27.1.2 第1课时 圆心角、弧、弦的关系
知识点 1 圆心角、弧、弦的关系
1．如图27－1－15所示，已知⊙O中，AB，CD是弦，根据条件填空：
图27－1－15
(1)若AB＝CD，则____________，____________；
(2)若＝，则____________，____________；
(3)若∠AOB＝∠COD，则____________，____________．
2．在同圆或等圆中，下列说法错误的是( )
A．相等的弦所对的弧相等
B．相等的弦所对的圆心角相等
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．相等的圆心角所对的弦相等
3．如图27－1－16，AB是圆O的直径，BC，CD，DA是圆O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于( )
图27－1－16
A．100° B．110°
C．120° D．135°
4．如图27－1－17，在⊙O中，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是( )
图27－1－17
A．AB＝AD B．BC＝CD
C.＝ D．∠ACB＝∠ACD
5．如图27－1－18所示，AB，CE是⊙O的直径，∠COD＝60°，且＝，则与∠AOE相等的角有________________________．
图27－1－18
6．若点A，B，C，D，E，F都在⊙O上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，则∠AOB的度数为________．
7．如图27－1－19所示，在⊙O中，弦AB与CD相交于点P，且AB＝CD.求证：AC＝BD.
图27－1－19
8．教材练习第2题变式如图27－1－20所示，已知A，B，C为⊙O上的三点，且＝＝.
(1)求∠AOB，∠BOC，∠AOC的度数；
(2)连结AB，BC，CA，试确定△ABC的形状，并说明理由．
图27－1－20
知识点 2 圆的轴对称性
9．圆是中心对称图形，________是对称中心；圆又是轴对称图形，它的对称轴有________条，____________________是它的对称轴．
10．下列包含圆的四个图形：
图27－1－21
其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图27－1－22，在三个等圆上各自有一条劣弧，，，如果＋＝，那么AB＋CD与EF的大小关系是( )
图27－1－22
A．AB＋CD＝EF B．AB＋CD＞EF
C．AB＋CD＜EF D．不能确定
12．把一张圆形纸片按图27－1－23所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是( )
图27－1－23
A．120° B．135° C．150° D．165°
13．如图27－1－24所示，A，B是半径为3的⊙O上的两点，若∠AOB＝120°，C是的中点，则四边形AOBC的周长等于________．
图27－1－24
14．如图27－1－25所示，AB为半圆O的直径，OC⊥AB，OD平分∠BOC，交半圆O于点D，AD交OC于点E，则∠AEO的度数为________．
图27－1－25
15．如图27－1－26，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D，OB交半圆O于点C，若点C，D，A在量角器上对应的读数分别为45°，70°，150°，试求∠AOB，∠A的度数．
图27－1－26
16．已知：如图27－1－27，⊙O的两条半径OA⊥OB，C，D是的三等分点，OC，OD分别与AB相交于点E，F.求证：CD＝AE＝BF.
图27－1－27
17．(1)如图27－1－28，点A，B，C，D，E都在⊙O上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EA，求∠AOB的度数；
(2)受(1)的启发，你能将一个圆四等分、六等分吗？试试看！
图27－1－28
详解详析
1．(1)＝ ∠AOB＝∠COD
(2)∠AOB＝∠COD AB＝CD
(3)＝ AB＝CD
2．A
3．C [解析] 连结OC，OD.∵BC＝CD＝DA，
∴∠COB＝∠COD＝∠DOA.
∵∠COB＋∠COD＋∠DOA＝180°，∴∠COB＝∠COD＝∠DOA＝60°，∴∠BCD＝2×(180°－60°)＝120°.故选C.
4．B [解析] 根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．
A项，∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；
B项，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，连结BO，DO，则∠BOC＝∠DOC，∴BC＝CD，故本选项正确；
C项，∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误；
D项，∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，故本选项错误．
故选B.
5．∠AOD，∠DOC，∠COB
6．60° [解析] 因为AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，所以6条弦所对的圆心角都相等，度数为＝60°.
7．证明：∵AB＝CD，∴＝，∴－＝－，即＝，∴AC＝BD.
8．解：(1)∵＝＝，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120°.
(2)△ABC是等边三角形．
理由：∵＝＝，
∴AB＝BC＝CA，
∴△ABC是等边三角形．
9．圆心 无数 经过圆心的每一条直线(或每条直径所在的直线)
10．C [解析] 第一个图形是轴对称图形，有2条对称轴；
第二个图形是轴对称图形，有2条对称轴；
第三个图形是轴对称图形，有2条对称轴；
第四个图形是轴对称图形，有3条对称轴；
∴对称轴的条数为2的图形的个数是3.
故选C.
11.B [解析] 如图，在上取一点M，使＝.因为＋＝，所以＝，所以AB＝FM，CD＝EM.在△MEF中，FM＋EM＞EF，所以AB＋CD＞EF.故选B.
12．C [解析] 如图所示，连结BO，过点O作OE⊥AB于点E.
由题意可得：EO＝BO，AB∥CD，
所以∠EBO＝30°＝∠BOD，
则∠BOC＝150°.
故的度数是150°.
13．12 [解析] ∵C是的中点，∴∠AOC＝∠BOC.又∵∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°.又∵OA＝OB＝OC，∴△AOC和△BOC都是等边三角形，∴OA＝OB＝CA＝CB＝3，∴四边形AOBC的周长等于12.
14．67.5° [解析] ∵AB为半圆O的直径，OC⊥AB，∴∠BOC＝∠AOC＝90°.
∵OD平分∠BOC，∴∠BOD＝45°，
由三角形外角的性质可得∠A＝22.5°，
∴∠AEO＝90°－∠A＝67.5°.
15．解：如图，连结OD.
∵点C，D，A在量角器上对应的读数分别为45°，70°，150°，
∴∠AOB＝∠MOA－∠MOC＝150°－45°＝105°.
∵OA＝OD，∠AOD＝150°－70°＝80°，
∴∠A＝×(180°－80°)＝50°.
16．证明：如图，连结AC，BD.
∵OA⊥OB，C，D是的三等分点，
∴AC＝CD＝BD，∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝30°.
∵OA＝OC＝OD，∴△ACO≌△DCO，
∴∠ACO＝∠DCO.
∵OA⊥OB，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°.
∵∠OEF＝∠OAE＋∠AOE＝45°＋30°＝75°，∠OCD＝＝75°，
∴∠OEF＝∠OCD，∴CD∥AB，
∴∠AEC＝∠OCD，∴∠ACO＝∠AEC，
∴AC＝AE，同理，BF＝BD.
又∵AC＝CD＝BD，∴CD＝AE＝BF.
17．解：(1)连结OC，OD，OE，∵AB＝BC＝CD＝DE＝EA，
∴＝＝＝＝，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOA＝＝72°.
(2)能．把圆四等分时，可以依次作90°的圆心角；把圆六等分时，可以依次作60°的圆心角．图略．
第2课时 垂径定理
知识点 1 垂径定理
1.如图27－1－29，在⊙O中，OC⊥AB，连结AC，BC，由垂径定理可得AE＝________，＝________，则AC＝________，∠AOC＝________.
图27－1－29
2．如图27－1－30，⊙O的半径为13，弦AB的长是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON等于( )
图27－1－30
A．5 B．7 C．9 D．11
3．如图27－1－31，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，则下列结论中一定正确的是( )
图27－1－31
A．AE＝OE B．CE＝DE
C.＝ D．AO＝CD
4．如图27－1－32，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．
求证：AC＝BD.
图27－1－32
知识点 2 垂径定理的推论
5．下列说法正确的是( )
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径的弦平分这条直径
D．弦的垂直平分线经过圆心
6．如图27－1－33，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于( )
图27－1－33
A．8 B．4
C．10 D．5
7．如图27－1－34，AB为半圆的直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是的中点，OE交弦AC于点D.若AC＝8 cm，DE＝2 cm，求OD的长．
图27－1－34
知识点 3 垂径定理的应用
8．一条排水管的截面如图27－1－35所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是( )
图27－1－35
A．4 B．5 C．6 D．6
9．某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图27－1－36所示的数据，水面宽度AB＝60 cm，水面到管顶的距离为10 cm，那么修理工人应准备内径为________cm的管道．
图27－1－36
10．2017·古冶区期中如图27－1－37，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．
(1)求圆弧所在的圆的半径；
(2)若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，求水面的跨度A′B′.
图27－1－37
11．如图27－1－38，在等边三角形ABC中，AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，如果MN＝1，那么△ABC的周长为( )
图27－1－38
A．3 B．4
C．5 D．6
12．2016·绍兴如图27－1－39①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，则该脸盆的半径为________cm.
图27－1－39
13.一条排水管的截面如图27－1－40所示，已知排水管的半径OA＝1 m，水面宽AB＝1.2 m，某天下雨后，水管水面上升了0.2 m，则此时排水管水面宽CD等于________m.
图27－1－40
14．如图27－1－41，四边形ABDC的四个顶点均在⊙O上，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于点E.
(1)请写出四个不同类型的正确结论；
(2)若BE＝4，AC＝6，求DE的长．
图27－1－41
15．如图27－1－42，已知⊙O的半径OD垂直于弦AB，交AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，若AB＝8，CD＝2，试求△BCE的面积.
图27－1－42
16．某风景区内有一座圆弧形拱桥，桥下水面的宽度为7.2米，拱桥最高处离水面2.4米，现有一艘宽3米、顶部为长方形并高出水面1.8米的船要经过这里，请通过计算说明这艘船是否可以从桥下顺利通过．
详解详析
1．BE BC ∠BOC
2．A 3.B
4．证明：过点O作OH⊥AB于点H，如图，
则AH＝BH，CH＝DH，
∴AH－CH＝BH－DH，
即AC＝BD.
5．D [解析] A选项中没有说直线过圆心，故得不到这条直线平分弦所对的两条弧；B选项中被平分的弦必须不是直径；C选项中垂直于直径的弦可能平分直径也可能不平分直径；D选项正确．故选D.
6．D [解析] 如图，连结OA.
∵M是AB的中点，
∴OM⊥AB，
且AM＝AB＝4.
在Rt△OAM中，由勾股定理可求得OA＝5.故选D.
7．解：∵E为的中点，
∴OE⊥AC，∴AD＝AC＝4 cm.
∵在Rt△OAD中，OA2＝OD2＋AD2，
即OA2＝(OE－DE)2＋AD2，
又知OA＝OE，解得OE＝5(cm)，
∴OD＝OE－DE＝3 cm.
8．D [解析] ∵OC⊥AB，OC过圆心O，∴BC＝AC＝AB＝×16＝8.在Rt△OCB中，由勾股定理，得OC＝＝＝6.故选D.
9．100 [解析] 过点O作OD⊥AB于点D，如图所示．设半径为R，则有AO2＝DO2＋AD2，即R2＝(R－10)2＋302，解得R＝50.故修理工人应准备内径为50×2＝100(cm)的管道．故答案为：100.
10．[解析] (1)连结OA，设圆弧所在的圆的半径为r米，利用r表示出OD的长，在Rt△ADO中根据勾股定理求出r的值即可；
(2)连结OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的长，进而可得出A′B′的长．
解：(1)连结OA，设圆弧所在的圆的半径为r米．
由题意得AD＝AB＝30米，OD＝(r－18)米．
在Rt△ADO中，由勾股定理得r2＝302＋(r－18)2，
解得r＝34.
故圆弧所在的圆的半径为34米．
(2)连结OA′，
OE＝OP－PE＝30米，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得A′E2＝OA′2－OE2，即A′E2＝342－302，
解得A′E＝16(米)，
∴A′B′＝32米．
11．D [解析] ∵OM⊥AB，ON⊥AC，∴M，N分别是AB，AC的中点，∴MN是等边三角形ABC的中位线．∵MN＝1，∴AB＝AC＝BC＝2MN＝2，∴△ABC的周长为2×3＝6.故选D.
12．25
13．1.6 [解析] 连结OD，OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，与CD交于点F.
由题意，易知OB＝1 m，EB＝0.6 m，根据勾股定理得OE＝0.8 m，因为EF＝0.2 m，则OF＝0.6 m．在Rt△ODF中，OF＝0.6 m，OD＝1 m，得FD＝0.8 m，因此CD＝1.6 m．故答案为1.6.
14．解：(1)不同类型的正确结论有BE＝BC，＝，∠BED＝90°，BD＝CD，△BOD是等腰三角形，△BDE≌△CDE，OB2＝OE2＋BE2等(答案不唯一，任意写出四个即可)．
(2)∵AB是⊙O的直径，
∴OA＝OB.
∵OD⊥BC于点E，
∴BE＝CE，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE＝AC＝×6＝3.
在Rt△OBE中，由勾股定理，得
OB＝＝＝5，
∴OD＝OB＝5，∴DE＝OD－OE＝5－3＝2.
15．解：设OC＝x，则OA＝OD＝x＋2.
∵OD⊥AB于点C，∴AC＝BC＝AB＝4.
在Rt△OAC中，OC2＋AC2＝OA2，
即x2＋42＝(x＋2)2，
解得x＝3，即OC＝3.
∵OC为△ABE的中位线，
∴BE＝2OC＝6，BE∥OC，
∴BE⊥AB，即∠B＝90°，
∴S△BCE＝BC?BE＝×4×6＝12.
16.解：如图，为桥拱，EF为船宽，设AB，EF的中点为D，弧的最高点为C，连结CD，过点E作EG⊥AB，交于点G，过点F作FH⊥AB，交于点H，连结GH交CD于点P，则GH＝EF＝3米．设所在圆的半径为r米，圆心为O，连结OD，则O，D，C在一条直线上，OD＝(r－2.4)米，AD＝3.6米，连结OA，OH，由勾股定理可得OA2＝AD2＋OD2，即r2＝3.62＋(r－2.4)2，解得r＝3.9.在Rt△OHP中，有OH2＝PH2＋OP2，即OP＝＝3.6(米)，所以FH＝DP＝OP－OD＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1(米)>1.8米，所以这艘船可以从桥下顺利通过．
27．1.1 圆的基本元素
知识点 1 圆的定义
1．下面关于圆的叙述正确的是( )
A．圆是一个面
B．圆是一条封闭的曲线
C．圆是由圆心唯一确定的
D．圆是到定点的距离等于或小于定长的点的集合
2．以已知点O为圆心，线段a的长为半径作圆，可以作( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
3．如图27－1－1所示，以坐标原点O为圆心的圆与y轴交于点A，B，且OA＝1，则点B的坐标是________．
图27－1－1
知识点 2 圆的基本元素
4．如图27－1－2，AB是圆O的直径，则圆中的弦有______条，分别是________________________________________________________________________，
劣弧有________条，分别是________________．
图27－1－2
5．圆内最长的弦的长为30 cm，则圆的半径是________________________________________________________________________．
6．如图27－1－3，⊙O的半径为2019，∠AOB＝60°，则弦长AB＝________．
图27－1－3
7．下列说法中，正确的是( )
A．过圆心的线段是直径
B．小于半圆的弧是优弧
C．弦是直径
D．半圆是弧
8．图27－1－4中的∠1是圆心角的是( )
图27－1－4
9．如图27－1－5所示，MN为⊙O的弦，∠M＝40°，则∠N等于( )
图27－1－5
A．40° B．60° C．100° D．120°
10．如图27－1－6所示，下列说法中正确的是( )
图27－1－6
A．线段AB，AC，CD都是⊙O的弦
B．线段AC经过圆心O，所以线段AC是直径
C．弦AC把⊙O分成了两条不相等的弧
D．弦AB把圆分成两条弧，其中是劣弧
11．如图27－1－7所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，求∠ACD的度数．
图27－1－7
12．如图27－1－8，点A，B，C是⊙O上的三点，BO平分∠ABC.求证：BA＝BC.
图27－1－8
13．如图27－1－9所示，AB是⊙O的直径，小芳给出以下判断：①是优弧；②是劣弧；③图中有四条弦；④弦AC所对的弧是劣弧；⑤AB＝2OB.其中正确的是( )
图27－1－9
A．①⑤ B．③④ C．④⑤ D．②⑤
14．如图27－1－10，AB是⊙O的直径，D，C在⊙O上，AD∥OC，∠DAB＝60°，连结AC，则∠DAC等于( )
图27－1－10
A．15° B．30° C．45° D．60°
15．如图27－1－11，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，与直线l1，l2分别交于点B，C，连接AC，BC.若∠ABC＝54°，则∠1的度数为( )
图27－1－11
A．36° B．54° C．72° D．73°
16．2017·义乌中考模拟有一半圆片(其中圆心角∠AED＝52°)在平面直角坐标系中，按图27－1－12所示位置放置，若点A可以沿y轴正半轴上下滑动，同时点B相应地在x轴正半轴上滑动，当∠OAB＝n°时，半圆片上的点D与原点O的距离最大，则n的值为( )
图27－1－12
A．64 B．52 C．38 D．26
17．如图27－1－13，AB，CD是⊙O的两条弦，若∠AOB＋∠C＝180°，∠COD＝∠A，则∠AOB＝________．
图27－1－13
18．教材练习第1题变式设AB＝2 cm，作出满足下列要求的图形：
(1)到点A的距离等于1.5 cm，且到点B的距离等于1 cm的所有点组成的图形；
(2)到点A的距离小于1.5 cm，且到点B的距离小于1 cm的所有点组成的图形；
(3)到点A的距离大于1.5 cm，且到点B的距离小于1 cm的所有点组成的图形．
19．如图27－1－14，直线AB经过⊙O的圆心，与⊙O相交于点A，B，点C在⊙O上，且∠AOC＝30°，点P是直线AB上的一个动点(不与点O重合)，直线PC与⊙O相交于点Q，点P在直线AB上的什么位置时，QP＝QO？这样的点P共有几个？并相应地求出∠OCP的度数．
图27－1－14
详解详析
1．B [解析] 圆是一条封闭的曲线，它是由圆心和半径确定的，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，圆是到定点的距离等于定长的点的集合，故A，C，D均错误．
2．A
3．(0，－1)
4．2 CD，AB 5 ，，，，
5．15 cm [解析] 圆内最长的弦是直径．
6．2019 [解析] 因为OA＝OB，∠AOB＝60°，所以△AOB为等边三角形，所以AB＝2019.
7．D
8．D [解析] 根据“圆心角的顶点是圆心”，判断出D选项是正确的．
9．A [解析] ∵OM＝ON，∴∠N＝∠M＝40°.
故选A.
10．B [解析] 因为弦的两个端点都在圆上，所以线段CD不是弦，所以A错误；经过圆心的弦是圆的直径，所以B正确；直径把圆分成两个半圆，它们相等，所以C错误；大于半圆周的弧称为优弧，所以D错误．
11．解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠B＝50°.
∵CB＝CD，∴∠BDC＝∠B＝50°.
∵∠BDC是△ADC的一个外角，
∴∠BDC＝∠A＋∠ACD，∴∠ACD＝10°.
12．证明：如图，连结OA，OC.
∵OA＝OB，OB＝OC，
∴∠ABO＝∠BAO，
∠CBO＝∠BCO.
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO，
∴∠BAO＝∠BCO.又∵BO＝BO，
∴△OAB≌△OCB，
∴BA＝BC.
13．D [解析] ①弧ACB是半圆；③图中有三条弦：AC，AB，CB；④弦AC所对的弧有两条，分别是劣弧和优弧，所以正确的是②⑤.
14．B [解析] ∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO.∵AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO，∴∠DAC＝∠CAO.∵∠DAB＝60°，∴∠DAC＝∠DAB＝30°.故选B.
15．C
16．D [解析] 连结OE，OD，如图．
当点O，E，D共线时，半圆片上的点D与原点O的距离最大．
因为EA＝EB，
所以EA＝EO＝EB，
所以∠EAO＝∠EOA，
则∠AED＝∠EAO＋∠EOA，
所以∠EAO＝∠AED＝26°，所以n＝26.
17．108° [解析] 设∠COD＝∠A＝x°，则∠AOB＝(180－2x)°，∠C＝∠ODC＝()°.
∵∠AOB＋∠C＝180°，∴180－2x＋＝180，解得x＝36，∴∠AOB＝(180－2x)°＝108°.故答案为108°.
18．[解析] (1)分别以A点和B点为圆心，1.5 cm和1 cm为半径作⊙A与⊙B，则它们的交点为所求；
(2)分别以A点和B点为圆心，1.5 cm和1 cm为半径作⊙A与⊙B，则它们的公共部分为所求(边界除外)；
(3)分别以A点和B点为圆心，1.5 cm和1 cm为半径作⊙A与⊙B，则⊙B中除掉它们的公共部分为所求(边界除外)．
解：(1)如图①，点P和点Q为所求．
(2)如图②，阴影部分为所求(不含边界)．
(3)如图③，阴影部分为所求(不含边界)．
19．解：(1)当点P在线段OA上时(如图①)，
在△QOC中，CO＝QO，∴∠OQC＝∠OCQ.
在△OPQ中，QP＝QO，∴∠QOP＝∠QPO.
又∵∠QPO＝∠OCQ＋∠AOC，∠AOC＝30°，∠QOP＋∠QPO＋∠OQC＝180°，
∴3∠OCP＝120°，∴∠OCP＝40°.
(2)当点P在线段OA的延长线上时(如图②)，
∵CO＝QO，∴∠OQP＝①.
∵QO＝QP，
∴∠OPQ＝②.
在△OQP中，30°＋∠QOC＋∠OQP＋∠OPQ＝180°③，
把①②代入③，得∠QOC＝20°，则∠OQP＝80°，
∴∠OCP＝100°.
(3)当点P在线段OB的延长线上时(如图③)，
∵CO＝QO，
∴∠OCP＝∠OQC.
∵QO＝QP，
∴∠QPO＝∠POQ，
∴2∠QPO＝∠OCP＝∠OQC.
∵∠AOC＝30°，∴∠QPO＋2∠QPO＝30°，
∴∠QPO＝10°，
∴∠OCP＝2∠QPO＝20°.
(4)当点P在线段OB上时，QP＜QO，此时符合要求的点P不存在．
综上可知，这样的点P共有3个，当点P在线段OA上时，∠OCP＝40°；当点P在线段OA的延长线上时，∠OCP＝100°；当点P在线段OB的延长线上时，∠OCP＝20°.
27.1.3 圆周角
知识点 1 圆周角的概念
1．下列图形中的角是圆周角的是( )
图27－1－43
2．如图27－1－44，在图中标出的4个角中，圆周角有________个．
图27－1－44
知识点 2 圆周角定理
3．2018·聊城如图27－1－45，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连结AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是( )
图27－1－45
A．25° B．27.5° C．30° D．35°
4．2016·绍兴如图27－1－46，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是( )
图27－1－46
A．60° B．45° C．35° D．30°
5．如图27－1－47，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝35°，则∠B的度数为( )
图27－1－47
A．25° B．45° C．55° D．65°
6．2017·衡阳如图27－1－48，点A，B，C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，如果∠AOB＝64°，那么∠ACB的度数是( )
图27－1－48
A．26° B．30°
C．32° D．64°
7．如图27－1－49，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，则∠P的度数为( )
图27－1－49
A．140° B．70° C．60° D．40°
8．2018·咸宁如图27－1－50，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为( )
图27－1－50
A．6 B．8 C．5 D．5
9．如图27－1－51，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连结CD，AD.求证：DB平分∠ADC.
图27－1－51
10．如图27－1－52，△ABC的三个顶点都在⊙O上，直径AD＝6 cm，∠DAC＝2∠B，求AC的长．
图27－1－52
知识点 3 圆周角定理的推论
11．2018·邵阳如图27－1－53所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是( )
图27－1－53
A．80° B．120° C．100° D．90°
12．从下列三角尺与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是( )
图27－1－54
13．如图27－1－55，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则cos∠OBD等于( )
图27－1－55
A. B. C. D.
14.如图27－1－56，已知经过原点的⊙P与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是劣弧上一点，则∠ACB等于( )
图27－1－56
A．80° B．90°
C．100° D．无法确定
15．2016·杭州如图27－1－57，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上(不与点A，C重合)，点D在AC的延长线上，连结BD交⊙O于点E，若∠AOB＝3∠ADB，则( )
图27－1－57
A．DE＝EB B.DE＝EB
C.DE＝DO D．DE＝OB
16．如图27－1－58，已知等腰直角三角形ABC的三个顶点都在⊙O上，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC＝4，AD＝，则AE的长是( )
图27－1－58
A．3 B．2
C．1 D．1.2
17．如图27－1－59，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点．若∠BCD＝28°，则∠ABD＝________°.
图27－1－59
18．如图27－1－60，海边立有两座灯塔A，B，暗礁分布在经过A，B两点的弓形(弓形的弧是⊙O的一部分)区域内，∠AOB＝80°.为了避免触礁，轮船P与A，B两点的张角∠APB的最大值为________．
图27－1－60
19．如图27－1－61，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P.若点D在优弧上，AB＝8，BC＝3，则DP＝________.
图27－1－61
20．如图27－1－62，已知AB是半径为1的⊙O的直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于点E，交AB于点F，且△AEF为等边三角形.
(1)求证：△DFB是等腰三角形；
(2)若DA＝AF，求证：CF⊥AB.
图27－1－62
21．如图27－1－63，AB是⊙O的直径，弦BC＝4 cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°.若动点E以2 cm/s的速度从点A出发沿着A→B→A的方向运动，设运动时间为t s(0≤t＜6)，连结EF，当△BEF是直角三角形时，t的值为________．
图27－1－63
详解详析
1．B [解析] 顶点在圆上，两边与圆相交的角叫圆周角．满足条件的是选项B.
2．2
3．D [解析] ∵∠A＝60°，∠ADC＝85°，∴∠B＝85°－60°＝25°，∠CDO＝95°，∴∠AOC＝2∠B＝50°，∴∠C＝180°－95°－50°＝35°.故选D.
4．D
5．C [解析] ∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°.
∵∠A＝35°，∴∠B＝55°.故选C.
6．C [解析] 根据圆周角定理，同一条弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，可知∠ACB＝∠AOB＝32°.故选C.
7．B [解析] ∵CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，
∴∠DOE＝180°－40°＝140°，
∴∠P＝∠DOE＝70°.
8．B [解析] 如图，延长AO交⊙O于点E，连结BE，
则∠AOB＋∠BOE＝180°.
又∵∠AOB＋∠COD＝180°，
∴∠BOE＝∠COD，∴BE＝CD＝6.
∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴AB＝＝＝8.
故选B.
9．证明：∵AB＝BC，∴＝，
∴∠BDC＝∠ADB，
∴DB平分∠ADC.
10．[解析] 连结OC，先判定△AOC是等边三角形，进而得到AC＝AO＝AD＝3 cm.
解：如图，连接OC，
∵∠AOC＝2∠B，∠DAC＝2∠B，
∴∠AOC＝∠DAC，
∴OC＝AC.
又∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC＝AO＝AD＝3 cm.
11．B [解析] ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°－∠BCD＝60°.
由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝120°.
故选B.
12．B
13．C [解析] 连结CD，如图所示，
∵D(0，3)，C(4，0)，∴OD＝3，OC＝4.∵∠COD＝90°，
∴CD＝＝5.
∵∠OBD＝∠OCD，
∴cos∠OBD＝cos∠OCD＝＝.故选C.
14．B [解析] ∵∠AOB与∠ACB是所对的圆周角，∴∠AOB＝∠ACB.∵∠AOB＝90°，∴∠ACB＝90°.故选B.
15．D [解析] 如图，连结EO.
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB.
∵∠OEB＝∠D＋∠DOE，
∠AOB＝3∠D，
∴∠B＋∠D＝∠D＋∠DOE＋∠D＝3∠D，
∴∠DOE＝∠D，
∴DE＝OE＝OB.故选D.
16．C
17．62 [解析] ∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵∠BCD＝28°，∴∠ACD＝62°.
由圆周角定理得∠ABD＝∠ACD＝62°.
18．40° [解析] 如图，当点P在⊙O上的点P′时，∠AP′B的度数最大，∠AP′B＝∠AOB＝40°.
19．5.5 [解析] ∵AB和DE是⊙O的直径，
∴OA＝OB＝OD＝4，∠C＝90°.
又∵DE⊥AC，∴AP＝CP，
∴OP是△ABC的中位线，
∴OP＝1.5，∴DP＝OD＋OP＝5.5.
20．证明：(1)∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵△AEF为等边三角形，
∴∠CAB＝∠EFA＝60°，∴∠B＝30°.
∵∠EFA＝∠B＋∠FDB，
∴∠FDB＝30°＝∠B，
∴△DFB是等腰三角形．
(2)如图，过点A作AM⊥DF于点M，
设AF＝2a.
∵△AEF是等边三角形，
∴FM＝EM＝a，AM＝a.
在Rt△DAM中，
DA＝AF＝2 a，
AM＝a，∴DM＝5a，
∴DF＝BF＝6a，∴AB＝AF＋BF＝8a.
在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，
∴AC＝4a.
∵AE＝EF＝AF＝2a，
∴CE＝AC－AE＝2a＝EF，
∴∠ECF＝∠EFC.
∵∠AEF＝∠ECF＋∠EFC＝60°，
∴∠EFC＝30°，
∴∠AFC＝∠EFA＋∠EFC＝60°＋30°＝90°，
即CF⊥AB.
21．2，， [解析] ∵0≤t＜6，动点E以2 cm/s的速度从点A出发沿着A→B→A的方向运动，
∴当t＝6时，点E运动的路程是2×6＝12(cm)，
即点E运动的路程小于12 cm，设点E运动的路程是s cm，则0≤s＜12.
∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°.
∵F为BC的中点，BC＝4 cm，
∴BF＝CF＝2 cm.
∵∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，∴AB＝2BC＝8 cm.
分为以下三种情况：
(1)当∠EFB＝90°时，如图①.
∵∠C＝90°，∴∠EFB＝∠C，∴AC∥EF.
∵FC＝BF，∴AE＝BE，即点E和点O重合，AE＝4 cm，∴t＝4÷2＝2；
(2)当∠FEB＝90°时，如图②.
∵∠ABC＝60°，∴∠BFE＝30°，
∴BE＝BF＝1 cm，∴AE＝8－1＝7(cm)，
∴t＝7÷2＝；
(3)当点E到达点B后再返回到点O的过程中，∠FEB＝90°，如图③.
此时点E运动的路程是8＋1＝9(cm)，
∴t＝9÷2＝.
综上所述，当△BEF是直角三角形时，t的值为2，，.
