第2课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
知识点 1 二次函数y＝a(x－h)2的图象与y＝ax2 的图象的关系
1．将抛物线y＝x2向________平移________个单位得到抛物线y＝(x＋5)2；将抛物线y＝x2向________平移________个单位得到抛物线y＝(x－5)2.
2．下列方法可以得到抛物线y＝(x－2)2的是( )
A．把抛物线y＝x2向右平移2个单位
B．把抛物线y＝x2向左平移2个单位
C．把抛物线y＝x2向上平移2个单位
D．把抛物线y＝x2向下平移2个单位
3．顶点是(－2，0)，开口方向、形状与抛物线y＝x2相同的抛物线是( )
A．y＝(x－2)2 B．y＝(x＋2)2
C．y＝－(x－2)2 D．y＝－(x＋2)2
知识点 2 二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
4．抛物线y＝(x＋3)2的开口向______；对称轴是直线________；当x＝______时，y有最______值，这个值为________；当x________时，y随x的增大而减小．
5．2017·平邑县校级月考对于任意实数h，抛物线y＝(x－h)2与抛物线y＝x2( )
A．开口方向相同 B．对称轴相同
C．顶点相同 D．都有最高点
6．关于二次函数y＝－2(x＋3)2，下列说法中正确的是( )
A．其图象开口向上
B．其图象的对称轴是直线x＝3
C．其图象的顶点坐标是(0，3)
D．当x>－3时，y随x的增大而减小
7．在平面直角坐标系中，函数y＝－x＋1与y＝－(x－1)2的图象大致是( )
图26－2－13
8．2017·衡阳已知函数y＝－(x－1)2的图象上的两点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a>2，则y1与y2的大小关系是y1______y2.(填“<”“>”或“＝”)
9．教材练习第1题变式在平面直角坐标系中画出函数y＝－(x－3)2的图象．
(1)指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)说明该函数图象与二次函数y＝－x2的图象的关系；
(3)根据图象说明，何时y随x的增大而减小．
10．如图26－2－14是二次函数y＝a(x－h)2的图象，则直线y＝ax＋h不经过
的象限是( )
图26－2－14
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
11．已知二次函数y＝－(x－h)2，当x＜－3时，y随x的增大而增大；当x＞－3时，y随x的增大而减小．当x＝0时，y的值为( )
A．－1 B．－9 C．1 D．9
12．2017?上海静安区中考模拟将抛物线y＝ax2－1平移后与抛物线y＝a(x－1)2重合，抛物线y＝ax2－1上的点A(2，3)同时平移到点A′的位置，那么点A′的坐标为( )
A．(3，4) B．(1，2) C．(3，2) D．(1，4)
13．已知抛物线y＝a(x－h)2的形状及开口方向与抛物线y＝－2x2相同，且顶点坐标为(－2，0)，则a＋h＝________．
14．二次函数y＝a(x－h)2的图象如图26－2－15所示，若点A(－2，y1)，B(－4，y2)是该图象上的两点，则y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)
图26－2－15
15．若点A，B，C为二次函数y＝(x－2)2图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为____________．
16．已知直线y＝kx＋b经过抛物线y＝－x2＋3的顶点A和抛物线y＝3(x－2)2的顶点B，求该直线的函数关系式．
17．已知二次函数y＝(x－3)2.
(1)写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和该函数的最值．
(2)若点A(x1，y1)，B(x2，y2)位于对称轴右侧的抛物线上，且x1(3)抛物线y＝(x＋7)2可以由抛物线y＝(x－3)2平移得到吗？如果可以，请写出平移的方法；如果不可以，请说明理由．
18．一条抛物线的形状与抛物线y＝2x2的形状相同，对称轴与抛物线y＝(x＋2)2的对称轴相同，且顶点在x轴上，求这条抛物线所对应的函数关系式．
19．已知抛物线y＝x2如图26－2－16所示．
(1)抛物线向右平移m(m>0)个单位后，经过点A(0，3)，试求m的值；
(2)画出(1)中平移后的图象；
(3)设两条抛物线相交于点B，点A关于新抛物线对称轴的对称点为C，试在新抛物线的对称轴上找出一点P，使BP＋CP的值最小，并求出点P的坐标．
图26－2－16
详解详析
1．左 5 右 5
2．A [解析] 根据平移规律“左加右减”，得抛物线y＝(x－2)2可以由抛物线y＝x2向右平移2个单位得到．
3．B [解析] ∵开口方向、形状与抛物线y＝x2相同，∴a＝.∵抛物线的顶点是(－2，0)，
∴抛物线的表达式为y＝(x＋2)2.
4．上 x＝－3 －3 小 0 <－3
5．A [解析] 抛物线y＝(x－h)2与抛物线y＝x2，
A．a＝1＞0，都开口向上，此说法正确；
B．抛物线y＝(x－h)2的对称轴为直线x＝h，抛物线y＝x2的对称轴为直线x＝0，说法错误；
C．抛物线y＝(x－h)2的顶点是(h，0)，抛物线y＝x2的顶点是(0，0)，说法错误；
D．a＞0，都有最低点，说法错误．故选A.
6．D [解析] 由a＝－2＜0，可知图象开口向下，故A错误；y＝－2(x＋3)2＝－2[x－(－3)]2，故图象的对称轴是直线x＝－3，顶点坐标是(－3，0)，故B，C错误；因为图象开口向下，对称轴为直线x＝－3，所以当x＞－3时，y随x的增大而减小，故D正确．故选D.
7．D [解析] 抛物线y＝－(x－1)2的对称轴是直线x＝1，可排除选项B和C；直线y＝－x＋1交y轴于点(0，1)，排除选项A.选项D满足题意．故选D.
8．> [解析] 因为二次项系数为－1，小于0，所以在对称轴直线x＝1的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴直线x＝1的右侧，y随x的增大而减小．因为a>2>1，所以y1>y2.故答案为“>”．
9．解：图略．(1)该函数图象的开口向下，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为(3，0)．
(2)二次函数y＝－(x－3)2的图象是由二次函数y＝－x2的图象向右平移3个单位得到的．
(3)当x>3时，y随x的增大而减小．
10．B [解析] 由图象可知a>0，h<0，所以直线y＝ax＋h不经过第二象限．
11．B [解析] 由题意知二次函数y＝－(x－h)2的图象的对称轴为直线x＝－3，故h＝－3.把h＝－3代入二次函数y＝－(x－h)2可得y＝－(x＋3)2，当x＝0时，y＝－9.故选B.
12．A [解析] ∵抛物线y＝ax2－1的顶点坐标是(0，－1)，抛物线y＝a(x－1)2的顶点坐标是(1，0)，∴将抛物线y＝ax2－1向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y＝a(x－1)2，∴将点A(2，3)向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点A′的坐标为(3，4)．故选A.
13．－4
14．＝ [解析] 由图象可知抛物线的对称轴为直线x＝－3，所以点A和点B关于对称轴对称，所以y1＝y2.
15．y1＞y2＞y3 [解析] ∵二次函数y＝(x－2)2的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，∴当x＜2时，y随x的增大而减小，又∵－＜－＜＜2，∴y1＞y2＞y3.
16．解：抛物线y＝－x2＋3的顶点A的坐标为(0，3)，抛物线y＝3(x－2)2的顶点B的坐标为(2，0)．
∵直线y＝kx＋b经过点A，B，
∴
解得
∴该直线的函数关系式为y＝－x＋3.
17．解：(1)因为a＝1>0，所以该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为(3，0)；当x＝3时，y最小值＝0，没有最大值．
(2)因为当x>3时，y随x的增大而增大．又因为3(3)可以．将抛物线y＝(x－3)2向左平移10个单位可以得到抛物线y＝(x＋7)2.
18．解：根据题意设这条抛物线所对应的函数关系式为y＝a(x－k)2.
∵这条抛物线的形状与抛物线y＝2x2的形状相同，∴|a|＝2，即a＝±2.
又∵这条抛物线的对称轴与抛物线y＝(x＋2)2的对称轴相同，∴k＝－2，
∴这条抛物线所对应的函数关系式为y＝2(x＋2)2或y＝－2(x＋2)2.
19．解：(1)平移后得到的抛物线对应的函数关系式为y＝(x－m)2，把(0，3)代入，得3＝(0－m)2，解得m1＝3，m2＝－3.因为m>0，所以m＝3.
(2)如图所示．
(3)如图，由题意可知平移后抛物线的函数关系式为y＝(x－3)2，点B的坐标为，点C的坐标为(6，3)，点P为直线BC与抛物线y＝(x－3)2的对称轴(直线x＝3)的交点．设直线BC所对应的函数关系式为y＝kx＋b，则解得
即直线BC所对应的函数关系式为y＝x，
当x＝3时，y＝，因此点P的坐标为.
第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
知识点 1 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与y＝ax2， y＝a(x－h)2的图象的关系
1．二次函数y＝－3＋2的图象是由抛物线y＝－3x2先向________(填“左”或“右”)平移________个单位，再向________(填“上”或“下”)平移________个单位得到的．
2．2017·常德将抛物线y＝2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为( )
A．y＝2(x－3)2－5 B．y＝2(x＋3)2＋5
C．y＝2(x－3)2＋5 D．y＝2(x＋3)2－5
3．抛物线y＝(x＋2)2－3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是( )
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
D．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
4．在同一平面直角坐标系内，将抛物线y＝(x－2)2＋5先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后，所得抛物线的顶点坐标为( )
A．(4，4) B．(4，6)
C．(0，6) D．(0，4)
知识点 2 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
5．抛物线y＝3(x－2)2＋3的开口________，顶点坐标为________，对称轴是________；当x>2时，y随x的增大而________，当x<2时，y随x的增大而________；当x＝________时，y有最________值是________．
6.如图26－2－17所示为二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象，则a________0，h________0，k________0.(填“＞”“＜”或“＝”)
图26－2－17
7．二次函数y＝(x－2)2－1的图象不经过的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
8．设二次函数y＝(x－3)2－4的图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是( )
A．(1，0) B．(3，0)
C．(－3，0) D．(0，－4)
9．已知二次函数y＝－(x＋1)2＋2，则下列说法正确的是( )
A．其图象开口向上
B．其图象与y轴的交点坐标为(－1，2)
C．当x＜1时，y随x的增大而减小
D．其图象的顶点坐标是(－1，2)
10．教材练习第2题变式二次函数y＝－(x－b)2＋k的图象如图26－2－18所示．
(1)求b，k的值；
(2)二次函数y＝－(x－b)2＋k的图象经过怎样的平移可以得到二次函数y＝－x2的图象？
图26－2－18
11．已知二次函数y＝(x－1)2－3.
(1)画出该函数的图象，并写出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的变化情况；
(2)函数y有最大值还是最小值？并写出这个最大(小)值；
(3)设函数图象与y轴的交点为P，求点P的坐标．
12．若抛物线y＝(x－1)2＋2不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移1个单位，再沿铅直方向向上平移3个单位，则原抛物线的关系式变为( )
A．y＝(x－2)2＋3 B．y＝(x－2)2＋5
C．y＝x2－1 D．y＝x2＋4
13．2017·盐城如图26－2－19，将函数y＝(x－2)2＋1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A′，B′.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是( )
图26－2－19
A．y＝(x－2)2－2 B．y＝(x－2)2＋7
C．y＝(x－2)2－5 D．y＝(x－2)2＋4
14．已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图26－2－20所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是图26－2－21中的( )
图26－2－20
图26－2－21
15．2018·潍坊已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数y的最大值为－1，则h的值为( )
A．3或6 B．1或6
C．1或3 D．4或6
16．已知二次函数y＝－(x＋k)2＋h，当x＞－2时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是________．
17．已知抛物线y＝＋m＋2的顶点在第二象限，试求m的取值范围．
18．如图26－2－22，抛物线y＝－(x－1)2＋4与y轴交于点C，顶点为D.
(1)求顶点D的坐标；
(2)求△OCD的面积．
图26－2－22
19．已知抛物线y＝3－12如图26－2－23所示．
(1)求出该抛物线与y轴的交点C的坐标；
(2)求出该抛物线与x轴的交点A，B的坐标；
(3)如果抛物线的顶点为D，试求四边形ABCD的面积．
图26－2－23
详解详析
1．右 4 上 2
2．A [解析] 抛物线y＝2x2的顶点坐标为(0，0)，点(0，0)向右平移3个单位，再向下平移5个单位所得对应点的坐标为(3，－5)，所以平移后得到的抛物线的表达式为y＝2(x－3)2－5.故选A.
3．B [解析] 由抛物线平移的规律“左加右减，上加下减”可以得出，应先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．所以选B.
4．D
5．向上 (2，3) 直线x＝2 增大 减小 2 小 3
6．< > >
7．C [解析] 根据题意可得该函数图象的顶点坐标为(2，－1)，与y轴交于(0，3)，且开口向上，故抛物线不经过第三象限，故选C.
8．B [解析] 由题意可知二次函数的图象的对称轴为直线x＝3，所以点M的横坐标为3，对照选项可知选B.
9．D [解析] ∵y＝－(x＋1)2＋2，∴二次函数的图象开口向下，顶点坐标为(－1，2)，对称轴为x＝－1，故A错误，D正确；当x＜－1时，y随x的增大而增大，当x＞－1时，y随x的增大而减小，故C错误；在y＝－(x＋1)2＋2中，令x＝0可得y＝1，∴图象与y轴的交点坐标为(0，1)，故B错误．故选D.
10．解：(1)由图象可得二次函数y＝－(x－b)2＋k的图象的顶点坐标为(1，3)．
因为二次函数y＝－(x－b)2＋k的图象的顶点坐标为(b，k)，所以b＝1，k＝3.
(2)把二次函数y＝－(x－b)2＋k的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位可得到二次函数y＝－x2的图象(其他平移方法合理也可)．
11．解：(1)画函数图象略．∵a＝＞0，∴图象的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－3)．当x<1时，y随x的增大而减小，当x>1时，y随x的增大而增大．
(2)∵a＝＞0，∴函数y有最小值，最小值为－3.
(3)令x＝0，则y＝×(0－1)2－3＝－，所以点P的坐标为.
12．C [解析] ∵y＝(x－1)2＋2，∴原抛物线的关系式变为y＝(x－1＋1)2＋2－3＝x2－1.故选C.
13．D [解析] 连结AB，A′B′，则S阴影＝S四边形ABB′A′.由平移可知，AA′＝BB′，AA′∥BB′，所以四边形ABB′A′是平行四边形．分别延长A′A，B′B交x轴于点M，N.因为A(1，m)，B(4，n)，所以MN＝4－1＝3.因为S?ABB′A′＝AA′·MN，所以9＝3AA′，解得AA′＝3，即函数y＝(x－2)2＋1的图象沿y轴向上平移了3个单位，所以新图象的函数表达式为y＝(x－2)2＋4.
14．A [解析] 由二次函数的图象开口向上得a＞0.因为－c是二次函数图象顶点的纵坐标，所以c＞0.所以一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．
15．B [解析] 如图，当h＜2时，有－(2－h)2＝－1，
解得h1＝1，h2＝3(舍去)；
当2≤h≤5时，y＝－(x－h)2的最大值为0，不符合题意；
当h＞5时，有－(5－h)2＝－1，
解得h3＝4(舍去)，h4＝6.
综上所述，h的值为1或6.
故选B.
16．k≥2 [解析] 抛物线的对称轴为直线x＝－k，
因为a＝－1＜0，所以抛物线开口向下，
所以当x＞－k时，y随x的增大而减小．
又因为当x＞－2时，y随x的增大而减小，
所以－k≤－2，所以k≥2.
17．解：因为y＝＋m＋2＝[x－(－m＋1)]2＋(m＋2)，所以抛物线的顶点坐标为(－m＋1，m＋2)．因为抛物线的顶点在第二象限，所以即所以m>1.
18．解：(1)顶点D的坐标为(1，4)．
(2)把x＝0代入y＝－(x－1)2＋4，得y＝3，
即OC＝3，
所以△OCD的面积为×3×1＝.
19．解：(1)当x＝0时，y＝－9，所以点C的坐标为(0，－9)．
(2)当y＝0时，3－12＝0，解得x1＝－3，x2＝1，所以点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(1，0)．
(3)由抛物线所对应的函数关系式可知点D的坐标为(－1，－12)，设对称轴与x轴交于点E，则点E的坐标为(－1，0)，所以S四边形ABCD＝S△ADE＋S梯形OCDE＋S△BOC＝×2×12＋×1×(9＋12)＋×1×9＝27.
第4课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
知识点 1 二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝a(x－h)2＋k的关系
1．2018·山西用配方法将二次函数y＝x2－8x－9化为y＝a(x－h)2＋k的形式为( )
A．y＝(x－4)2＋7 B．y＝(x－4)2－25
C．y＝(x＋4)2＋7 D．y＝(x＋4)2－25
2．试通过配方法求出抛物线y＝－x2＋4x－8的顶点坐标和对称轴，并指出当x在什么范围内时，y随x的增大而减小．
知识点 2 抛物线y＝ax2＋bx＋c的平移
3．在同一平面直角坐标系内，将函数y＝x2＋4x－1的图象先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，得到的图象的顶点坐标是( )
A．(－2，－5) B．(1，－4)
C．(1，－6) D．(－2，－2)
4．2018·广西将抛物线y＝x2－6x＋21向左平移2个单位后，得到的新抛物线的表达式为( )
A．y＝(x－8)2＋5 B．y＝(x－4)2＋5
C．y＝(x－8)2＋3 D．y＝(x－4)2＋3
5．已知二次函数y＝x2的图象上有一点P(1，1)，若将该图象平移后得到的图象的函数表达式为y＝x2－2x－1，则点P经过该次平移后对应点的坐标为( )
A．(2，1) B．(2，－1)
C．(1，－2) D．(0，5)
知识点 3 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
6．把二次函数y＝x2－4x＋1配方得____________，故其函数图象的开口________，对称轴为________________________________________________________________________，
顶点坐标为________，当x>2时，y随x的增大而________，当x<2时，y随x的增大而________________________________________________________________________，
当x＝________时，y有最________值是________．
7．2017·长春期末抛物线y＝2x2－4x＋1的对称轴是直线( )
A．x＝2 B．x＝1
C．x＝－ D．x＝－1
8．2017·大冶市月考已知二次函数y＝－3(x－h)2＋5，当x＞－2时，y随x的增大而减小，则有( )
A．h≥－2 B．h≤－2
C．h＞－2 D．h＜－2
9．二次函数y＝x2＋2x－3的图象的开口方向、顶点坐标分别是( )
A．开口向上，顶点坐标为(－1，－4)
B．开口向下，顶点坐标为(1，4)
C．开口向上，顶点坐标为(1，4)
D．开口向下，顶点坐标为(－1，－4)
10．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图26－2－24所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数的图象上，且x1＜x2＜1，
图26－2－24
则y1与y2的大小关系是( )
A．y1≤y2 B．y1＜y2
C．y1≥y2 D．y1＞y2
11．已知二次函数y＝－x2－x＋.
(1)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并指出其对称轴和顶点坐标；
(2)当－2≤x≤2时，它的最大值和最小值分别是多少？
(3)若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后的图象所对应的函数关系式．
图26－2－25
12．2018·黄冈当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a的值为( )
A．－1 B．2
C．0或2 D．－1或2
13．已知当b＜0时，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象是如图26－2－26所示的四个图象中的一个．根据图象分析a的值等于( )
图26－2－26
A．－2 B．－1 C．1 D．2
14．2018·恩施州抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝－1，部分图象如图26－2－27所示，下列说法中：
图26－2－27
①abc＞0；
②b2－4ac＞0；
③9a－3b＋c＝0；
④若点(－0.5，y1)，(－2，y2)均在抛物线上，则y1＞y2；
⑤5a－2b＋c＜0.
其中正确的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
15．若A(2，y1)，B(－3，y2)，C(－1，y3)三点在二次函数y＝x2－4x－m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是____________．
16．已知点A(1，1)在二次函数y＝x2－2ax＋b的图象上．
(1)用含a的代数式表示b；
(2)如果该二次函数图象的顶点在x轴上，求这个二次函数图象的顶点坐标．
17．如图26－2－28，抛物线y＝ax2－5ax＋4a与x轴相交于点A，B，且过点C(5，4)．
(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标；
(2)请设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后的抛物线所对应的函数关系式．
图26－2－28
18．二次函数y＝a(x－4)2－4的图象在2A．1 B．－1 C．2 D．－2
19．如图26－2－29，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(2，0)，C(0，－6)两点．
(1)求这个二次函数的关系式；
(2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点D，连结AC，CD，求△ACD的面积；
(3)点P在此抛物线上，且使＝，写出点P的坐标．
图26－2－29
详解详析
1．B [解析] y＝x2－8x－9＝x2－8x＋16－25＝(x－4)2－25.故选B.
2．解：把y＝－x2＋4x－8化为顶点式为y＝－(x2－4x)－8＝－(x2－4x＋4－4)－8＝－(x2－4x＋4)＋4－8＝－(x－2)2－4，故该抛物线的顶点坐标为(2，－4)，对称轴为直线x＝2.当x＞2时，y随x的增大而减小．
3．C
4．D [解析] y＝x2－6x＋21＝(x2－12x)＋21＝[(x－6)2－36]＋21＝(x－6)2＋3，
故y＝(x－6)2＋3向左平移2个单位后，得到的新抛物线的表达式为y＝(x－4)2＋3.
故选D.
5．B [解析] ∵抛物线y＝x2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2的顶点坐标是(1，－2)，∴二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位即可得到函数y＝x2－2x－1的图象，∴点P(1，1)向右平移1个单位，向下平移2个单位后对应点的坐标是(2，－1)．故选B.
6．y＝(x－2)2－3 向上 直线x＝2 (2，－3) 增大 减小 2 小 －3
7．B [解析] ∵y＝2x2－4x＋1＝2(x2－2x＋1)－2＋1＝2(x－1)2－1，∴抛物线y＝2x2－4x＋1的对称轴是直线x＝1.故选B.
8．B [解析] ∵a＝－3，∴二次函数开口向下，∴在二次函数图象对称轴右侧，y随x的增大而减小，∴h≤－2.故选B.
9．A [解析] ∵二次函数y＝x2＋2x－3的二次项系数a＝1＞0，∴函数图象开口向上．
∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，
∴图象的顶点坐标为(－1，－4)．故选A.
10．B [解析] 由图象可知，抛物线的对称轴是直线x＝1，开口向下，
故当x＜1时，y随x的增大而增大．
∵x1＜x2＜1，
∴y1＜y2.故选B.
11．解：(1)画图如下．
因为y＝－x2－x＋＝－(x＋1)2＋2，所以这个函数图象的对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为(－1，2)．
(2)因为－2≤x≤2，由图象可知，当x＝－1时，函数有最大值2；当x＝2时，函数有最小值－.
(3)平移后的图象所对应的函数关系式为y＝－(x－2)2＋2(或写成y＝－x2＋2x)．
12．D [解析] 当y＝1时，有x2－2x＋1＝1，
解得x1＝0，x2＝2.
∵当a≤x≤a＋1时，函数有最小值1，
∴a＝2或a＋1＝0，
∴a＝2或a＝－1.
故选D.
13．C [解析] 由图可知第1，2两个图象的对称轴为y轴，所以x＝－＝0，所以b＝0，这与b＜0相矛盾．因为第3个图象开口向上，所以a＞0.因为抛物线经过坐标原点，所以a2－1＝0，解得a1＝1，a2＝－1(舍去)，所以对称轴为直线x＝－＝－＞0，所以b＜0，符合题意，所以a＝1.因为第4个图象开口向下，所以a＜0.因为抛物线经过坐标原点，所以a2－1＝0，解得a1＝1(舍去)，a2＝－1，所以对称轴为直线x＝－＝－＞0，所以b＞0，不符合题意．综上所述，可知a＝1.
14．B [解析] ∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，且经过点(1，0)，
∴－＝－1，a＋b＋c＝0，
∴b＝2a，c＝－3a.
∵a＞0，
∴b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①错误．
∵抛物线与x轴有交点，
∴b2－4ac＞0，故②正确．
∵抛物线与x轴交于点(－3，0)，
∴9a－3b＋c＝0，故③正确．
∵点(－0.5，y1)，(－2，y2)均在抛物线上，
∴点(－1.5，y1)也在抛物线上．
又－1＞－1.5＞－2，
∴y1＜y2，故④错误．
∵5a－2b＋c＝5a－4a－3a＝－2a＜0，故⑤正确．
故选B.
15．y2＞y3＞y1
[解析] ∵二次函数y＝x2－4x－m中a＝1＞0，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝－＝2，点A(2，y1)是抛物线的顶点，∴y1是y＝x2－4x－m的最小值．又∵B(－3，y2)，C(－1，y3)两点都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故y2＞y3.∴y2＞y3＞y1.
16．解：(1)因为点A(1，1)在二次函数y＝x2－2ax＋b的图象上，所以1＝1－2a＋b，可得b＝2a.
(2)根据题意，得该函数图象顶点的纵坐标为0，即＝0，由(1)知b＝2a，所以化方程为4a2－8a＝0，解得a＝0或a＝2.当a＝0时，y＝x2，这个二次函数图象的顶点坐标为(0，0)；当a＝2时，y＝x2－4x＋4＝(x－2)2，这个二次函数图象的顶点坐标为(2，0)．
综上所述，这个二次函数图象的顶点坐标为(0，0)或(2，0)．
17．解：(1)把点C(5，4)的坐标代入y＝ax2－5ax＋4a，得25a－25a＋4a＝4，
解得a＝1，
∴该二次函数的关系式为y＝x2－5x＋4.
∵y＝x2－5x＋4＝－，
∴顶点P的坐标为.
(2)答案不唯一．例如先把抛物线y＝－向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到平移后抛物线对应的函数关系式为y＝－＋4＝＋，即y＝x2＋x＋2.
18．A
19．解：(1)把点A(2，0)，C(0，－6)的坐标代入y＝－x2＋bx＋c，得解得∴这个二次函数的关系式为y＝－x2＋4x－6.
(2)该抛物线的对称轴为直线x＝－＝4，∴点D的坐标为(4，0)，∴AD＝OD－OA＝4－2＝2，∴S△ACD＝AD·OC＝×2×6＝6.
(3)由＝，得＝，即S△ABP＝4.由抛物线的对称性可知抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(6，0)，所以AB＝4，即×4×|yP|＝4，即|yP|＝2.当yP＝2时，有－x2＋4x－6＝2，解得x1＝x2＝4，此时点P的坐标为(4，2)；当yP＝－2时，有－x2＋4x－6＝－2，解得x＝4±2 ，所以点P的坐标为(4＋2 ，－2)或(4－2 ，－2)．
综上，点P的坐标为(4，2)或(4＋2 ，－2)或(4－2 ，－2)．
26.2.2 第1课时 二次函数y＝ax2＋k的图象与性质
知识点 1 二次函数y＝ax2＋k的图象与y＝ax2的图象的关系
1．如图26－2－8，将抛物线y＝x2向________平移________个单位得到抛物线y＝x2＋2；将抛物线y＝x2向________平移________个单位得到抛物线y＝x2－2.
图26－2－8
2．将二次函数y＝x2的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的关系式为( )
A．y＝x2－1 B．y＝x2＋1
C．y＝(x－1)2 D．y＝(x＋1)2
3．教材练习第2题变式不画出图象，回答下列问题：
(1)函数y＝4x2＋2的图象可以看成是由函数y＝4x2的图象通过怎样的平移得到的？
(2)说出函数y＝4x2＋2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)如果要将函数y＝4x2的图象经过适当的平移，得到函数y＝4x2－5的图象，应怎样平移？
知识点 2 二次函数y＝ax2＋k的图象与性质
4．抛物线y＝－x2－6的开口向________，顶点坐标是________，对称轴是________；当x________时，y有最________值，其值为________；当x________0时，y随x的增大而增大，当x________0时，y随x的增大而减小．
5．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的有________．(填序号)
①y＝－x＋1，②y＝2x，③y＝－，④y＝－x2.
6．已知点(－1，y1)，都在函数y＝x2－2的图象上，则y1______y2.(填“>”“<”或“＝”)
7．二次函数y＝2x2＋1，y＝－2x2－1，y＝x2－2的图象的共同特征是( )
A．对称轴都为y轴 B．顶点坐标相同
C．开口方向相同 D．都有最高点
8．二次函数y＝－x2＋1的图象大致是( )
图26－2－9
9．二次函数y＝2x2－3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是( )
A．抛物线开口向下
B．抛物线经过点(2，3)
C．抛物线的对称轴是直线x＝1
D．抛物线的顶点坐标是(0，－3)
10．已知二次函数y＝ax2＋c有最大值，其中a和c分别是方程x2－2x－24＝0的两个根，试求该二次函数的关系式．
11．在同一坐标系中，一次函数y＝－mx＋n2与二次函数y＝x2＋m的图象可能是( )
图26－2－10
12．从y＝2x2－3的图象上可以看出，当－1≤x≤2时，y的取值范围是( )
A．－1≤y≤5 B．－5≤y≤5
C．－3≤y≤5 D．－2≤y≤1
13．已知函数y＝则下列函数图象正确的是( )
图26－2－11
14．已知二次函数y＝ax2＋k的图象上有A(－3，y1)，B(1，y2)两点，且y2A．a>0 B．a<0
C．a≥0 D．a≤0
15．小华同学想用“描点法”画二次函数y＝ax2＋c的图象，取自变量x的5个值，分别计算出对应的y值，如下表：
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
11
2
－1
2
5
…
由于粗心，小华算错了其中的一个y值，请你指出这个算错的y值所对应的x＝________．
16.如图26－2－12，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋4与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线y＝x2于点B，C，则BC的长为________．
图26－2－12
17．能否适当地上下平移函数y＝x2的图象，使得到的新图象过点(4，－2)？若能，说出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．
18．已知抛物线y＝x2，把它向下平移，得到的抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.若△ABC是直角三角形，则原抛物线应向下平移几个单位？
19．已知直线y＝kx＋b与抛物线y＝ax2－4的一个交点坐标为(3，5)．
(1)求抛物线所对应的函数关系式；
(2)求抛物线与x轴的交点坐标；
(3)如果直线y＝kx＋b经过抛物线y＝ax2－4与x轴的交点，试求该直线所对应的函数关系式．
详解详析
1．上 2 下 2
2．A
3．解：(1)函数y＝4x2＋2的图象可以看成是由函数y＝4x2的图象向上平移2个单位得到的．
(2)函数y＝4x2＋2的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，2)．
(3)将函数y＝4x2的图象向下平移5个单位得到函数y＝4x2－5的图象．
4．下 (0，－6) y轴(或直线x＝0) ＝0 大 －6 < >
5．①④ [解析] ①y＝－x＋1，y随x的增大而减小，符合题意；②y＝2x，y随x的增大而增大，不符合题意；③y＝－，在每一个象限，y随x的增大而增大，不符合题意；④y＝－x2，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，符合题意．故答案为①④.
6．> [解析] 抛物线y＝x2－2，当x<0时，y随x的增大而减小．
7．A 8.B 9.D
10．解：解方程x2－2x－24＝0，得x1＝－4，x2＝6.
因为函数y＝ax2＋c有最大值，所以a＜0.
而a和c分别是方程x2－2x－24＝0的两个根，所以a＝－4，c＝6，所以该二次函数的关系式是y＝－4x2＋6.
11．D [解析] A项，由n2≥0，可知直线与y轴的交点在原点或y轴的正半轴上，错误．B项，由二次函数y＝x2＋m的二次项系数为1，可知二次函数图象的开口向上，错误．C项，由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，可知m＜0，由直线可知，－m＜0，错误．D项，由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，可知m＜0，由直线可知，－m＞0，即m<0，正确．故选D.
12. C [解析] 如图，根据y＝2x2－3的图象，分析可得，当x＝0时，y取得最小值，且最小值为－3；当x＝2时，y取得最大值，且最大值为2×22－3＝5.故选C.
13．C [解析] y＝x2＋1，图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是(0，1)，当x≥－1时，B，C，D正确；y＝，图象在第一、三象限，当x＜－1时，C正确．故选C.
14．A [解析] ∵二次函数y＝ax2＋k的图象关于y轴对称，∴点A(－3，y1)的对称点(3，y1)在二次函数图象上．∵当横坐标1<3时，有对应的纵坐标y215．2 [解析] 根据表格给出的各点坐标可得出，该函数图象的对称轴为直线x＝0，
进而可得函数关系式为y＝3x2－1，
则当x＝2与x＝－2时取值相同，为11.
故这个算错的y值所对应的x＝2.
16．8 [解析] ∵抛物线y＝ax2＋4与y轴交于点A，∴点A的坐标为(0，4)．当y＝4时，x2＝4，解得x＝±4，∴点B的坐标为(－4，4)，点C的坐标为(4，4)，∴BC＝4－(－4)＝8.
17．解：能．设将函数y＝x2的图象向上平移c个单位后，所得新图象过点(4，－2)，所得新图象为抛物线y＝x2＋c.
将(4，－2)代入y＝x2＋c，
得－2＝×16＋c，c＝－10，
∴将函数y＝x2的图象向下平移10个单位后，所得新图象过点(4，－2)．
18．解：设将抛物线y＝x2向下平移b(b＞0)个单位，得到的抛物线的关系式为y＝x2－b.
不妨设点A在点B的左侧，由题意可得A(－，0)，B(，0)，C(0，－b)．
∵△ABC是直角三角形，
∴OB＝OC＝OA，即＝b，解得b＝0(舍去)或b＝2，
∴若△ABC是直角三角形，则原抛物线应向下平移2个单位.
19．解：(1)将交点坐标(3，5)代入y＝ax2－4，得9a－4＝5，解得a＝1.
故抛物线所对应的函数关系式为y＝x2－4.
(2)在y＝x2－4中，令y＝0可得x2－4＝0，解得x1＝－2，x2＝2.
故抛物线与x轴的交点坐标为(－2，0)和(2，0)．
(3)需分两种情况进行讨论：
①当直线y＝kx＋b经过点(－2，0)时，由题意可知
解得
故该直线所对应的函数关系式为y＝x＋2；
②当直线y＝kx＋b经过点(2，0)时，由题意可知解得
故该直线所对应的函数关系式为y＝5x－10.
综上所述，该直线所对应的函数关系式为y＝x＋2或y＝5x－10.
第5课时 二次函数最值的应用
知识点 1 二次函数最值的一般应用
1．二次函数y＝x2－2x＋6有最________值(填“大”或“小”)，把函数关系式配方得____________，其图象的顶点坐标为________，故其最值为________．
2．某二次函数的图象如图26－2－30所示，根据图象可知，当x＝________时，该函数有最______值，这个值是________．
图26－2－30
3．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，顶点坐标为(2，－3)，则二次函数y＝ax2＋bx＋c有( )
A．最小值－3 B．最大值－3
C．最小值2 D．最大值2
4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象如图26－2－31所示，当－5≤x≤0时，下列说法正确的是( )
图26－2－31
A．函数有最小值－5，最大值0
B．函数有最小值－3，最大值6
C．函数有最小值0，最大值6
D．函数有最小值2，最大值6
5．若二次函数y＝ax2＋bx＋1同时满足下列条件：①图象的对称轴是直线x＝1；②最值是15.则a的值为( )
A．14 B．－14 C．28 D．－28
知识点 2 二次函数的最值在实际生活中的应用
6．一小球被抛出后，它距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足函数关系式h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是( )
A．1米 B．5米 C．6米 D．7米
7．某公园一喷水管喷水时水流的路线呈抛物线形(如图26－2－32)．若喷水时水流的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x2＋2x＋1.25，则在喷水过程中水流的最大高度为( )
图26－2－32
A．1.25 m B．2.25 m
C．2.5 m D．3 m
8．如图26－2－33，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是( )
图26－2－33
A．60 m2 B．63 m2
C．64 m2 D．66 m2
9．2017·天门飞机着陆后滑行的距离s(单位：米)关于滑行的时间t(单位：秒)的函数关系式是s＝60t－t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为________秒．
10．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(cm2)随其中一条对角线的长x(cm)的变化而变化．
(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(2)当x的值是多少时，菱形风筝的面积S最大？最大面积是多少？
11．用长8 m的铝合金条制成矩形窗框(如图26－2－34)，使窗户的透光面积最大(铝合金条的宽度忽略不计)，那么这个窗户的最大透光面积是( )
图26－2－34
A. m2 B. m2 C. m2 D．4 m2
12．如图26－2－35，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，当三角尺MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设三角尺的另一直角边PN与边CD相交于点Q，则CQ的最大值为( )
图26－2－35
A．4 B. C. D.
13．已知M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y＝上，点N在直线y＝x＋3上，设点M的坐标为(a，b)，则二次函数y＝－abx2＋(a＋b)x( )
A．有最大值，最大值为－
B．有最大值，最大值为
C．有最小值，最小值为
D．有最小值，最小值为－
14．2017·新疆如图26－2－36，在边长为6 cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D同时出发，均以1 cm/s的速度向点B，C，D，A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为________s时，四边形EFGH的面积最小，其最小面积是________cm2.
图26－2－36
15．教材练习第2题变式如图26－2－37，矩形ABCD的周长为20，求：
(1)矩形ABCD的面积的最大值；
(2)矩形ABCD的对角线的最小值．
图26－2－37
16．如图26－2－38，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2＋x－4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C.
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)若M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
图26－2－38
17．某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，则平均每件产品的利润y1(元)与国内的销售数量x(千件)之间的关系为y1＝
若在国外市场销售，则平均每件产品的利润y2(元)与国外的销售数量t(千件)之间的关系为y2＝
(1)用含x的代数式表示t为t＝________；当0＜x≤4时，y2与x的函数关系式为y2＝________；当4≤x＜________时，y2＝100；
(2)求该公司每年销售这种健身产品的总利润w(千元)与国内的销售数量x(千件)的函数关系式，并指出x的取值范围；
(3)该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大利润为多少？
详解详析
1．小 y＝(x－1)2＋5 (1，5) 5
2．2 小 －1
3．B [解析] 因为抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，所以顶点(2，－3)是抛物线的最高点，所以二次函数y＝ax2＋bx＋c有最大值－3.
4．B [解析] 根据图象，当－5≤x≤0时，图象的最高点的坐标是(－2，6)，最低点的坐标是(－5，－3)，所以当x＝－2时，y有最大值6；当x＝－5时，y有最小值－3.
5．B [解析] 根据题意，得
解得a＝－14.
6．C [解析] ∵高度h(米)和飞行时间t(秒)满足函数关系式h＝－5(t－1)2＋6，
∴当t＝1时，小球距离地面的高度最大，
此时h＝－5×(1－1)2＋6＝6(米)．故选C.
7．B [解析] ∵y＝－x2＋2x＋1.25＝－(x－1)2＋2.25，∴在喷水过程中水流的最大高度为2.25 m．故选B.
8．C [解析] 设AB＝x m，则BC＝(16－x)m，于是矩形ABCD的面积S＝AB·BC＝x(16－x)＝16x－x2＝－(x2－16x)＝－(x2－16x＋64－64)＝－[(x－8)2－64]＝64－(x－8)2.因为(x－8)2≥0，则－(x－8)2≤0，所以S最大值＝64.故选C.
9．20 [解析] 飞机停下时，也就是滑行最远时，故本题中需求出s最大时对应的t值．
10．解：(1)S＝x(60－x)＝－x2＋30x.
(2)在S＝－x2＋30x中，a＝－<0，
∴S有最大值．
当x＝－＝－＝30时，
S取得最大值，最大值为
＝＝450.
∴当x的值为30时，菱形风筝的面积S最大，最大面积是450 cm2.
11．C [解析] 设矩形窗户水平方向的边长为x m，则竖直方向的边长为m，故这个窗户的透光面积S＝x＝－x2＋4x＝－＋，所以这个窗户的最大透光面积是 m2.
12．B [解析] 设BP＝x，CQ＝y，则AP2＝42＋x2，PQ2＝(6－x)2＋y2，AQ2＝(4－y)2＋62.
∵△APQ为直角三角形，∴AP2＋PQ2＝AQ2，即42＋x2＋(6－x)2＋y2＝(4－y)2＋62，
化简，得y＝－x2＋x，
整理，得y＝－(x－3)2＋，
∴CQ的最大值为.
故选B.
13．B [解析] ∵M，N两点关于y轴对称，点M的坐标为(a，b)，∴点N的坐标为(－a，b)．
∵点M在反比例函数y＝的图象上，点N在一次函数y＝x＋3的图象上，
∴b＝，b＝－a＋3，整理得ab＝，a＋b＝3，
故二次函数y＝－abx2＋(a＋b)x可转化为y＝－x2＋3x，该函数的二次项系数为－＜0，故此函数有最大值，最大值为.故选B.
14．3 18 [解析] 设运动时间为t s(0≤t≤6)，则AE＝t cm，AH＝(6－t)cm.根据题意，得S四边形EFGH＝S正方形ABCD－4S△AEH＝6×6－4×t(6－t)＝2t2－12t＋36＝2(t－3)2＋18，∴当t＝3时，四边形EFGH的面积取最小值，最小值为18.故答案为：3，18.
15．解：(1)∵设矩形的一边长为x，则其邻边长为10－x，
∴矩形ABCD的面积S＝x(10－x)＝－x2＋10x＝－(x－5)2＋25，
∴当x＝5时，S最大＝25.
即矩形ABCD的面积的最大值为25.
(2)设矩形的一边长为x，则其邻边长为10－x，对角线长为y，
∴y2＝x2＋(10－x)2＝2x2－20x＋100＝2(x－5)2＋50，
∴当x＝5时，y最小2＝50，
∴矩形ABCD的对角线的最小值为5 .
16．解：(1)当x＝0时，y＝－4，∴点C的坐标为(0，－4)．当y＝0时，x2＋x－4＝0，解得x1＝－4，x2＝2，∴点A的坐标为(－4，0)，点B的坐标为(2，0)．
(2)过点M作MD⊥x轴于点D，设点M的坐标为(m，n)，则AD＝m＋4，MD＝－n，n＝m2＋m－4，
∴S＝S△AMD＋S梯形DMCO－S△ACO
＝(m＋4)(－n)＋(－n＋4)(－m)－×4×4＝－2n－2m－8
＝－2－2m－8
＝－m2－4m(－4∵S＝－m2－4m＝－(m＋2)2＋4，
∴当m＝－2时，S最大值＝4.
17．解：(1)6－x 5x＋80 6
(2)当0＜x≤2时，w＝(15x＋90)x＋(5x＋80)(6－x)＝10x2＋40x＋480；
当2＜x≤4时，w＝(－5x＋130)x＋(5x＋80)(6－x)＝－10x2＋80x＋480；
当4＜x＜6时，w＝(－5x＋130)x＋100(6－x)＝－5x2＋30x＋600.
所以w＝
(3)当0＜x≤2时，w＝10x2＋40x＋480＝10(x＋2)2＋440，此时，当x＝2时，w最大值＝600；
当2＜x≤4时，w＝－10x2＋80x＋480＝－10(x－4)2＋640，此时当x＝4时，w最大值＝640；
当4＜x＜6时，w＝－5x2＋30x＋600＝－5(x－3)2＋645，此时当4＜x＜6时，w＜640.
所以当x＝4时，w最大值＝640.
所以该公司每年国内销售4千件、国外销售2千件时，可使公司每年的总利润最大，最大利润为64万元(或640千元)．
26.2.3 求二次函数的表达式
知识点 1 一般式——已知抛物线上三个一般点的坐标
1．经过点(－3，1)，(1，1)和(0，－2)的抛物线所对应的函数表达式为( )
A．y＝x2＋2x－2 B．y＝x2－2x－2
C．y＝x2－2x＋2 D．y＝－x2－x＋
2．已知二次函数y＝ax2＋bx，阅读下面的表格信息，由此可知y与x之间的函数关系式是________．
x
-1
1
y
0
2
3.若抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，12)，(0，5)和(2，－3)，则a＋b＋c的值为________．
4．教材例7变式2018·普陀区一模已知一个二次函数的图象经过A(0，－3)，B(1，0)，C(m，2m＋3)，D(－1，－2)四点，求这个函数的表达式以及点C的坐标．
知识点 2 顶点式——已知抛物线的顶点坐标或对称轴
5．抛物线y＝－x2＋bx＋c如图26－2－39所示，则此抛物线所对应的二次函数表达式为( )
图26－2－39
A．y＝－x2＋4x＋20
B．y＝－x2－4x＋20
C．y＝－x2＋4x＋12
D．y＝－x2＋4x－12
6．若当x＝1时，某二次函数有最大值5，且该二次函数的图象与y轴交于点(0，2)，则其表达式为__________________．
7．已知一个二次函数的图象的顶点坐标为(－1，2)，且过点(1，－3)．
(1)求这个二次函数的关系式；
(2)写出该抛物线的开口方向、对称轴．
知识点 3 两点式——已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标
8．抛物线y＝－x2＋bx＋c如图26－2－40所示，则b＋c的值等于( )
图26－2－40
A．8 B．9
C．10 D．11
9．已知某二次函数的图象经过点A(1，0)，B(2，0)和C(3，4)，求该二次函数的表达式．
10．已知某二次函数的图象如图26－2－41所示，则这个二次函数的表达式为( )
图26－2－41
A．y＝－3(x－1)2＋3
B．y＝3(x－1)2＋3
C．y＝－3(x＋1)2＋3
D．y＝3(x＋1)2＋3
11．某抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝x2－4x＋3相同，顶点坐标为(－2，1)，则该抛物线的函数关系式为( )
A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2－1
C．y＝(x＋2)2＋1 D．y＝－(x＋2)2＋1
12．2017·古冶区期中已知抛物线y＝ax2＋bx经过点A(－3，－3)，且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的表达式为( )
A．y＝x2＋2x B．y＝－x2＋2x
C．y＝x2－2x D．y＝－x2－2x
13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点及点(－2，－2)，且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的表达式为__________________________．
14．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
x
…
－
－1
－
0
1
…
y
…
－
－2
－
－2
－
0
…
则该二次函数的表达式为______________．
15．如图26－2－42，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(1，2)，△AOB的面积是2.
(1)求点B的坐标；
(2)求过点A，O，B的抛物线所对应的函数表达式．
图26－2－42
16．2018·杭州已知二次函数y＝ax2＋bx－(a＋b)(a，b是常数，a≠0)．
(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，并说明理由；
(2)若该二次函数图象经过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；
(3)若a＋b＜0，点P(2，m)(m＞0)在该二次函数图象上，求证：a＞0.
17．如图26－2－43，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(－，0)，B(0，－3)两点，此抛物线的对称轴为直线l，顶点为C，且l与直线AB交于点D.
(1)求此抛物线所对应的函数表达式；
(2)直接写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；
(3)连结BC，求证：BC＝DC.
图26－2－43
详解详析
1．A
2．y＝x2＋x [解析] 把x＝－1，y＝0和x＝1，y＝2代入y＝ax2＋bx，得解得a＝1，b＝1，
所以y与x之间的函数关系式为y＝x2＋x.
3．0 [解析] 由题意得c＝5，所以抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋5，把点(－1，12)和(2，－3)的坐标分别代入得
解得所以a＋b＋c＝1－6＋5＝0.
4．解：设这个函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c，
把A(0，－3)，B(1，0)，D(－1，－2)的坐标代入，得
解得
∴这个函数的表达式为y＝2x2＋x－3.
∵点C(m，2m＋3)在抛物线上，∴2m2＋m－3＝2m＋3，解得m1＝－，m2＝2.
当m＝－时，2m＋3＝0；当m＝2时，2m＋3＝7，
∴点C的坐标为或(2，7)．
5．C [解析] 由解得故所求的函数表达式为y＝－x2＋4x＋12.故选C.
6．y＝－3x2＋6x＋2 [解析] 由题意设该二次函数的表达式为y＝a(x－1)2＋5，又∵该二次函数的图象与y轴交于点(0，2)，将(0，2)代入函数表达式得2＝a＋5，∴a＝－3，∴所求的二次函数的表达式为y＝－3(x－1)2＋5，即y＝－3x2＋6x＋2.
7．解：(1)设函数关系式为y＝a(x－h)2＋k，把顶点(－1，2)和点(1，－3)的坐标代入关系式，得a＝－，h＝－1，k＝2，所以这个二次函数的关系式为y＝－(x＋1)2＋2.
(2)由(1)的函数关系式可得：抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝－1.
8．B [解析] 由图象可知，抛物线与x轴交于点(－1，0)和(5，0)，所以
解得则b＋c＝9.
9．解：因为A，B两点是二次函数的图象与x轴的交点，所以设二次函数的表达式为y＝a(x－1)(x－2)，将点C(3，4)的坐标代入，得(3－1)(3－2)a＝4，解得a＝2，所以该二次函数的表达式为y＝2(x－1)(x－2)＝2x2－6x＋4.
10．A [解析] 由图象知，抛物线的顶点坐标是(1，3)，所以可设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋3.因为抛物线经过点(0，0)，所以a＝－3，即y＝－3(x－1)2＋3.故选A.
11．C [解析] 已知抛物线的顶点坐标，可以设顶点式y＝a(x－h)2＋k，又因为该抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝x2－4x＋3相同，所以a＝，所以该抛物线的函数关系式是y＝(x＋2)2＋1.
12．A [解析] ∵抛物线y＝ax2＋bx经过点A(－3，－3)，且该抛物线的对称轴经过点A，
∴该抛物线的顶点坐标是(－3，－3)，
∴解得，∴该抛物线的表达式为y＝x2＋2x.故选A.
13．y＝x2＋2x或y＝－x2＋x
[解析] ∵二次函数图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，
∴这个交点的坐标为(－4，0)或(4，0)．
①当这个交点的坐标为(－4，0)时，
解得
∴该二次函数的表达式为y＝x2＋2x；
②当这个交点的坐标为(4，0)时，
解得
∴该二次函数的表达式为y＝－x2＋x.
故这个二次函数的表达式为y＝x2＋2x或y＝－x2＋x.
14．y＝x2＋x－2
[解析] 由表格可知该二次函数的图象的顶点坐标为，所以可设其表达式为y＝a2－，再任选一组x，y的值代入，求出字母a的值即可，如把代入，得－＝a－，解得a＝1，所以该二次函数的表达式为y＝－，即y＝x2＋x－2；或设其表达式为y＝ax2＋bx＋c，再选取三组x，y的值代入，也可以求得结果为y＝x2＋x－2.
15．解：(1)由题意得×2OB＝2，∴OB＝2，
∴点B的坐标为(－2，0)．
(2)设抛物线所对应的函数表达式为y＝ax，将(1，2)代入，得a×1×(1＋2)＝2，解得a＝，故抛物线所对应的函数表达式为y＝x(x＋2)，即y＝x2＋x.
16．解：(1)∵b2－4·a[－(a＋b)]＝b2＋4ab＋4a2＝(2a＋b)2≥0，
∴二次函数图象与x轴的交点的个数为两个或一个．
(2)当x＝1时，y＝a＋b－(a＋b)＝0≠1，
∴二次函数图象不经过点C.
把点A(－1，4)，B(0，－1)的坐标分别代入，得
解得
∴该二次函数的表达式为y＝3x2－2x－1.
(3)证明：当x＝2时，
m＝4a＋2b－(a＋b)＝3a＋b＞0.①
∵a＋b＜0，
∴－a－b＞0.②
①②相加，得2a＞0，∴a＞0.
17．解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(－，0)，B(0，－3)两点，
∴解得
∴此抛物线所对应的函数表达式为y＝x2－x－3.
(2)由(1)可得此抛物线的对称轴为直线x＝，顶点坐标为(，－4)．
(3)证明：设过A，B两点的直线所对应的函数表达式为y＝kx＋b，将A，B两点的坐标分别代入，得解得故直线AB所对应的函数表达式为y＝－x－3，∴当x＝时，y＝－6，∴点D的纵坐标为－6，∴DC＝－＝2.
过点B作BE⊥l于点E，则BE＝，CE＝4－3＝1.由勾股定理得BC＝＝2，
∴BC＝DC.
26.3 第1课时 二次函数问题的实际应用
知识点 1 二次函数与运动路线问题
1.小斌在今年的学校秋季运动会跳远比赛中跳出了满意的一跳，如图26－3－1，函数h＝3.5t－4.9t2(t的单位：s，h的单位：m)可以描述他跳跃时重心高度随时间的变化情况，则他起跳后到重心最高时所用的时间大约是( )
图26－3－1
A．0.71 s B．0.70 s
C．0.63 s D．0.36 s
2．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线形，一条水流的高度h(单位：m)与水流运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝30t－5t2，那么水流从抛出至回落到地面所需要的时间是( )
A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s
知识点 2 二次函数与拱桥问题
3．2018·绵阳如图26－3－2是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，若水面下降2 m，则水面宽度增加________m.
图26－3－2
4．如图26－3－3所示，一座大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线所对应的函数关系式为y＝ax2＋bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需________秒．
图26－3－3
知识点 3 二次函数与商品销售问题
5．某商店经营儿童玩具，已知所获利润y(元)与销售单价x(元/件)之间的关系式为y＝－x2＋24x＋2956，则获利最多为( )
A．3144元 B．3100元
C．144元 D．2956元
6．一件工艺品的进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件．要使每天获得的利润最大，每件需降价( )
A．5元 B．10元
C．0元 D．3600元
7．某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价格x(元)满足一次函数关系，其图象如图26－3－4所示，则该商场每天销售这种商品的销售利润y(元)与每件的销售价格x(元)之间的函数关系式为____________．
图26－3－4
8．2017·临沂足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝；③足球被踢出9 s时落地；④足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m．其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
9．2017·文登区期中某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图26－3－5)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为( )
图26－3－5
A．50 m B．100 m
C．160 m D．200 m
10．2017·鞍山某网络经销商销售一款夏季时装，进价为每件60元，售价为每件130元，每天销售30件，每销售一件需缴纳网络平台管理费4元．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降低1元，通过市场调查发现，该时装单价每降低1元，每天销售量增加5件，设第x天(1≤x≤30且x为整数)的销售量为y件．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)在这30天内，哪一天的利润是6300元？
(3)设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少．
11．2018·眉山传统节日——端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：
y＝
(1)李明第几天生产的粽子数量为280只？
(2)如图26－3－6，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元(利润＝出厂价－成本)．
图26－3－6
12．为备战奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光．如图26－3－7(示意图)，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G.建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)之间的函数关系式(不要求写自变量x的取值范围)；
(2)在(1)的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，则这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明；
(3)若队员发球既要过球网，又不出边界，则排球飞行的最大高度h(单位：米)的取值范围是多少(排球压线不算出界)?
图26－3－7
详解详析
1．D
2．A [解析] 当水流回落到地面时高度h为0，把h＝0代入h＝30t－5t2，得5t2－30t＝0，解得t1＝0(舍去)，t2＝6.故水流从抛出至回落到地面所需要的时间是6 s．故选A.
3．(4 －4) [解析] 如图，建立平面直角坐标系，设x轴通过AB，y轴通过AB的中点O且通过点C，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB均可求出，为AB的一半2 m，抛物线顶点C的坐标为(0，2)．
通过以上条件可设顶点式y＝ax2＋2，代入A点坐标(－2，0)，得到a＝－0.5，所以抛物线的表达式为y＝－0.5x2＋2，
当水面下降2 m，水面的宽度可转化为：当y＝－2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝－2与抛物线相交的两点之间的距离．
把y＝－2代入抛物线的表达式，得
－2＝－0.5x2＋2，解得x＝±2 ，所以水面宽度增加到4 m，则比原先的宽度增加了(4 －4)m.
4．36 [解析] 因为抛物线是轴对称图形，由题意知抛物线的对称轴为直线x＝18.又当x＝0时，y＝0，所以小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需36秒．
5．B
6．A [解析] 设每件需降价x元，每天获利y元，
则y＝(135－x－100)(100＋4x)，
即y＝－4(x－5)2＋3600.∵－4＜0，
∴当x＝5时，每天获得的利润最大．故选A.
7．y＝－x2＋150x－5000
8．B [解析] 由题意，抛物线的表达式为y＝at(t－9)，把(1，8)代入可得a＝－1，
∴y＝－t2＋9t＝－(t－4.5)2＋20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25 m，故①错误；
抛物线的对称轴是直线t＝4.5，故②正确．
∵当t＝9时，y＝0，
∴足球被踢出9 s时落地，故③正确．
∵t＝1.5时，y＝11.25，故④错误．
∴正确的有②③.
故选B.
9．C [解析] 建立如图所示的直角坐标系，则点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(1，0)，点C的坐标为(0，0.5)，点D的坐标为(0.2，0)，点F的坐标为(0.6，0)．
设抛物线的表达式为y＝a(x－1)(x＋1)，把C(0，0.5)代入得a＝－0.5，
所以抛物线的表达式为y＝－0.5x2＋0.5.
当x＝0.2时，y＝－0.5×0.22＋0.5＝0.48，
当x＝0.6时，y＝－0.5×0.62＋0.5＝0.32，
所以DE＝0.48，FP＝0.32，
所以每段护栏需要不锈钢支柱的长度＝2(DE＋FP)＝2×(0.48＋0.32)＝1.6(m)，
所以100段护栏需要不锈钢支柱的总长度＝100×1.6＝160(m)．
故选C.
10．解：(1)y＝5x＋30(1≤x≤30且x为整数)．
(2)根据题意，得(130－x－60－4)(5x＋30)＝6300，
即x2－60x＋864＝0，
解得x＝24或x＝36(舍去)，
∴在这30天内，第24天的利润是6300元．
(3)根据题意，得w＝(130－x－60－4)(5x＋30)＝－5x2＋300x＋1980＝－5(x－30)2＋6480(1≤x≤30且x为整数)．
∵a＝－5＜0，
∴函数有最大值，
∴当x＝30时，w有最大值为6480，
∴第30天的利润最大，最大利润是6480元．
11．解：(1)∵34×6＝204＜280，∴李明用的天数超过6天．
由题意可知20x＋80＝280，
解得x＝10.
答：李明第10天生产的粽子数量为280只．
(2)由图象，得当0≤x≤10时，p＝2；
当10＜x≤20时，设p＝kx＋b，
把(10，2)，(20，3)代入，得
解得
∴p＝0.1x＋1.
①当0≤x≤6时，w＝(4－2)×34x＝68x，当x＝6时，w最大＝408；
②当6＜x≤10时，w＝(4－2)×(20x＋80)＝40x＋160，当x＝10时，w最大＝560；
③当10＜x≤20时，w＝(4－0.1x－1)×(20x＋80)＝－2x2＋52x＋240，
∵a＝－2＜0，
∴当x＝－＝13时，w最大＝578.
综上，当x＝13时，w有最大值，最大值为578，即第13天的利润最大，最大利润是578元．
12．解：(1)根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为(7，3.2)，
设抛物线的关系式为y＝a(x－7)2＋3.2,
将点C(0，1.8)的坐标代入，得49a＋3.2＝1.8，
解得a＝－，
∴排球飞行的高度y与水平距离x之间的函数关系式为y＝－(x－7)2＋.
(2)由题意当x＝9.5时，y＝－×(9.5－7)2＋≈3.02＜3.1，
故这次她可以拦网成功．
(3)设抛物线的关系式为y＝a(x－7)2＋h，
将点C(0，1.8)的坐标代入，得49a＋h＝1.8，即a＝，
∴此时抛物线的关系式为y＝(x－7)2＋h.
根据题意，得
解得h≥3.025,
故排球飞行的最大高度h的取值范围是h≥3.025.
第2课时 二次函数与一元二次方程及一元二次不等式的关系
知识点 1 二次函数与一元二次方程
1．二次函数y＝31x2－999x＋892的图象如图26－3－8所示，则方程31x2－999x＋892＝0的根的情况是 .
图26－3－8
2．若关于x的函数y＝kx2＋2x－1的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为________．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图26－3－9所示，若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根为x1＝3，则另一个根x2为( )
图26－3－9
A．－1 B．－2 C．－3 D．－4
4．已知抛物线y＝(k－3)x2＋2x＋1(k为常数)与x轴有交点，则k的取值范围是( )
A．k＜4 B．k≤4
C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3
5．已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是( )
A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3
6．2017·兰州下表是二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的部分对应值：
x
…
1
1.1
1.2
1.3
1.4
…
y
…
－1
－0.49
0.04
0.59
1.16
…
那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是( )
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
7．教材26.3第4题(2)变式已知二次函数y＝2x2－2和一次函数y＝5x＋1.
(1)你能用图象法求出方程2x2－2＝5x＋1的解吗？试试看；
(2)请通过解方程的方法验证(1)中的答案．
知识点 2 二次函数与不等式
8．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图26－3－10所示，则当函数值y＜0时，x的取值范围是( )
图26－3－10
A．x＜－1 B．x＞3
C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞3
9.如图26－3－11是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c<0的解集是( )
图26－3－11
A．－15
C．x<－1且x>5 D．x<－1或x>5
10．已知一次函数y1＝kx＋m和二次函数y2＝ax2＋bx＋c的自变量和对应函数值如下表：
x
…
－1
0
2
4
…
y1
…
0
1
3
5
…
x
…
－1
1
3
4
…
y2
…
0
－4
0
5
…
当y2＞y1时，自变量x的取值范围是( )
A．x＜－1 B．x＞4
C．－1＜x＜4 D．x＜－1或x＞4
11．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点的纵坐标为－3，对称轴为直线x＝1且过点(－1，0)．
(1)求该抛物线所对应的函数关系式；
(2)画出图象，并利用图象回答：当x为何值时，y>0？当x为何值时，y<0?
12．二次函数y＝ax2＋bx的图象如图26－3－12，若一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根，则m的最大值为( )
图26－3－12
A．－3 B．3
C．－5 D．9
13．2017·丰台区期末已知抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x
…
－1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
－1
m
3
…
有以下几个结论：
①抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下；
②抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝－1；
③方程ax2＋bx＋c＝0的根为x＝0或x＝2；
④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2.
其中正确的是( )
A．①④ B．②④
C．②③ D．③④
14．若m，n(n＜m)是关于x的一元二次方程1－(x－a)(x－b)＝0的两个根，且b＜a，则m，n，b，a的大小关系是( )
A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b
C．b＜n＜m＜a D．n＜b＜a＜m
15．如图26－3－13是抛物线y1＝ax2＋bx＋c的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1，3)，与x轴的一个交点是B(4，0)，直线y2＝mx＋n与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；④当1图26－3－13
16．已知抛物线y＝x2与直线y＝－2x＋3如图26－3－14所示．
(1)求交点A，B的坐标；
(2)求△AOB的面积；
(3)直接写出不等式x2<－2x＋3的解集；
(4)不解方程，直接写出方程x2＋2x－3＝0的解．
图26－3－14
17．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与y轴交于点C(0，－6)，与x轴的一个交点是A(－2，0)．
(1)求二次函数的关系式，并写出图象的顶点D的坐标；
(2)将二次函数的图象沿x轴向左平移个单位，当 y＜0时，求x的取值范围．
图26－3－15
18．已知关于x的函数y＝(k－1)x2－2kx＋k＋2的图象与x轴有交点．
(1)求k的取值范围．
(2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2.
①求k的值；
②当k≤x≤k＋2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．
详解详析
1．有两个不相等的正实数根 [解析] ∵二次函数y＝31x2－999x＋892的图象与x轴有两个交点，且与x轴的正半轴相交，
∴方程31x2－999x＋892＝0有两个不相等的正实数根．
2．0或－1 [解析] 函数的图象与x轴只有一个公共点有两种情况：①当k＝0时，函数y＝kx2＋2x－1的图象与x轴只有一个公共点；②当k≠0时，b2－4ac＝4＋4k＝0，解得k＝－1.所以k＝0或k＝－1.
3．A [解析] 由对称性可知，另一个交点的坐标为(－1，0)，故x2＝－1.
4．D [解析] 因为抛物线与x轴有交点，所以解得k≤4且k≠3.
5．B [解析] ∵二次函数y＝x2－3x＋m的图象的对称轴是直线x＝，抛物线与x轴的一个交点为(1，0)，∴抛物线与x轴的另一个交点为(2，0)，∴关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是x1＝1，x2＝2.
6．C
7．解：(1)如图，在平面直角坐标系内画出函数y＝2x2－2和函数y＝5x＋1的图象，
两图象交点的横坐标是－，3，
∴方程2x2－2＝5x＋1的解是x1＝－，x2＝3.
(2)整理得2x2－5x－3＝0，
因式分解，得(2x＋1)(x－3)＝0.
解得x1＝－，x2＝3.
8．C [解析] 利用图象可知x的取值范围是－1＜x＜3.
9．D [解析] 由二次函数的图象的对称性，已知对称轴和图象与x轴的一个交点坐标为(5，0)，即可得出另一个交点坐标为(－1，0)．再由不等式ax2＋bx＋c<0的解集即指x轴下方图象所对应的x的取值可知选D.
10．D
图26－3－11
[解析] 如图，
由图得出两函数图象的交点坐标为(－1，0)，(4，5)，
∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＞4或x＜－1.
11．解：(1)由题意可得解得
∴抛物线所对应的函数关系式为y＝x2－2x－3.
(2)画图象略．当x<－1或x>3时，y>0；
当－112．B [解析] 方法一：图象法，由ax2＋bx＋m＝0得ax2＋bx＝－m，一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根，得函数y＝ax2＋bx与函数y＝－m的图象有交点，所以－m≥－3，m≤3.
方法二：因为一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根，所以b2－4am≥0，由y＝ax2＋bx的图象可得顶点纵坐标为＝－3，b2＝12a，所以12a－4am≥0，又a>0，所以m≤3.
13．D [解析] 设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c，
将(－1，3)，(0，0)，(3，3)代入，得
解得
∴抛物线的表达式为y＝x2－2x＝x(x－2)＝(x－1)2－1.
由a＝1＞0知抛物线的开口向上，故①错误；
抛物线的对称轴为直线x＝1，故②错误；
当y＝0时，x(x－2)＝0，解得x＝0或x＝2，
∴方程ax2＋bx＋c＝0的根为x＝0或x＝2，故③正确．
当y＞0时，x(x－2)＞0，解得x＜0或x＞2，故④正确．
故选D.
14．D [解析] 如图，抛物线y＝(x－a)(x－b)与x轴交于点(a，0)，(b，0)，
抛物线与直线y＝1的交点为(n，1)，(m，1)，
由图象可知，n＜b＜a＜m.
15．②⑤ [解析] ①根据函数图象的开口方向、对称轴、与y轴交点可知，a<0，b＞0，c＞0，故abc<0，故①错误；②根据函数图象的顶点坐标，可知方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根x1＝x2＝1，故②正确；③根据抛物线的对称性，知抛物线与x轴的另一个交点是(－2，0)，故③错误；④根据函数图象，知当116．解：(1)由x2＝－2x＋3得x1＝－3，x2＝1，所以点A的坐标为(－3，9)，点B的坐标为(1，1)．
(2)设直线y＝－2x＋3与y轴交于点C，则C(0，3)，所以S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×3×3＋×3×1＝6.
(3)－3(4)x1＝－3，x2＝1.
17．解：(1)∵把点C(0，－6)的坐标代入抛物线的关系式，得c＝－6，把点A(－2，0)的坐标代入y＝x2＋bx－6，得b＝－1，
∴抛物线的关系式为y＝x2－x－6，
配方，得y＝(x－)2－，
∴抛物线的顶点D的坐标为(，－)．
(2)二次函数的图象沿x轴向左平移个单位，得y＝(x＋2)2－.
令y＝0，得(x＋2)2－＝0，
解得x1＝，x2＝－.
∵a＞0，
∴当y＜0时，x的取值范围是－＜x＜.
18．解：(1)当k＝1时，函数为一次函数y＝－2x＋3，
其图象与x轴有一个交点．
当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，
令y＝0，得(k－1)x2－2kx＋k＋2＝0，
Δ＝b2－4ac＝(－2k)2－4(k－1)(k＋2)≥0，解得k≤2，∴k≤2且k≠1.
综上所述，k的取值范围是k≤2.
(2)①∵x1≠x2，由(1)知k＜2且k≠1.
由题意得(k－1)x12＋(k＋2)＝2kx1.(*)
将(*)代入(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2，得2k(x1＋x2)＝4x1x2.
又∵x1＋x2＝，x1x2＝，
∴2k·＝4·.
解得k1＝－1，k2＝2(不合题意，舍去)，
∴k的值为－1.
②如图，∵k＝－1，
∴y＝－2x2＋2x＋1＝－2＋，
且－1≤x≤1.
由图象知：当x＝－1时，y最小值＝－3；当x＝时，y最大值＝，
∴y的最大值为，最小值为－3.
26．1 二次函数
知识点 1 二次函数的概念
1．若y＝(a－1)x2－2x＋6是关于x的二次函数，则a－1________，所以a的取值范围是________．
2．下列函数：y＝x－1，y＝3x2，y＝x2－4x＋1，y＝，y＝x(x－2)，y＝(x－1)2－x2中，是二次函数的有________个．
3．在学习了二次函数的概念后，老师要求同学们各举一个二次函数的例子．
小刚：y＝x2－2019是二次函数．
小红：y＝22＋2x是二次函数．
小敏：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c为常数)是二次函数．
小虎：y＝1－3x＋x2是二次函数．
小华：y＝x2－x(x＋1)是二次函数．
小秀：y＝2x－1＋x2是二次函数．
(1)上面六名同学所举的例子正确吗？若不正确，错在哪里？
(2)举一个二次函数的例子应注意哪些问题？
4．已知函数y＝(m－1)xm2＋1＋3x是二次函数，求m的值．
知识点 2 确定二次函数y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的值
5．二次函数y＝3x2＋x－4中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是________．
6．把下列二次函数化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项．
(1)y＝(1－x)(1＋x)；
(2)y＝4x2－12x(1＋x)；
(3)y＝x2＋(x－1)2；
(4)y＝(x＋1)(2x－3)＋5.
知识点 3 根据实际问题列二次函数关系式
7．我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，已知该药品的原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为( )
A．y＝18(1－x2) B．y＝18(1＋x)2
C．y＝18(1－x)2 D．y＝18(1＋x2)
8．菱形的两条对角线的长度之和为26 cm，则菱形的面积S(cm2)与其中一条对角线的长x(cm)之间的函数关系式为____________，自变量x的取值范围是____________．
9．根据下面的条件列出函数关系式，并判断列出的函数关系式是不是二次函数关系式．
(1)如果两个数中，其中一个数比另一个数大5，那么这两个数的乘积p是较大的数m的函数；
(2)在一个半径为10 cm的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积S(cm2)是正方形孔边长x(cm)的函数；
(3)有一块长为60 m、宽为40 m的矩形空地，计划在它四周相同的宽度内铺设草坪，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积S(m2)是草坪宽度a(m)的函数．
10．在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有( )
①设正方形的边长为x，面积为y，y是x的函数；
②x个球队参加比赛，每两个队之间赛一场，则比赛的场次数y是x的函数；
③设正方体的棱长为x，表面积为y，y是x的函数；
④若一辆汽车以120 km/h的速度匀速行驶，则汽车行驶的里程y(km)是行驶时间x(h)的函数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．已知函数y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数)，当a________时，是二次函数；当a________，b________时，是一次函数；当a________，b________，c________时，是正比例函数．
12．若函数y＝(m－6)xm2－9m＋20－mx＋5是关于x的二次函数，则m的值是________．
13．如图26－1－1，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边AB长为x m，面积为y m2.
(1)写出y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)如果要围成面积为45 m2的花圃，那么AB的长度是多少？
图26－1－1
14．教材“问题2”变式某店销售一种小工艺品，该工艺品每件的进价为12元，售价为20元，每周可售出40件．经调查发现，若把每件工艺品的售价提高1元，就会少售出2件．设每件工艺品的售价提高x元，每周销售这种工艺品获得的利润为y元．
(1)填空：每件工艺品的售价提高x元后的利润为________元，每周可售出工艺品________件，y关于x的函数关系式为____________________(化为一般形式，并写出自变量的取值范围)；
(2)若y＝384，则每件工艺品的售价应定为多少元？
15．如图26－1－2所示，△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，BC＝EF＝8，∠C＝∠F＝90°，且点C，E，B，F在同一条直线上，将△ABC沿CB方向平移，AB与DE相交于点P，设CE＝x，△PBE的面积为S.
(1)求S与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
(2)当x＝3时，求△PBE的面积．
图26－1－2
答案
1．≠0 a≠1
2．3 [解析] 二次函数的有y＝3x2，y＝x2－4x＋1，y＝x(x－2)，共3个．故答案为3.
3．解：(1)小刚、小虎所举的例子是正确的，其他人所举的例子都不正确．原因如下：小红举的例子是一次函数，因为式子中不含自变量x的二次项；小敏所举例子中没有说明二次项系数a≠0；小华所举例子经过整理得y＝－x，实际上是正比例函数；小秀所举例子中含x－1(也就是)，不是整式．
(2)(答案合理即可)应注意的问题：①等式的右边必须是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0.
4．解：由题意，得解得m＝－1，
∴当m＝－1时，函数y＝(m－1)xm2＋1＋3x是二次函数．
5．3，1，－4
6．解：(1)化为一般形式为y＝－x2＋1，
二次项系数为－1，一次项系数为0，常数项为1.
(2)化为一般形式为y＝－8x2－12x，
二次项系数为－8，一次项系数为－12，常数项为0.
(3)化为一般形式为y＝2x2－2x＋1，
二次项系数为2，一次项系数为－2，常数项为1.
(4)化为一般形式为y＝2x2－x＋2，
二次项系数为2，一次项系数为－1，常数项为2.
7．C [解析] 原价为18元，
第一次降价后的价格为18(1－x)元；
第二次降价是在第一次降价后的基础上降价的，为18×(1－x)×(1－x)＝18(1－x)2元，则y＝18(1－x)2.故选C.
8．S＝－x2＋13x 00，26－x>0，所以09．解：(1)这两个数的乘积p与较大的数m之间的函数关系式为p＝m(m－5)＝m2－5m，是二次函数关系式．
(2)剩余的面积S(cm2)与正方形孔边长x(cm)之间的函数关系式为S＝100π－4x2，是二次函数关系式．
(3)郁金香的种植面积S(m2)与草坪宽度a(m)之间的函数关系式为S＝(60－2a)(40－2a)＝4a2－200a＋2400，是二次函数关系式．
10．C [解析] ①依题意得y＝x2，y是x的二次函数；
②依题意得y＝x(x－1)＝x2－x，y是x的二次函数；
③依题意得y＝6x2，y是x的二次函数；
④依题意得y＝120x，y是x的一次函数．
综上所述，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有3个．
故选C.
11．≠0 ＝0 ≠0 ＝0 ≠0 ＝0
12．3 [解析] 根据题意，得m2－9m＋20＝2，且m－6≠0，
解得m＝3.
13．解：(1)∵AB＝x m，∴BC＝(24－3x)m，
∴y＝x(24－3x)＝－3x2＋24x.
∵x>0且10≥24－3x>0，∴≤x<8.
(2)当y＝45时，即－3x2＋24x＝45，∴x＝3(舍去)或x＝5，∴当AB的长度为5 m时，花圃的面积为45 m2.
14．解：(1)(8＋x) (40－2x)
y＝－2x2＋24x＋320(0≤x≤20)
(2)∵y＝384，∴384＝－2x2＋24x＋320，
整理，得x2－12x＋32＝0，(x－4)(x－8)＝0，
解得x1＝4，x2＝8.
4＋20＝24(元)，8＋20＝28(元)，
故每件工艺品的售价应定为24元或28元．
15．解：(1)∵CE＝x，BC＝8，∴EB＝8－x.
∵△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠DEF＝45°，
∴△PBE是等腰直角三角形，
∴PB＝PE＝EB＝(8－x)，
∴S＝PB?PE＝×(8－x)×(8－x)＝(8－x)2＝x2－4x＋16，
即S＝x2－4x＋16(0≤x＜8)．
(2)当x＝3时，S＝×(8－3)2＝.
即当x＝3时，△PBE的面积为.
26.2.1 二次函数y＝ax2的图象与性质
知识点 1 二次函数y＝ax2的图象
1．二次函数y＝－5x2的图象开口________，对称轴为________，顶点坐标为________．
2．抛物线y＝ax2(a<0)经过( )
A．第一、二象限 B．第三、四象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
3．经过测试，某种汽车的刹车距离s(单位：米)与刹车时的速度v(千米/时)满足关系式s＝v2，则下列表示s与v之间函数关系的图象为( )
图26－2－1
4．2017·启东市校级月考已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象可能是( )
图26－2－2
A．①② B．②③
C．①③ D．②④
5．在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象．
(1)y＝－3x2； (2)y＝x2.
知识点 2 二次函数y＝ax2的性质
6．在二次函数y＝－x2中，当x>0时，若x1>x2，则y1________y2; 当x<0时，若x1>x2，则y1________y2.(填“>”或“<”)
7．抛物线y＝x2，y＝x2，y＝－x2的共同性质是：
①都是开口向上；②都以点(0，0)为顶点；
③都以y轴为对称轴；④都关于x轴对称．
其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．关于二次函数y＝x2，有下列说法：(1)其图象是轴对称图形；(2)当x<0时，y随x的增大而减小；(3)当x>0时，y随x的增大而增大；(4)当x＝0时，y有最小值．其中说法正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．2017·连云港已知抛物线y＝ax2(a＞0)经过A(－2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是( )
A．y1>0>y2 B．y2>0>y1
C．y1>y2>0 D．y2>y1>0
10．已知抛物线y＝ax2经过点(1，3)．
(1)求a的值；
(2)当x＝3时，求出y的值；
(3)说出此二次函数的三条性质．
11．如图26－2－3，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝x2和函数y＝－x2的图象，已知坐标原点O为正方形ABCD对角线的交点，且正方形的边分别与x轴、y轴平行，如果点D的坐标为(2，2)，那么阴影部分的面积为( )
图26－2－3
A．4 B．8 C．12 D．16
12．函数y＝k(x－k)，y＝kx2与y＝(k≠0)在同一平面直角坐标系内的图象正确的是( )
图26－2－4
13．定义运算“※”为：a※b＝如1※(－2)＝－1×(－2)2＝－4.则函数y＝2※x的图象大致是( )
图26－2－5
14．已知y＝(k＋2)xk2＋k－4是关于x的二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的值为________．
15．根据下列条件求m的取值范围：
(1)二次函数y＝(m＋3)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；
(2)二次函数y＝(2m－1)x2有最小值．
16．教材练习第1题变式(1)在同一坐标系中，画出下列函数的图象：①y＝x2；②y＝2x2；③y＝－x2；④y＝－2x2.
(2)从“函数关系式、函数的对应值表、图象”三个方面进行对比，说说函数关系式中二次项系数a对抛物线的形状有什么影响．
17．如图26－2－6①所示，P为抛物线y＝x2在第一象限内的一点，点A的坐标为(4，0)．
(1)设点P的坐标为(x，y)，试求出△AOP(O为坐标原点)的面积S关于点P的横坐标x之间的函数关系式；
(2)试在图②所给的网格图中建立平面直角坐标系，并画出S关于x的函数图象．
图26－2－6
18.如图26－2－7，平行于x轴的直线AC与抛物线y1＝x2(x≥0)和y2＝(x≥0)分别交于B，C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则＝________．
图26－2－7
详解详析
1．向下 y轴(或直线x＝0) (0，0)
2．B [解析] ∵a<0，∴抛物线的开口向下．
又∵抛物线y＝ax2的顶点坐标为(0，0)，
∴该抛物线经过第三、四象限．故选B.
3．C [解析] 因为>0，所以函数s＝v2的图象开口向上．由于自变量v>0，故选C.
4．B [解析] 当a＞0时，则函数y＝ax中，y随x的增大而增大，函数y＝ax2的图象开口向上，故①不正确，②正确；当a＜0时，则函数y＝ax中，y随x的增大而减小，函数y＝ax2的图象开口向下，故④不正确，③正确．∴两函数的图象可能是②③，故选B.
5．略
6．< >
7．B [解析] 抛物线y＝x2，y＝x2的开口向上，y＝－x2的开口向下，故①错误；
抛物线y＝x2，y＝x2，y＝－x2的顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴，②③正确；④错误．
故选B.
8．D
9．C [解析] ∵抛物线y＝ax2(a＞0)，∴A(－2，y1)关于y轴的对称点的坐标为(2，y1)．又∵a＞0，0＜1＜2，∴y1>y2>0.故选C.
10．解：(1)∵抛物线y＝ax2经过点(1，3)，
∴a×1＝3，
∴a＝3.
(2)把x＝3代入y＝3x2中，得y＝3×32＝27.
(3)抛物线的开口向上；
坐标原点是该抛物线的顶点；
当x＞0时，y随着x的增大而增大(答案合理即可)．
11．B [解析] 由图象的对称性可知阴影部分的面积为正方形面积的一半，即×4×4＝8.故选B.
12．C [解析] 一次函数y＝k(x－k)＝kx－k2，
∵k≠0，∴－k2＜0，
∴一次函数的图象与y轴的交点在y轴负半轴上．
A项，一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴上，A不正确；
B项，一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴上，B不正确；
C项，一次函数图象与y轴交点在y轴负半轴上，C正确；
D项，一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴上，D不正确．
13．C [解析] y＝2※x＝当x＞0时，图象是抛物线y＝2x2对称轴右侧的部分；当x≤0时，图象是抛物线y＝－2x2对称轴左侧的部分．故选C.
14．2 [解析] 因为该函数是二次函数，所以x的指数为2.又因为在对称轴的右边，y随x的增大而增大，所以二次函数的图象开口向上，可得二次项的系数大于0.由题意，得
解得
∴k＝2.
15．解：(1)∵二次函数y＝(m＋3)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大，∴m＋3＜0，解得m＜－3.
(2)∵二次函数y＝(2m－1)x2有最小值，
∴2m－1＞0，解得m＞.
16．解：(1)列表如下：
x
－2
－1
0
1
2
y＝x2
2
0
2
y＝2x2
8
2
0
2
8
y＝－x2
－2
－
0
－
－2
y＝－2x2
－8
－2
0
－2
－8
描点：以表中的数据作为点的坐标在平面直角坐标系中描点．
连线：用平滑的曲线顺次连结各点，图象如图所示：
(2)答案不唯一，如|a|相同，两条抛物线的形状就相同；|a|越大，抛物线的开口就越小．
17．解：(1)由于P为抛物线y＝x2在第一象限内的一点，且点P的坐标为(x，y)，所以点P到x轴的距离为y＝x2，所以S＝×4×x2＝2x2(x＞0)．
(2)由于x>0，所以画出的图象为抛物线S＝2x2对称轴右侧的部分(不含原点)，具体图象如图．
18．3－ [解析] 设点A的坐标为(0，a)，令x2＝a，解得x＝(负值已舍去)，∴点B(，a)．令＝a，则x＝(负值已舍去)，
∴点C(，a)．
∵CD∥y轴，
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为，∴点D的纵坐标为()2＝3a，
∴点D的坐标为(，3a)．
∵DE∥AC，∴点E的纵坐标为3a.
令＝3a，∴x＝3 (负值已舍去)，
∴点E的坐标为(3 ，3a)，
∴DE＝3 －.
故＝＝3－.
