山东肥城市2018-2019学年度初三上学期期中模拟考试数学试题(含答案）

肥城市2018-2019学年度上学期期中考试初三数学试题
（青岛版数学九上第一章--第三章）
题号
一
二
三
总分
得分
说明：本试卷满分150分，第一卷80分，第二卷70分。
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）
下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则在网格图1中的三角形与△ABC相似的是（　　）A. B. C. D.
在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=
3
5
，BC=6，则AB=（　　）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
如图2，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（　　）
A.
????
????
=
????
????
B.
????
????
=
????
????
C. ∠??????=∠?? D. ∠??????=∠??
图1 图2 图3
下列语句正确的个数是（　　）①过平面上三点可以作一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；④三角形的内心到三角形各边的距离相等．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
如图3，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连线DE，下列结论：①
????
????
=
1
2
； ②
??
△??????
??
△??????
=
1
2
；③
????
????
=
????
????
；④
??
△??????
??
△??????
=
1
4
其中正确的个数有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
已知在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，(?????????
3
2
)
2
+|?????????
1
2
|=0，则∠C的度数是（　　）
A.
30
°
B.
45
°
C.
60
°
D.
90
°
如图4，水库大坝截面的迎水坡AD的坡比为4：3，背水坡BC的坡比为1：2，大坝高DE=20m，坝顶宽CD=10m，则下底AB的长为（　　）
A. 55m B. 60m C. 65m D. 70m
在RT△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是（　　）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定
如图5，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2
2
，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（　　）A.
2
?? B. ?? C. 2
2
D. 2
图4 图5 图6
已知：如图6，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（　　）
A.
30
°
B.
35
°
C.
45
°
D.
70
°
如图7，等腰直角△ABC中，AB=AC=8，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，则阴影部分面积为（结果保留π）（　　）
A. 16 B. 24?4?? C. 32?4?? D. 32?8??
如图8，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH?PC其中正确的是（　　）
A. ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④
图7 图8 图9
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
如图9，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为______时，△ADP和△ABC相似．
如图10，在平行四边形ABCD中，E为边BC上一点，AC与DE相交于点F，若CE=2EB，S△AFD=9，则S四边形ABEF等于_____．
已知在平面直角坐标系中，点A（-3，-1）、B（-2，-4）、C（-6，-5），以原点为位似中心将△ABC缩小，位似比为1：2，则点B的对应点的坐标为______．
某兴趣小组借助无人飞机航拍，如图11，无人飞机从A处飞行至B处需12秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为3米/秒，则这架无人飞机的飞行高度为（结果保留根号）______ 米．
图10 图11 图12
如图12，点E（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦．则cos∠OBE=______．
如图13，在⊙O中，弦AB=8，M是弦AB上的动点，且OM的最小值为3．则⊙O的半径为______．
半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为______．
如图14，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为________
图13 图14
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
（10分）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）（参考数据：sin48°≈
7
10
，tan48°≈
11
10
，sin64°≈
9
10
，tan64°≈2）

（12分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，E，F分别是AC，BC边上一点．（1）求证：
????
????
=
????
????
；（2）若CE=
1
3
AC，BF=
1
3
BC，求∠EDF的度数．

（12分）如图，在△BCE中，点A是边BE上一点，以AB为直径的⊙O与CE相切于点D，AD∥OC，点F为OC与⊙O的交点，连接AF．（1）求证：CB是⊙O的切线；（2）若∠ECB=60°，AB=6，求图中阴影部分的面积．

（12分）如图，正方形ABCD、等腰Rt△BPQ的顶点P在对角线AC上（点P与A、C不重合），QP与BC交于E，QP延长线与AD交于点F，连接CQ．（1）①求证：AP=CQ；②求证：PA2=AF?AD；（2）若AP：PC=1：3，求tan∠CBQ．

（12分）如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE=CE（1）求证：AC2=AE?AB；（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；（3）设⊙O半径为4，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．

答案和解析
1.【答案】B【解析】
解：根据勾股定理，，BC=，所以，夹直角的两边的比为，观各选项，只有B选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．故选：B．可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．
2.【答案】D【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA==，BC=6， ∴AB===10， 故选：D．在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，将sinA的值与BC的长代入求出AB的长即可．此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
3.【答案】A【解析】
解：∵∠DAE=∠CAB，∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED；当=即=时，△ABC∽△AED．故选：A．根据相似三角形的判定定理进行判定即可．本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
4.【答案】A【解析】
解：①过平面上不在同一直线上的三点可以作一个圆，错误； ②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误； ③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等，错误； ④三角形的内心到三角形各边的距离相等，正确， 正确的有1个， 故选A． 利用确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理及三角形的内心的性质分别判断后即可确定正确的选项； 本题考查了确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理及三角形的内心的性质等知识，解题的关键是能够了解有关的定义及定理，难度不大．
5.【答案】B【解析】
解：∵BE、CD是△ABC的中线， ∴DE是△ABC的中位线， ∴，①正确； =，②错误； ∵D是AB的中点， ∴=， 由题意得，点O是△ABC的重心， ∴=， ∴，③正确； =，④错误， 故选：B． 根据三角形的重心的概念和性质、相似三角形的性质计算即可． 本题考查的是三角形的重心的概念和性质、相似三角形的性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
6.【答案】C【解析】
解：∵， ∴sinA=，cosB=， ∴∠A=60°，∠B=60°， 故可得∠C=180°-∠A-∠B=60°． 故选C． 根据绝对值及完全平方的非负性可得出sinA及cosB的值，继而可得出∠A及∠B的度数，利用三角形的内角和定理求解即可． 此题考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质，属于基础题，解答本题的关键是根据特殊角的三角函数值得出∠A及∠B的度数．
7.【答案】C【解析】
解：∵DE=20m，DE：AE=4：3， ∴AE=15m， ∵CF=DE=20m，CF：BF=1：2， ∴BF=40m， ∴AB=AE+EF+BF=15+10+40=65m． 故选C． 利用坡比的比值关系，求出AE与BF的长度即可得出下底的长． 本题考查了坡度和坡角的知识，解答本题的关键是根据坡比和已知条件求出三角形的边长．
8.【答案】A【解析】
解：过C作CD⊥AB于D，如图所示： ∵在Rt△ABC中，∠C=90，AC=4，BC=3， ∴AB==5， ∵△ABC的面积=AC×BC=AB×CD， ∴3×4=5CD， ∴CD=2.4＜2.5， 即d＜r， ∴以2.5为半径的⊙C与直线AB的关系是相交； 故选A． 过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CD，得出d＜r，根据直线和圆的位置关系即可得出结论． 本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点是勾股定理，三角形的面积公式；解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出CD的长，注意：直线和圆的位置关系有：相离，相切，相交．
9.【答案】B【解析】
解：取AB的中点O、AE的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，∴AB=BC=4，∴OC=AB=2，OP=AB=2，∵M为PC的中点，∴OM⊥PC，∴∠CMO=90°，∴点M在以OC为直径的圆上，当P点在A点时，M点在E点；当P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF=OC=2，∴M点的路径为以2为直径的半圆，∴点M运动的路径长=?π?2=π．故选B．取AB的中点O、AE的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AB=BC=4，则OC=AB=2，OP=AB=2，再根据等腰三角形的性质得OM⊥PC，则∠CMO=90°，于是根据圆周角定理得到点M在以OC为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点，点P点在B点时，M点在F点，则利用四边形CEOF为正方得到EF=OC=2，所以M点的路径为以2为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长．本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以2为直径的半圆．
10.【答案】B【解析】
解：∵OA⊥BC，∠AOB=70°，∴=，∴∠ADC=∠AOB=35°．故选：B．先根据垂径定理得出=，再由圆周角定理即可得出结论．本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
11.【答案】B【解析】
解：连接AD，OD， ∵等腰直角△ABC中， ∴∠ABD=45°． ∵AB是圆的直径， ∴∠ADB=90°， ∴△ABD也是等腰直角三角形， ∴=． ∵AB=8， ∴AD=BD=4， ∴S阴影=S△ABC-S△ABD-S弓形AD =S△ABC-S△ABD-（S扇形AOD-S△ABD） =×8×8-×4×4-+××4×4=16-4π+8 =24-4π． 故选B． 连接AD，因为△ABC是等腰直角三角形，故∠ABD=45°，再由AB是圆的直径得出∠ADB=90°，故△ABD也是等腰直角三角形，所以=，S阴影=S△ABC-S△ABD-S弓形AD由此可得出结论． 本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出三角形及扇形是解答此题的关键．
12.【答案】C【解析】
解：∵△BPC是等边三角形，∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，在正方形ABCD中，∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°∴∠ABE=∠DCF=30°，∴BE=2AE；故①正确；∵PC=CD，∠PCD=30°，∴∠PDC=75°，∴∠FDP=15°，∵∠DBA=45°，∴∠PBD=15°，∴∠FDP=∠PBD，∵∠DFP=∠BPC=60°，∴△DFP∽△BPH；故②正确；∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，∴∠PFD≠∠PDB，∴△PFD与△PDB不会相似；故③错误；∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，∴△DPH∽△CPD，∴，∴DP2=PH?PC，故④正确；故选C．由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．
13.【答案】4或9【解析】
【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用倒推法以及分类讨论得出是解题关键．分别根据当△ADP∽△ACB时，当△ADP∽△ABC时，求出AP的长即可.【解答】解：当△ADP∽△ACB时，∴=，∴=，解得：AP=9，当△ADP∽△ABC时，∴=，∴=，解得：AP=4，∴当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似．故答案为4或9.
14.【答案】11【解析】
【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题首先利用平行四边形的构造相似三角形的相似条件，然后利用其性质即可求解．由于四边形ABCD是平行四边形，所以得到BC∥AD、BC=AD，而CE=2EB，由此即可得到△AFD∽△CFE，它们的相似比为3：2，最后利用相似三角形的性质即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD、BC=AD，而CE=2EB，∴△AFD∽△CFE，且它们的相似比为3：2，∴S△AFD：S△EFC=（）2，而S△AFD=9，∴S△EFC=4，∴S△DFC=9×=6，∴S△ADC=15，S四边形ABEF=15-4=11.故答案为11．
15.【答案】（1，2）或（-1，-2）【解析】
解：∵点B的坐标为（-2，-4），以原点为位似中心将△ABC缩小，位似比为1：2， ∴点B的对应点的坐标为（1，2）或（-1，-2）， 故答案为：（1，2）或（-1，-2）． 根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k解答． 本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
16.【答案】9
3
+9【解析】
解：如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线， 由题意得：∠ACH=75°，∠BCH=30°，AB∥CH， ∴∠ABC=30°，∠ACB=45°， ∵AB=3×12=36m， ∴AD=CD=18m，BD=AB?cos30°=18m， ∴BC=CD+BD=（18+18）m， ∴BH=BC?sin30°=（9+9）m． 故答案为：9+9． 作AD⊥BC，BH⊥水平线，根据题意确定出∠ABC与∠ACB的度数，利用锐角三角函数定义求出AD与BD的长，由CD+BD求出BC的长，即可求出BH的长． 此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
17.【答案】
4
5
【解析】
解：连接EC，由∠EOC=90°得到BC为圆A的直径， ∴EC过点A， 又OE=3，OC=4，根据勾股定理得：EC=5， ∵∠OBE和∠OCE为所对的圆周角， ∴∠OBE=∠OCE， 则cos∠OBE=cos∠OCE==． 故答案为：连接EC，由90°的圆周角所对的弦为直径，根据∠EOC=90°得到EC为圆A的直径，所以点A在EC上且为EC中点，在直角三角形EOC中，由OE和OC的长，利用勾股定理求出EC的长，根据同弧所对的圆周角都相等得到∠EBO与∠ECO相等，而∠ECO在直角三角形EOC中，根据余弦函数定义即可求出cos∠ECO的值，进而得到cos∠EBO．此题考查学生掌握90°的圆周角所对的弦为直径以及同弧所对的圆周角相等，考查了数形结合以及转化的数学思想，是一道中档题．连接EC且得到EC为圆A的直径是解本题的突破点．
18.【答案】5【解析】
解：根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值， 此时，由垂径定理知，点M是AB的中点， 连接OA，AM=AB=4， 由勾股定理知，OA2=OM2+AM2． 即OA2=42+32， 解得OA=5． 所以⊙O的半径为5； 故答案为5．根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值．根据垂径定理和勾股定理求解．本题考查了垂径定理和勾股定理，根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值是解题的关键．
19.【答案】1：
2
：
3
【解析】
解：由题意可得，正三角形的边心距是：2×sin30°=2×=1，正四边形的边心距是：2×sin45°=2×，正六边形的边心距是：2×sin60°=2×，∴半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为：1：：，故答案为：1：：．根据题意可以求得半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距，从而可以求得它们的比值．本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距．
20.【答案】
17
4
.【解析】
【分析】
本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出P处于什么位置时面积最大.当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，由于P为切点，得出MP垂直与切线，进而得出PM⊥AC，根据勾股定理先求得AC的长，进而求得OA的长，根据△ADM∽△ACD，求得DM的长，从而求得PM的长，最后根据三角形的面积公式即可求得.
【解答】
解：当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图，
菁优网
∵P是⊙D的切线，
∴DP垂直与切线，延长PD交AC于M，则DM⊥AC，
∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，
∴.
∴.
∵∠AMD=∠ADC=90°，∠DAM=∠CAD，
∴△ADM∽△ACD，
∴，
∵AD=4，CD=3，AC=5，
∴DM=，
∴，
∴△AOP的最大面积=.
故答案为.
21.【答案】解：根据题意，得∠ADB=64°，∠ACB=48° 在Rt△ADB中，tan64°=
????
????
，则BD=
????
??????
64
°
≈
1
2
AB，在Rt△ACB中，tan48°=
????
????
，则CB=
????
??????
48
°
≈
10
11
AB，∴CD=BC-BD 即6=
10
11
AB-
1
2
AB 解得：AB=
132
9
≈14.7（米），∴建筑物的高度约为14.7米．【解析】
Rt△ADB中用AB表示出BD、Rt△ACB中用AB表示出BC，根据CD=BC-BD可得关于AB 的方程，解方程可得． 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是利用数形结合的思想找出各边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．
22.【答案】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90° 又∵∠A+∠B=90° ∴∠B=∠ACD ∴Rt△ADC∽Rt△CDB ∴
????
????
=
????
????
； （2）∵
????
????
=
1
3
????
1
3
????
=
????
????
，又∵∠ACD=∠B，∴△CED∽△BFD；∴∠CDE=∠BDF；∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=∠BDF+∠CDF=∠CDB=90°．【解析】
（1）证相关线段所在的三角形相似即可，即证Rt△ADC∽Rt△CDB； （2）易证得CE：BF=AC：BC，联立（1）的结论，即可得出CE：BF=CD：BD，由此易证得△CED∽△BFD，即可得出∠CDE=∠BDF，由于∠BDF和∠CDF互余，则∠EDC和∠CDF也互余，由此可求得∠EDF的度数． 此题考查的是相似三角形的判定和性质；识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．
23.【答案】（1）证明：连接OD，与AF相交于点G，∵CE与⊙O相切于点D，∴OD⊥CE，∴∠CDO=90°，∵AD∥OC，∴∠ADO=∠DOC，∠DAO=∠BOC，∵OA=OD，∴∠ADO=∠DAO，∴∠DOC=∠BOC，在△CDO和△CBO中，
????=????
∠??????=∠??????
????=????
，∴△CDO≌△CBO，∴∠CBO=∠CDO=90°，∴CB是⊙O的切线．（2）由（1）可知∠DOA=∠BOC，∠DOC=∠BOC，∵∠ECB=60°，∴∠DCO=∠BCO=
1
2
∠ECB=30°，∴∠DOC=∠BOC=60°，∴∠DOA=60°，∵OA=OD，∴△OAD是等边三角形，∴AD=OD=OF，∵∠GOF=∠ADO，在△ADG和△FOG中，
∠??????=∠??????
∠??????=∠??????
????=????
，∴△ADG≌△FOG，∴S△ADG=S△FOG，∵AB=6，∴⊙O的半径r=3，∴S阴=S扇形ODF=
60???
3
2
360
=
3
2
π．【解析】
（1）欲证明CB是⊙O的切线，只要证明BC⊥OB，可以证明△CDO≌△CBO解决问题．（2）首先证明S阴=S扇形ODF，然后利用扇形面积公式计算即可．本题考查切线的性质和判定、扇形的面积公式，记住切线的判定方法和性质是解决问题的关键，学会把求不规则图形面积转化为求规则图形面积，属于中考常考题型．
24.【答案】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵△BPQ是等腰直角三角形，∴BP=BQ，∠PBQ=90°，∴∠PBC+∠CBQ=90°∴∠ABP=∠CBQ，∴△ABP≌△CBQ，∴AP=CQ；②∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠BAC=∠ACB=45°，∵∠PQB=45°，∠CEP=∠QEB，∴∠CBQ=∠CPQ，由①得△ABP≌△CBQ，∠ABP=∠CBQ∵∠CPQ=∠APF，∴∠APF=∠ABP，∴△APF∽△ABP，∴
????
????
=
????
????
，∴AP2=AF?AB=AF?AD；（本题也可以连接PD，证△APF∽△ADP）（2）由①得△ABP≌△CBQ，∴∠BCQ=∠BAC=45°，∵∠ACB=45°，∠PCQ=45°+45°=90°，∴tan∠CPQ=
????
????
，由①得AP=CQ，又∵AP：PC=1：3，∴tan∠CPQ=
????
????
=
????
????
=
1
3
，由②得∠CBQ=∠CPQ，∴tan∠CBQ=tan∠CPQ=
1
3
．【解析】
（1）①证出∠ABP=∠CBQ，由SAS证明△ABP≌△CBQ可得结论；②根据正方形的性质和全等三角形的性质得到∠DAC=∠BAC，∠APF=∠ABP，根据AA证明△APF∽△ABP，再根据相似三角形的性质即可求解；（2）根据全等三角形的性质得到∠BCQ=∠BAC=45°，可得∠PCQ=90°，根据三角函数和已知条件得到tan∠CPQ=，由②中∠CBQ=∠CPQ即可求解．本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
25.【答案】证明：（1）如图1，连接BC， ∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，∴
??
??=
??
??，∴∠A=∠ABC，∵EC=AE，∴∠A=∠ACE，∴∠ABC=∠ACE，∵∠A=∠A，∴△AEC∽△ACB，∴
????
????
=
????
????
，∴AC2=AE?AB； （2）PB=PE，理由是：如图2，连接OB，∵PB为⊙O的切线， ∴OB⊥PB，∴∠OBP=90°，∴∠PBN+∠OBN=90°，∵∠OBN+∠COB=90°，∴∠PBN=∠COB，∵∠PEB=∠A+∠ACE=2∠A，∠COB=2∠A，∴∠PEB=∠COB，∴∠PEB=∠PBN，∴PB=PE； （3）如图3，∵N为OC的中点，∴ON=
1
2
OC=
1
2
OB， Rt△OBN中，∠OBN=30°，∴∠COB=60°，∵OC=OB，∴△OCB为等边三角形，∵Q为⊙O任意一点，连接PQ、OQ，因为OQ为半径，是定值4，则PQ+OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，∴Q为OP与⊙O的交点时，PQ最小，∠A=
1
2
∠COB=30°，∴∠PEB=2∠A=60°，∠ABP=90°-30°=60°，∴△PBE是等边三角形，Rt△OBN中，BN=
4
2
?
2
2
=2
3
，∴AB=2BN=4
3
，设AE=x，则CE=x，EN=2
3
-x，Rt△CNE中，x2=22+（2
3
-x）2，x=
4
3
3
，∴BE=PB=4
3
-
4
3
3
=
8
3
3
，Rt△OPB中，OP=
??
??
2
+??
??
2
=
(
8
3
3
)
2
+
4
2
=
4
3
21
，∴PQ=
4
3
21
-4=
4
21
?12
3
．则线段PQ的最小值是
4
21
?12
3
．【解析】
（1）证明△AEC∽△ACB，列比例式可得结论； （2）如图2，证明∠PEB=∠COB=∠PBN，根据等角对等边可得：PB=PE； （3）如图3，先确定线段PQ的最小值时Q的位置：因为OQ为半径，是定值4，则PQ+OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，先求AE的长，从而得PB的长，最后利用勾股定理求OP的长，与半径的差就是PQ的最小值． 本题是圆的综合题，考查了三角形相似的性质和判定、等腰三角形、等边三角形的性质和判定、垂径定理、切线的性质、勾股定理等知识，第三问有难度，确定PQ最小值时Q的位置是关键，根据两点之间线段最短，与勾股定理、方程相结合，解决问题．