
课件28张PPT。3.5 相似三角形的应用数学湘教版 九年级上全等三角形与相似三角形性质比较对应高的比等于相似比对应角平分线的比等于相似比对应中线的比等于相似比周长的比等于相似比面积的比等于相似比的平方回顾知识讲授新知 1.如图，B两点分别位于一个池塘的两端，小张想测量出A，B间的距离，但由于受条件限制无法直接测量，你能帮他想出一个可行的测量办法吗？CDE?由相似三角形的有关知识
求出A，B两点间的距离.?讲授新知CDE?讲授新知（1）根据题意画出___________;
（2）将题目中的已知量或已知关系转化为示意图中的
_____________________;
（3）利用相似三角形建立线段之间的关系，求出__________;
（4）写出___________.示意图已知线段、已知角未知量答案利用三角形相似解决实际问题的一般步骤： 【例1】如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在河的这一边取点Q和S,使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点为R.如果测QS=45m,ST=90m,QR=60m,求河的宽度PQ.讲授新知?讲授新知测距的方法测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解. DE??讲授新知 【例2】在用步枪瞄准靶心时，要使眼睛（O）、准星（A）、靶心点（B）在同一条直线上.在射击时，李明由于有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，如图所示.已知OA=0.2m，OB=50m，AA′=0.0005m，求李明射击到的点B′偏离靶心点B的长度BB′（近似地认为AA′∥BB′）. 推出△OAA′∽△OBB′，
利用对应边成比例可得BB′的长度如何入手？?讲授新知讲授新知 【例3】如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m，求树的高度.分析：人、树、标杆是相互平行的，添加辅助线，过点A作AN∥BD交ID于N，交EF于M，则可得△AEM∽△ACN.如何入手？讲授新知?测高的方法方法1：
测量不能到达顶部的物体高度，可以用“利用标杆测量高度”的原理解决. 讲授新知??讲授新知 【例4】为了测量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具（镜子、皮尺）设计了如下测量方案：如图，①在距离树AB底部15m的E处放下镜子；②该同学站在距离镜子1.2m的C处，目高CD为1.5m；③观察镜面，恰好看到树的顶端.
你能帮助他计算出大树的大约高度吗？?测高的方法方法2：
测量不能到达顶部的物体高度，“利用镜子的反射测量高度”的原理解决. 讲授新知?讲授新知 【例5】已知同一时刻物体的高度与影长成正比，在某一时刻，测得一高为4.5米的竹竿的影长为7.2米，某一高楼的影长为36米,那么高楼的高度是多少米??测高的方法方法3：
测量不能到达顶部的物体高度，利用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 讲授新知?讲授新知测高的方法 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用标杆测量法平、面镜测量法或影子测量法，通过构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例来求解.???讲授新知1.在实际生活中，我们面对不同测量物体的高度和宽度时，可以把它们转换为数学问题，建议相似三角形模型，再利用对应边的比是相似比。建议相似三角形模型，再用对应边的比等来达到求解的目的。
2.能够掌握并应用一些简单相似三角形模样。本节课，重点利用了相似三角形来测量本节课，重点利用了相似三角形来测量课堂练习 1.如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为多少m． ? 2.大运河的两岸有一段是平行的，为了估算其运河的宽度，我们可以在对岸选定一个目标作为点A，再在运河的这一边选点B、C，使AB⊥BC，然后再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点为D.如果测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求出大运河的大致宽度AB.课堂练习?课堂练习 3．某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高多少米??D6.41.2？1.51.4ABC课堂总结测距的方法测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解. DE??测高的方法 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用标杆测量法平、面镜测量法或影子测量法，通过构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例来求解.???课堂总结板书设计测距的方法测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解. DE??测高的方法 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用标杆测量法平、面镜测量法或影子测量法，通过构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例来求解.???板书设计作业布置教材第92页练习第1题.
教材第93页练习第2题、习题3.5第1、2题. 谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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