新湘教版 数学 九年级上 3.6.1 位似教学设计
课题
3.6.1 位似
单元
第三单元
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：
①了解图形的位似的概念，会判断简单的位似图形和位似中心.
②理解位似图形的性质，能利用位似将一个图形放大或缩小，解决一些简单的实际题.
过程与方法：
①采用引导、启发、合作、探究等方法，经历观察、发现、动手操作、归纳、交流等文学活动，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习.
②领会教学活动中的类比思想，提高学生学习数学的积极性；
③通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观：
①通过解答实际问题，激发学生学数学的兴趣，增长社会见识。
②使学生亲身经历位似图形的概念形成过程和位似图形性质的探索过程，感受数学知只的实用性，培养学生积极的情感和态度。
重点
图形的位似概念、位似图形的性质及利用位似把一个图形放大或缩小.
难点
图形的位似概念、位似图形的性质及利用位似把一-个图形放大或缩小.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识
+
导入新课
在前面的学习中，我们已经知道有关两个三角形全等的判定定理，三角形的相似的性质，以及相似三角形的应用。在这节课开始，我们要一起学习相似的另一应用：位似。在上新课之前，我们一起回顾下之前学过的知识：
问题：前面我们已经学习了图形的哪些变换？
对称：轴对称与轴对称图形,
中心对称与中心对称图形（对称轴，对称中心.）
平移：平移的方向,平移的距离.
旋转：旋转中心,旋转方向,旋转角度.
相似：相似比.
【导入新课】如何把一个图形放大或缩小？
下面我们来学习一种简单可行的方法.
下图是运用幻灯机（点Ｏ表示光源）把幻灯片上的一只小狗放映到屏幕上的示意图，这两个图形之间有什么关系？
分别在左、右两个小狗的头顶上取一点A、A′;再分别在狗尾巴尖上取一点B、B′.
考虑对应点，从特殊点入手
点A、A′与点O在一条直线上吗？点B、B′与点O在一条直线上吗？
分别量出线段OA，OA′, OB，OB′的长度，
计算(精确到0.1)：OA'OA= 6.93.2≈2.2 . OB'OB= 6.12.8≈2.2 .
继续在左、右两只小狗上找出一些对应点，考察每一对对应点是否都与点Ｏ在一条直线上；
计算每一对对应点与点O所连的线段比，可以发现它们与上述OA'OA，OB'OB相等.
学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。
导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
讲授新课
+
例题讲解
讲授新课
+
例题讲解
讲授新课
+
例题讲解
从刚刚导入新课的探究中，我们可以得到位似的定义：
一般地，取定一个点O，如果一个图形G上每一个点P对应于另一个图形G′上的点P′，且满足：
（1）直线PP′经过同一点O，
（2）OP'OP=|k|，其中k是非零常数，当k>0时，点P′在射线OP上，当k<0时，点P′在射线OP的反向延长线上.
那么称图形G与图形G′是位似图形．这个点Ｏ叫作位似中心，常数ｋ叫作位似比.
接下来，我们看一些具体的例子：
【例1】判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是.
两个位似图形具有哪些性质？
1.位似是一种特殊位置关系的图形相似；
2.两个位似图形的位似中心只有一个；
3.对应点与位似中心共线；
4.不经过位似中心的对应边平行；
5.两个图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；
6.位似图形上任意一对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
如何证明？
∵OAOA'=OBOB'，∠AOB=∠A′OB′，
∴ △OAB∽△OA′B′.
∴ ∠OAB =∠OA′B′.
∴ AB∥A′B′.
利用位似把△ABC缩小为原来的一半.
步骤：
1、在三角形外选一点O；
2、过点O分别作射线OA、OB、OC；
3、在OA、OB、OC上分别选取A’、B’、C’，
使OA'OA=12；OA'OA=12，OA'OA=12.
4、顺次连接A’、B’、C’，所得图形就是所求作图形.
【例2】已知点O在△ABC内，以点O为位似中心画一个三角形，使它与△ABC位似，且位似比为1:2.
画法一:△ABC与△DEF在同侧
解：①画射线OA,OB,OC;
②在射线OA,OB,OC上分别取点D,E,F,使OA = 2OD,OB = 2OE,OC = 2OF;
③顺序连接D,E,F,使△DEF与△ABC位似,位似比为1：2.
画法二: △ABC与△DEF在异侧
解：①画射线OA,OB,OC;
②在射线OA,OB,OC反向延长线上分别取点D,E,F,使OA = 2OD,OB = 2OE,OC = 2OF;
③顺序连接D,E,F,使△DEF与△ABC位似,位似比为1：2.
结论：画位似图形的关键是画出图形中顶点的对应点，画图的方法大致有两种：一是每对对应点都在位似中心的同侧，二是每对对应点在位似中心的异侧.
【例3】已知点O在△ABC内，以点O为位似中心画一个三角形，使它与△ABC位似，且位似比为2:1.
画法:解：①画射线OA,OB,OC;
②在射线OA,OB,OC上分别取点D,E,F,使OD = 2OA,OE = 2OB,OF = 2OC;
③顺序连接D,E,F,使△DEF与△ABC位似,位似比为2：1.
小结：
1.位似的性质：
两个图形位似，则这两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行.
2.图形的缩放：
【做一做】已知△ABC外一点O，以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半.
画法:
解：①画射线AO, BO, CO;
②在射线AO, BO, CO上分别取点D,E,F,使2OD = OB,2OE = OA,2OF = OC;
③顺序连接D,E,F,使△DEF与△ABC位似,位似比为1：2.
结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握有关位似的定义和性质。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
讲授知识，让学生掌掌握位似的定义和性质。
让学生知道本节课的学习内容和重点。
让学生知道本节课的学习内容和重点。
课堂练习
1.由位似变换得到的图形与原图形 （ B ）
A .全等 B. 相似 C.不一定相似 D.肯定不全等
2.下列运动形式中：
（1）传动带上的电视机；（2）电梯上的人的升降；（3）照相时底片上的投影与站在照相机前的人；（4）国旗上的红五角星.上述运动形式中不是位似变换的有（C）
A .0个 B.1个 C.2个 D.3个
3.要把四边形ABCD缩小到原来的12.
①在四边形外任选一点O（如图），
②分别在线段OA、OB、OC、OD上取点A'、B'、C'、D'，使得 OA'OA=OB'OB=OC'OC=OD'OD=12
③顺次连接点A’ 、B’、C ’ 、D’，所得四边形A'B'C'D'就是所要求的图形．
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
课堂小结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。
帮助学生加强记忆知识。
板书
似
借助板书，让学生知识本节课的重点。
作业
教材第97页做一做.
教材第97页练习第1、2题.
3.6.1 位似
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题6分）
1．下列图形中△ABC∽△DEF，则这两个三角形不是位似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在正方形网格中，△ABC和△DEF相似，则关于位似中心与相似比叙述正确的是（ ）
A．位似中心是点B，相似比是2：1
B．位似中心是点D，相似比是2：1
C．位似中心在点G，H之间，相似比为2：1
D．位似中心在点G，H之间，相似比为1：2
3．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知BB′=2OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积之比（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9
4．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大后得到△DEF，已知△ABC与△DEF的面积比为1：9，则AB：DE的值为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．1：3 D．1：9
5．如图，已知△ABC，任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（ ）
①△ABC与△DEF是位似图形； ②△ABC与△DEF是相似图形；
③△ABC与△DEF的周长比为1：2； ④△若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共5小题，每题6分）
6．如图，已知△EFH和△MNK是位似图形，那么其位似中心是点 （填A、B、C、D）．
7．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，点B在OD上，AE、CB分别是△OAB、△OCD的中线，则AE：CB的值为
8．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且OEEA=43，则FGBC= ．
9．如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'=2：3，则四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为 .
10．如图，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P′所在的直线都经过同一点O，且有OP′=k?OP（k≠0），那么我们把这样的两个多边形叫位似多边形，点O叫做位似中心．已知△ABC与△A′B′C′是关于点O的位似三角形，OA′=3OA，则△ABC与△A′B′C′的周长之比是 ．
三．解答题（共3小题，第11、12题每题10，第13题20分）
11．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1：2．
（1）请在图中画出位似中心；
（2）若AB=2cm，则A′B′等于多少？
12．如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的格点上．
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且相似比为1：2；
（2）连接（1）中的BB′，CC′，求四边形BB′C′C的周长．（结果保留根号）
13．如图，在12×12的正方形网格中，△TAB的顶点都在格点处．
（1）把△TAB绕着点T逆时针旋转90°得到△TA1B1．
（2）以T为位似中心，按1：2将△TAB放大，画出放大的△TA2B2（只画一个即可）．
试题解析
一．选择题
2．【分析】在正方形网格中，△ABC和△DEF相似，连接AF，CE，即可得到位似中心在点G，H之间，相似比为2：1．
【解答】解：如图，在正方形网格中，△ABC和△DEF相似，连接AF，CE，
∴位似中心在点G，H之间，
又∵AC=2EF，
∴相似比为2：1，
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质、位似图形，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
3．【分析】直接根据题意得出位似比，进而得出面积比．
【解答】解：∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，BB′=2OB′，
∴OB′=13OB，
∴△A′B′C′与△ABC的面积之比为：1：9．
故选：D．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质，正确得出位似比是解题关键．
4．【分析】利用位似的性质和相似三角形的性质得到S△ABCS△DEF=(ABDE)2，然后利用比例性质可求出即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴S△ABCS△DEF=(ABDE)2=19，
∴ABDE=13，
故选：A．
【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．
5．【分析】根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出 ②△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．
【解答】解：根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，
②△ABC与△DEF是相似图形，
∵将△ABC的三边缩小的原来的12，
∴△ABC与△DEF的周长比为2：1，
故③选项错误，
根据面积比等于相似比的平方，
∴④△ABC与△DEF的面积比为4：1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．
二．填空题
6．【分析】此题考查位似中心的含义，位似图形对应点连线的交点是位似中心．
【解答】解：如图
∵△EFH和△MNK是位似图形，连接FN，HK交于点B，故点B是位似中心．
【点评】熟练掌握位似中心的判定．
7．【分析】由，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，得出相似比解答即可．
【解答】解：∵，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，
又∵AE、CB分别是△OAB、△OCD的中线，
∴相似比是OBOD=12，
∴AE：CB=1：2，
故答案为：1：2
【点评】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系进行解答．
8．【分析】直接利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且OEEA=43，
∴OEOA=47，
则FGBC=OEOA=47．
故答案为：47．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
9．【分析】根据两个图形是相似形，根据相似图形的性质：面积之比等于对应边之比的平方可得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA'=2：3，
∴四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比4：9，
故答案为：4：9．
【点评】此题主要考查了位似变换，关键是掌握相似图形的性质．
10．【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是关于点O的位似三角形，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∵OA′=3OA，
∴△ABC与△A′B′C′的周长之比是：OA：OA′=1：3，
故答案为：1：3．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，位似变换的性质：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．
三．解答题
11．【分析】（1）作三组对应点所在直线，三直线的交点即为位似中心O；
（2）根据△ABC与△A′B′C′是位似图形，可知△ABC∽△A′B′C′，利用位似比是1：2，即可求得A′B′=4cm．
【解答】解：（1）如图所示，点O即为位似中心；
（2）∵ABA'B'=OAOA'=12，且AB=2cm，
∴A′B′=2AB=4cm．
【点评】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比．
12．【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用勾股定理得出各线段长，进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；
（2）四边形BB′C′C的周长为：
BB′+B′C′+CC′+BC=2+22+2+42
=4+62．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．
13．【分析】（1）利用旋转的性质画出图形即可；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
【解答】解：（1）如图所示：△TA1B1即为所求：
（2）如图所示：△TA2B2即为所求．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．
课件25张PPT。3.6 位似数学湘教版 九年级上3.6.1 位似图形的概念及画法问题：前面我们已经学习了图形的哪些变换？平移：平移的方向,平移的距离.
旋转：旋转中心,旋转方向,旋转角度.
相似：相似比.对称：轴对称与轴对称图形,
中心对称与中心对称图形（对称轴，对称中心.）如何把一个图形放大或缩小？
下面我们来学习一种简单可行的方法. 下图是运用幻灯机（点Ｏ表示光源）把幻灯片上的一只小狗放映到屏幕上的示意图，这两个图形之间有什么关系？o 这两个图形的形状相同，但大小不同， 它们是相似图形. 分别在左、右两个小狗的头顶上取一点A、A′;再分别在狗尾巴尖上取一点B、B′.oB′BA′A点A、A′与点O在一条直线上吗？点B、B′与点O在一条直线上吗？考虑对应点，从特殊点入手???? 那么称图形G与图形G′是位似图形．这个点Ｏ叫作位似中心，常数ｋ叫作位似比.【例1】判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是. △ABC与△ADE是位似图形.△ABC与△ADE不是.1.位似是一种特殊位置关系的图形相似；
2.两个位似图形的位似中心只有一个；
3.对应点与位似中心共线；
4.不经过位似中心的对应边平行；
5.两个图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；
6.位似图形上任意一对应点到位似中心的距离之比等于位似比.位似图形的性质：oBAB′A′?利用位似，可以把一个图形进行放大或缩小.
连接AB，A′B′，可以得到下图，则AB∥A′B′吗？ABA’C’B’CO利用位似把△ABC缩小为原来的一半.1、在三角形外选一点O；2、过点O分别作射线OA、OB、OC；?步骤：4、顺次连接A’、B’、C’，所得图形就是所求作图形.外位似A利用位似把△ABC缩小为原来的一半.BA’C’B’CO外位似 【例2】已知点O在△ABC内，以点O为位似中心画一个三角形，使它与△ABC位似，且位似比为1:2.ABC画法一:
解：①画射线OA,OB,OC;
②在射线OA,OB,OC上分别取点D,E,F,使OA = 2OD,OB = 2OE,OC = 2OF;
③顺序连接D,E,F,使△DEF与△ABC位似,位似比为1：2.DEFO内位似ABC画法二: △ABC与△DEF在异侧
解：①画射线OA,OB,OC;
②在射线OA,OB,OC反向延长线上分别取点D,E,F,使OA = 2OD,OB = 2OE,OC = 2OF;
③顺序连接D,E,F,使△DEF与△ABC位似,位似比为1：2.DFEO 【例3】已知点O在△ABC内，以点O为位似中心画一个三角形，使它与△ABC位似，且位似比为2:1.DEF画法:
解：①画射线OA,OB,OC;
②在射线OA,OB,OC上分别取点D,E,F,使OD = 2OA,OE = 2OB,OF = 2OC;
③顺序连接D,E,F,使△DEF与△ABC位似,位似比为2：1. ABCO内位似 1.位似的性质：
两个图形位似，则这两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行.
2.图形的缩放：ABCBA’C’B’CODEFABCOA 1.画位似图形的一般步骤:
①确定位似中心；
②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；
③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；
④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.
2.利用位似进行作图的关键是确定位似中心和关键点．
3.位似分为内位似和外位似，内位似的位似中心在连接两个对应点的线段上；外位似的位似中心在连接两个对应点的线段之外. 已知△ABC外一点O，以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半.画法:
解：①画射线AO, BO, CO;
②在射线AO, BO, CO上分别取点D,E,F,使2OD = OB,2OE = OA,2OF = OC;
③顺序连接D,E,F,使△DEF与△ABC位似,位似比为1：2. DEFABCO1.由位似变换得到的图形与原图形 （ ）
A .全等 B. 相似 C.不一定相似 D.肯定不全等2.下列运动形式中：
（1）传动带上的电视机；
（2）电梯上的人的升降；
（3）照相时底片上的投影与站在照相机前的人；
（4）国旗上的红五角星.
上述运动形式中不是位似变换的有（ ）
A .0个 B.1个 C.2个 D.3个CB?③顺次连接点A' 、B'、C' 、D'，所得
四边形A'B'C'D'就是所要求的图形．ODABCA'B'C'D'?①在四边形外任选一点O（如图），位似性质：两个位似图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，且新图形与原图形对应点到位似中心的距离的比等于位似比，即等于相似比.作图1.确定位似中心3.确定相似比2.确定原图形的关键点4.画出新图形的关键点5.根据关键点画出图形定义：若两图形不仅形状相同,且每组对应点的连线都经过同一个点,则这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫位似中心，相似比又叫位似比.位似性质：两个位似图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，且新图形与原图形对应点到位似中心的距离的比等于位似比，即等于相似比.作图1.确定位似中心3.确定相似比2.确定原图形的关键点4.画出新图形的关键点5.根据关键点画出图形定义：若两图形不仅形状相同,且每组对应点的连线都经过同一个点,则这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫位似中心，相似比又叫位似比.作业布置教材第97页做一做.
教材第97页练习第1、2题. 谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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