新湘教版 数学 九年级上 3.4.2.2 相似三角形的性质2教学设计
课题
3.4.2.2 相似三角形的性质2
单元
第三单元
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：
①理解并掌握相似三角形的周长的比、面积的比的关系；?
②掌握定理的证明方法，并能灵活运用相似三角形的性质，提高分析和推理的能力。?
过程与方法：
①领会教学活动中的类比思想，提高学生学习数学的积极性；
②通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系。
情感态度与价值观：
①通过解答实际问题，激发学生学数学的兴趣，增长社会见识。
②深化对相似三角形性质（关于周长之比、面积之比）的理解和认识，发展学生的应用能力，建模意识，空间观念等，培养学生积极的情感和态度。
重点
掌握相似三角形性质，并能运用相似三角形的性质解决简单实际问题。
难点
掌握相似三角形性质，并能运用相似三角形的性质解决简单实际问题。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识
+
导入新课
在前面的学习中，我们已经学习有关两个三角形相似的部分性质。今天，我们将继续探究其他的性质，在上新课之前，我们一起回顾下之前学过的知识：
全等三角形与相似三角形的性质
/
【导入新课】接下来，我们一起来看个问题：
问题1 ：若△A’B’C’∽△ABC，相似比为k，那么它们的周长比是多少？
解：∵
??
′
??
′
????
=
??
′
??
′
????
=
??
′
??
′
????
=??
∴A’B’=kab，B’C’=kBC，C’A’=kCA.
∴
?
??
′
??
′
??
′
的周长
???????的周长
=
??
′
??
′
+
??
′
??
′
+
??
′
??
′
????+????+????
=
??（
??
′
??
′
+
??
′
??
′
+
??
′
??
′
）
????+????+????
结论：相似三角形周长的比等于相似比.
问题2 ：若△A’B’C’∽△ABC，相似比为k，那么它们的面积比是多少？
解：分别作BC，B’C’上的高AD，A’D’ ．
∵
??
′
??
′
????
=??
∴
???
′
??
′
??′的面积?
???????的面积
=
??
??
??
′
??
′
×
??
′
??
′
??
??
????×????
=
??
′
??
′
????
×
??
′
??
′
????
=k·k=k2
结论：相似三角形面积的比等于相似比的平方.
学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。
导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
讲授新课
+
例题讲解
讲授新课
+
例题讲解
从刚刚导入新课的探究中，我们可以得到两个三角形相似的其他性质：
1. 相似三角形周长的比等于相似比，
2.相似三角形面积的比等于相似比的平方.
符号表示：
∵ ΔABC ∽ ΔA’B’C’， ΔABC与ΔA’B’C’的相似比为k
∴
?
??
′
??
′
??
′
的周长
???????的周长
=k，
???
′
??
′
??′的面积?
???????的面积
=k2.
接下来，我们看一些具体的例子：
【例1】已知：△ABC∽△A’B’C’ ，它们的周长分别为60cm和72cm，且AB=15cm，B’C’=24cm.求：BC，AC，A′B′，A′C′.
/
解：∵ △ABC∽△A’B’C’，它们周长分别为60cm和72cm，
∴它们的相似比为60：72=5：6.
又∵AB=15cm，B’C’=24cm
∴A′B′=18，BC=20.
∴A′C′=72-24-18=30，
AC=60-15-20=25.
【例2】△ABC中，EF//BC，
AE
EB
=
1
2
,S四边形BCEF=8.求S△ABC.
解：∵ △ABC中，EF//BC
∴ △ABC∽ △ACD
又
AE
EB
=
1
2
∴
AE
AB
=
1
3
∴
S
?AEF
S
?ABC
=(
1
2
)2=
1
9
∵ S四边形BCEF=8
∴ S△AEF=1，∴ S△ABC=9.
/
现在我们一起结合全等三角形回顾下本节课的知识：
/
结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握成两个三角形相似的性质.
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
讲授知识，让学生掌掌握两个三角形相似的性质。
让学生知道本节课的学习内容，同时加深对知识的理解和巩固，同时让学生知道本节课的重点。
课堂练习
1．两个相似三角形的面积比为9∶4，则对应边的中线之比为 3:2 .
2．两个相似三角形的周长之比为2∶3，则它们的面积比为 4:9 .
3．△ABC∽△DEF，且AB∶DE＝3∶4，则△ABC与△DEF的周长之比为 3:4 .
4．如果两个相似多边形面积的比为1∶5，那么它们的相似比为( D )
A．1∶25 B．1∶5
C．1∶2.5 D．1∶
5
5.如图，在?ABCD中，点E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是( )
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．1∶5
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC且AD∥BC，
又点E是AD边上的中点，∴AD＝2DE，
∴BC＝2DE，
∵AD∥BC，∴△EDF∽△BCF，∴
??
???????
??
???????
=
????
????
=
1
2
.
6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC且AD∶BC＝1∶3，对角线AC、BD交于点O，求S△AOD∶S△BOC∶S△AOB.
解：∵AD∥BC，易得△AOD∽△COB，
∴S△AOD∶S△COB＝(1∶3)2＝1∶9，
又OD∶OB＝AD∶BC＝1∶3，
∴SAOD∶S△AOB＝OD∶OB＝1∶3，
∴S△AOD∶S△BOC∶S△AOB＝1∶9∶3.
7．如图所示，D、E分别是AC、AB上的点，已知△ABC的面积为100cm2 ，且
AE
AC
=
AD
AB
=
3
5
.求四边形BCDE的面积.
解：∵∠BAD=∠DAE，且
AE
AC
=
AD
AB
，
∴△ABC∽△ADE
∴它们的相似比为5：3，面积比为25：9.
又∵△ABC的面积为100 cm2 ，
∴△ADE的面积为36 cm2.
∴四边形BCDE的面积为100-36=64（cm2） .
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
课堂小结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
相似三角形的性质
/
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。
帮助学生加强记忆知识。
板书
相似三角形的性质
/
借助板书，让学生知识本节课的重点。
作业
教材第87页练习第1、2题.
/
3.4.2.2 相似三角形的性质2
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题6分）
1．已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的周长为16，则△DEF的周长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．32
2．如果两个相似三角形对应高的比是4：9，那么它们的面积比是（ ）
A．4：9 B．2：3 C．16：81 D．9：4
3．如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若△CEF的面积为18cm2，则S△DGF的值为（ ）
/
A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．7cm2
4．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则S△ABE：S△ECF等于（ ）
/
A．1：2 B．4：1 C．2：1 D．1：4
5．如图是一个由A、B、C三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形（相似比相同），相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中A、B、C的纸片的面积分别为S1、S2、S3，若S1＞S2＞S3，则这个矩形的面积一定可以表示为（ ）
/
A．4S1 B．6S2 C．4S2+3S3 D．3S1+4S3
二．填空题（共5小题，每题6分）
6．已知△ABC与△DEF相似，且△ABC与△DEF的相似比为2：3，若△DEF 的面积为36，则△ABC的面积等于 ．
7．如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为 ．
8． 如果两个相似三角形对应边上的高的比为1：4，那么这两个三角形的周长比是 ．
9．已知△ABC∽△DEF，且S△ABC=4，S△DEF=9，则
????
????
= ．
10．若△ABC∽△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：3，则相似比为 ．
三．解答题（共3小题，第11、12题每题12分，第13题16分）
11．已知△ABC中．AB=15cm，BC=20cm，AC=25cm，另一个与它相似的△A′B′C′的最长边A′C′=50cm，求△A′B′C′的周长和面积．
12．如图，△ADE∽△ABC，
????
????
=
1
2
，△ABC的面积为18，求四边形BCED的面积．
/
13．如图，直角三角形ABC到直角三角形DEF是一个相似变换，AC与DF的长度之比是3：2．
（1）DE与AB的长度之比是多少？
（2）已知直角三角形ABC的周长是12cm，面积是6cm2，求直角三角形DEF的周长与面积．
/
试题解析
一．选择题
1．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比求解即可．
【解答】解：设△DEF的周长为x，
∵△ABC∽△DEF，相似比为2，
∴16：x=2：1，
解得，x=8．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记性质是解题的关键．
2．【分析】相似三角形对应高的比等于相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题；
【解答】解：∵两个相似三角形对应高之比为4：9，
∴它们的相似比为4：9，
∴面积比=（
4
9
）2=16：81．
故选：C．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
3．【分析】作GH⊥BC于H交DE于M，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE=
1
2
BC，证明△GDF∽△GBC，根据相似三角形的性质、三角形的面积公式计算．
【解答】解：作GH⊥BC于H交DE于M，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=
1
2
BC，
∵F是DE的中点，
∴DF=
1
4
BC，
∵DF∥BC，
∴△GDF∽△GBC，
∴
????
????
=
????
????
=
1
4
，
∴
????
????
=
1
3
，
∵DF=FE，
∴S△DGF=
1
3
×△CEF的面积=6cm2，
故选：C．
/
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
4．【分析】首先根据正方形的性质与同角的余角相等证得：△BAE∽△CEF，再根据相似三角形的性质可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△BAE∽△CEF，
∴S△ABE：S△ECF=AB2：CE2，
∵E是BC的中点，
∴BC=2CE=AB
∴
??
△??????
??
△??????
=
(2????
)
2
??
??
2
=
4
1
，即S△ABE：S△ECF=4：1
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方．
5．【分析】如图，由A、B、C三种直角三角形相似，设相似比为k，EF=m，则GH=mk，FH=mk2．想办法构建方程，求出k定值，证明S2+S3=S1即可解决问题；
【解答】解：如图，由A、B、C三种直角三角形相似，设相似比为k，EF=m，则GH=mk，FH=mk2．
/
∴EH=m（1+k2），FM=
??(1+
??
2
)
??
，FK=km（1+k2），
则有：Km（1+k2）+mk=
??(1+
??
2
)
??
，
整理得：k4+k2﹣1=0，
∴k2=
?1+
5
2
或
?1?
5
2
（舍弃），
∴S2=
?1+
5
2
S1，S3=（
?1+
5
2
）2S1=
3?
5
2
S1，
∴S2+S3=S1，
∴这个矩形的面积=2S1+2（S2+S3）=4S1，
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二．填空题
6．【分析】直接利用相似三角形面积比等于相似比的平方得出两三角形面积比，进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC～△DEF，相似比为2：3，
∴△ABC的面积与△DEF的面积比为：4：9，
∵△DEF的面积为36
∴△ABC的面积为16，
故答案为16．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出三角形的面积比是解题关键．
7．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
【解答】解：因为两个相似三角形的周长比为2：3，
所以这两个相似三角形的相似比为2：3，
所以这两个相似三角形的面积比为4：9；
故答案为：4：9．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．
8．【分析】根据相似三角形周长的比、两个相似三角形对应边上的高的比等于相似比解答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形对应边上的高的比为1：4，
∴这两个三角形的相似比为1：4，
∴两个相似三角形的周长比为1：4；
故答案为：1：4
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．
9．【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且S△ABC=4，S△DEF=9，
∴
????
????
=
4
9
=
2
3
．
故答案为
2
3
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
10．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：3，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1：
3
．
故答案为：1：
3
．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
三．解答题
11．【分析】根据△ABC中，AB=15cm，BC=20cm，AC=25cm，可得△ABC的周长和面积，利用最长边可求得两三角形的相似比，再根据周长比等于相似比，可求得△A′B′C′的周长，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，可得△A′B′C′的面积．
【解答】解：∵△ABC中，AB=15cm，BC=20cm，AC=25cm，
∴△ABC的周长=60cm，AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积=
1
2
×15×20=150cm2，
∵△ABC∽△A′B′C′，且△ABC中最长边为25cm，△A′B′C′的最长边长为50cm，
∴相似比为
1
2
，
∴
??
△??????
??
△??′??′??′
=
1
2
，即
60
??
△??′??′??′
=
1
2
，
解得C△A′B′C′=120cm，
∵
??
△??????
??
△??′??′??′
=（
1
2
）2，
∴
150
??
△′??′??′
=
1
4
，
解得S△A′B′C′=600cm2．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
12．【分析】根据题意求出两个三角形的相似比，根据相似三角形的性质得到两个三角形的面积比，求出△ADE的面积，结合图形计算即可．
【解答】解：∵
????
????
=
1
2
，
∴
????
????
=
1
3
，
∵△ADE∽△ABC，
????
????
=
1
3
，
∴△ADE与△ABC的面积比为
1
9
，又△ABC的面积为18，
∴△ADE的面积为2，
∴四边形BCED的面积=△ABC的面积﹣△ADE的面积=16．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
/
/
课件18张PPT。3.4.2相似三角形的性质数学湘教版 九年级上3.4.2.2与相似三角形的周长、面积有关的性质回顾知识全等三角形与相似三角形的性质对应高的比等于相似比对应角平分线的比等于相似比对应中线的比等于相似比讲授新知 问题1 ：若△A’B’C’∽△ABC，相似比为k，那么它们的周长比是多少？?相似三角形周长的比等于相似比.讲授新知C′ABA′B′C 问题2 ：若△A’B’C’∽△ABC，相似比为k，那么它们的面积比是多少？相似三角形面积的比等于相似比的平方.?讲授新知相似三角形的性质 ：
1. 相似三角形周长的比等于相似比，
2.相似三角形面积的比等于相似比的平方. ? 【例1】已知：△ABC∽△A’B’C’ ，它们的周长分别为60cm和72cm，且AB=15cm，B’C’=24cm.求：BC，AC，A′B′，A′C′.讲授新知解：∵ △ABC∽△A’B’C’，且它们的周长分别为60cm和72cm，
∴它们的相似比为60：72=5：6.
又∵AB=15cm，B’C’=24cm
∴A′B′=18，BC=20.
∴A′C′=72-24-18=30，
AC=60-15-20=25.讲授新知????讲授新知全等三角形与相似三角形性质比较对应边____
对应角______
对应高______对应中线_____对应角平分线____
对应边______对应角_____对应高的比等于__________对应中线的比等_________对应角平分线的比等于________
相似比
相似比
相似比
周长_____面积______
周长的比________________面积的比________________相等相等相等相等相等相等相等成比例相等
相似比
相似比的平方讲授新知?3:2 D课堂练习4:9 3:4 5.如图，在?ABCD中，点E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是( )
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．1∶5A课堂练习?课堂练习 6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC且AD∶BC＝1∶3，对角线AC、BD交于点O，求S△AOD∶S△BOC∶S△AOB.解：∵AD∥BC，易得△AOD∽△COB，
∴S△AOD∶S△COB＝(1∶3) 2＝1∶9，
又OD∶OB＝AD∶BC＝1∶3，
∴SAOD∶S△AOB＝OD∶OB＝1∶3，
∴S△AOD∶S△BOC∶S△AOB＝1∶9∶3.课堂练习??课堂总结全等三角形与相似三角形性质比较对应高的比等于相似比对应角平分线的比等于相似比对应中线的比等于相似比周长的比等于相似比面积的比等于相似比的平方板书设计全等三角形与相似三角形性质比较对应高的比等于相似比对应角平分线的比等于相似比对应中线的比等于相似比周长的比等于相似比面积的比等于相似比的平方作业布置教材第89页练习第2、3题. 谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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