4.4 角的比较课时作业

4.4 角的比较课时作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如果OC是∠AOB的平分线，则下列结论不正确的是（　　）
A． ∠AOC=∠BOC B． 2∠AOC=∠AOB C． ∠AOB=2∠BOC D． ∠AOB=∠AOC
2．下列说法错误的是（ ）
A． 角的大小与角的边画出的部分的长短无关
B． 角的大小和它们度数的大小是致的
C． 角的平分线是一条线段
D． 角的和差倍分的度数等于它们的度数的和差倍分
3．如图所示,直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠DOE=60°，则∠AOC的度数为（ ）
A． 60° B． 30° C． 120° D． 45°
4．如图，已知∠AOB=α，∠BOC=β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数是（　　）
A． β B． （α﹣β） C． α D． α﹣β
5．射线OE在∠AOB的内部，下列四个式子中，不能判断OE是∠AOB的平分线的是（　　）
A． ∠AOE=∠EOB B． ∠AOE+∠EO B=∠AOB C． ∠AOB=2∠B OE D． ∠AOE=∠AOB
6．∠AOB=45°，∠BOC=75°，OD平分∠AOB，OE平分∠BOC，则∠DOE=（　　）
A． 60° B． 75° C． 60°或15° D． 70°或15°
7．如图，已知O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠BOD=3∠DOE，∠COE=α，则∠BOE的度数为（　　）
A． α B． 180°﹣2α C． 360°﹣4α D． 2α﹣60°
8．如图，将两块三角尺AOB与COD的直角顶点O重合在一起，若∠AOD=4∠BOC，OE为∠BOC的平分线，则∠DOE的度数为（　　）
A． 36° B． 45° C． 60° D． 72°
二、填空题
9．从点O引出三条射线OA，OB，OC，已知∠AOB=30°，在这三条射线中，当其中一条射线是另两条射线所组成角的平分线时，则∠AOC=__________．
10．如图，O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠AOC=53°17′，则∠BOD的度数为_____．
11．如图，∠AOB=∠COD=90°，OC平分∠AOB，∠BOD=3∠DOE，则∠COE等于____度．
12．小英利用量角器作∠AOB=80°，以OB为始边作∠BOC=20°，OD平分∠AOB，则∠COD的度数为_________.
13．直线AB、CD相交于点O，OE平分，OF平分，且：：4，则的度数是______．
14．如图，OC平分∠AOB，若∠AOC=26°54′，则∠AOB=_____．
15．如图，OM，ON分别是∠BOC和∠AOC的平分线，∠AOB＝84°.(1)∠MON=_____；
(2)当OC在∠AOB内绕点O转动时，∠MON的值____改变．(填“会”或“不会”)
16．在同一平面内，∠AOB=120°，射线OC与∠AOB的一边所成夹角为直角，射线OM平分∠BOC，则∠AOM的度数为________．
三、解答题
17．如图，已知∠COB=3∠AOC，OD平分∠AOB，且∠AOB=120°，求∠COD的度数．
18．如图，已知OB平分，OD平分，，，求的度数．
19．已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分线．
(1)当点C，E，F在直线AB的同侧时(如图①所示)，试说明∠BOE＝2∠COF.
(2)当点C与点E，F在直线AB的两侧时(如图②所示)，(1)中的结论是否仍然成立？请给出你的结论，并说明理由．
20．如图，点A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC．
（1）求∠DOE的度数；
（2）写出图中所有互为余角的角．
21．如图，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）若∠AOC=30°，求∠DOE的度数；
（2）若∠AOC=α，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；
（3）在（1）的条件下，∠BOC的内部有一射线OG，射线OG将∠BOC分为1：4两部分，求∠DOG的度数．
参考答案
1．D
【解析】分析：根据题意画出图形，再根据角平分线的定义即可得出结论．
详解：如图所示，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC=∠BOC，故A正确；
∴2∠BOC=2∠AOC=∠AOB，故B，C正确；
∴∠AOB=2∠AOC，故D错误．
故选：D．
点睛：本题考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．
2．C
【解析】分析：依据角的大小与角两边的长短无关即可判断A选项的正误；对于B，D选项，根据角的大小用角度进行衡量来判断；对于C选项，根据角平分线的定义来判断.
详解：A.角的大小与角的边画出部分的长短没有关系，因为角的大小只与角的开口有关，故A选项正确；
B.角的大小和它们的度数的大小是一致的，故B选项正确；
C.角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线，故C选项错误；
D.角的和差倍分的度数等于它们的度数的和差倍分，故D选项正确.
故选C.
点睛：本题考查角的相关概念，具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边.角的大小与边的长短没有关系；角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的越大，角就越大，相反，张开的越小，角则越小.角的大小用角度进行衡量. 从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的角平分线.
3．A
【解析】分析：根据角平分线的定义可得∠AOD=2∠DOE，再根据邻补角的定义解答即可．
详解：∵OE平分∠AOD，∴∠AOD=2∠DOE=2×60°=120°，∴∠AOC=180°－∠AOD =60°．
故选A．
点睛：本题考查了角平分线的定义，邻补角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
4．C
【解析】分析：求出∠AOC，根据角平分线定义求出∠MOC和∠NOC，然后根据∠MON=∠MOC-∠NOC即可求出答案．
详解：∵∠AOB=α，∠BOC=β，
∴∠AOC=α+β，
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
∴∠NOC= ∠BOC= β，∠MOC= ∠AOC= (α+β)，
∴∠MON=∠MOC-∠NOC= (α+β)? = ，
故选：C．
点睛：本题考查了角平分线定义，角的有关计算的应用，解此题的关键是求出∠NOC和∠MOC的大小．
5．B
【解析】分析：根据角平分线的定义逐项分析即可.
详解：A、能表示OE是∠AOB的平分线，故本选项错误；
B、不能表示OE是∠AOB的平分线，故本选项正确；
C、能表示OE是∠AOB的平分线，故本选项错误；
D、能表示OE是∠AOB的平分线，故本选项错误；
故选B．
点睛：本题考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．
6．C
【解析】
【分析】
此题要分两种情况①∠AOB在∠BOC内部，②①∠AOB在∠BOC外部．
【详解】
解：如图1，
∵∠AOB=45°，
∴∠BOD=22.5°，
∵∠BOC=75°，
∴∠BOE=37.5°，
∴∠DOE=22.5°+37.5°=60°；
如图2，
∵∠AOB=45°，
∴∠BOD=22.5°，
∵∠BOC=75°，
∴∠BOE=37.5°，
∴∠DOE=37.5°-22.5°=15°．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了角平分线定义，以及角的计算，关键是要考虑全面，不要漏解．
7．C
【解析】
【分析】
设∠DOE=x，则∠BOE=2x，根据角之间的等量关系求出∠AOD、∠COD、∠COE的大小，然后解得x即可．
【详解】
设∠DOE=x，则∠BOE=2x，∵∠BOD=∠BOE+∠EOD，∴∠BOD=3x，∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-3x．∵OC平分∠AOD，∴∠COD=∠AOD=（180°-3x）=90°-x．∵∠COE=∠COD+∠DOE=90°-x+x=90°-，由题意有90°-=α，解得x=180°-2α，即∠DOE=180°-2α，∴∠BOE=360-4α，故选：C．
【点睛】
考查角的平分线的计算，运用角的平分线的性质是解题的关键.
8．D
【解析】分析：根据∠AOD+∠BOC=180°，∠AOD=4∠BOC，求出∠BOC的度数，再根据角平分线求出∠COE的度数，利用∠DOE=∠COD-∠COE即可解答．
详解：∵∠AOB=90°,∠COD=90°，
∴∠AOB+∠COD=180°，
∵∠AOB=∠AOC+∠BOC，∠COD=∠BOC+∠BOD?，
∴∠AOC+∠BOC+∠BOC+∠BOD=180°?，
∴∠AOD+∠BOC=180°，
∵∠AOD=4∠BOC，
∴4∠BOC+∠BOC=180°，
∴∠BOC=36°，
∵OE?为?∠BOC?的平分线，
∴∠COE=∠BOC=18°，
∴∠DOE=∠COD?∠COE=90°?18°=72°，
故选：D.
点睛：本题考查了角平分线的定义，角的和差计算及数形结合的数学思想，根据图中的数量关系求出∠BOC=36°是解答本题的关键.
9．15°或30°或60°
【解析】
【分析】
依据一条射线是另两条射线所组成角的平分线，分三种情况进行讨论，依据角平分线的定义，即可得到∠AOC的度数．
【详解】
①当OC平分∠AOB时，∠AOC=∠AOB=15°； ②当OA平分∠BOC时，∠AOC=∠AOB=30°； ③当OB平分∠AOC时，∠AOC=2∠AOB=60°． 故答案是：15°或30°或60．
【点睛】
考查了角平分线的定义的运用，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
10．73°26′
【解析】
【分析】
由于O为直线AB上一点,OC平分∠AOD,∠AOC=53°17′,根据角平分线的定义可得:
∠AOD=106°34′,根据邻补角的性质可得: ∠BOD=180°-∠AOD=180°-106°34′=73°26′.
【详解】
因为O为直线AB上一点,OC平分∠AOD,∠AOC=53°17′,
所以∠AOD=106°34′,
因为∠BOD和∠AOD互为邻补角,
所以∠BOD=180°-∠AOD=180°-106°34′=73°26′.
故答案为: 73°26′.
【点睛】
本题主要考查角平分线的定义和邻补角的性质,解决本题的关键是要熟练掌握角平分线的定义和邻补角的性质.
11．75
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义先求∠BOC的度数，即可求得∠BOD，再由∠BOD=3∠DOE，求得∠BOE．
【详解】
∵∠AOB=90°，OC平分∠AOB
∴∠BOC=∠AOB=45°．
∵∠BOD=∠COD-∠BOC=90°-45°=45°，∠BOD=3∠DOE，
∴∠DOE=15°（8分）
∴∠COE=∠COD-∠DOE=90°-15°=75°．
故答案为：75．
【点睛】
本题主要考查角平分线的定义，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．
12．20°或60°
【解析】
【分析】
OC的位置有在∠AOB内和外两种情况，按两种情况分别计算.
【详解】
解：当OC的位置有在∠AOB内时，∠COD=∠AOB-∠BOC=40°-20°=20°，
当OC的位置有在∠AOB外时，∠COD=∠AOB+∠BOC=40°+20°=60°，
故答案为：20°或60°.
【点睛】
本题关键是理解OC的位置有两种情况.
13．105°
【解析】
【分析】
首先根据OE平分，可得，再根据：：4，计算出和的度数，再根据角平分线的定义可得，进而得出的度数．
【详解】
平分，
，
：：4，
设，则，
，
解得：，
，
，
平分，
，
．
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了邻补角的性质和角平分线定义.解题的关键是正确理清图中角之间的和差关系．
14．53°48′
【解析】
【分析】
根据角平分线定义可得∠AOB=2∠AOC=2×26°54′.
【详解】
因为OC平分∠AOB，
所以∠AOB=2∠AOC=2×26°54′=52°108′=53°48′.
故答案为：53°48′
【点睛】
本题考核知识点：角平分线. 解题关键点：理解角平分线的定义.
15． 42° 不会
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义求解即可．
【详解】
①∵OM、ON分别是∠BOC和∠AOC的平分线,∠AOB=84°，
∴∠MON=(∠AOC+∠BOC)÷2=84°÷2=42°.
②当OC在∠AOB内绕点O转动时，∠MON的值不会改变.
故答案为42°、不会.
【点睛】
本题较为简单，主要考查了角平分线的定义，牢牢掌握角平分线的定义是解答本题的关键.
16．75°或105°或165°
【解析】【分析】根据题意画出符合条件的图形，OC可以与OB垂直（如图1），OC也可以与OA垂直（如图2），根据图形分别进行讨论即可得.
【详解】如图1，∵∠AOB=120°，∠BOC1=90°，∴∠AOC1=30°，
∵∠BOC=90°，OM平分∠BOC，
∴∠C1OM1=45°，∠BOM2=45°，
∴∠AOM1=30°+45°=75°，∠AOM2=120°+45°=165°；
如图2，∵∠AOB=120°，∠AOC3=90°，∴∠BOC3=30°，
∵OM3平分∠BOC3，∴∠BOM3=∠BOC3=15°，∴∠AOM3=120°-15°=105°，
∵∠AOB=120°，∠AOC4=90°，∴∠BOC4=150°，
∵OM4平分∠BOC4，∴∠C4OM4=∠BOC4=75°，
∴∠AOM4=90°+75°=165°，
综上，∠AOM的度数为：75°或105°或165°，
故答案为：75°或105°或165°.
17．30°．
【解析】
【分析】
由∠AOB=120°，∠COB=3∠AOC，可得∠AOC=∠AOB=30°，再根据OD平分∠AOB，可得∠AOD=60°，进而得出∠COD=∠AOD-∠AOC=30°．
【详解】
∵∠AOB=120°，∠COB=3∠AOC，
∴∠AOC=∠AOB=30°，
又∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD=60°，
∴∠COD=∠AOD﹣∠AOC=30°．
【点睛】
考查了角的计算及角的平分线定义，解题的关键是先求出∠AOC的度数．
18．140°
【解析】
【分析】
设∠EOD=∠DOC=x°，求出∠AOB=∠COB=100°-2x°，根据∠AOD=110°得出方程，求出x的值，即可求出答案．
【详解】
解：平分，OD平分，设，，，，，，，解得，即，．
【点睛】
本题考查了角平分线性质和角的有关计算的应用，关键是能根据题意得出方程．
19．（1）∠BOE＝2∠COF（2）∠BOE＝2∠COF仍成立
【解析】
【分析】
（1）先设，得出，再根据角平分线的定义得出，从而得出的数量关系；
（2）设，求出，推出、即可得出答案.
【详解】
(1)设∠COF＝α，
则∠EOF＝90°－α.
因为OF是∠AOE的平分线，
所以∠AOE＝2∠EOF＝2(90°－α)＝180°－2α.
所以∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－(180°－2α)＝2α.
所以∠BOE＝2∠COF.
(2)∠BOE＝2∠COF仍成立．
理由：设∠AOC＝β，
则∠AOE＝90°－β，
又因为OF是∠AOE的平分线，
所以∠AOF＝.
所以∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－(90°－β)＝90°＋β，∠COF＝∠AOF＋∠AOC＝＋β＝ (90°＋β)．
所以∠BOE＝2∠COF.
【点睛】
此题考查了角平分线的定义和角的计算，关键是根据角平分线的定义求出各角之间的数量关系.
20．(1)90°;(2)见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据邻补角定义得∠AOC+∠BOC=180°，由角平分线定义得∠COD=∠AOC，∠COE=∠BOC，所以∠COD+∠COE=（∠AOC+∠BOC）=90°.即∠DOE=90°.
(2)根据（1）的结论，可以得到互余的角.
【详解】
解：（1）∵点A，O，B在同一条直线上，
∴∠AOC+∠BOC=180°，
∵射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COD=∠AOC，∠COE=∠BOC
∴∠COD+∠COE=（∠AOC+∠BOC）=90°，
∴∠DOE=90°；
（2）互为余角的角有：
∠COD和∠COE，∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE．
【点睛】
本题考核知识点：补角、余角、角平分线等. 解题关键点：理解补角、余角、角平分线等定义.
21．（1）15°（2）α（3）①60°②30°
【解析】
【分析】
(1)由已知可求出∠BOD=180°-90°-30°=60°,再由∠COB是150°，OE平分∠BOC求出∠DOE的度数;(2)根据（1）的解题思路，可求出∠DOE的度数;(3) ∠BOC的内部有有一射线OG，射线OG将∠BOC分为1：4两部分，题中没有明确射线OG的位置，分情况解答即可.
【详解】
（1）∵∠COD是直角，∠AOC=30°，
∴∠BOD=180°﹣90°﹣30°=60°，
∴∠COB=90°+60°=150°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=∠BOC=75°，
∴∠DOE=∠BOE﹣∠BOD=75°﹣60°=15°．
（2）∵∠COD是直角，∠AOC=α，
∴∠BOD=180°﹣90°﹣α=90°﹣α，
∴∠COB=90°+90°﹣α=180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=∠BOC=90°﹣α，
∴∠DOE=∠BOE﹣∠BOD=90°﹣α﹣（90°﹣α）=α．
（3）①当射线OG位于DC之间时，如图1所示
∵∠AOC=30°，射线OG将∠BOC分为1：4两部分，
∴∠BOC=150°，∠COG=30°，∠BOG=120°
由（1）知：∠BOD=60°，
∴∠DOG=∠BOG﹣∠BOD=120°﹣60°=60°
②当射线OG位于DB之间时，如图2所示
∵∠AOC=30°，射线OG将∠BOC分为1：4两部分，
∴∠BOC=150°，∠COG=120°，∠BOG=30°
由（1）知：∠BOD=60°，
∴∠DOG=∠BOD﹣∠BOG=60°﹣30°=30°
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，解题的关键是掌握各角之间的关系.