13.1 三角形中的边角关系课时作业（3）

13.1 三角形中的边角关系课时作业（3）
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题
下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　　）
A． B． C． D．
如图所示，△ABC中AB边上的高线是（　　）
A． 线段AG B． 线段BD C． 线段BE D． 线段CF
如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周长长6cm，则AB与AC的差为（ ）
A． 2cm B． 3cm C． 6cm D． 12cm
如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，则下列结论正确的有( )
①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
如图所示，AB⊥AD，AB⊥BC，则以AB为一条高线的三角形共有(　　)
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
如图，AD⊥BC 于 D，DE 是△ADC 的中线，则以 AD 为高的三角形有（ ）
A． 3 个 B． 4 个 C． 5 个 D． 6 个
如图,AD是△ABC的中线,DE是△ADC的高线,AB=3,AC=5,DE=2,点D到AB的距离是（? ）
A． 2 B． C． D．
二、填空题
在三角形的中线，高线，角平分线中，一定能把三角形的面积等分的是_______.
BM是△ABC中AC边上的中线，AB=5cm，BC=3cm，那么△ABM与△BCM的周长之差为___cm．
如图，△ABC中，点D、E分别是BC、AD的中点，△ABC的面积为6，则阴影部分的面积是_____．
如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=40°，∠2=20°，则∠B=_____．
如图所示，阴影部分的面积是，，，则的面积是________．
如图，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边中点，O是形内一点，若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为6、7、8，四边形DHOG面积为_____．
三、解答题
如图，△ABC中，AD、AE 分别是边BC上的中线和高，AE＝4，S△ABD＝10，求BC，CD 的长.
已知，如图，在△中，;求的长.
如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC．
（1）求∠BAE的度数；（2）求∠DAE的度数．
有一块三角形优良品种试验基地，如图，由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制订出两种以上的划分方案以供选择（画图说明）.
如图，在△ABC中，AB=AC，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）在图（1）中，D是BC边上的中点，判断DE+DF和BG的关系，并说明理由．
（2）在图（2）中，D是线段BC上的任意一点，DE+DF和BG的关系是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，请说明理由．
（3）在图（3）中，D是线段BC延长线上的点，探究DE、DF与BG的关系．（不要求证明，直接写出结果）
操作与探究 探索：在如图1至图3中，△ABC的面积为a ．
（1）如图1, 延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA．若△ACD的面积为S1，则S1=________（用含a的代数式表示）；
（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC的面积为S2，则S2= （用含a的代数式表示）；
（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3=__________（用含a的代数式表示）．
发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的_____倍．
答案解析
一 、选择题
【考点】三角形的高、中线和角平分线
【分析】根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高．
解：由图可得：线段BE是△ABC的高的图是A选项．
故选A．
【点睛】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．
【考点】三角形的高、中线和角平分线
【分析】根据三角形高的定义进行判断即可得.
解：根据三角形高线的定义可知，△ABC中AB边上高线应该是过点C向AB所在直线所作的垂线段，
所以△ABC中AB边上的高线是线段CF，
故选D.
【点睛】本题考查了三角形的高线，正确理解三角形的高线的定义是解题的关键.
【考点】三角形的角平分线、中线和高
【分析】根据三角形的周长和中线的定义进行解题．
解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=BC.
∴△ABD比△ACD的周长大6cm，即AB与AC的差值为6cm．
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形是本题解题的关键．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】由∠1=∠2，根据三角形的角平分线的定义得出AE平分∠DAF；又∠3=∠4，利用等式的性质得到∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE=∠EAC，那么AE平分∠BAC．
解：∵∠1=∠2，
∴AE平分∠DAF，故③正确；
又∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE=∠EAC，
∴AE平分∠BAC，故⑤正确．
故选C．
【点评】本题考查了三角形的角平分线的定义：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
【考点】三角形的高、中线和角平分线
【分析】根据三角形高线的定义进行判断即可得.
解：由AB⊥AD，AB⊥BC，可知AB是△ABE、△ABC、△ACE、△ABD的高线，
即以AB为一条高线的三角形共有4个，
故选D.
【点睛】本题考查了三角形的高线，熟知三角形高线的定义是解题的关键.
【考点】三角形的高、中线和角平分线
【分析】 由于AD⊥BC于D，图中共有5个三角形，只有3个有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．
解：∵AD⊥BC于D，
而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有3个，
∴以AD为高的三角形有3个.
故选：A.
【点睛】 此题考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活.
【考点】三角形的角平分线、中线和高
【分析】作DF⊥AB于点F，先由AD是△ABC的中线可得S△ABD=S△ACD，然后根据面积法即可求出DF的长，
解：作DF⊥AB于点F，
∵AD是△ABC的中线,
∴S△ABD=S△ACD，
∴，
∴3DF=5×2，
∴DF=.
故选D.
作
【点睛】本题考查了三角形中线的性质和面积法求线段的长，由中线的性质得出S△ABD=S△ACD是解答本题的关键.
二、填空题
【考点】三角形的角平分线、中线和高
【分析】根据三角形的中线、高线和角平分线各自特点进行分析判断即可.
解：∵在三角形的中线，高线和角平分线中，只有中线一定能够把三角形的一边分成相等的两条线段，
∴一定能够将三角形面积等分的是“三角形的中线”.
故答案为：三角形的中线.
【点睛】熟知“三角形中线的特征”是正确解答本题的关键.
【考点】三角形的角平分线、中线和高
【分析】根据三角形的中线的概念，由BM是△ABC中AC边上的中线得AM=CM．所以△ABM与△BCM的周长之差为AB与BC的差．
解：5-3=2cm．
故答案是：2．
【点睛】理解三角形的中线的概念，能够根据周长公式进行计算，注意线段之间的抵消．
【考点】三角形的角平分线、中线和高
【分析】根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：△ADC是阴影部分的面积的2倍，△ABC的面积是△ADC的面积的2倍，依此即可求解．
解：∵D、E分别是BC，AD的中点，
∴S△AEC=S△ACD，S△ACD=S△ABC，
∴S△AEC=S△ABC=×6=．
故答案为：．
【点睛】考查了三角形的面积和中线的性质：熟记三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分是解题关键．
【考点】三角形的高、中线和角平分线
【分析】由AE平分∠BAC，可得角相等，由∠1=40°，∠2=20°，可求得∠EAD的度数，在直角三角形ABD在利用两锐角互余可求得答案．
解：∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠EAD+∠2，
∴∠EAD=∠1﹣∠2=40°﹣20°=20°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
Rt△ABD中，∠B=90°﹣∠BAD=90°﹣40°﹣20°=30°，
故答案为30°．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的相关知识；求得∠EAD=20°是解答本题的关键．
【考点】三角形的角平分线、中线和高
【分析】连接DF，设 然后根据等底等高的三角形的面积相等表示出再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比表示出 然后求解即可．
解：如图,连接DF,设
∵阴影部分的面积是2cm2，
∴x+y=2cm2，
∵AE=ED，
∴
∵BD=2DC，
∴
∴△ABC的面积
故答案为：5.
【点睛】考查了组合图形面积的求法，掌握中线可以把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键.
【考点】三角形的高、中线和角平分线
【分析】连接OC，OB，OA，OD，易证S△OBF=S△OCF，S△ODG=S△OCG，S△ODH=S△OAH，S△OAE=S△OBE，所以S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE，所以可以求出S四边形DHOG．
解：连接OC，OB，OA，OD，
∵E、F、G、H依次是各边中点，
∴△AOE和△BOE等底等高，所以S△OAE=S△OBE，
同理可证，S△OBF=S△OCF，S△ODG=S△OCG，S△ODH=S△OAH，
∴S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE，
∵S四边形AEOH=6，S四边形BFOE=7，S四边形CGOF=8，
∴6+8=7+S四边形DHOG，
解得S四边形DHOG=7．
故答案为7．
【点睛】 本题考查了三角形的面积.解决本题的关键将各个四边形划分,充分利用给出的中点这个条件,证得三角形的面积相等,进而证得结论.
三 、解答题
【考点】三角形的高、中线和角平分线
【分析】根据△ABD的面积和高AE即可求得BD，从而求得DC和BC.
解：∵在△ABC中，AD、AE分别是边BC上的中线和高，AE=4，S△ABD=10，
∴S△ABD=BD?AE，
∴BD=5，
∵BD=DC，
∴CD=5，BC=2BD=10.
【点睛】本题考查了三角形面积的有关计算，本题中正确的计算是解题的关键.
【考点】三角形的高、中线和角平分线
【分析】根据三角形面积的计算公式建立等量关系，然后求解.
解：.
【点睛】本题主要考查学生对三角形面积公式的掌握和应用.
【考点】三角形的高、中线和角平分线
【分析】 （1）由三角形内角和为180°结合已知条件易得∠BAC=60°，再结合AE平分∠BAC即可得到∠BAE=30°；
（2）由AD是△ABC的高可得∠ADB=90°，结合∠ABC=40°可得∠BAD=50°，再结合∠BAE=30°即可解得∠DAE=20°.
解：（1）∵在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，
∴∠BAC=180°-40°-80°=60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=30°；
（2）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=180°-90°-40°=50°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=50°-30°=20°.
【点睛】 这是一道有关三角形角度的几何计算题，熟悉“三角形内角和为180°，三角形高的定义和三角形角平分线的定义”是解答本题的关键.
【考点】三角形的角平分线、中线和高
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分决绝问题即可，答案不唯一，方法较多.
解：答案不唯一，如图D11-1-2.
（方案一）如图D11-1-2（1），在BC上取点D，E，F，使BD=DE=EF=FC，连接AD，AE，AF.

（1） （2） （3） （4）
图D11-1-2
（方案二）如图D11-1-2（2），分别取AB，BC，CA的中点D，E，F，连接DE，EF，FD.
（方案三）如图D11-1-2（3），分别取BC的中点D，CD的中点E，AB的中点F，连接AD，AE，DF.
（方案四）如图D11-1-2（4），分别取BC的中点D，AB的中点E，AC的中点F，连接AD，DE，DF.
【考点】三角形的高、中线和角平分线
【分析】 连接根据即可求出.
同
根据即可求出.
解：（1）结论：
理由：连结AD．则
即

∴
（2）证明：如图2，连结AD．
则
即

∴
（3）
证明：如图3，
即

∴
【考点】三角形的角平分线、中线和高
【分析】(1)根据等底等高的三角形面积相等解答即可;(2)分别过A、E作BD的垂线,根据三角形中位线定理及三角形的面积公式求解即可;(3)由△BFD、△ECD及△AEF的边长为△ABC边长的一半,高与△AEF的高相等解答即可.
解:(1) ∵CD=BC, △ABC的面积为a, △ABC与△ACD的高相等,;
(2)分别过A、E作AG⊥BD,EF⊥BD,G、F为垂足,
则AG∥EF,∵A为CE的中点,,
∵BC=CD,;
(3) ∵△BDF的边长BD是△ABC边长BC的2倍,两三角形的两边互为另一三角形两边的延长线,,∵△ABC的面积为a,.同理可得,,,. ,,,
∴扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的7倍.
【点睛】本题比较复杂,只要根据三角形的面积公式进行分析即可.