12.3 角的平分线的性质
一、选择题
1．下列说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④△ABC中∠BAC的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相等，其中正确的（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E,且DE=3cm,则点D到AC的距离是( )
A.2cm; B.3cm; C.4cm; D.6cm
3．如图1，已知CE、CF分别是△ABC的内角和外角平分线，则图中与∠BCE互余的角有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．如图2，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，则下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P是∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．④ D．②③
（1） (2) (3)
二、填空题
5．用直尺和圆规平分已知角的依据是______________．
6．角的平分线上的点到_______________相等；到___________________________相等的点在这个角的平分线上．
7．如图3，AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，且PE=2cm，则AB与CD之间的距离是___________．
三、解题题
8．请你画一个角，并用直尺和圆规把这个角两等分．
9．如图，四边形ABCD中AB=AD，CB=CD，点P是对角线AC上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，求证PE=PF．
10．如图，四边形ABCD中AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，P是对角线AC上一点，求证：PB=PC．
11．如图，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD交BE于点O．
①若OC=OB，求证：点O在∠BAC的平分线上．
②若点O在∠BAC的平分线上，求证：OC=OB．
参考答案:
1．B 2．B 3．C 4．A 5．SSS
6．角的两边的距离；角的两边的距离 7.4cm 8．略
9．证明AC平分∠BCD
10．先证Rt△ABC≌Rt△ADC，再证△APB≌△APD
11．①证明△COE≌△BOD得到OE=OD；②先由角平分线的性质证明OE=OD，再证明△COE≌△BOD
第2课时 角平分线的判定
一、选择题
1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点
C. 三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点
2．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则∠1与∠2的大小是（ ）
A． ∠1=∠2 B． ∠1＞∠2 C． ∠1＜∠2 D． 无法确定
第2题图 第3题图 第4题图
3. 如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA，过点D作DE⊥BC，交AB于E，则下列结论一定正确的是（ ）
A． AE=BE B． DB=DE C． AE=BD D． ∠BCE=∠ACE
4. 如图，△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；
∠A=40°，则∠BOC=（ ）
A． 110° B． 120° C． 130° D． 140°
5．如图，,△ABC的两个外角平分线交于点P，则下列结论正确的是（ ）
①PA=PC ②BP平分∠ABC ③P到AB，BC的距离相等 ④BP平分∠APC．
A． ①② B． ①④ C． ②③ D． ③④
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A、1处 B、2处 C、3处 D、4处
7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，M为AD上任意一点，则下列结论错误的是（ ）
（A）DE＝DF． （B）ME＝MF． （C）AE＝AF． （D）BD＝DC．
8. 如图，△ABC，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，有下列四个结论：
①DA平分∠EDF； ②AE=AF； ③AD上的点到B、C两点的距离相等；
④到AE，AF距离相等的点到DE、DF的距离也相等．
其中正确的结论有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
第8题图 第10题图 第11题图
二、填空题
9. 在角的内部到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的 ．
10.如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ= °．
11.如图，AB∥CD，点P到AB、BC、CD距离都相等，则∠P= °．
12.如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA=PB，∠MON=50°，
∠OPC=30°，则∠PCA= °．
第12题图 第13题图
13.如图，△ABC的∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为4，则点P到AB的距离为 .
14.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，DE⊥AB于D，且EC=ED，
∠EBC= °
15.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，连接BD，BD⊥CD，
∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为
第14题图 第15题图 第16题图
16.如图，点M在∠ABC内，ME⊥AB于E点，MF⊥BC于F点，且ME=MF，∠ABC=70°，则∠BME= °．
三、解答题
17. 如图，表示两条相交的公路，现要在的内部建一个物流中心．设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处点的距离为1 000米．
（1）若要以的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处点的
图上距离；
（2）在图中画出物流中心的位置．
18． 如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF．求证：
（1）PE=PF；
（2）点P在∠BAC的角平分线上．
19. PB，PC分别是△ABC的外角平分线且相交于P．
求证：P在∠A的平分线上（如图）．
20．已知：如图，，是的中点，平分．
（1）若连接，则是否平分？请你证明你的结论．
（2）线段与有怎样的位置关系？请说明理由．
21.（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示）．设计了如下方案：
（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．
（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．
（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；
（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB．此方案是否可行？请说明理由．
第2课时 角的平分线的判定
一、选择题
1.D 2.A 3.D 4.A 5.C 6.D 7.D 8.D
二、填空题
9.平分线 10. 35 11. 90 12. 55 13. 4 14. 27 15. 3 16. 55
三、解答题
17.解:（1）1 000米=100 000厘米，
100 000÷50 000=2（厘米）；
(2)
18. 证明：（1）如图，连接AP并延长，
∵PE⊥AB，PF⊥AC
∴∠AEP=∠AFP=90°
又AE=AF，AP=AP，
∵在Rt△AFP和Rt△AEP中
∴Rt△AEP≌Rt△AFP（HL），
∴PE=PF．
（2）∵Rt△AEP≌Rt△AFP，
∴∠EAP=∠FAP，
∴AP是∠BAC的角平分线，
故点P在∠BAC的角平分线上．
19.证明：过P点作PE，PH，PG分别垂直AB，BC，AC．
∵PB，PC分别是△ABC的外角平分线，
∴PE=PH，PH=PG，
∴PE=PG．
∴P点在∠A的平分线上．
20．（1）平分．
证明：过点作，垂足为．
，，，
（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
又，．
，，
平分（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
（2），理由如下：
，
（垂直于同一条直线的两条直线平行）．
（两直线平行，同旁内角互补）
又，（角平分线定义）
，，
．即．
21.解：（1）方案（Ⅰ）不可行．缺少证明三角形全等的条件，
∵只有OP=OP，PM=PN不能判断△OPM≌△OPN；
∴就不能判定OP就是∠AOB的平分线；
方案（Ⅱ）可行．
证明：在△OPM和△OPN中，
，
∴△OPM≌△OPN（SSS），
∴∠AOP=∠BOP（全等三角形对应角相等）；
∴OP就是∠AOB的平分线．
（2）当∠AOB是直角时，此方案可行；
∵四边形内角和为360°，∠OMP=∠ONP=90°，∠MPN=90°，
∴∠AOB=90°，
∵PM=PN，
∴OP为∠AOB的平分线．（到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上），
当∠AOB不为直角时，此方案不可行；
因为∠AOB必为90°，如果不是90°，则不能找到同时使PM⊥OA，PN⊥OB的点P的位置．
2
1
3
4
D
C
M
B
A
2
1
3
4
Ｄ
Ｃ
Ｍ
Ｂ
Ａ
Ｅ
