弧度制和弧度制与角度制的换算
弧度制
在初中几何里，我们学习过角的度量，1度的角是怎样定义的呢？
周角的 为1度的角。
这种用1?角作单位来度量角的制度叫做角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
1. 圆心角、弧长和半径之间的关系：
角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧，
不同的点所形成的圆
弧的长度是不同的，
但都对应同一个圆心角。
=定值，
设α=n?， 弧长为l，半径OA为r，
则 ，
可以看出，等式右端不含
半径，表示弧长与半径的
比值跟半径无关，只与α的
大小有关。
结论：可以用圆的半径作单位去度量角。
2.定义：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。
注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字或rad可以略去不写。
3. 弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；1弧度≠1?；
(2) 1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1度是圆周 的所对的圆心角的大小；
(1)
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制；
（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。
4.公式： ，
表示的是在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角是αrad。
5. 弧度制与角度制的换算
① 用角度制和弧度制度量角，零角既是0?角，又是0 rad角，同一个非零角的度数和弧度数是不同的.
② 平角、周角的弧度数：
平角=? rad、周角=2? rad.
③ 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.
④角?的弧度数的绝对值:
（l为弧长，r为半径）
⑤ ∵ 360?=2? rad ，∴180?=? rad
∴ 1?=
1 rad
6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积.
① 弧长公式：
由公式：
比公式 简单.
② 扇形面积公式
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。
证明1：设扇形所对的圆心角为n?(αrad)，则
又 αR=l，所以
例1. 把112?30′化成弧度（用π表示）。
解：
(1) 112?30′=112.5× = .
例2. 把 化成度。
解：1rad=
特殊角的弧度
角
度 0o 30o 45o 60o 90o 120o
弧
度
角
度 135o 150o 180o 270o 360o
弧
度
特殊角的弧度
角
度 0o 30o 45o 60o 90o 120o
弧
度
角
度 135o 150o 180o 270o 360o
弧
度
特殊角的弧度
角
度 0o 30o 45o 60o 90o 120o
弧
度
角
度 135o 150o 180o 270o 360o
弧
度
特殊角的弧度
角
度 0o 30o 45o 60o 90o 120o
弧
度
角
度 135o 150o 180o 270o 360o
弧
度
特殊角的弧度
角
度 0o 30o 45o 60o 90o 120o
弧
度
角
度 135o 150o 180o 270o 360o
弧
度
特殊角的弧度
角
度 0o 30o 45o 60o 90o 120o
弧
度
角
度 135o 150o 180o 270o 360o
弧
度
特殊角的弧度
角
度 0o 30o 45o 60o 90o 120o
弧
度
角
度 135o 150o 180o 270o 360o
弧
度
特殊角的弧度
角
度 0o 30o 45o 60o 90o 120o
弧
度
角
度 135o 150o 180o 270o 360o
弧
度
特殊角的弧度
角
度 0o 30o 45o 60o 90o 120o
弧
度
角
度 135o 150o 180o 270o 360o
弧
度
特殊角的弧度
角
度 0o 30o 45o 60o 90o 120o
弧
度
角
度 135o 150o 180o 270o 360o
弧
度
特殊角的弧度
角
度 0o 30o 45o 60o 90o 120o
弧
度
角
度 135o 150o 180o 270o 360o
弧
度
特殊角的弧度
角
度 0o 30o 45o 60o 90o 120o
弧
度
角
度 135o 150o 180o 270o 360o
弧
度
例4. 扇形AOB中， 所对的圆心角是60?，半径是50米，求 的长l（精确到0.1米）。
解：因为60?= ,所以
l=α·r= ×50≈52.5 .
答： 的长约为52.5米.
例5. 在半径为R的圆中，240?的中心角所对的弧长为 ，面积为2R2的扇形的中心角等于 弧度。
解：（1）240?= ，根据l=αR，得
（2）根据S= lR= αR2，且S=2R2.
所以 α=4.
例6.与角－1825?的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
解：－1825?=－5×360?－25?，
所以与角－1825?的终边相同，且绝对值最小的角是－25?.
合
例7. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R.
所以扇形的中心角是2(π－1) rad.
合( ) ?
扇形面积是
例1．把67o30'化成弧度．
例1．把67o30'化成弧度．
例2．把 化成度．
例3．计算：
例3．计算：
例4．将下列各角化成0到2?的角
加上2k?(k∈Z)的形式：
例5．将下列各角化成2k? ＋?(k∈Z,
0≤? ＜2?)的形式，并确定其所在的
象限．
1.1.1 任意角
初中学习的角的定义是什么？角的取值范围是什么？
复习回顾：
由一个顶点出发的两条射线所组成的图形。
锐角
直角
钝角
平角
周角
╭╮
●
●
●
●
●
角的范围:[00,3600].
O
A
B
边
边
9
6
3
12
顺时针:30°
可逆时针:450°
如果你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？如果你的手表快了1.25小时（1小时15分钟），你应当如何将它校准？当时间校准后，分针旋转了多少度？
康巴斯
Kangbasi
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角的定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.
A
O
B
始边
顶点
终边
探究新知：
规定：
负角：按顺时针方向旋转形成的角
零角：射线不做旋转时形成的角
任意角
1、任意角
为了简单起见,"角α"或"∠α"可简记为α
正角：按逆时针方向旋转形成的角
逆时针
正角
顺时针
负角
零角
练习
－240°
－120°
240°
480°
120°
x
y
o
始边
终边
终边
终边
终边
1)置角的顶点于原点
终边落在第几象限
就是第几象限角
2)始边重合于X轴的非负半轴
终边
2、象限角
轴线角（非象限角）：
角的终边落在坐标轴上．
练习
已知角的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,作出下列各角,并指出它们是第几象限角:
(1)60° (2)420° (3)-300°
(4)-30° (5)-390° (6)330°
3、终边相同的角
一般地，所有与角α 终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
注意：1 、α是任意的角（可以是正的，可以是负的，也可以是0o）
2、k取整数
例l、在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角：
①480° ② -150°
③ 665° ④-950°
解：① 480°=120°+1×360°
与120°的角终边相同，是第二象限角
② -150°=210°+(-1)×360°
与210°的角终边相同，是第三象限角
③ 665°=305°+360°
与305°的角终边相同，是第四象限角
④ -950° =130°+(-3)×360°
与130°的角终边相同，是第二象限角
变式训练：写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤a＜720°的元素写出来.
例2、写出终边在X轴上的角的集合。
1、角的范围推广到任意角（正角，负角，零角）
2、象限角
3、终边相同的角的表示
小结
课本第9页
习题1.1 A组第1,2,3题
作业
