新湘教版 数学 九年级上 3.6.2 位似教学设计
课题
3.6.2 位似
单元
第三单元
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：
①在直角坐标系中，感受以O为位似中心的多边形的坐标变化与相似比之间的关系.
②经历以O为位似中心的多边形的坐标变化与相似比之间关系的探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识。
③通过实例进一步理解位似图形及相关概念和性质。
过程与方法：
①能熟练准确地利用图形的位似在直角坐标系中将--个图形放大或缩小；
②经历探究平面直角坐标系中，以0为位似中心的多边形的坐标变化与相似比之间关系的过程，领会所学知识，归纳作图步骤，总结规律，并较熟练地进行应用。
③通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观：
①有意识地培养学生学习数学的积极情感，激发学生对图形学习的好奇心，形成多角度、多方法想问题的学习习惯；
②通过对问题的研究，激发学生对数学学习的好奇心与求知欲，能积极参与数学学习活动，进一步培养学生动手操作的能力。
重点
通过探究得到平面直角坐标系中多边形坐标变化与其位似图形的关系，并能应用该结论将一个多边形放大或缩小。
难点
通过探究得到平面直角坐标系中多边形坐标变化与其位似图形的关系，并能应用该结论将一个多边形放大或缩小。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识
+
导入新课
在前面的学习中，我们已经学习两个三角形全等的判定定理，两个三角形的相似的性质，以及位似的概念和性质，今天我们将进一步研究位似在直角坐标系中的应用。在上新课之前，我们一起回顾下之前学过的知识：
/
如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB的顶点坐标分别为A（2，4），O（0，0），B（6，0）.
（1）将各个顶点坐标分别扩大为原来的2倍，画出所得到的图形；
（2）以O为位似中心，分别在线段OA,OB的延长线上取点A’，B’，使
O
A
′
OA
=
O
B
′
OB
=2，依次连接点A‘，B’，O ，画出所得的图形，你发现了什么？
第1、2题画的三角形是一样的，△OA’B’与△OAB是以O为位似中心，位似比为2的位似三角形.
如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB的顶点坐标分别为A（3，6），O（0，0），B（6，0）.
（1）将各个顶点坐标分别缩小为原来的
1
3
倍，画出所得到的图形；（2）以O为位似中心，分别在线段OA,OB的延长线上取点A’，B’，使
O
A
′
OA
=
O
B
′
OB
=
1
3
，依次连接点A‘，B’，O ，画出所得的图形，你发现了什么？
第1、2题画的三角形是一样的，△OA’B’与△OAB是以O为位似中心，位似比为
1
3
的位似三角形.
学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。
导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
讲授新课
+
例题讲解
讲授新课
+
例题讲解
数学上可以证明，一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同的倍数，所得到的图形与原图形是以坐标原点为位似中心的位似图形.
在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k.
接下来，我们看一些具体的例子：
【例1】如图表示△AOB和把它缩小后得到的△COD，求它们的相似比．
解：点D的横坐标为2
点B的横坐标为5
相似比为:
2
5
【例2】如下图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（4，2）， C（1，2）. 以坐标原点O为位似中心，将平行四边形OABC放大为原图形的3倍.
分析：要将口0ABC放大为原图形的3倍，由位似图形的定义可知，|k|=3, 即k=士3, 因此我们可以将原四边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘3，或都乘-3.
/
解 ：方法一：将口0ABC的各顶点的坐标分别乘3，得0(0, 0), A'(9, 0), B'(12, 6), C'(3, 6)，依次连接点0, A’，B', C',则四边形OA 'B'C'即为所要求的图形.
方法二：将口0ABC的各顶点的坐标分别乘-3,得0(0, 0), A"(-9, 0)，B"(-12，-6)，C"(-3, -6),依次连接点0, A", B", C”，则四边形OA"B"C"即为所要求的图形.
一般情况下，若没有限定象限，在直角坐标系中，画已知图形关于某点的相似图形有2个.
探究：如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（2，3），B（2，1），C（6，2），以点O为位似中心，相似比为2，填写放大后△ABC的坐标.
/
/
/【例3】如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（2，－2），B（4，－5），C（5，－2），以原点O为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍．
//
小结：
/
结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握位似在直角坐标系中的应用。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
讲授知识，让学生掌掌握位似在直角坐标系中的应用。
让学生知道本节课的学习内容和重点。
课堂练习
1.如图，将△ABO的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（A）
A.（-4，-3） B.（-3，-3）
C.（-4，-4） D.（-3，-4）
2.如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（2，3），B（2，1），C（6，2），以点O为位似中心，将△ABC放大为原图形的2倍.
//
3、如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A'B'C'是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.
（1）画出位似中心点O；
/
（2）求出△ABC与△A'B'C' 的位似比；
∵△ABC与△A’B’C’是位似图形，∴其位似比实际上就是这两个三角形的相似比.
∴由勾股定理可得：AC=2
5
，A'C'= 4
5
∴ △ABC与△A'B'C'的位似比= 2
5
?:4
5
?= 1:2.
（3）以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5.
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
课堂小结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
/
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。
帮助学生加强记忆知识。
板书
位似
/
借助板书，让学生知识本节课的重点。
作业
教材第99页练习.
/
3.6.2 位似
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题6分）
1．在平面直角坐标系中，点A（﹣6，2），B（﹣4，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为
1
2
，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣3，1） B．（﹣12，4）
C．（﹣12，4）或（12，﹣4） D．（﹣3，1）或（3，﹣1）
2．如图，以某点为位似中心，将△OAB进行位似变换得到△DFE，若△OAB与△DFE的相似比为k，则位似中心的坐标与k的值分别为（ ）
/
A．（2，2），2 B．（0，0），2 C．（2，2），
1
2
D．（0，0），
1
2
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形A'B'C'D'及其内部的点，其中点A、B的对应点分别为A'，B'．已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F'与点F重合，则点F的坐标是（ ）
/
A．（1，4） B．（1，5） C．（﹣1，4） D．（4，1）
4．如图，在平面直角坐标系中，与△ABC是位似图形的是（ ）
/
A．① B．② C．③ D．④
5．如图，在平面直角标系xOy中，以O为位似中心，将边长为8的等边三角形OAB作n次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形OA1B1，其边长OA1缩小为OA的
1
2
，经第二次变换后得到等边三角形OA2B2，其边长OA2缩小为OA1的
1
2
，经第三次变换后得到等边三角形OA3B3，其边长OA3缩小为OA2的
1
2
，…按此规律，经第n次变换后，所得等边出角形OAnBn．的顶点An的坐标为（
1
2
8
，0），则n的值是（ ）
/
A．8 B．9 C．10 D．11
二．填空题（共5小题，每题6分）
6．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为2，把△EFO放大，则点E的对应点E′的坐标是 ．
7．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点B的坐标为（3，0），则其位似中心的坐标为 ．
/
8．在直角坐标系中，把四边形ABCD以原点O为位似中心放缩，得到四边形AˊBˊCˊDˊ．若点A和它的对应点Aˊ的坐标分别为（2，3），（6，9），则
四边形????????的面积
四边形??ˊ??ˊ??ˊ??ˊ的面积
= ．
9．如图，将△AOB以O为位似中心，扩大得到△COD，其中B（3，0），D（4，0），则△AOB与△COD的相似比为 ．
/
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1．在第一象限内，将矩形OABC以原点O为位似中心放大为原来的2倍，得到矩形OA1B1C1，再将矩形OA1B1C1以原点O为位似中心放大2倍，得到矩形OA2B2C2…，以此类推，得到的矩形OAnBnCn的对角线交点的坐标为 ．
/
三．解答题（共3小题，第11、12题每题10，第13题20分）
11．如图，△ABC与△A1B1C1是位似图形．在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为（1，﹣6）．
（1）在图上标出点，△ABC与△A1B1C1的位似中心P．并写出点P的坐标为 ；
（2）以点A为位似中心，在网格图中作△AB2C2，使△AB2C2和△ABC位似，且位似比为1：2，并写出点C2的坐标为 ．
/
12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．
（1）画出△ABC关于点B成中心对称的图形△A1BC1；
（2）以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点坐标．
/
13．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．
（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的
1
2
，画出△A2B2C2，并求出A1C2的长度．
试题解析
一．选择题
1．【分析】根据已知得出位似图形对应坐标与位似图形比的关系进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC的一个顶点A的坐标是（﹣6，2），以原点O为位似中心相似比
为1：2将△ABC缩小得到它的位似图形△A′B′C′，
∴点A′的坐标是：（﹣
1
2
×6，
1
2
×2），[﹣
1
2
×（﹣6），﹣
1
2
×2]，
即（﹣3，1），（3，﹣1）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质，根据如果位似变换是以原点为位似中心，相
似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k得出是解题关键．
2．【分析】两对对应点的连线的交点即为位似中心；找到任意一对对应边的边长，让其
相比即可求得k．
【解答】解：连接OD、BE，延长OD交BE的延长线于点O′，点O′也就是位似中心为
（2，2）；
k=OA：FD=8：4=2，
故选：A．
/
【点评】本题考查位似变换、坐标与图形的性质等知识，记住两对对应点的连线的交点
为位似中心；任意一对对应边的比即为位似比．
3．【分析】首先根据点A到A′，B到B′的点的坐标可得方程组
&?3??+??=?1
&0×??+??=2
；
&3??+??=?1
&0×??+??=2
，解可得a、m、n的值，设F点的坐标为（x，y），点F′点F重合可列出方程组，再解可得F点坐标．
【解答】解：由点A到A′，可得方程组
&?3??+??=?1
&0×??+??=2
；
由B到B′，可得方程组
&3??+??=?1
&0×??+??=2
，
解得
&??=
1
2
&??=
1
2
&2
，
设F点的坐标为（x，y），点F′点F重合得到方程组
&
1
2
??+
1
2
=??
&
1
2
??+2=??
，
解得
&??=1
&??=4
，
即F（1，4）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，根据点的坐标
列出方程组．
4．【分析】直接利用位似图形的性质解答即可．
【解答】解：因为图③与△ABC这两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交
于一点，对应边互相平行，
所以与△ABC是位似图形的是③，
故选：C．
【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相
交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
5．【分析】根据等边三角形的性质求出点A的坐标，根据位似变换的性质总结规律，代
入计算即可．
【解答】解：∵△OAB是等边三角形，边长为8，
∴点A的坐标为（8，0），
由位似变换的性质可知，点A1的坐标为（8×
1
2
，0），即（4，0），
点A2的坐标为（8×
1
2
2
，0），即（2，0），
由题意得，8×
1
2
??
=
1
2
8
，
解得，n=11，
故选：D．
【点评】本题考查的是位似变换，掌握等边三角形的性质、位似变换性质是解题的关键．
二．填空题
6．【分析】由在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为
位似中心，相似比为2，把△EFO放大，根据位似图形的性质，即可求得点E的对应点
E′的坐标．
【解答】解：∵点E（﹣4，2），以原点O为位似中心，相似比为2，把△EFO放大，
∴点E的对应点E′的坐标是：（﹣8，4）或（8，﹣4）．
故答案为：（﹣8，4）或（8，﹣4）．
【点评】此题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意位似图形有两个．
7．【分析】利用△ABC与△DEF是位似图形，连接图上对应三点的坐标，连线的交点就是位似中心．
【解答】解：连接各对应点A，D，与C，F，交点Q即是位似中心的坐标，
∴其位似中心的坐标为：（1，0），
故答案为：（1，0）．
/
【点评】此题考查了位似图形的位似中心的确定方法．顺次连接各对应点得出位似中心
是解决问题的关键．
8．【分析】根据题意得到四边形ABCD与四边形AˊBˊCˊDˊ的相似比为
1
3
，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵点A和它的对应点Aˊ的坐标分别为（2，3），（6，9），
∴四边形ABCD以原点O为位似中心扩大3倍，得到四边形AˊBˊCˊDˊ，
即四边形ABCD与四边形AˊBˊCˊDˊ的相似比为
1
3
，
∴
四边形????????的面积
四边形??ˊ??ˊ??ˊ??ˊ的面积
=
1
9
，
故答案为：
1
9
．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似
图形的性质是解题的关键．
/
【点评】本题主要考查位似变换，解题的关键是熟练掌握位似变换的定义和性质．
10．【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为
k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，即可求得Bn的坐标，然后根据矩形的
性质即可求得对角线交点的坐标．
【解答】解：∵在第一象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的2倍，
∴矩形A1OC1B1与矩形AOCB是位似图形，点B与点B1是对应点，
∵OA=2，OC=1．
∵点B的坐标为（2，1），
∴点B1的坐标为（2×2，1×2），
∵将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大2倍，得到矩形A2OC2B2…，
∴B2（2×2×2，1×2×2），
以此类推，Bn（2n+1，2n），
矩形OAnBnCn的对角线交点为Bn﹣1，即（2n，2n﹣1），
故答案为：（2n，2n﹣1）．
/
【点评】本题考查的是矩形的性质、位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似
变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点坐标的比等于k或﹣k．
三．解答题
11．【分析】（1）直接利用位似图形的性质连接对应点进而得出位似中心；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：点P即为所求，P（﹣1，﹣2）；
故答案为：（﹣1，﹣2）；
（2）如图所示：△AB2C2即为所求，点C2（1，﹣3）；
故答案为：（1，﹣3）．
/
【点评】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．
12．【分析】（1）利用关于点对称的性质得出A1，C1，坐标进而得出答案；
（2）利用关于原点位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1BC1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，C2点坐标为：（﹣6，4）．
/
【点评】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，根据图形的性质得出对应点位置是解题关键．
13．【分析】（1）分别作出点A、B、C向左平移6个单位长度后得到的对应点，顺次
连接可得；
（2）根据位似变换的定义作出点A、B、C的对应点，顺次连接可得．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
/
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，A1C2=2或A1C2=
4
2
+
6
2
=2
13
．
【点评】本题主要考查作图﹣平移变换、位似变换，解题的关键是熟练掌握平移变换和
位似变换的定义和性质．
/
课件22张PPT。3.6 位似数学湘教版 九年级上3.6.2 平面直角坐标系的位似图形回顾知识位似性质：两个位似图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，新图形与原图形上对应点到位似中心的距离的比等于位似比(相似比).作图1.确定位似中心3.确定相似比2.确定原图形的关键点4.画出新图形的关键点5.根据关键点画出图形定义：若两个图形不仅形状相同,且每组对应点的连线都经过同一个点,则这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫位似中心，相似比又叫位似比.导入知识 如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB的顶点坐标分别为A（2，4），O（0，0），B（6，0）.（1）将各个顶点坐标分别扩大为原来的2倍，画出所得到的图形；?第1、2题画的三角形是一样的，△OA’B’与△OAB是以O为位似中心，位似比为2的位似三角形.导入知识 如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB的顶点坐标分别为A（3，6），O（0，0），B（6，0）.??x108642?讲授新知 数学上可以证明，一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同的倍数，所得到的图形与原图形是以坐标原点为位似中心的位似图形.
在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，位似比为k或-k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k.即若原图形的某一个顶点坐标为
（x0，y0），则其位似图形对应点的坐标为
（kx0，ky0）或（-kx0，-ky0）.【例1】如图表示△AOB和把它缩小后得到的△COD，求它们的相似比．解：点D的横坐标为2点B的横坐标为5?讲授新知讲授新知 【例2】如下图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（4，2）， C（1，2）. 以坐标原点O为位似中心，将平行四边形OABC放大为原图形的3倍.分析：要将 OABC放大为原图形的3倍，由位似图形的定义可知，|k|=3, 即k=士3, 因此我们可以将原四边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘3，或都乘-3.讲授新知 解 ：方法一：将 OABC的各顶点的坐标分别乘3，得0(0, 0), A'(9, 0), B'(12, 6), C'(3, 6)，依次连接点0, A’，B', C',则四边形OA 'B'C'即为所要求的图形.
方法二：将口0ABC的各顶点的坐标分别乘-3,得0(0, 0), A"(-9, 0)，B"(-12，-6)，C"(-3, -6),依次连接点0, A", B", C”，则四边形OA"B"C"即为所要求的图形.12 一般情况下，若没有限定象限，在直角坐标系中，画已知图形关于某点的相似图形有2个.讲授新知探究：如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（2，3），B（2，1），C（6，2），以点O为位似中心，相似比为2，填写放大后△ABC的坐标.ABC位似变换后A，B，C的对应点为：
A '（ ， ），B ' （ ， ），C ' （ ， ）；
A" （ ， ），B" （ ， ），C" （ ， ）．4642124－4－6－4－2－4－12 A'B'C'A"B"C"讲授新知利用位似在直角坐标内作图时要注意：
①首先确定位似中心；
②确定原图形的关键点，如三角形有三个关键点，即它的三个顶点；
③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；
④符合要求的图形不唯一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形.讲授新知【例3】如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（2，－2），B（4，－5），
C（5，－2），以原点O为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍．ABC解：
A'（ ， ），B ' （ ， ），
C ' （ ， ）A" （ ， ），B" （ ， ），
C" （ ， ）A'B 'C 'A"B"C"讲授新知讲授新知位似位似变换的坐标特征在平面直角坐标系里作位似图形在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k.一般情况下，若没有限定象限，在直角坐标系中画已知图形关于某点的相似图形有2个.课堂练习 1.如图，将△ABO的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（ ）
A.（-4，-3） B.（-3，-3）
C.（-4，-4） D.（-3，-4）AA ’（ ， ），
B ' （ ， ），
C ’（ ， ）；课堂练习 2.如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（2，3），B（2，1），C（6，2），以点O为位似中心，将△ABC放大为原图形的2倍.4642124-4-6-4-2-4-12ABCA'B'C'A"B"C"位似变换后的对应点为还可以在对应边的反向延长线上放大？其对应点的坐标是：A '' （ ， ），
B '' （ ， ），
C '' （ ， ）．
3、如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A'B'C'是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.
（1）画出位似中心点O；O课堂练习（2）求出△ABC与△A'B'C' 的位似比；（3）以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5.?课堂练习课堂总结位似位似变换的坐标特征在平面直角坐标系里作位似图形在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k.一般情况下，若没有限定象限，在直角坐标系中画已知图形关于某点的相似图形有2个.板书设计位似位似变换的坐标特征在平面直角坐标系里作位似图形在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k.一般情况下，若没有限定象限，在直角坐标系中画已知图形关于某点的相似图形有2个.作业布置教材第99页练习.谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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