课件27张PPT。26.1 反比例函数第二十六章 反比例函数 九年级数学下（RJ）
教学课件26.1.1 反比例函数1. 理解并掌握反比例函数的概念. (重点)
2. 从实际问题中抽象出反比例函数的概念，能根据已知
条件确定反比例函数的解析式. (重点、难点)
学习目标导入新课情境引入欣赏视频： 生活中我们常常通过控制电阻的变化来实现舞台灯光的效果. 在电压 U 一定时，当 R 变大时，电流 I 变小，灯光就变暗，相反，当 R 变小时，电流 I 变大，灯光变亮. 你能写出这些量之间的关系式吗? 当杂技演员表演滚钉板的节目时，观众们看到密密麻麻的钉子，都为他们捏一把汗，但有人却说钉子越多，演员越安全，钉子越少反而越危险，你认同吗？为什么？讲授新课 下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式.合作探究(1) 京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速
度v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间 t
(单位：h) 的变化而变化；(2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草
坪，草坪的长 y (单位：m) 随宽 x (单位：m)的
变化而变化；(3) 已知北京市的总面积为1.68×104 km2 ，人均占
有面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (单位：人) 的
变化而变化. 观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共同特点？问题：都具有 的形式，其中 是常数．分式分子 (k为常数，k ≠ 0) 的函数，
叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数.
一般地，形如思考： 因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是所有非零实数. 但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围. 想一想：反比例函数的三种表达方式：(注意 k ≠ 0)下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k 的值.是，k = 3不是不是不是练一练典例精析解得 m =－2.
方法总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程(组)求解即可，如本题中 x 的次数为－1，且系数不等于0.解：因为 是反比例函数，
所以
2m2 + 3m－3=－1，
2m2 + m－1≠0.2. 已知函数 是反比例函数，则
k 必须满足 .1. 当m= 时， 是反比例函数.k≠2 且 k≠－1±1练一练例2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2时，y=6.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；解得 k =12. (2) 当 x=4 时，求 y 的值.方法总结：用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：①设出含有待定系数的反比例函数解析式，
②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式.
已知 y 与 x+1 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 4.(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
(2) 当 x = 7 时，求 y 的值．练一练(2) 当 x = 7 时， 所以有 ，解得 k =16，因此 . 解：(1) 设 ，因为当 x = 3 时，y =4 ， 例3 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50km/h 时，视野为 80 度，如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数解析式，并计算当车速为100km/h 时视野的度数.当 v=100 时，f =40.
所以当车速为100km/h 时视野为40度.解得 k =4000. 所以例4 如图，已知菱形 ABCD 的面积为180，设它的两条对角线 AC，BD的长分别为x，y. 写出变量 y与 x 之间的关系式，并指出它是什么函数.解:因为菱形的面积等于两条对角线长
乘积的一半，A. B.
C. D.1. 下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是 ( )A当堂练习2. 生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中，
x 和 y 成反比例函数关系的有 ( ) ① x人共饮水10 kg，平均每人饮水 y kg；②底面半径为 x m，高为 y m的圆柱形水桶的体积为10 m3；③用铁丝做一个圆，铁丝的长为 x cm，做成圆的半径为 y cm；④在水龙头前放满一桶水，出水的速度为 x，放满一桶水的时间 y
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B3. 填空
(1) 若 是反比例函数，则 m 的取值范围
是 .
(2) 若 是反比例函数，则m的取值范
围是 .
(3) 若 是反比例函数，则m的取值范围
是 . m ≠ 1m ≠ 0 且 m ≠ －2m = －14. 已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x = 3时，y =－4.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
(2) 当 y=6 时，求 x 的值.
解得 k =－12. 所以有 解得 x =－2. 5. 小明家离学校 1000 m，每天他往返于两地之间，有
时步行，有时骑车．假设小明每天上学时的平均速
度为 v ( m/min )，所用的时间为 t ( min )．
(1) 求变量 v 和 t 之间的函数关系式；
(2) 小明星期二步行上学用了 25 min，星期三骑自行
车上学用了 8 min，那么他星期三上学时的平均
速度比星期二快多少？ 125－40＝85 ( m/min )．
答：他星期三上学时的平均速度比星期二快 85 m/min.能力提升：6. 已知 y = y1+y2，y1与 (x－1) 成正比例，y2 与 (x + 1) 成 反比例，当 x=0 时，y =－3；当 x =1 时，y = －1，求：(1) y 关于 x 的关系式；∵ x = 0 时，y =－3；x =1 时，y = －1，－3=－k1+k2 ，∴k1=1，k2=－2.课堂小结建立反比例函数模型用待定系数法求反比例函数解析式 反比例函数：定义/三种表达方式 课件26张PPT。26.1.2 反比例函数的图象和性质第二十六章 反比例函数 九年级数学下（RJ）
教学课件第1课时 反比例函数的图象和性质学习目标1. 经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的
图象特征和性质的过程 (重点、难点)
2. 会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图
象和性质. (重点)
3. 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题. (重点、
难点)导入新课情境引入孙杨 2017游泳世锦赛 200米 自由泳夺冠精彩回放 7 月 30 日，2017 游泳世锦赛在西班牙布达佩斯的多瑙河体育中心落下帷幕. 在 8 天的争夺中，中国代表团不断创造佳绩，以 12 金 12 银 6 铜的成绩排名奖牌榜第二. 孙杨在此次世锦赛中收获了个人世锦赛首枚200 米自由泳金牌.
回顾我们上一课的学习内容，你能写出 200米自由泳比赛中，孙杨游泳所用的时间 t(s) 和游泳速度 v(m/s) 之间的数量关系吗？
试一试，你能在坐标轴中画出这个函数的图象吗？
讲授新课例1 画反比例函数 与 的图象.合作探究提示：画函数的图象步骤一般分为：列表→描点→连线. 需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0.解：列表如下：－1－1.2－1.5－2－3－66321.51.21－2－2.4－3－4－66432.42O－2描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．56xy4321123456－3－4－1－5－6－1－2－3－4－5－6x 增大O－256xy4321123456－3－4－1－5－6－1－2－3－4－5－6 观察这两个函
数图象，回答问题：思考：(1) 每个函数图象分
别位于哪些象限？
(2) 在每一个象限内，
随着x的增大，y 如何
变化？你能由它们的
解析式说明理由吗？
y
减
小●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限
它们与 x 轴、y 轴都不相交；
●在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.
归纳：1. 反比例函数 的图象大致是 ( ) CyoB.xoD.练一练例2 反比例函数 的图象上有两点 A(x1，y1)，B(x2，
y2)，且A，B 均在该函数图象的第一象限部分，若 x1＞
x2，则 y1与y2的大小关系为 ( )A. y1 > y2B. y1 = y2C. y1 < y2D. 无法确定C观察与思考 回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数 (k＞0) 的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数 (k＜0)的图象和性质吗？ ●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限
它们与x轴、y轴都不相交；
●在每个象限内，y随x的增大而增大.
归纳： (1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三
象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；(2) 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四
象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大.
点(2，y1)和(3，y2)在函数 上，则y1 y2
(填“>”“<”或“=”).<练一练例3 已知反比例函数 ，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大，求a的值.解：由题意得a2+a－7=－1，且a－1<0．
解得 a=－3.练一练解：由题意得 m2－10=－1，且 3m－8＞0．
解得 m=3.当堂练习A. 第一、二象限 B. 第一、三象限
C. 第二、三象限 D.第二、四象限
BA.B.C.D.B 3. 已知反比例函数 的图象在第一、三象
限内，则m的取值范围是________.
4. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论：
(1) 经过点 (－1，12) 和点 (10，－1.2)；
(2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；
(3) 双曲线位于二、四象限.
其中正确的是 (填序号).(1)(3)m ＞ 25. 已知反比例函数 的图象过点(－2，－3)，图象上有两点 A (x1，y1)，B (x2，y2)， 且 x1 > x2 > 0，则
y1－y2 0.＜6. 已知反比例函数 y = mxm2－5，它的两个分支分别在
第一、第三象限，求 m 的值.解：因为反比例函数 y = mxm2－5 的两个分支分别在第
一、第三象限， 所以有解得 m=2.能力提升： 解：由题意知，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而
减小.
① 当这两点在图象的同一支上时，
∵y1＜y2，∴a－1＞a+1， 无解；
②当这两点分别位于图象的两支上时，
∵y1＜y2，∴必有 y1＜0＜y2.
∴a－1＜0，a+1＞0， 解得：－1＜a＜1.
故 a 的取值范围为：－1＜a＜1． 图象位于第一、三象限
图象位于第二、四象限在每个象限内，y 随 x 的增大而减小在每个象限内，y 随
x 的增大而增大
课堂小结课件46张PPT。26.1.2 反比例函数的图象和性质第二十六章 反比例函数 九年级数学下（RJ）
教学课件第2课时 反比例函数的图象和性质的
综合运用学习目标1. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活
运用于坐标系中图形的面积计算中. (重点、难点)
2. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题. (重
点、难点)
3. 体会“数”与“形”的相互转化，学习数形结合的思想
方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运
用能力. (重点、难点)导入新课 反比例函数的图象是什么？反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？反比例函数的图象是双曲线 当 k > 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小； 当 k < 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大.复习引入问题1 问题2 典例精析例1 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如
何变化？解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的
图象位于第一、三象限；
在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.
练一练(2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的
图象上，并说明理由；
解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析
式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C
的坐标满足该解析式，
所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函
数的图象上． (3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围． 解：∵ 当 x = －3时，y =－2；
当 x = －1时，y =－6，且 k > 0，
∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小，
∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2.(1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围
是什么？解：因为这个反比例函数图象的一
支位于第一象限，所以另一支
必位于第三象限.由因为这个函数图象位于第一、
三象限，所以m－5＞0，
解得m＞5.(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和
点B (x2，y2). 如果x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的
大小关系？解：因为 m－5 ＞ 0，所以在这个函数图象的任一支
上，y 都随 x 的增大而减小，因此当x1＞x2时，
y1＜y2.练一练A．－1 B．3
C．1 D．0B合作探究5S1 S2 4 4S1=S2S1=S2=k－5－4－3－21432－3－2－4－5－12. 若在反比例函数 中也
用同样的方法分别取 P，Q
两点，填写表格：4 4S1=S2S1=S2=－kS1 S2由前面的探究过程，可以猜想：S我们就 k < 0 的情况给出证明：设点 P 的坐标为 (a，b)AB∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0，若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0， ∴ S矩形 AOBP=PB·PA
=a· (－b)=－ab=－k.综上，S矩形 AOBP=|k|.自己尝试证明
k > 0的情况. 点 Q 是其图象上的任意一
点，作 QA 垂直于 y 轴，作
QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ
的面积与 k 的关系是
S矩形AOBQ= .
推理：△QAO与△QBO的
面积和 k 的关系是
S△QAO=S△QBO= .AB|k|归纳：反比例函数的面积不变性A. SA >SB>SC B. SAC. SA =SB=SC D. SA 如图，在函数 (x＞0)的图像上有三点A，B ，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作
的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为SA ，
SB，SC，则 ( )C做一做解：设点 A 的坐标为(xA，yA)，
∵点 A 在反比例函数
的图象上，∴ xA·yA＝k，
∴ S△AOC＝ ·k＝2，
∴ k＝4，
∴反比例函数的表达式为1. 如图，过反比例函数 图象上的一点 P，作
PA⊥x 轴于A. 若△POA 的面积为 6，则 k = .－12提示：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意
k＜0.练一练2. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向
x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，若四边形
PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是
.例4 如图，P，C是函数 (x>0) 图像上的任意两点，
PA，CD 垂直于 x 轴. 设 △POA 的面积为 S1，则 S1 =
；梯形CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；△POE 的面
积 S3 和 S2 的大小关系是
S2 S3.2S1S2＞＝S3 如图，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是AB 上的点，△ AOC 的面积 S1、△ BOD 的面积 S2、 △ POE 的面积 S3 的大小关系为 .S1 = S2 < S3练一练解析：由反比例函数面积的不变
性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一
支交于点 F，连接 OF，易知，
S△OFE = S1 = S2，而 S3＞S△OFE，
所以 S1，S2，S3的大小关系为
S1 = S2 < S3
FS1S2S3yDBACx325方法总结：解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换，转化为较容易求面积的图形.? 如图，函数 y＝－x 与函数 的图象相交于
A，B 两点，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别
为C，D，则四边形ACBD的面积为 ( )
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8DCABD练一练44k2 >0
b >0k1 >0k2 >0
b <0k1 >0合作探究k2 <0
b <0k1 <0k2 <0
b >0k1 >0④D.xyOyyxB.xyODOOk＜0k＞0×××√k＞0k＜0由一次函数增减性得k＞0由一次函数与y轴交点知－k＞0，
则k＜0xB练一练例7 如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数 的图象，观察图象，当 y1﹥y2 时，x 的取值范围为
. －2< x <0 或 x >3解析：y1﹥y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，可知－2< x <0 或 x >3.方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加简洁明了.练一练A B －1< x <0 或 x >2例8 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (－3，4).试求出它们的解析式，并画出图象.由于这两个函数的图象交于点 P (－3，4)，则点 P (－3，4) 是这两个函数图象上的点， 即点 P 的坐标分别满足这两个解析式.这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？想一想：(2，6)，(－2，－6)解析：联立两个函数解析式，解方程即可. 练一练当堂练习A. 4 B. 2
C. －2 D.不确定OBAPxyA2. 反比例函数 的图象与一次函数 y = 2x +1 的
图象的一个交点是 (1，k)，则反比例函数的解析
式是_______． 3. 如图，直线 y=k1x + b 与反比例函数 (x＞0)交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x +b ＞ 的解集是___________．1＜x＜5解得 k = －8.(2) 这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大
如何变化?
解：这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个
象限内，y 随 x 的增大而增大.(3) 画出该函数的图象；
解：如图所示：(4) 点 B (1，－8) ，C (－3，5)是否在该函数的图象上？因为点 B 的坐标满足该解析式，而点 C 的坐标
不满足该解析式，
所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数
的图象上.
所以一次函数的解析式为 y = 4x－2. 把A，B两点坐标代入一次函数解析式中，得到a =4，b =－2.6. 如图，反比例函数 与一次函数 y =－x + 2 的图象交于 A，B 两点.
(1) 求 A，B 两点的坐标；
解：解得 所以A(－2，4)，B(4，－2). 或 作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，
则AC=4，BD=2. (2) 求△AOB的面积.解：一次函数与x轴的交点为M (2，0)，
∴OM=2.MCD∴S△OMB=OM·BD÷2=2×2÷2=2，∴S△OMA=OM·AC÷2=2×4÷2=4，∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6.课堂小结面积问题面积不变性与一次函数的综合判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意b 的正负反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称反比例函数图象和性质的综合运用
