新湘教版 数学 八年级上 3.3.2实数的运算 教学设计
课题
3.3.2实数的运算
单元
第三单元
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
知识与技能：掌握实数的运算律和运算性质，会比较两个实数的大小；
过程与方法：通过复习有理数的运算性质，引出实数的运算性质及比较大小的方法，并通过例题和练习题加以巩固；
情感态度与价值观：通过建立有理数的运算性质在实数范围里也成立的意识，让学生了解在这种数的扩充中所体现的一致性，让学生充分感受数的不断发展.
重点
会进行实数的运算及实数的近似计算，能比较两个实数的大小.
难点
认识和理解有理数的运算在实数中仍适用的这种扩充.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
同学们，上节课我们学习了有关实数的相关知识，下面请同学们回答：
问题1、说一说实数的分类？
答案：实数可分为有理数和无理数；也可分为正实数、零、负实数
问题2、实数与数轴上的点有什么关系？
答案：实数和数轴上的点一一对应
问题3、如何求一个实数的相反数？
答案：我们把实数a 的相反数记作-a.
问题4、实数的绝对值有什么性质？
答案：正实数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数.
学生根据老师的提问回答问题.
通过回顾实数的相关知识，为进一步学习实数运算做好准备。
新知讲解
下面，让我们一起完成下面的问题：
说一说：实数可以做加、减、乘、除、乘方、开方运算吗？
答案：把数从有理数扩充到实数以后，实数也可以时行加、减、乘、除、乘方运算，而且非负数可以进行开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.
在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算律等对于实数仍然成立.
做一做：填空，设a，b，c是任意实数，则
（1）a + b=________（加法交换律）；
答案：b + a
（2）(a+b)+c ＝________（加法结合律）；
答案：a+( b + c)
（3）a+0=0+a = ________ ；
答案：a
（4）a+(-a)=(-a)+ a=________；
答案：0
（5）ab =________（乘法交换律）；
答案：ba
（6）(ab)c = ________（乘法结合律）；
答案：a(bc)
（7）1·a =a·1=________；
答案：a
（8）a(b+c)=______________（乘法对于加法的分配律） ，
(b+c)a =_____________（乘法对于加法的分配律） ；
答案：ab + ac；ba + ca
（9）实数的减法运算规定为 a -b = a + ________；
答案：(-b)
（10）对于每一个非零实数a，存在一个实数b，满足a·b=b·a=1，我们把b叫作a的__________;
答案：倒数
（11）实数的除法运算（除数b≠ 0)，规定为a ÷ b = a________ ；
答案：
（12）实数有一条重要性质：如果a≠0，b≠0，那么 ab ________ 0.
答案：≠
想一想：两个实数是否可以比较大小？都有哪些比较大小的方法呢？
方法（1）：对实数a、b，如果a-b>0，则a>b；反之，则a方法（2）：正实数大于一切负实数，两个负实数比较，绝对值大的反而小； （定义与绝对值法）
方法（3）：数轴上右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数要大.（数轴法）
说一说：实数的平方根和立方根又有什么性质呢？
答案：每个正实数有且只有两个平方根，它们互为相反数;
0的平方根是0;
在实数范围内，负实数没有平方根;
每个实数a有且只有一个立方根..
指出：前面所学的有关数、式、方程（组）的性质、法则和解法对于实数是否仍然成立
例1：计算下列各式的值：
解：
计算结果如果包含开方开不尽的数，要保留根号.
练习1：计算下列各式的值：
解：
/
/
例2：用计算器计算：（精确到小数点后面第二位）
解：按键：
/
显示：3.16227766
精确到小数点后面第二位得：3.16
指出：在实数运算中，如果遇到无理数，并且要求出结果的近似值时，可按要求的精确度用相应的近似有限小数代替无理数，再进行计算.
动脑筋：不用计算器，估计与2哪个大？与3比较呢？
解：如图所示，，2 可以看作分别是面积为5，4的正方形的边长.容易说明，面积大的正方形，它的边长也大. 因此
/
归纳：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
学生根据老师的问题认真思考，并回答，然后仔细听老师讲解..
学生根据问题进行填空，然后集体回答.
思考老师提出的问题，并与同伴进行探究，然后听老师的讲评.
.
学生认真审题，并独立完成例题及练习题，然后班内交流，并仔细听老师的点评
认真思考，并与同伴讨论，交流，然后仔细听老师的讲解.
知道实数也可以进行各种去处..
体会有理数的运算性质在实数中依然适用.
掌握实数大小比较的方法及实数的平方根和立方根的性质..
通过习题强化实数的运算.
进一步体会实数大小比较的方法.
课堂练习
下面请同学生独立完成课堂练习.
1. 计算下列各式的值：
；
解：
2. 计算（结果保留小数点后两位）：
解：(1)
(2)
3. 计算
；
解：
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
我们一起完成下面的问题：
把下列各数用“＜”连接起来．
解：
在师的引导下完成问题.
提高学生对知识的应用能力
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
1、类比有理数，掌握实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算.
注意：有理数范围内的运算法则、运算律都适合实数.
2、实数比较大小的方法
（1）作差法
（2）定义与绝对值法
（3）数轴法
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第121页习题3.3A 组第4、5、6题
能力作业
教材第122页习题3.3B 组第8、9题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点。
/
3.3.2实数的运算
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．四个实数﹣2，0，﹣
2
，﹣1中，最大的实数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．-
2
D．﹣1
2．若m＜
14
＜n，且m、n为连续正整数，则n2﹣m2的值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
3．下列等式一定成立的是（ ）
A．－＝ B．＝－1 C．＝±3 D．－＝9
4．下列有理数大小关系判定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．若a、b分别是6-的整数部分和小数部分，那么2a-b的值是（ ）
A．3- B．4- C． D．4+
二．填空题（共4小题，每题5分）
6．比较大小： ， ．
7．计算：
2
3
?
(?4)
2
+2
3
=____．
8．写出?
3
和
2
之间的所有的整数为____．
9．将-
7
，-4，-??，
?
2
，0, 1 按照从小到大的顺序进行排列为______.
三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）
10．比较大小，并说理：
（1）
35
与6；
（2）?
5
+1与?
2
2
．
11．计算：
（1）2
3
+3
2
?5
3
?3
2
；
（2）
3
?2
+
3
?1
；
（3）2
5
?
15
+
π
2
；（用计算器，保留4个有效数字）
12．阅读下面的文字，解答问题：大家知道
2
是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此
2
的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用
2
﹣1来表示
2
的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为
2
的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是
2
的小数部分，又例如：∵22＜（
7
）2＜32，即2＜
7
＜3，∴
7
的整数部分为2，小数部分为（
7
﹣2）．
请解答：
（1）
11
的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）如果
5
的小数部分为a，
41
的整数部分为b，求a+b﹣
5
的值．
（3）已知x是3+
5
的整数部分，y是其小数部分，直接写出x﹣y的值．
试题解析
1．B
【解析】根据实数的大小关系，可知负数＜0＜正数，故这几个实数中，最大的实数是0.
故选：B.
2．B
【解析】∵
9
<
14
<
16
,
∴3<
14
<4,
∴??=3,??=4.
∴
??
2
?
??
2
=16?9=7.
故选B.
3．B
【解析】－＝3－2=1≠，A选项错误；
1－＜0，|1－|=－1，B选项正确；
=3，C选项错误；
－=－9，D选项错误.
故选B.
4．D
【解析】A.∵?0.1<0，?0.01<0，|?0.1|=0.1>|?0.01|=0.01，
∴?0.1B.∵|?100|=100>0，∴0<|?100|；错误，
C.∵|?10|=10，?|+10|=?10，错误，
∴|?10|>?|+10|；
D. 正确,
故选D.
5．C
【解析】根据无理数的估算，可知3＜＜4，因此可知-4＜-＜-3，即2＜6-＜3，所以可得a为2，b为6--2=4-，因此可得2a-b=4-（4-）=.
故选：C.
6．＞，＞
【解析】根据二次根式的性质，可知=，然后根据二次根式的被开方数可知＞，故可知＞；同理根据立方根的意义，可知=-，然后由两负数的大小比较，绝对值大的反而小，可知＞.
故答案为：＞，＞.
7．4
【解析】根据二次根式的性质和绝对值的意义，直接计算可得：
2
3
?
(?4)
2
+2
3
=
2
3
?4
+2
3
=4-2
3
+2
3
=4.
故答案为：4.
8．0 、1、 -1
【解析】根据二次根式的近似值，可知?
3
和
2
之间的所有的整数为0、1、-1.
故答案为：0、1、-1.
9．-4、-??、-
7
、0、1、
?
2
【解析】
?
2
=
2
，根据正数大于0和负数，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小，按照从小到大的顺序进行排列为-4、-??、-
7
、0、1、
?
2
，故答案为-4、-??、-
7
、0、1、
?
2
.
10．（1）
35
＜6（2）-
5
+1＜-
2
2
【解析】(1)将6化为
36
，被开方数大，则值较大；
(2)求这两个数的差，通过差的符号，判断大小.
解：(1)因为6=
36
，
35
<
36
，
所以
35
<6.
(2)因为?
5
+1?
?
2
2
=
?2
5
+2+
2
2
=
?
5
+2
+
?
5
+
2
2
＜0，
所以?
5
+12
2
.
11．（1）?3
3
（2）1 （3）2.170
【解析】（1）根据二次根式的加减，合并同类二次根式的进行计算即可；
（2）根据绝对值的意义化简，然后合并同类项即可；
（3）根据近似值计算即可（用计算器），注意取4个有效数字的近似值作为结果.
解：（1）2
3
+3
2
?5
3
?3
2
=（2-5）
3
+（3-3）
2
=-3
3
；
（2）
3
?2
+
3
?1
=2-
3
+
3
-1
=1；
（3）2
5
?
15
+
π
2
≈2×2.2361-3.8730+3.1416÷2
=2.16995
≈2.170
12．（1）3；
11
﹣3； （2）4；（3）x﹣y=7﹣
5
．
【解析】（1）由3＜
11
＜4可得答案；
（2）由2＜
5
＜3知a=
5
﹣2，由6＜
41
＜7知b=6，据此求解可得；
（3）由2＜
5
＜3知5＜3+
5
＜6，据此得出x、y的值代入计算可得．
解:（1）∵3＜
11
＜4，
∴
11
的整数部分是3，小数部分是
11
﹣3；
故答案为：3；
11
﹣3．
/
/
课件22张PPT。实数的运算数学湘教版 八年级上新知导入1、说一说实数的分类？实数可分为有理数和无理数；也可分为正实数、零、负实数2、实数与数轴上的点有什么关系？实数和数轴上的点一一对应3、如何求一个实数的相反数？我们把实数a 的相反数记作-a.4、实数的绝对值有什么性质？新知讲解说一说：实数可以做加、减、乘、除、乘方、开方运算吗？ 把数从有理数扩充到实数以后，实数也可以时行加、减、乘、除、乘方运算，而且非负数可以进行开平方运算，任意实数可以进行开立方运算. 在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算律等对于实数仍然成立.新知讲解 做一做：填空，设a，b，c是任意实数，则 （1）a + b= （加法交换律）； （2）(a+b)+c ＝ （加法结合律）； （3）a+0=0+a = ； （4）a+(-a)=(-a)+ a= ； b + a （5）ab = （乘法交换律）； （6）(ab)c = （乘法结合律）； a+( b + c) a0baa(bc)新知讲解 （7）1·a =a·1= ； （8）a(b+c)=______________（乘法对于加法的分配律） ，(b+c)a =_____________（乘法对于加法的分配律） ； （9）实数的减法运算规定为 a -b = a + ； （11）实数的除法运算（除数b≠ 0)，规定为a ÷ b = a· ； （12）实数有一条重要性质：如果a≠0，b≠0，那么 ab 0.aab + acba + ca(-b)≠ （10）对于每一个非零实数a，存在一个实数b，满足a·b=b·a=1，我们把b叫作a的__________; 倒数新知讲解想一想：两个实数是否可以比较大小？都有哪些比较大小的方法呢？ 方法（1）：对实数a、b，如果a-b>0，则a>b；反之，则a①减法变加法:减去一个数等于加上这个数的相
反数,即:a-b=a+(-b);
②除法变乘法:除以一个不等于0的数等于乘以这
个数的倒数,即a÷b=a×新知讲解例2：用计算器计算： （精确到小数点后面第二位） 解：按键：显示：3.16227766精确到小数点后面第二位得：3.16 在实数运算中，如果遇到无理数，并且要求出结果的近似值时，可按要求的精确度用相应的近似有限小数(比结果要求的多一位小数)代替无理数，再进行计算.新知讲解动脑筋：不用计算器，估计 与2哪个大？与3比较呢？ ，2 可以看作分别是面积为5，4的正方形的边长.容易说明，面积大的正方形，它的边长也大. 因此被开方数越大，对应的算术平方根也越大.课堂练习1. 计算下列各式的值：解：2. 计算（结果保留小数点后两位）：解：(1)(2)课堂练习课堂练习3. 计算解：拓展提高把下列各数用“＜”连接起来．解：课堂总结通过这节课的学习，你都学习了哪些知识呢？1、类比有理数，掌握实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算。2、实数比较大小的方法注意：有理数范围内的运算法则、运算律都适合实数。（1）作差法（2）定义与绝对值法（3）数轴法板书设计
课题：3.3.2实数的运算?
教师板演区?
学生展示区1、实数的运算律
2、用计算器计算
3、实数的大小比较基础作业
教材第121页习题3.3A 组第4、5、6题
能力作业
教材第122页习题3.3B 组第8、9题作业布置
