3.4.2.2 相似三角形的性质2-试卷

3.4.2.2 相似三角形的性质2
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题6分）
1．已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的周长为16，则△DEF的周长为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．32
2．如果两个相似三角形对应高的比是4：9，那么它们的面积比是（　　）
A．4：9 B．2：3 C．16：81 D．9：4
3．如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若△CEF的面积为18cm2，则S△DGF的值为（　　）
/
A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．7cm2
4．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则S△ABE：S△ECF等于（　　）
/
A．1：2 B．4：1 C．2：1 D．1：4
5．如图是一个由A、B、C三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形（相似比相同），相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中A、B、C的纸片的面积分别为S1、S2、S3，若S1＞S2＞S3，则这个矩形的面积一定可以表示为（　　）
/
A．4S1 B．6S2 C．4S2+3S3 D．3S1+4S3
二．填空题（共5小题，每题6分）
6．已知△ABC与△DEF相似，且△ABC与△DEF的相似比为2：3，若△DEF 的面积为36，则△ABC的面积等于　 　．
7．如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为　 　．
8．如果两个相似三角形对应边上的高的比为1：4，那么这两个三角形的周长比是　 　．
9．已知△ABC∽△DEF，且S△ABC=4，S△DEF=9，则
????
????
=　 　．
10．若△ABC∽△A′B′C′，且△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：3，则相似比为　 　．
三．解答题（共3小题，第11、12题每题12分，第13题16分）
11．已知△ABC中．AB=15cm，BC=20cm，AC=25cm，另一个与它相似的△A′B′C′的最长边A′C′=50cm，求△A′B′C′的周长和面积．
12．如图，△ADE∽△ABC，
????
????
=
1
2
，△ABC的面积为18，求四边形BCED的面积．
/
13．如图，直角三角形ABC到直角三角形DEF是一个相似变换，AC与DF的长度之比是3：2．
（1）DE与AB的长度之比是多少？
（2）已知直角三角形ABC的周长是12cm，面积是6cm2，求直角三角形DEF的周长与面积．
/

试题解析
一．选择题
1．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比求解即可．
【解答】解：设△DEF的周长为x，
∵△ABC∽△DEF，相似比为2，
∴16：x=2：1，
解得，x=8．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记性质是解题的关键．
　
2．【分析】相似三角形对应高的比等于相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题；
【解答】解：∵两个相似三角形对应高之比为4：9，
∴它们的相似比为4：9，
∴面积比=（
4
9
）2=16：81．
故选：C．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
　
3．【分析】作GH⊥BC于H交DE于M，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE=
1
2
BC，证明△GDF∽△GBC，根据相似三角形的性质、三角形的面积公式计算．
【解答】解：作GH⊥BC于H交DE于M，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=
1
2
BC，
∵F是DE的中点，
∴DF=
1
4
BC，
∵DF∥BC，
∴△GDF∽△GBC，
∴
????
????
=
????
????
=
1
4
，
∴
????
????
=
1
3
，
∵DF=FE，
∴S△DGF=
1
3
×△CEF的面积=6cm2，
故选：C．
/
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
　
4．【分析】首先根据正方形的性质与同角的余角相等证得：△BAE∽△CEF，再根据相似三角形的性质可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△BAE∽△CEF，
∴S△ABE：S△ECF=AB2：CE2，
∵E是BC的中点，
∴BC=2CE=AB
∴
??
△??????
??
△??????
=
(2????
)
2
??
??
2
=
4
1
，即S△ABE：S△ECF=4：1
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方．
　
5．【分析】如图，由A、B、C三种直角三角形相似，设相似比为k，EF=m，则GH=mk，FH=mk2．想办法构建方程，求出k定值，证明S2+S3=S1即可解决问题；
【解答】解：如图，由A、B、C三种直角三角形相似，设相似比为k，EF=m，则GH=mk，FH=mk2．
/
∴EH=m（1+k2），FM=
??(1+
??
2
)
??
，FK=km（1+k2），
则有：Km（1+k2）+mk=
??(1+
??
2
)
??
，
整理得：k4+k2﹣1=0，
∴k2=
?1+
5
2
或
?1?
5
2
（舍弃），
∴S2=
?1+
5
2
S1，S3=（
?1+
5
2
）2S1=
3?
5
2
S1，
∴S2+S3=S1，
∴这个矩形的面积=2S1+2（S2+S3）=4S1，
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二．填空题
6．【分析】直接利用相似三角形面积比等于相似比的平方得出两三角形面积比，进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC～△DEF，相似比为2：3，
∴△ABC的面积与△DEF的面积比为：4：9，
∵△DEF的面积为36
∴△ABC的面积为16，
故答案为16．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出三角形的面积比是解题关键．
　
7．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
【解答】解：因为两个相似三角形的周长比为2：3，
所以这两个相似三角形的相似比为2：3，
所以这两个相似三角形的面积比为4：9；
故答案为：4：9．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．
　
8．【分析】根据相似三角形周长的比、两个相似三角形对应边上的高的比等于相似比解答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形对应边上的高的比为1：4，
∴这两个三角形的相似比为1：4，
∴两个相似三角形的周长比为1：4；
故答案为：1：4
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．
　
9．【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且S△ABC=4，S△DEF=9，
∴
????
????
=
4
9
=
2
3
．
故答案为
2
3
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
　
10．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：3，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1：
3
．
故答案为：1：
3
．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
三．解答题
11．【分析】根据△ABC中，AB=15cm，BC=20cm，AC=25cm，可得△ABC的周长和面积，利用最长边可求得两三角形的相似比，再根据周长比等于相似比，可求得△A′B′C′的周长，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，可得△A′B′C′的面积．
【解答】解：∵△ABC中，AB=15cm，BC=20cm，AC=25cm，
∴△ABC的周长=60cm，AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积=
1
2
×15×20=150cm2，
∵△ABC∽△A′B′C′，且△ABC中最长边为25cm，△A′B′C′的最长边长为50cm，
∴相似比为
1
2
，
∴
??
△??????
??
△??′??′??′
=
1
2
，即
60
??
△??′??′??′
=
1
2
，
解得C△A′B′C′=120cm，
∵
??
△??????
??
△??′??′??′
=（
1
2
）2，
∴
150
??
△′??′??′
=
1
4
，
解得S△A′B′C′=600cm2．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
　
12．【分析】根据题意求出两个三角形的相似比，根据相似三角形的性质得到两个三角形的面积比，求出△ADE的面积，结合图形计算即可．
【解答】解：∵
????
????
=
1
2
，
∴
????
????
=
1
3
，
∵△ADE∽△ABC，
????
????
=
1
3
，
∴△ADE与△ABC的面积比为
1
9
，又△ABC的面积为18，
∴△ADE的面积为2，
∴四边形BCED的面积=△ABC的面积﹣△ADE的面积=16．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
　
/
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