新湘教版 数学 九年级上 3.4.2.1 相似三角形的性质1教学设计
课题
3.4.2.1 相似三角形的性质1
单元
第三单元
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：
①理解并掌握相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）之间的关系；?
②掌握定理的证明方法，并能灵活运用相似三角形的性质，提高分析和推理的能力。
过程与方法：在对性质定理的探究中，学生经历“观察--猜想--论证--归纳”的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度，并在其中体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力
情感态度与价值观：
①通过解答实际问题，激发学生学数学的兴趣，增长社会见识。
②深化对相似三角形性质（关于高、中线、角平分线）的理解和认识，发展学生的应用能力，建模意识，空间观念等，培养学生积极的情感和态度。
重点
掌握相似三角形性质定理，并能运用相似三角形的性质解决简单实际问题。
难点
掌握相似三角形性质定理，并能运用相似三角形的性质解决简单实际问题。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识
+
导入新课
在前面的学习中，我们已经知道有关两个三角形相似的判定方法，而今天我们将学习有关两个三角形相似的性质。在上新课之前，我们一起回顾下之前学过的知识：
同时，我们在前面的学习之中已经学习过有关全等三角形的性质，以及部分的有关相似三角形的性质，我们一起看：
【导入新课】接下来，我们一起来看个问题：
问题：如图,△A’B’C’ ∽△ABC，相似比为k，分别作BC，B’C’上的高AD，A’D’ ．那么A'D'AD=A'B'AB吗？
解：∵△ A’B’C’ ∽△ABC，
∴ ∠B′= ∠B．
又∵ △A’D’C’ =∠ADB =90°，
∴△ A’B’D’ ∽△ABD. (两角对应相等两个三角形相似)
∴A'D'AD=A'B'AB=k.
类似的，我们可以得到其余两组对应边上高等于相似比k.
学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。
导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
讲授新课
+
例题讲解
讲授新课
+
例题讲解
讲授新课
+
例题讲解
从刚刚导入新课的探究中，我们可以得到两个三角形相似的性质：
如果两个三角形相似，那么这两个三角形的对应边上的对应高的比等于相似比．
（相似三角形对应高的比等于相似比.）
符号表示：
∵ ΔABC ∽ ΔA’B’C’，AD、A’D’分别为BC、B’C’边上的高
∴ADA'D'= ABA'B'=ACA'C'=BCB'C'=k
接下来，我们看一些具体的例子：
【例1】如图，AB//PQ，AB=100m，PQ=120m，点P，A，C在一条直线上，点Q，B，C也在一条直线上.若AB与PQ的距离是40m，求点C到直线PQ的距离.
解：∵ AB//PQ，∴△CAB∽CPQ.
过点C作CD⊥PQ，垂足为点D.
设CD交AB的延长线与点E，∴CE⊥AB，DE=40m.
由“相似三角形对应高的比等于相似比”可得，
ABPQ=CECD=CD?DECD.
又AB=100m，PQ=120m，DE=40m，
∴CD=240m.
答：点C到直线PQ的距离为240m.
【例2】如图，△A’B’C’∽△ABC， AD，A’D’分别为角平分线. 求证:A'D'AD=A'B'AB.
证明∵△ A’B’C’∽△ABC，
∴ ∠B′= ∠B， ∠ A’B’C’ = ∠BAC ．
又AD，A’D’分别为角平分线
∴∠BAD=12∠BAC=12∠B’A’C’=∠B’A’D
∴△A’B’D’ ∽△ABD.
∴A'D'AD=A'B'AB
相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
【讲授新课】相似三角形的性质 ：
如果两个三角形相似，那么这两个三角形的对应角平分线的比等于相似比．
（相似三角形对应角平分线的比等于相似比.）
符号表示：
∵ ΔABC ∽ ΔA‘B’C’，AD、A’D’分别为∠BAC和∠B’A’C’边上的高
∴ADA'D'= ABA'B'=ACA'C'=BCB'C'=k
【知识探究】【议一议】如图，已知△A’B’C’∽△ABC， 若AD，A’D’分别BC、B’C’的中线.则A'D'AD=A'B'AB成立吗？由此你能得出什么结论？
证明∵△ A’B’C’∽△ABC，
∴ ∠B′= ∠B， ABA'B'=BCB'C'．
又AD，A’D’分别BC、B’C’的中线
∴BD=12BC，B'D'=12B’C’
∴BDB'D'=12BC12B'C'=ABA'B'
∴△A’B’D’ ∽△ABD. ∴A'D'AD=A'B'AB
相似三角形对应中线的比等于相似比.
【讲授新知】相似三角形的性质 ：
如果两个三角形相似，那么这两个三角形的对应边上的对应中线的比等于相似比．
（相似三角形对应中线的比等于相似比..）
符号表示：
∵ ΔABC ∽ ΔA‘B’C’，AD、A’D’分别为BC和B’C’边上的中线
∴ADA'D'= ABA'B'=ACA'C'=BCB'C'=k
【例3】已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△DEF的角平分线，BC＝6cm,EF＝4cm,BG＝4.8cm.求EH的长.
解：∵ △ABC∽△DEF，
∴BGEH=BCEF（相似三角形对应角平分线的比等于相似比）
即4.8EH=64
解得EH=3.2（cm）
答：EH的长为3.2cm.
现在我们一起结合全等三角形回顾下本节课的知识：
结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握两个三角形相似的性质。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
讲授知识，让学生掌掌握两个三角形相似的性质。
让学生知道本节课的学习内容和重点。
让学生知道本节课的学习内容，同时加深对知识的理解和巩固，同时让学生知道本节课的重点。
课堂练习
1.填空：
2.已知△ABC∽△A‘B’C‘，AD、A ’D ‘分别是对应边BC、B ’C ‘上的高，若BC＝8cm, B ’C ‘＝6cm，AD＝4cm，则A 'D '等于（ C ）
16cm B. 12 cm
C. 3 cm D. 6 cm
3．两个相似三角形对应高的比为3∶7，它们的对应角平分线的比为（ D ）
A . 7∶3 B. 49∶9
C. 9∶49 D. 3∶7
4．等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm，在腰AC上取点D, 使△ABC∽ △BDC，则DC=______.
解： ∵ △ABC∽△BDC
∴ACBC=BCDC
即186=6DC
∴DC=2cm.
5．如图，在△ABC中，D、E分别是△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，CF、EG分别是△ABC与△ADE的中线，已知AD∶DB＝4∶3，AB＝18cm，EG＝4cm，求CF的长．
解：∵AD∶DB＝4∶3，
∴AD∶AB＝4∶7，
∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE.
∵CF、EG分别是△ABC与△ADE的中线，
∴ADAB＝EGCF，∴47＝4CF，∴CF＝7cm.
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
课堂小结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
相似三角形的性质
对应边的比等于相似比；
对应角相等；
对应高的比等于相似比；
对应中线的比等于相似比
对应角平分线的比等于相似比
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。
帮助学生加强记忆知识。
板书
相似三角形的性质
对应边的比等于相似比；
对应角相等；
对应高的比等于相似比；
对应中线的比等于相似比
对应角平分线的比等于相似比
借助板书，让学生知识本节课的重点。
作业
教材第87页练习第1、2题.
3.4.2.1 相似三角形的性质1
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题6分）
1．若△ABC∽△DEF，相似比为2：3，则这两个三角形对应角平分线的比为是（ ）
A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4
2．若两个相似三角形对应边上的高线之比为3：1，则对应角的平分线之比为（ ）
A．9：1 B．6：1 C．3：1 D．3：1
3．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（ ）
A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
4．如图，已知△ADE∽△ACB，若AB=10，AC=8，AD=4，则AE的长是（ ）
A．4 B．5 C．20 D．3.2
5．如图，△ABC∽△AB'C'，∠A=35°，∠B=72°，则∠AC'B'的度数为（ ）
A．63° B．72° C．73° D．83°
二．填空题（共5小题，每题6分）
6．若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为 ．
7．已知△ABC∽△DEF，其中顶点A、B、C分别对应顶点D、E、F，如果∠A=40°，∠E=60°，那么∠C= 度．
8．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为34，则△ABC与△DEF对应中线的比为 ．
9．如图，两个三角形相似，AD=2，AE=3，EC=1，则BD= ．
10．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，1），且△CDE∽△ABC，则点E的坐标是 ．
三．解答题（共3小题，每题20分）
11．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB．
（1）求∠APB的大小．
（2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒3cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．
（1）若BM=BN，求t的值；
（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值．
试题解析
一．选择题
1．【分析】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比的性质解答．
【解答】解：∵两个三角形的相似比为2：3，
∴这两个三角形对应角平分线的比为2：3．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形对应角平分线的比等于相似比，比较简单．
2．【分析】由相似三角形对应线段的比等于相似比可求得答案．
【解答】解：
∵两个相似三角形对应高之比是3：1，
∴两个相似三角形的相似比是3：1，
∴它们的对应角平分线之比为3：1，
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应线段的比等于相似比是解题的关键．
3．【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得．
【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm，
根据题意，得：52.5=9x，
解得：x=4.5，
即另一个三角形的最长边长为4.5cm，
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
4．【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应边的比值相等，进而得出答案．
【解答】解：∵△ADE∽△ACB，
∴ADAC=AEAB，
∵AB=10，AC=8，AD=4，
∴48=AE10，
解得：AE=5．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出比例式是解题关键．
5．【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，再根据相似三角形的对应角相等即可解决问题；
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=35°，∠B=72°，
∴∠C=180°﹣35°﹣72°=73°，
∵△ABC∽△AB'C'，
∴∠AC′B′=∠C=73°，
故选：C．
【点评】本题考查三角形内角和定理、相似三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二．填空题
6．【分析】直接利用相似三角形对应高的比等于相似比进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：2，
∴对应高的比为：3：2．
故答案为：3：2
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确记忆相关性质是解题关键．
7．【分析】利用相似三角形的性质求出∠B的度数，再根据三角形内角和定理即可解决问题；
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴∠B=∠E=60°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣40°﹣60°=80°
故答案为80；
【点评】本题考查相似三角形的性质、内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．【分析】根据相似三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：由于相似三角形的相似比等于对应中线的比，
∴△ABC与△DEF对应中线的比为3：4
故答案为：3：4
【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质，本题属于基础题型．
9．【分析】根据相似三角形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵△ADE∽△ACB，
∴AEAB=ADAC，即32+BD=23+1，
解得，BD=4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键．
10．【分析】根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．
【解答】解：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．
①当点E的坐标为（4，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故正确；
②当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故正确；
③当点E的坐标为（6，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故正确；
同理，当点E的坐标为（4，2）、（4，5）、（6，0），
故答案为：（4，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（6，0），
【点评】本题考查了相似三角形的判定，难度中等．牢记判定定理是解题的关键．
三．解答题
11．【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠PCD=60°，根据相似三角形的性质得到∠APC=∠PBD，根据三角形内角和定理计算；
（2）根据相似三角形的性质、等边三角形的性质解答．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质、等边三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键．
12．【分析】（1）由已知条件得出AB=10，BC=53．由题意知：BM=2t，CN=3t，BN=53﹣3t，由BM=BN得出方程2t=53﹣3t，解方程即可；
（2）分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；
②当△NBM∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=10，BC=53．
由题意知：BM=2t，CN=3t，
∴BN=53﹣3t，
∵BM=BN，
∴2t=53﹣3t，
解得：t=532+3=103﹣15．
（2）分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，
则MBAB=BNBC，即 2t10=53?3t53，
解得：t=52．
②当△NBM∽△ABC时，
则BNAB=BMBC，即53?3t10=2t53，
解得：t=157．
综上所述：当t=52或t=157时，△MBN与△ABC相似．
【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形面积的计算；本题综合性强，证明三角形相似是解决问题的关键．
课件21张PPT。3.4.2相似三角形的性质数学湘教版 九年级上3.4.2.1与相似三角形的高、中线、角平分线等有关的性质三角、三边对应相等的两个三角形全等三角对应相等, 三边对应成比例的两个三角形相似 角边角角角边边边边边角边斜边与直角边
(直角三角形）1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似．2.两角分别相等的两个三角形相似.3.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.4.三边对应成比例的两个三角形相似.全等三角形与相似三角形性质比较??相似三角形的性质 ：
如果两个三角形相似，那么这两个三角形的对应边上的对应高的比等于相似比．
（相似三角形对应高的比等于相似比.）? 【例1】如图，AB//PQ，AB=100m，PQ=120m，点P，A，C在一条直线上，点Q，B，C也在一条直线上.若AB与PQ的距离是40m，求点C到直线PQ的距离.???相似三角形对应角平分线的比等于相似比.相似三角形的性质 ：
如果两个三角形相似，那么这两个三角形的对应角平分线的比等于相似比．
（相似三角形对应角平分线的比等于相似比.）???相似三角形对应中线的比等于相似比.相似三角形的性质 ：
如果两个三角形相似，那么这两个三角形的对应边上的对应中线的比等于相似比．
（相似三角形对应中线的比等于相似比..）?【例3】已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△DEF的角平分线，BC＝6cm,EF＝4cm,BG＝4.8cm.求EH的长.?全等三角形与相似三角形性质比较对应高的比等于相似比对应角平分线的比等于相似比对应中线的比等于相似比1.填空：
（1）相似三角形对应高的比等于 .
（2）相似三角形对应角的平分线的比等于 .
（3）相似三角形对应边上的中线的比等于 .相似比 相似比 相似比 2.已知△ABC∽△A‘B’C‘，AD、A ’D ‘分别是对应边BC、B ’C ‘上的高，若BC＝8cm, B ’C ‘＝6cm，AD＝4cm，则A 'D '等于（ ）
16cm B. 12 cm C. 3 cm D. 6 cm C 3．两个相似三角形对应高的比为3∶7，它们的对应角平分线的比为（ ）
A . 7∶3 B. 49∶9
C. 9∶49 D. 3∶7 D 4．等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm，在腰AC上取点D,
使△ABC∽ △BDC，则DC=______.?2cm 5．如图，在△ABC中，D、E分别是△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，CF、EG分别是△ABC与△ADE的中线，已知AD∶DB＝4∶3，AB＝18cm，EG＝4cm，求CF的长．?相似三角形性质对应边的比等于相似比；
对应角相等；
对应高的比等于相似比；
对应中线的比等于相似比
对应角平分线的比等于相似比相似三角形性质对应边的比等于相似比；
对应角相等；
对应高的比等于相似比；
对应中线的比等于相似比
对应角平分线的比等于相似比作业布置教材第87页练习第1、2题. 谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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