北师大版七年级数学第五章5.1方程的意义 学案+练习（含答案解析）

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北师大版七年级数学第五章5.1方程的意义（含答案解析）
【要点梳理】
要点一、方程的有关概念
1．定义：含有未知数的等式叫做方程.
要点诠释：
判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．
2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
要点诠释：
判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；
②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．
3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.
4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.
要点二、一元一次方程的有关概念
定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.
要点诠释： “元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．
要点三、等式的性质
1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.
2．等式的性质：
　　等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：
　　如果，那么 (c为一个数或一个式子) .
　　等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：
如果，那么；如果，那么.
要点诠释：
（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；
(2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，
如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立;
(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．
【典型例题】
类型一、方程的概念
1．下列各式哪些是方程？
①3x-2＝7； ②4+8＝12； ③3x-6；
④2m-3n＝0； ⑤3x2-2x-1＝0； ⑥x+2≠3；
⑦； ⑧．
【答案与解析】
解：②虽是等式，但不含未知数；③不是等式；⑥表示不等关系，故②、③、⑥均不符合方程的概念．①、④、⑤、⑦、⑧符合方程的定义，所以方程有：①、④、⑤、⑦、⑧．
【总结升华】方程的判断必须看两点，一个是等式，二是含有未知数．当然未知数的个数可以是一个，也可以是多个．
举一反三：
【变式】下列四个式子中，是方程的是（　　）
A. 3+2=5 B. x=1 C. 2x﹣3＜0 D. a2+2ab+b2
【答案】B．
2．下列方程中，以x=2为解的方程是（　　）
A. 4x﹣1=3x+2 B. 4x+8=3（x+1）+1
C. 5（x+1）=4（x+2）﹣1 D. x+4=3（2x﹣1）
【答案】C．
【总结升华】检验一个数是不是方程的解，根据方程解的概念，只需将所给字母的值分别代入方程的左右两边，若两边的值相等，则这个数就是此方程的解，否则不是．
举一反三：
【变式】下列方程中，解是x=3的是( )
A．x+1＝4 B．2x+1＝3 C．2x-1＝2 D．
类型二、一元一次方程的相关概念
3．在下列方程中①x2+2x=1，②﹣3x=9，③x=0，④3﹣=2，⑤=y+是一元一次方程的有（ 　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1次的整式方程，可以逐一判断.
【答案】B.
【解析】解：①x2+2x=1，是一元二次方程；②﹣3x=9，是分式方程；③x=0，是一元一次方程；④3﹣=2，是等式，不是方程；⑤=y+是一元一次方程；一元一次方程的有2个，故选：B．
【总结升华】本题考查了一元一次方程的定义，解决本题的关键是熟记一元一次方程的定义．

举一反三：
【变式】下列方程中是一元一次方程的是__________（只填序号）．
①2x-1＝4；②x＝0；③ax＝b；④．
【答案】①②.
类型三、等式的性质
4．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪一条性质，以及怎样变形得到的．
(1)如果，那么________；
(2)如果ax+by＝-c，那么ax＝-c+________；
(3)如果，那么＝________．
【答案与解析】
解： (1). 11；根据等式的性质1，等式两边都加上11；
(2).（-by）； 根据等式的性质1，等式两边都加上-by；
(3).； 根据等式的性质2，等式两边都乘以．
【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，对另一边也进行同样的变形．
举一反三：
【变式】下列说法正确的是( )．
A．在等式ab＝ac两边都除以a，可得b＝c.
B．在等式a＝b两边除以c2+1，可得.
C．在等式两边都除以a，可得b＝c.
D．在等式2x＝2a-b两边都除以2，可得x＝a-b.
【答案】B.
类型四、设未知数列方程
5．根据问题设未知数并列出方程：
一次考试共有25道选择题，做对一道得4分，做错或不做一道倒扣1分．若小明想考80分，他要做对多少道题？
【答案与解析】
解：设小明要做对x道题，则有(25-x)道做错或没做的题，依题意有：4x-(25-x)×1＝80．
可以采用列表法探究其解

显然，当x＝21时，4x-(25-x)×1＝80．
所以小明要做对21道题．
【总结升华】根据题意设出合适的未知量，并根据等量关系列出含有未知量的等式．
举一反三：
【变式】根据下列条件列出方程．
(l)x的5倍比x的相反数大10；
(2)某数的比它的倒数小4；
(3)甲、乙两人从学校到公园，走这段路甲用20分钟，乙用30分钟，如果乙比甲早5分钟出发，问甲用多少时间追上乙？
【答案】(1)5x-(-x)＝10；(2)设某数为x，则；(3)设甲用x分钟追上乙，由题意得．



【巩固练习】
一、选择题
1．下列叙述中，正确的是（　　）
A. 方程是含有未知数的式子 B. 方程是等式
C. 只有含有字母x，y的等式才叫方程 D. 带等号和字母的式子叫方程
2．下列方程是一元一次方程的是( )．
A．x2-2x+3＝0 B．2x-5y＝4 C．x＝0 D．
3．下列方程中，方程的解为x＝2的是( )．
A．2x＝6 B．(x-3)(x+2)＝0 C．x2＝3 D．3x-6＝0
4．x、y是两个有理数，“x与y的和的等于4”用式子表示为( )．
A． B． C． D．以上都不对
5．一艘轮船从甲码头到乙码头顺水航行，用了2小时，从乙码头到甲码头逆水航行，用了2.5小时．已知水流速度为3千米/时．设轮船在静水中的速度为x千米/时，可列出的方程为（　　）
A．2x+3=2.5x﹣3 B．2（x+3）=2.5（x﹣3）
C．2x﹣3=2.5x=3 D．2（x﹣3）=2.5（x+3）
6．如果x＝2是方程的根，则a的值是( )．
A．0 B．2 C．-2 D．-6
7．下列等式变形中，不正确的是( )．
A．若 x＝y，则x+5＝y+5 B．若(a≠0)，则x＝y
C．若-3x＝-3y，则x＝y D．若mx＝my，则x＝y
8．等式的下列变形属于等式性质2的变形是( )．
A． B．
C． D．
二、填空题
9．下列各式中，是方程的有 ，是一元一次方程的是 .
（1）； （2）； （3）； （4）；
（5）； （6）；（7）；（8）；（9）．
10．若3x2m﹣3+7=1是关于x的一元一次方程，则m的值是_____.
11. (1)由a＝b，得a+c＝b+c，这是根据等式的性质_______在等式两边________．(2)由a＝b，得ac＝bc，这是根据等式的性质________在等式的两边________．
12．是下列哪个方程的解：①3x+2＝0；②2x-1＝0；③；④_______(只填序号)．
13. 若，则 ．
14. 比a的3倍大5的数是9，列出方程式是 　．

三、解答题
15．已知x=﹣1是关于x的方程8x3﹣4x2+kx+9=0的一个解，求3k2﹣15k﹣95的值．
16.已知方程，试确定下列各数：，谁是此方程的解？
17．七年级(1)班举行了一次集邮展览，展出的邮票的数量为每人3枚剩余24枚，每人4枚还少26枚，这个班有多少学生？(只列方程)

【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】B
2．【答案】C
【解析】依据一元一次方程的定义来判断．
3．【答案】D
【解析】把x＝2代入A、B、C、D选项逐一验证．
4．【答案】C
【解析】 “x与y的的和”与“x与y的和的”的区别是：前者是与x求和，即，后者是的，即，两者运算顺序是不同的．
5．【答案】B
【解析】解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，
可列出的方程为：2（x+3）=2.5（x﹣3），
故选：B．
6．【答案】C
【解析】把x＝2代入方程得，解得a＝-2．
7. 【答案】D
【解析】D中由mx＝my左右两边需同时除以m，得到x＝y，但当m＝0时，左右两边不能同时除以m，所以D项中等式变形不正确，利用性质2对等式两边同时进行变形，特别注意等式两边同时除以一个式子时，一定先确定这个式子不是0．

8. 【答案】C
二、填空题
9. 【答案】（1）、(2) 、(3)、 (4)、（5）、（6）、（9）；（1）、（5）、（9）．
【解析】由方程与一元一次方程的定义即得答案．
10．【答案】 2
【解析】根据题意得：2m﹣3=1，解得：m=2．
11．【答案】1，同时加上c；2，同时乘以c．
【解析】等式的性质
12．【答案】②④
【解析】代入计算即得答案．
13.【答案】
【解析】由平方和绝对值的非负性，并由题意得：，，即可求出．
14.【答案】3a+5=9．
【解析】解：由题意得：比a的3倍的数大5的数为：3a+5，
所以列出的方程为：3a+5=9．
故答案为3a+5=9．
三、解答题
15. 【解析】
解：将x=﹣1代入方程得：﹣8﹣4﹣k+9=0，
解得：k=﹣3，
当k=﹣3时，3k2﹣15k﹣95=27+45﹣95=﹣23．
16. 【解析】分别将代入原方程的左右两边得：
当时，则左=，右=
当时，则左=，右=
当时，则左=，右=
当时，则左=，右=
综上可得：是此方程解的是：．
17．【解析】设这个班有学生x人，由题意得3x+24＝4x-26．























































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