27.2.3 第1课时 切线的判定与性质
知识点 1 切线的判定
1．(1)如图27－2－25①，⊙O的半径OB＝5 cm，点A，B在直线l上，且OA＝13 cm，则只要AB＝______cm，就可判定直线l是⊙O的切线；
(2)如图①，已知点B在⊙O上，直线l经过点B，只要补充条件________，就可判定直线l是⊙O的切线；
(3)如图②，MN是⊙O的直径，l1是⊙O的切线，切点为N，l2过点M，只要再补充条件__________或____________，就可判定直线l2是⊙O的切线．
图27－2－25
2．如图27－2－26，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC所在的直线是⊙O的切线，你所添加的条件为________．
图27－2－26
3．下列直线中，一定是圆的切线的是( )
A．与圆有公共点的直线
B．垂直于圆的半径的直线
C．圆心与其距离等于半径的直线
D．经过圆心和直径的一端的直线
4．教材练习第2题变式如图27－2－27所示，OC是⊙O的半径，A是圆上一点，延长OC到点B，使BC＝OC，且AC＝BC.求证：AB为⊙O的切线．
图27－2－27
知识点 2 切线的性质
5．2018·眉山如图27－2－28所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P＝36°，则∠B等于( )
图27－2－28
A．27° B．32° C．36° D．54°
6．如图27－2－29，两个同心圆的半径分别为4 cm和5 cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为( )
图27－2－29
A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
7．2017·长春如图27－2－30，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝29°，过点C作⊙O的切线交OA的延长线于点D，则∠D的度数为( )
图27－2－30
A．29° B．32° C．42° D．58°
8．2018·朝阳区一模如图27－2－31，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连结OB交⊙O于点C，D是优弧上一点，连结AD，CD.若∠ABO＝40°，则∠D的大小是( )
图27－2－31
A．50° B．40° C．35° D．25°
9．如图27－2－32，AB和⊙O相切于点B，AB＝4，OA＝5，则cosA＝________．
图27－2－32
10．如图27－2－33，直线AB与⊙O相切于点A，AC，CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB.若⊙O的半径为，CD＝4，则弦AC的长为________．
图27－2－33
11．已知：如图27－2－34，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD.
(1)求∠D的度数；
(2)若CD＝2，求BD的长．
图27－2－34
12．如图27－2－35，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切，与y轴相交于A(0，2)，B(0，8)，则圆心P的坐标是( )
图27－2－35
A．(5，3) B．(5，4) C．(3，5) D．(4，5)
13．如图27－2－36，∠ABC＝80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转( )
图27－2－36
A．40°或80° B．50°或100°
C．50°或110° D．60°或120°
14．如图27－2－37，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y＝x－与⊙O的位置关系是( )
图27－2－37
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
15．如图27－2－38，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3 ，⊙O的半径为1，P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(Q为切点)，则PQ的最小值为________．
图27－2－38
16．2018·黄冈如图27－2－39，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C.
(1)求证：∠CBP＝∠ADB；
(2)若OA＝2，AB＝1，求线段BP的长．
图27－2－39
17．已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.
(1)如图24－2－40①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF是⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(要求写出两种情况)：________或者________；
(2)如图24－2－40②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的结论．
图24－2－40
详解详析
1．(1)12
(2)答案不唯一，如OB⊥l或∠OBA＝90°
(3)l1∥l2 l2⊥MN于点M
2．答案不唯一，如∠ABC＝90°(或AB⊥BC或∠A＋∠C＝90°)
[解析] 当△ABC为直角三角形，即∠ABC＝90°时，BC所在的直线是⊙O的切线．
3．C
4．证明：连结OA.
∵OC＝BC，AC＝BC，∴OC＝AC.
又∵OA＝OC，∴△OAC是等边三角形，
∴∠OAC＝∠OCA＝60°.
又∵AC＝BC，∠OCA＝∠CAB＋∠B，
∴∠CAB＝30°，
∴∠OAB＝∠OAC＋∠CAB＝90°.
又∵A是圆上一点，∴AB为⊙O的切线．
5．A [解析] ∵PA切⊙O于点A，
∴∠OAP＝90°.
∵∠P＝36°，
∴∠AOP＝54°，
∴∠B＝27°.
故选A.
6．C [解析] 如图所示，
设圆心为O，切点为C，连结OA，OC，则OC⊥AB，
∴AC＝BC.
在Rt△AOC中，OA＝5 cm，
OC＝4 cm，根据勾股定理，得AC＝＝3(cm)，
∴AB＝AC＋BC＝3＋3＝6(cm)．故选C.
7．B [解析] ∵∠ABC＝29°，
∴∠DOC＝2∠ABC＝58°.
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∴∠D＝90°－58°＝32°.
故选B.
8．D [解析] ∵AB是⊙O的切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°.
∵∠ABO＝40°，
∴∠AOB＝90°－40°＝50°，
∴∠D＝∠AOB＝25°.
故选D.
9. [解析] ∵AB和⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，∴∠OBA＝90°，∴cosA＝＝.
10．2 [解析] 连结AO并延长，交CD于点E，连结OC，易证OE⊥CD，
CE＝DE＝2.由勾股定理得OE＝，故AE＝4.由勾股定理得AC＝2 .
11．解：(1)∵∠COD＝2∠CAD，∠D＝2∠CAD，
∴∠D＝∠COD.
∵PD与⊙O相切于点C，
∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°，
∴∠D＝45°.
(2)由(1)知△OCD是等腰直角三角形，
∴OC＝CD＝2.
由勾股定理，得OD＝＝2 ，
∴BD＝OD－OB＝2 －2.
12．D [解析] 如图，过点P作PC⊥AB于点C，PD⊥x轴于点D，连结PB.
∵P为圆心，
∴AC＝BC.
∵A(0，2)，B(0，8)，
∴AB＝8－2＝6，
∴AC＝BC＝3，
∴OC＝8－3＝5.
∵⊙P与x轴相切，
∴PD＝PB＝OC＝5.
在Rt△PBC中，由勾股定理可得PC＝＝＝4，
∴点P的坐标为(4，5)．
13．C [解析] 如图．
①当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC上方时，设切点为P，连结OP，则∠OPB＝90°.
Rt△OPB中，OB＝2OP，
∴∠A′BO＝30°，
∴∠ABA′＝50°.
②当BA″与⊙O相切，且BA″位于BC下方时；
同①，可求得∠A″BO＝30°，
此时∠ABA″＝80°＋30°＝110°.
故旋转角的度数为50°或110°.
14．B [解析] 如图，作直线y＝x－，与x轴、y轴分别交于点B，A.令x＝0，则y＝－；令y＝0，则x＝，
∴A(0，－)，B(，0)，
∴OA＝OB＝，
∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB＝2.
过点O作OD⊥AB，
则OD＝BD＝AB＝×2＝1，
∴直线y＝x－与⊙O相切．故选B.
15.2 [解析] 如图，连结OP，OQ.∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ.由勾股定理，得PQ2＝OP2－OQ2，∴当OP⊥AB时，OP最短，则线段PQ最短．∵AB＝＝6，∴OP＝＝3，
∴PQ＝＝2 .
16．解：(1)证明：连结OB，如图，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，∴∠A＋∠ADB＝90°.
∵BC为切线，
∴OB⊥BC，∴∠OBC＝90°，
∴∠OBA＋∠CBP＝90°.
∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，
∴∠CBP＝∠ADB.
(2)∵OP⊥AD，∴∠POA＝90°，
∴∠P＋∠A＝90°，∴∠P＝∠D，
∴△AOP∽△ABD，
∴＝，即＝，
∴BP＝7.
17．解：(1)答案不唯一，如①∠BAE＝90°，②∠EAC＝∠ABC.
理由：①∵∠BAE＝90°，∴AE⊥AB.
又∵AB是⊙O的直径，∴EF是⊙O的切线．
②∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＋∠BAC＝90°.
∵∠EAC＝∠ABC，
∴∠BAE＝∠BAC＋∠EAC＝∠BAC＋∠ABC＝90°，
即AE⊥AB.
又∵AB是⊙O的直径，∴EF是⊙O的切线．
(2)EF是⊙O的切线．
证明：如图，作直径AM，连接CM，
则∠ACM＝90°，∠M＝∠B，
∴∠M＋∠CAM＝∠B＋∠CAM＝90°.
∵∠CAE＝∠B，∴∠CAE＋∠CAM＝90°，
即AE⊥AM.
∵AM是⊙O的直径，∴EF是⊙O的切线．
第2课时 切线长定理及三角形的内切圆
知识点 1 切线长定理
1．如图27－2－41，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，不一定成立的是( )
图27－2－41
A．∠1＝∠2 B．PA＝PB
C．AB⊥OP D．∠PAB＝2∠1
2．如图27－2－42，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠PAB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是( )
图27－2－42
A．4 B．8
C．4 D．8
3．如图27－2－43所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连结BD，AD.若∠ACD＝30°，则∠DBA的大小是( )
图27－2－43
A．15° B．30°
C．60° D．75°
4．如图27－2－44所示，直线PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．若∠APB＝120°，AB＝10 cm，则⊙O的半径为( )
图27－2－44
A．5 cm B．5 cm
C．10 cm D．10 cm
5．如图27－2－45，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，PO＝10 cm，OA＝5 cm，则∠APB＝________°.
图27－2－45
6．如图27－2－46所示，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的切线EF与PA，PB分别交于点E，F，切点C在上．若PA＝12，则△PEF的周长是多少？
图27－2－46
知识点 2 三角形的内切圆
7．2018·台湾如图27－2－47，点I为△ABC的内心，点D在BC上，且ID⊥BC，若∠B＝44°，∠C＝56°，则∠AID的度数为( )
图27－2－47
A．174° B．176° C．178° D．180°
8．若△ABC的周长为20 cm，面积为32 cm2，则△ABC的内切圆半径为________．
9．如图27－2－48所示，在△ABC中，内切圆⊙O和边BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，你认为∠FDE和∠A之间有什么数量关系？请说明理由．
图27－2－48
10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何．”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少．”( )
A．3步 B．5步 C．6步 D．8步
11．如图27－2－49，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，则DM的长为( )
图27－2－49
A. B. C. D．2
12．如图27－2－50，I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连结BI，BD，DC.下列说法中错误的一项是( )
图27－2－50
A．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合
B．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合
C．∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合
D．线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合
13.教材练习第1题变式如图27－2－51所示，△ABC的内切圆的三个切点分别为D，E，F，∠A＝75°，∠B＝45°，则圆心角∠EOF＝________°.
图27－2－51
14．如图27－2－52，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点D，E，交AB于点C.
(1)图中的垂直关系有：____________________；
(2)图中的全等三角形有：________________________________________________________________________；
(3)如果PA＝4 cm，PD＝2 cm，求半径OA的长．
图27－2－52
15．如图27－2－53，△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点.
(1)求证：四边形ODCE是正方形；
(2)如果AC＝6，BC＝8，求内切圆⊙O的半径．
图27－2－53
16．如图27－2－54，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，连结OB，OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于点N.
(1)求证：MN是⊙O的切线；
(2)当OB＝6 cm，OC＝8 cm时，求⊙O的半径及MN的长．
图27－2－54
详解详析
1．D 2.B 3.D 4.D
5．60 [解析] 易证∠OAP＝90°，所以sin∠APO＝＝，所以∠APO＝30°，所以∠APB＝60°.
6．解：∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的切线EF与PA，PB分别交于点E，F，切点C在上，
∴AE＝CE，BF＝CF，PA＝PB＝12，
∴△PEF的周长＝PE＋EF＋PF＝PA＋PB＝24.
7．A [解析] 连结CI，在△ABC中，∠B＝44°，∠ACB＝56°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠ACB＝80°.∵点I为△ABC的内心，∴∠CAI＝∠BAC＝40°，∠ACI＝∠DCI＝∠ACB＝28°，∴∠AIC＝180°－∠CAI－∠ACI＝112°.又ID⊥BC，∴∠CID＝90°－∠DCI＝62°，∴∠AID＝∠AIC＋∠CID＝112°＋62°＝174°.故选A.
8．3.2 cm
9．解：∠A＝180°－2∠FDE.
理由：连结OE，OF，则OE⊥AC，OF⊥AB，
∴∠OEA＝∠OFA＝90°，
∴∠EOF＋∠A＝180°，
即∠A＝180°－∠EOF.
又∵∠EOF＝2∠FDE，
∴∠A＝180°－2∠FDE.
10．C [解析] 根据勾股定理，得斜边长为＝17(步)，
则该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)半径r＝＝3(步)，则直径为6步．
11．A [解析] 由题意，易知AE＝AF＝BF＝BG＝2，则CG＝DE＝DN＝3.设GM＝x，则MN＝x.由勾股定理，得DM2＝DC2＋CM2，即(3＋x)2＝42＋(3－x)2，解得x＝，所以DM＝.
12．D [解析] ∵I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，故C正确，不符合题意；
∴＝，
∴DB＝DC，故A正确，不符合题意；
∵∠DAC＝∠DBC，∴∠BAD＝∠DBC.
∵∠IBD＝∠CBI＋∠DBC，
∠BID＝∠ABI＋∠BAD，
∴∠IBD＝∠BID，
∴DB＝DI，故B正确，不符合题意．故选D.
13．120
14．解：(1)OA⊥PA，OB⊥PB，OP⊥AB
(2)△OAP≌△OBP，△OCA≌△OCB，△ACP≌△BCP
(3)设OA＝x cm.
由勾股定理，得42＋x2＝(x＋2)2，
解得x＝3，∴半径OA的长为3 cm.
15．解：(1)证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OD⊥BC，OE⊥AC.
∵∠C＝90°，
∴四边形ODCE是矩形.
又∵OD＝OE，
∴矩形ODCE是正方形．
(2)∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10.
由切线长定理，得AF＝AE，BD＝BF，CD＝CE,
∴CD＋CE＝BC＋AC－BD－AE＝BC＋AC－AB＝4，
则CE＝2，即内切圆⊙O的半径为2.
16．解：(1)证明：∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠DCB.
∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠DCB＝180°，
∴∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠DCB)＝×180°＝90°，
∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－90°＝90°，
∴∠BOM＝90°.
∵MN∥OB，
∴∠NMC＝∠BOM＝90°，
即MN⊥MC.
又∵MO是⊙O的半径，
∴MN是⊙O的切线.
(2)如图，连结OF，则OF⊥BC，
由(1)知，△BOC是直角三角形，
∴BC＝＝＝10(cm)．
∵S△BOC＝·OB·OC＝·BC·OF，
∴6×8＝10×OF，∴OF＝4.8 cm,
∴⊙O的半径为4.8 cm.
由(1)知，∠NCM＝∠BCO，∠NMC＝∠BOC＝90°，
∴△NMC∽△BOC，
∴＝，即＝，
∴MN＝9.6(cm)．
27.2.1 点与圆的位置关系
知识点 1 点与圆的位置关系
1．已知⊙O的半径为6 cm，若OA＝4 cm，则点A在⊙O______；若OB＝6 cm，则点B在⊙O________；若OC＝7 cm，则点C在⊙O________．
2．如图27－2－1，边长为1的正方形ABCD的两条对角线相交于点O，以点A为圆心，1为半径画圆，则点O，B，C，D中，点__________在圆内，点________在圆上，点__________在圆外．
图27－2－1
3．已知点A为⊙O外的一个点，且⊙O的半径为9 cm，则线段OA的长度可能为( )
A．7 cm B．8 cm C．9 cm D．10 cm
4．教材习题27.2第1题变式如图27－2－2，已知△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.
(1)当r在什么取值范围内时，点A，B在⊙C外？
(2)当r在什么取值范围内时，点A在⊙C内，点B在⊙C外？
图27－2－2
知识点 2 确定圆的条件
5．给定下列条件可以确定一个圆的是( )
A．已知圆心
B．已知半径
C．已知直径
D．不在同一直线上的三个点
6．如图27－2－3所示，点A，B，C在同一直线上，点M在直线AC外，经过图中的三个点作圆，可以作________个．
图27－2－3
7．如图27－2－4所示，已知A，B，C三点(三点不在同一直线上)，求作：⊙O，使它经过A，B，C三点．(要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)
图27－2－4
知识点 3 三角形的外接圆与圆的内接三角形
8．三角形的外心是三角形______________的交点，其中直角三角形的外心是________的中点，锐角三角形的外心在三角形的________，钝角三角形的外心在三角形的________．
9．如图27－2－5，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是( )
图27－2－5
A．△ABE B．△ACF
C．△ABD D．△ADE
10．2018·自贡如图27－2－6，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A＝60°，连结OB，OC，则边BC的长为( )
图27－2－6
A.R B.R C.R D.R
11．如图27－2－7，有一块三角形材料(△ABC)，请用尺规画出△ABC的外接圆．(不写作法，保留作图痕迹)
图27－2－7
12．2017·遂宁如图27－2－8，⊙O的半径为6，△ABC是⊙O的内接三角形，连结OB，OC，若∠BAC与∠BOC互补，则线段BC的长为( )
图27－2－8
A．3 B．3
C．6 D．6
13．如图27－2－9，已知平面直角坐标系内三点A(3，0)，B(5，0)，C(0，4)，⊙P经过点A，B，C，则点P的坐标为( )
图27－2－9
A．(6，8) B．(4，5)
C．(4，) D．(4，)
14．2017·枣庄如图27－2－10，在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位)选取9个格点(格线的交点称为格点)．若以点A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为( )
图27－2－10
A．2 ＜r＜ B.＜r＜3
C.＜r＜5 D．5＜r＜
15．平面上有⊙O及一点P，P到⊙O上一点的距离最长为6 cm，最短为2 cm，则⊙O的半径为__________．
16．2017·盱眙县期中如图27－2－11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D为AB的中点，以点C为圆心，BC长为半径画圆，则点D与⊙C的位置关系是________________．
图27－2－11
17．如图27－2－12，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4.
(1)以点A为圆心，4为半径画⊙A，并说出点B，C，D与⊙A的位置关系；
(2)若以点A为圆心作⊙A，且使点B，C，D中至少有一个点在⊙A内，同时至少有一个点在⊙A外，则⊙A的半径r应满足什么条件？
图27－2－12
18．如图27－2－13，在△ABC中，BC＝12 cm，AB＝AC，∠BAC＝120°.
(1)作△ABC的外接圆(只需作出图形，并保留作图痕迹)；
(2)求它的外接圆直径．
图27－2－13
19．2017·台州如图27－2－14，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点(不与点B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．
(1)求证：△APE是等腰直角三角形；
(2)若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．
图27－2－14
详解详析
1．内 上 外
2．O B，D C [解析] ∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO.
设AO＝BO＝x，由勾股定理得AO2＋BO2＝AB2，∴x2＋x2＝12，解得x＝.
∴AO＝＜1，AC＝＞1，
∴点O在圆内，点B，D在圆上，点C在圆外．
3．D
4．解：(1)当0＜r＜3时，点A，B在⊙C外．
(2)当3＜r＜4时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．
5．D [解析] A项，已知圆心只能确定圆的位置，不能确定圆的大小，故错误；B项和C项，已知圆的半径或直径，只能确定圆的大小，不能确定圆的位置，故错误；D项，不在同一直线上的三点确定一个圆，正确．故选D.
6．3 [解析] 分别过点A，B，M；点A，C，M；点B，C，M可以作圆，故共能确定3个圆．
7．略
8．三边垂直平分线 斜边 内部 外部
9．B
10．D [解析] 延长BO交⊙O于点D，连结CD，
则∠BCD＝90°，∠D＝∠A＝60°，
∴∠CBD＝30°.
∵BD＝2R，
∴DC＝R，
∴BC＝R.
故选D.
11．解：作法如下：
(1)作线段AB的垂直平分线l1；
(2)作线段BC的垂直平分线l2；
(3)以l1，l2的交点O为圆心，OA长为半径画圆，则⊙O就是所求作的圆．
12．C [解析] ∵∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BAC＋∠BOC＝180°.
又∵∠BAC＝∠BOC，
∴∠BOC＝120°.
过点O作OD⊥BC，垂足为D，
∴BD＝CD.
∵OB＝OC，∴OD平分∠BOC，
∴∠DOC＝∠BOC＝60°，
∴∠OCD＝90°－60°＝30°.
在Rt△DOC中，OC＝6，∴OD＝3，
∴DC＝3 ，∴BC＝2DC＝6 .故选C.
13．C[解析] ∵⊙P经过点A，B，C，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∴点P的横坐标为4.
设点P的坐标为(4，y)，
作PE⊥OB于点E，PF⊥OC于点F.
∵PC＝PA，∴＝，
解得y＝.故选C.
14．B [解析] 给各点标上字母，如图所示．
AB＝＝2 ，AC＝AD＝＝，AE＝＝3 ，AF＝＝，AG＝AM＝AN＝＝5，
∴当
15．4 cm或2 cm [解析] 当点P在⊙O外时，⊙O的直径为6－2＝4(cm)，∴半径为2 cm；当点P在⊙O内时，⊙O的直径为6＋2＝8(cm)，∴半径为4 cm.
16．点D在⊙C上 [解析] 连结CD，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝AB.
∵D是斜边AB的中点，
∴CD＝AB，∴BC＝CD，
∴点D在⊙C上．
故答案为：点D在⊙C上．
17．解：(1)如图．∵AB＝3<4，
∴点B在⊙A内．
∵AD＝4，
∴点D在⊙A上．
连结AC，由勾股定理可求出AC＝5>4，
∴点C在⊙A外．
(2)∵AB18．解：(1)分别作出AB，BC的垂直平分线，交点为P，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得PA＝PB＝PC，
∴交点P即为圆心，⊙P即为所求．
(2)∵BC＝12 cm，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠CAP＝60°，BM＝MC＝6 cm.
∵PA＝PC，∴△APC是等边三角形，
∴PA＝PC＝AC，∠APC＝60°.
在Rt△MPC中，∵∠MPC＝60°，
∴∠MCP＝30°，
则cos30°＝，
∴PC＝＝4 cm，
∴外接圆的直径是8 cm.
19．解：(1)证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠C＝∠ABC＝45°，∴∠AEP＝∠ABP＝45°.
∵PE是直径，∴∠PAE＝90°，∴∠APE＝∠AEP＝45°，∴AP＝AE，
∴△APE是等腰直角三角形．
(2)∵∠CAB＝∠PAE＝90°，∴∠CAP＝∠BAE.又∵AC＝AB，AP＝AE，
∴△CAP≌△BAE，
∴∠ACP＝∠ABE＝45°，PC＝BE，∴∠PBE＝∠ABC＋∠ABE＝90°，
∴PC2＋PB2＝BE2＋PB2＝PE2＝22＝4.
27.2.2 直线与圆的位置关系
知识点 1 判断直线与圆的位置关系
1．如图27－2－15，直线l与⊙O有三种位置关系：
图27－2－15
(1)图①中直线l与⊙O________，有________个公共点，这条直线叫做圆的________；
(2)图②中直线l与⊙O________，有________个公共点，这条直线叫做圆的________；
(3)图③中直线l与⊙O________，________公共点．
2．已知半径为5的圆，其圆心到某条直线的距离是3，则该直线和圆的位置关系为( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定
3．2016·湘西州在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，以点C为圆心，以2.5 cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不能确定
4．在平面直角坐标系中，以点(2，1)为圆心，半径为1的圆与x轴的位置关系是________．(填“相切”“相离”或“相交”)
5．⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB长6 ，以3为半径的⊙O的同心圆与直线AB的位置关系是________．
6．如图27－2－16，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝2，⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是________．
图27－2－16
知识点 2 直线与圆的位置关系的应用
7．已知直线l与半径为2的⊙O的位置关系是相离，则点O到直线l的距离的取值范围在数轴上的表示正确的是( )
图27－2－17
8．⊙O的半径为r，直线l1，l2，l3分别与⊙O相切、相交、相离，圆心O到它们的距离分别为d1，d2，d3，则( )
A．d1>r＝d2>d3 B．d1＝rC．d2d2>d3
9.如图27－2－18，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为( )
图27－2－18
A．1 B．1或5 C．3 D．5
10．教材例1变式已知∠AOB＝30°，M为OB上一点，且OM＝5 cm，以点M为圆心，分别以下面给出的r为半径作圆，所作的圆与直线OA分别有怎样的位置关系？请说明理由．
(1)r＝2 cm；(2)r＝4 cm；(3)r＝2.5 cm.
图27－2－19
11.如图27－2－20，矩形ABCD的长为6，宽为3，点O1为矩形的中心，⊙O2的半径为1，O1O2⊥AB于点P，O1O2＝6.若⊙O2绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现( )
图27－2－20
A．3次 B．4次 C．5次 D．6次
12．2017·百色以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是( )
A．0≤b<2 B．－2 ≤b≤2
C．－2 13．已知⊙O的半径为r，点O到直线m的距离为d，r，d分别是方程x2－4x＋a＝0的两根，当直线m与⊙O相切时，a＝________．
14．2016·永州如图27－2－21，给定一个半径为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d＝0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有4个到直线l的距离等于1的点，即m＝4，由此可知：
图27－2－21
(1)当d＝3时，m＝________；
(2)当m＝2时，d的取值范围是__________．
15．如图27－2－22，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.
(1)先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2)请你判断(1)中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．
图27－2－22
16．已知等边三角形ABC的面积为3 cm2，以点A为圆心的圆与BC所在的直线l如图27－2－23所示．求以下两种情况下⊙A的半径r的取值范围．
(1)直线l与⊙A没有公共点；
(2)直线l与⊙A有两个公共点．
图27－2－23
17．设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动，点A，O间的距离为d.
(1)如图27－2－24①，当r＜a时，根据d与a，r之间的关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：
d，a，r之间的关系
公共点的个数
d＞a＋r
d＝a＋r
a－r＜d＜a＋r
d＝a－r
d＜a－r
所以当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有______________个；
(2)如图②，当r＝a时，根据d与a，r之间的关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：
d，a，r之间的关系
公共点的个数
d＞a＋r
d＝a＋r
a≤d＜a＋r
d＜a
所以当r＝a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有__________________个；
(3)如图③，当⊙O与正方形有5个公共点时，试说明r＝a.
图27－2－24
详解详析
1．(1)相交 两 割线 (2)相切 一 切线 (3)相离 没有
2．C [解析] 半径r＝5，圆心到直线的距离d＝3.∵5＞3，即r＞d，∴直线和圆相交．
3．A
4．相切
5．相切 [解析] ∵⊙O的半径为6，AB＝6 ，∴圆心到直线AB的距离为＝3，∴直线和圆相切．
6．相交 [解析] 作OE⊥CD于点E，
则OE＝BC＝2.∵AB＝6，∴OA＝3.
∵2＜3，即圆心到直线DC的距离d小于半径，
∴直线DC与⊙O相交．
7．A [解析] ∵直线l与半径为2的⊙O的位置关系是相离，∴点O到直线l的距离d的取值范围是d＞2.故选A.
8．C
9．B [解析] 当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5.故选B.
10．[解析] 过点M作MC⊥OA于点C，则∠OCM＝90°，由含30°角的直角三角形的性质得出MC＝OM＝2.5 cm，即圆心M到直线OA的距离d＝2.5 cm.若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线与圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，即可得出结论．
解：过点M作MC⊥OA于点C，如图所示，
则∠OCM＝90°.
∵∠AOB＝30°，
∴MC＝OM＝2.5 cm.
即圆心M到直线OA的距离d＝2.5 cm.
(1)当r＝2 cm时，d＞r，∴⊙M与直线OA相离．
(2)当r＝4 cm时，d＜r，∴⊙M与直线OA相交．
(3)当r＝2.5 cm时，d＝r，∴⊙M与直线OA相切．
11．B [解析] 如图，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现4次，故选B.
12．D [解析] 如图，直线y＝－x平分第二、四象限，将直线y＝－x向上平移得到直线y＝－x＋b，当y＝－x＋b与圆相切时，b最大，由平移知∠CAO＝∠AOC＝45°，OC＝2，∴OA＝b＝2 .同理将直线y＝－x向下平移得到直线y＝－x＋b，当y＝－x＋b与圆相切时，b最小，此时b＝－2 ，∴当y＝－x＋b与圆相交时，b的取值范围为－2 13．4 [解析] ∵直线和圆相切，∴d＝r，∴16－4a＝0，解得a＝4.
14．(1)1 (2)1＜d＜3
15．解：(1)如图所示，⊙P为所求作的圆．
(2)BC与⊙P相切．
证明：过点P作PD⊥BC于点D.
∵CP为∠ACB的平分线，且PA⊥AC，PD⊥CB，∴PD＝PA，
即圆心P到直线BC的距离等于⊙P的半径，
∴BC与⊙P相切．
16．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D.
∵AD⊥BC，∴BD＝BC.
由勾股定理，得AD＝＝＝BC.
∵BC·AD＝BC·BC＝3 ，
∴BC＝2 (cm)，∴AD＝BC＝3 cm.
(1)当直线l与⊙A没有公共点时，0 cm(2)当直线l与⊙A有两个公共点时，r＞3 cm.
17．解：(1)表内依次填：0，1，2，1，0 0，1，2
(2)表内依次填：0，1，2，4 0，1，2，4
(3)如图所示，连结OC，
则OE＝OC＝r，OF＝EF－OE＝2a－r.
在Rt△OCF中，由勾股定理，得
OF2＋FC2＝OC2，
即(2a－r)2＋a2＝r2，4a2－4ar＋r2＋a2＝r2，
5a2＝4ar.∵a≠0，∴5a＝4r，即r＝a.
