2.4 平面向量的数量积
（第三课时）
人教新课标A版必修4
向量的夹角概念：
对于两个非零向量 ， ，如果以O为起点，作 ， ，那么射线 ， 的夹角θ叫做向量 与向量 的夹角，其中0≤θ≤π.
平面向量数量积的坐标表示
①设 、 为x轴、y轴上的单位向量，即 =(1，0)， =(0，1)，且 ， 为两个非零向量， ， ，即 ， ， .
则有
也就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
平面向量数量积的坐标表示
②引入坐标后，实现了向量的数量积的运算与两向量的坐标运算的转化，从而将它们联系起来.
③由平面向量数量积的坐标法则可以快速地求出向量的数量积.
由数量积的坐标表示，易得向量的长度(模)
①向量的长度(模)
若 ，则有 ， .
由数量积的坐标表示，易得向量的长度(模)
②两点间距离公式
设A、B两点坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)，
则
由数量积的坐标表示，易得向量的长度(模)
③两向量垂直的充要条件的坐标表示
若 ， ，
则有
向量 =(3，-4)，向量 ，若 ，那么向量 与 的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
解析：∵向量 =(3，-4)，向量 ，且 ，
∴
又两向量的夹角范围是[0，π]，
∴ 与 的夹角为 .
答案：C
已知平面向量 =(1，2)， =(-2，m)，且 ∥ ，则 =( )
A.
B.
C.
D.
解析：由 ∥ ，m=-2×2=-4，
则
答案：C
1.平面向量数量积的坐标表示
2.坐标表示向量的长度(模)、夹角
2.4 平面向量的数量积
（第四课时）
人教新课标A版必修4
由向量 ， 的数量积可知，若它们的夹角为θ，则 ，因此 ，这是我们求两个向量夹角的公式，
特别的，若θ=0°， ；若θ=180°， ；若θ=90°， .
运用这一结论不仅可以判断三角形的形状，还可以判断 与 是否共线或垂直等.
求两个非零向量的夹角
若 ， ， ， 的夹角为θ，
则有
求向量的投影和数量积
向量的数量积和投影都是一个实数，其可正、可负，也可以为零，符号取决于两向量之间的夹角.因此在正确理解投影及数量积定义的同时，找准两个向量之间的夹角是关键，确定两个向量的夹角时，一定要注意“共起点”的条件.
求向量的投影和数量积
(1)求平面向量数量积的步骤是：
①求 与 的夹角θ，θ∈[0，π]；
②分别求 ，要特别注意书写时， 与 之间用实数圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去.
求向量的投影和数量积
(2)对于非零向量 与 ，
(3)非零向量 与 共线的条件是：
向量的夹角是由向量的方向确定的，
在△ABC中， 与 ， 与 ， 与 的夹角不是角C，角A，角B，而是它的补角.
求向量的投影和数量积常用公式结论
①根据 求数量积.
②由变形公式 和 可解决有关投影的问题.
③由变形公式 (θ∈[0，π])可以求出两向量的夹角.
求向量的投影和数量积常用公式结论
④由于平面向量的数量积满足数乘结合律、交换律、分配律，具有性质 ，因而向量的混合运算，可以类似于实数的多项式运算.
已知 、 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么 =( )
A.
B.
C.
D.3
解析：由题意可得
答案：C
已知向量 ， 满足| |=1， ，则 在向量 上的投影为( )
A.-1
B.1
C.
D.
解析：设向量 与 的夹角为θ，
则：cosθ=
∴ 在向量 上的投影为：| |cosθ=1.
答案：B
1.求两个非零向量的夹角
2.求向量的投影和数量积
2.4 平面向量的数量积
（第一课时）
人教新课标A版必修4
平面向量数量积的物理背景
力 所做的功W= .理解力所做功的物理背景有利于认识平面向量数量积的概念.这一物理公式告诉我们两个向量的乘积可以运算，并且它们的积是一个数量.
两个向量数量积的定义
(1)已知两个非零向量 和 ，它们的夹角为θ，则数量 叫做 和 的数量积(或内积)，记作 ，即 .
规定，零向量与任一向量的数量积为0，即 .
两个向量数量积的定义
(2)定义的理解
①两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定.
两个向量数量积的定义
(2)定义的理解
②两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，决不能混淆.
两个向量数量积的定义
(2)定义的理解
③再运用数量积公式解题时，一定要注意两个向量夹角范围是0°≤θ≤180°.
两个向量数量积的定义
(3)平面向量数量积的几何意义
①对于 ，其中 叫做向量 在 的方向上的投影(θ为向量 和 夹角).
两个向量数量积的定义
(3)平面向量数量积的几何意义
当θ为锐角时，它是正值；
当θ为钝角时，它是负值；
当θ=90°时，它是0；
当θ=0°时，它是 ；
当θ=180°时，它是- .
两个向量数量积的定义
(3)平面向量数量积的几何意义
的几何意义是：数量 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积.
两个向量数量积的定义
(3)平面向量数量积的几何意义
② 也等于 与 在 方向上投影的数量的乘积.其中 在 方向上的投影与 在 的方向上的投影是不同的.
③注意： 在 方向上的投影值可以写成 .
已知向量 ， ， 与 的夹角为 ，则 在 方向上的投影为( )
A.-2
B.-1
C.2
D.1
解析：根据数量积的几何意义可知， 在 方向上的投影为 与向量 ， 夹角的余弦值的乘积，
∴ 在 方向上的投影为
答案：A
若 ， ， 与 的夹角是135°，则 等于( )
A.12
B.
C.
D.-12
解析：由题意 ， ， 与 的夹角是135°，
∴
答案：C
1.平面向量数量积的物理背景
2.平面向量数量积的定义
2.5 平面向量应用举例
（第二课时）
人教新课标A版必修4
在日常生活中，是否有这样的经验：两个人共同提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.
向量的定义有着丰富的物理背景，物理学中的位移、力、速度等都是既有大小又有方向的量，力所做的功就是向量的数量积的物理背景.因此，向量可以解决一些物理问题.
向量在物理中的应用.
①向量与力
向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力的三要素是大小、方向和作用点.所以用向量知识解决力的问题，通常要把向量平移到同一作用点上.
向量在物理中的应用.
②向量与速度、加速度及位移
速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减运算.用向量解决速度、加速度与位移等问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘运算，有时也借助于坐标来运算.
向量在物理中的应用.
③向量与功、动量
力做的功是力在物体前进的方向上的分力与物体位移的乘积，实质上是力和位移两个向量的数量积，W=F·s=|F|·|s|cosθ(θ为F和s的夹角)，动量mv实际上是数乘向量.
河水的流速为5m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以12m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为( )
A.13m/s
B.12m/s
C.17m/s
D.15m/s
解析：设河水的流速v2=5m/s，
静水速度与河水速度的合速度v=12m/s，
小船的静水速度为v1，∵为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即：静水速度v1斜向上游方向，
河水速度v2=5m/s平行于河岸，
静水速度与河水速度的合速度v=12m/s指向对岸，
∴静水速度 (m/s).
答案：A
已知作用于A点的三个力F1=(3，4)，F2=(2，-5)，F3=(3，1)，且A(1，1)，则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为( )
A.(9，1)
B.(1，9)
C.(9，0)
D.(0，9)
解析：∵作用于A点的三个力F1=(3，4)，F2=(2，-5)，F3=(3，1)，且A(1，1)，
则合力F=F1+F2+F3=(3，4)+(2，-5)+(3，1)=(8，0)，
设合力F=F1+F2+F3的终点为B(x，y)，
由题意得： =(8，0)，
即(x，y)-(1，1)=(8，0)，∴(x，y)=(9，1).
答案：A
已知 =(2，3)作用一物体，使物体从A(2，0)移动到B(4，0)，则力 对物体作的功为 .
解析：根据题意，力 对物体作的功为
W= =(2，3)·(4-2，0-0)=2×2+3×0=4.
4
已知，一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度.
解析：作出图形，通过解三角形，即可得出结论.
答案：如图，设 表示船垂直于对岸的速度， 表示水流的速度，以 ， 为邻边作平行四边形ABCD，则 就是船实际航行的速度.
在Rt△ABC中，∠CAB=30°， =5，
∴ ， .
故船实际航行速度的大小为10km/h，
水流速度5 km/h.
质量为m的物体静止放在斜面上，斜面与水平面的夹角为θ，求斜面对物体的摩擦力和支持力的大小.
解析：如图，设物体所处的位置为D，重力对应向量 ，斜面对物体的支持力对应向量 ，物体受斜面的摩擦力对应向量 ，可得此三个力相互平衡.因此结合向量的加法法则、解三角形和相关的物理知识，利用题中数据即可求出斜面对物体的摩擦力和支持力的大小.
答案：如图，设物体所处的位置为D，重力对应向量 ，
斜面对物体的支持力对应向 ，物体受斜面的摩擦力对应向量 ，
根据向量的加法法则，得 ，
其中 、 分别是向量 、 的相反向量，
∵斜面与水平面的夹角为θ，物体的质量为m ，
∴Rt△ACD中，∠DCA=θ，
可得 sinθ=mgsinθ，
同理 sinθ=mgcosθ(其中g为重力加速度)
因此， =mgsinθ， =mgcosθ ，
答：斜面对物体的摩擦力大小为mgsinθ牛顿，支持力的大小mgcosθ牛顿.
向量在物理中的应用.
1.向量与力
2.向量与速度、加速度及位移
3.向量与功、动量
