2.2.2 第1课时 圆周角定理及其推论1
知识点 1 圆周角的定义
1．下列四个图中，∠α是圆周角的是( )
图2－2－17
知识点 2 圆周角定理
2．2017·衡阳如图2－2－18，点A，B，C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，如果∠AOB＝64°，那么∠ACB的度数是( )
图2－2－18
A．26° B．30° C．32° D．64°
3．2018·聊城如图2－2－19，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是( )
图2－2－19
A．25° B．27.5° C．30° D．35°
4．2018·广东同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是________°.
5．如图2－2－20，点A，B，C都在⊙O上，如果∠AOB＋∠ACB＝84°，那么∠ACB的度数是________．
图2－2－20
6.2017·白银如图2－2－21，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝32°，则∠C＝________°.
图2－2－21
7．教材练习第3题变式如图2－2－22，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB，若∠BOC＝50°，求∠OBA的度数．
图2－2－22
知识点 3 圆周角定理的推论1
8．如图2－2－23，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是( )
图2－2－23
A．40° B．30° C．20° D．15°
9．如图2－2－24，经过原点O的⊙P与x轴、y轴分别交于点A，B，C是上一点，则∠ACB的度数为( )
图2－2－24
A．80° B．90° C．100° D．无法确定
10．如图2－2－25，已知点A，B，C，D在⊙O上．
(1)若∠ABC＝∠ADB，求证：AB＝AC；
(2)若∠CAD＝∠ACD，求证：BD平分∠ABC.
图2－2－25
11．如图2－2－26，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，则∠APB的度数为( )
图2－2－26
A．140° B．70° C．60° D．40°
12．将量角器按图2－2－27所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．若点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数为( )
图2－2－27
A．15° B．28° C．29° D．34°
13．如图2－2－28，△ABC的三个顶点都在⊙O上，直径AD＝6 cm，∠DAC＝2∠B，求AC的长．
图2－2－28
14．如图2－2－29，点A，B，C在圆O上，弦AE平分∠BAC交BC于点D，连接BE.
求证：BE2＝ED·EA.
图2－2－29
15．如图2－2－30，△ABC的两个顶点B，C在圆O上，顶点A在圆O外，AB，AC分别交圆O于点E，D，连接EC，BD.
(1)求证：△ABD∽△ACE；
(2)若△BEC与△BDC的面积相等，试判断△ABC的形状．
图2－2－30
16．如图2－2－31，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.
(1)判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论．
图2－2－31
教师详解详析
1．C
2．C [解析] 根据圆周角定理，同一条弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半，所以∠ACB＝∠AOB＝32°.故选C.
3．D [解析] ∵∠A＝60°，∠ADC＝85°，∴∠B＝∠ADC－∠A＝85°－60°＝25°.∵∠O＝2∠B＝50°，∴∠C＝∠ADC－∠O＝85°－50°＝35°.故选D.
4．50 [解析] ∵弧AB所对的圆心角是100°，
∴弧AB所对的圆周角为×100°＝50°.
5．28°
6．58 [解析] 连接OB，∵OA＝OB，∴△AOB是等腰三角形，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠OAB＝32°，∴∠OAB＝∠OBA＝32°，∴∠AOB＝116°，∴∠C＝58°.
7．解：∵AC∥OB，∴∠OBA＝∠BAC.
又∠BOC＝50°，∴∠BAC＝25°，∴∠OBA＝25°.
8．C [解析] 连接OC.∵＝，∴∠AOC＝∠AOB＝40°，∴∠ADC＝∠AOC＝20°.
9．B [解析] ∵∠AOB与∠ACB都是所对的圆周角，∴∠AOB＝∠ACB.
∵∠AOB＝90°，∴∠ACB＝90°.故选B.
10．证明：(1)∵∠ABC＝∠ADB，
∴＝，∴AB＝AC.
(2)∵∠CAD＝∠CBD，∠ACD＝∠ABD，∠CAD＝∠ACD，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC.
11．B [解析] 由题知∠DCE＝40°，在四边形CDOE中，∠CDO＝∠CEO＝90°，∴∠AOB＝360°－90°－90°－40°＝140°，根据圆周角定理，得∠APB＝∠AOB＝×140°＝70°.故选B.
12．B
13．解：如图，连接OC，
∵∠AOC＝2∠B，∠DAC＝2∠B，
∴∠AOC＝∠DAC，
∴OC＝AC.
又∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，
∴AC＝AO＝AD＝3 cm.
14．[解析] 欲证BE2＝ED·EA，只需证＝，则只需证△BAE∽△DBE.由于AE平分∠BAC，则∠BAE＝∠CAE.又因为∠EBD＝∠CAE，则∠BAE＝∠DBE.再由∠E为公共角，题目可证．
证明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE.
又∵∠CAE＝∠DBE，∴∠BAE＝∠DBE.
又∵∠E＝∠E，∴△BAE∽△DBE，
∴＝，即BE2＝ED·EA.
15．解：(1)证明：∵∠EBD与∠ECD都是所对的圆周角，∴∠EBD＝∠ECD.
又∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACE.
(2)∵S△BEC＝S△BDC，S△ACE＝S△ABC－S△BEC，S△ABD＝S△ABC－S△BDC，∴S△ACE＝S△ABD.
由(1)知△ABD∽△ACE，∴对应边之比等于1，∴AB＝AC，即△ABC为等腰三角形．
16．解：(1)△ABC是等边三角形．理由如下：在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC.又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形．
(2)PC＝PB＋PA.证明：在PC上截取PD＝PA，连接AD，如图．
∵∠APC＝60°，∴△APD是等边三角形，∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，∴∠ADC＝120°.又∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB.
在△APB和△ADC中，
∴△APB≌△ADC(AAS)，∴PB＝DC.
又∵PD＝PA，∴PC＝PB＋PA.
第2课时 圆周角定理的推论2
及圆内接四边形的性质
知识点 1 圆周角定理的推论2
1．如图2－2－32，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝30°，则∠B的度数为 ( )
图2－2－32
A．15° B．30° C．45° D．60°
2．如图2－2－33，小华同学设计了一个测圆的直径的测量器，将标有刻度的尺子OA，OB在点O处钉在一起，并使它们保持垂直，在测圆的直径时，把点O靠在圆周上，读得刻度OE＝8 cm，OF＝6 cm，则圆的直径为( )
图2－2－33
A．12 cm B．10 cm C．14 cm D．15 cm
3．2017·福建如图2－2－34，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的是( )
图2－2－34
A．∠ADC B．∠ABD
C．∠BAC D．∠BAD
4．如图2－2－35，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝25°，∠BAD的度数为________．
图2－2－35
5．如图2－2－36，⊙O的直径AB＝10 m，C为直径AB下方半圆上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD，BD.判断△ABD的形状，并说明理由．
图2－2－36
知识点 2 圆内接四边形的概念及其性质
6．在圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶5，则∠D的度数为( )
A．60° B．120° C．140° D．150°
7．2018·济宁如图2－2－37，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是( )
图2－2－37
A．50° B．60° C．80° D．100°
8．教材练习第3题变式如图2－2－38，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠B＝96°，则∠ADE的度数为________．
图2－2－38
9．2017·西宁如图2－2－39，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD＝120°，则∠DCE＝________°.
图2－2－39
10．如图2－2－40，A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，且BC＝BE.
求证：△ADE是等腰三角形．
图2－2－40
11．2018·武威如图2－2－41，⊙A过点O(0，0)，C(，0)，D(0，1)，B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是( )
图2－2－41
A．15° B．30° C．45° D．60°
12．2017·株洲如图2－2－42，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB＝AC，∠BAM＝∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D，E，∠BMD＝40°，则∠EOM＝________°.
图2－2－42
13．2016·西宁⊙O的半径为1，弦AB＝，弦AC＝，则∠BAC的度数为________．
14．如图2－2－43，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O交于点E，连接AC，CE.
(1)求证：∠B＝∠D；
(2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．
图2－2－43
15．如图2－2－44，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E.
(1)求证：BE＝CE；
(2)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．
图2－2－44
16．如图2－2－45，已知⊙O中，弦AB⊥AC，且AB＝AC＝6，点D在⊙O上，连接AD，BD，CD.
(1)如图①，若AD经过圆心O，求BD，CD的长；
(2)如图②，若∠BAD＝2∠DAC，求BD，CD的长．
图2－2－45
教师详解详析
1．D 2.B
3．D [解析] ∵AB是⊙O的直径，∴∠BAD＋∠ABD＝90°.∵∠ACD＝∠ABD，∴∠BAD＋∠ACD＝90°，故选D.
4．65° [解析] ∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD＝25°，∴∠B＝25°.∴∠BAD＝90°－∠B＝65°.
5．解：△ABD是等腰直角三角形．理由：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵CD是∠ACB的平分线，∴＝，∴AD＝BD，∴△ABD是等腰直角三角形．
6．B
7．D [解析] 如图所示．在优弧BD上任取一点A(不与点B，D重合)，连接AB，AD.因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠A＋∠BCD＝180°.因为∠BCD＝130°，所以∠A＝50°.因为∠A与∠BOD都对着劣弧BD，所以∠BOD＝2∠A＝2×50°＝100°.
8．96°
9．60 [解析] ∵∠BOD＝120°，∴∠A＝∠BOD＝60°.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DCE＝∠A＝60°.
10．证明：∵BC＝BE，∴∠E＝∠BCE.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A＋∠DCB＝180°.
又∵∠BCE＋∠DCB＝180°，
∴∠A＝∠BCE，
∴∠A＝∠E，∴AD＝DE，
∴△ADE是等腰三角形．
11．B [解析] 连接CD，则CD为⊙A的直径，可得∠OBD＝∠OCD，根据点D(0，1)，C(，0)，得OD＝1，OC＝，由勾股定理得出CD＝2，∵OD＝CD，∴∠OCD＝30°，∴∠OBD＝30°.故选B.
12．80 [解析] 连接EM，∵AB＝AC，∠BAM＝∠CAM，∴AM⊥BC.∵AM为⊙O的直径，∴∠ADM＝∠AEM＝90°，∴∠AME＝∠AMD＝90°－∠BMD＝50°，∴∠EAM＝40°，∴∠EOM＝2∠EAM＝80°.
13．15°或75° [解析] 作直径AD，AD＝2.如图①，若两条弦在AD的同侧，分别连接BD，CD，则∠B＝∠C＝90°.∵AB＝，AC＝，∴cos∠BAD＝＝，cos∠CAD＝＝，∴∠BAD＝45°，∠CAD＝30°，∴∠BAC＝45°－30°＝15°.
如图②，若两条弦在AD的两侧，分别连接BD，CD，则∠B＝∠C＝90°.
∵AB＝，AC＝，∴cos∠BAD＝，
cos∠CAD＝，∴∠BAD＝45°，∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝45°＋30°＝75°.
故答案为15°或75°.
14．解：(1)证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.
又∵DC＝BC，∴AD＝AB，∴∠B＝∠D.
(2)设BC＝x，则AC＝x－2.
在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，
即(x－2)2＋x2＝42，
解得x1＝1＋，x2＝1－(舍去)．
∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，
∴∠D＝∠E，∴DC＝CE.
又∵DC＝BC，∴CE＝BC＝1＋.
15．解：(1)证明：如图，连接AE.
∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，
∴AE⊥BC.又∵AB＝AC，∴BE＝CE.
(2)如图，连接DE，
∵BE＝CE＝3，∴BC＝6.易知∠BED＝∠BAC，
而∠DBE＝∠CBA，
∴△BED∽△BAC，
∴＝，即＝，
∴AB＝9，∴AC＝AB＝9.
16．解：(1)∵AD经过圆心O，∴∠ACD＝∠ABD＝90°.
∵AB⊥AC，且AB＝AC＝6，
∴四边形ABDC为正方形，
∴BD＝CD＝AB＝AC＝6.
(2)连接BC，OD，过点O作OE⊥BD.
∵AB⊥AC，AB＝AC＝6，
∴BC为⊙O的直径，
∴BC＝6 ，∴BO＝CO＝DO＝BC＝3 .
∵∠BAD＝2∠DAC，
∴∠DAC＝30°，∠BAD＝60°，
∴∠COD＝60°，∠BOD＝120°，
∴△COD为等边三角形，∠BOE＝60°，
∴CD＝CO＝DO＝BO＝3 ，则BE＝，
∵OE⊥BD，∴BD＝2BE＝3 .
2．2.1 圆心角
知识点 1 圆心角的定义
1．下面四个图中的角，表示圆心角的是( )
图2－2－1
2．在直径为8的圆中，90°的圆心角所对的弦长为( )
A．4 B．4 C．4 D．8
3．在半径为2 cm的⊙O中，弦长为2 cm的弦所对的圆心角为( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
知识点 2 圆心角、弧、弦之间的关系
4．如图2－2－2所示，在⊙O中，已知＝，则弦AC与BD的关系是( )
图2－2－2
A．AC＝BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不确定
5．如图2－2－3，已知∠AOB＝∠COD，下列结论不一定成立的是( )
图2－2－3
A．AB＝CD B.＝
C．△AOB≌△COD D．△AOB，△COD都是等边三角形
6．如图2－2－4，已知在⊙O中，BC是直径，＝，∠AOD＝80°，则∠ABC的度数为( )
图2－2－4
A．40° B．65° C．100° D．105°
7．如图2－2－5，在⊙O中，＝，∠1＝50°，则∠2的度数为________．
图2－2－5
8．如图2－2－6，AB是⊙O的直径，＝＝，∠BOC＝40°，则∠AOE的度数是________．
图2－2－6
9．如图2－2－7，已知AB＝CD.
求证：AD＝BC.
图2－2－7
10．如图2－2－8，A，B，C是⊙O上的三点，且有＝＝.
(1)求∠AOB，∠BOC，∠AOC的度数；
(2)连接AB，BC，CA，试确定△ABC的形状．
图2－2－8
11．教材习题2.2A组第2题变式如图2－2－9所示，OA，OB，OC是⊙O的三条半径，M，N分别是OA，OB的中点，且MC＝NC.
求证：＝.
图2－2－9
12．如图2－2－10，在⊙O中，＝2，那么( )
图2－2－10
A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB<2AC D．AB>2AC
13. 如图2－2－11，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4 cm，则⊙O的周长为( )
图2－2－11
A．5π cm B．6π cm C．9π cm D．8π cm
14．如图2－2－12所示，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是________．
图2－2－12
15．如图2－2－13，已知AB是⊙O的直径，弦AC∥OD.求证：＝.
图2－2－13
16．如图2－2－14，AB是⊙O的直径，＝，∠COD＝60°.
(1)△AOC是等边三角形吗？请说明理由；
(2)求证：OC∥BD.
图2－2－14
17．如图2－2－15，∠AOB＝90°，C，D是的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F.
求证：AE＝CD.
图2－2－15
18．如图2－2－16，A，B是圆O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点．
(1)试判断四边形OACB的形状，并说明理由；
(2)延长OA至点P，使得AP＝OA，连接PC，若圆O的半径R＝2，求PC的长．
图2－2－16
教师详解详析
1．D 2.A 3.B 4.A 5.D 6.B
7．50° 8.60°
9．[解析] 要证AD＝BC，可证＝.
证明：∵AB＝CD，∴＝，
∴－＝－，即＝，
∴AD＝BC.
10．解：(1)∵＝＝，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
又∵∠AOB＋∠BOC＋∠AOC＝360°，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120°.
(2)∵＝＝，
∴AB＝BC＝CA，
∴△ABC是等边三角形．
11．证明：∵M，N分别是OA，OB的中点，
∴OM＝OA，ON＝OB.
又OA＝OB，∴OM＝ON.
在△OMC和△ONC中，
OM＝ON，MC＝NC，OC＝OC，
∴△OMC≌△ONC，∴∠COM＝∠CON，
∴＝.
12．C [解析] 取的中点M，连接AM，BM，则＝＝，∴AC＝AM＝BM.在△ABM中，AB
13．D [解析] 连接OD，OC.根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD是等边三角形，则⊙O的半径为4 cm，然后由圆的周长公式进行计算．
14．51° [解析] ∵＝＝，∠COD＝34°，∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，∴∠AOE＝180°－∠EOD－∠COD－∠BOC＝78°.又∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE，∴∠AEO＝×(180°－78°)＝51°.
15．证明：连接OC.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO.
∵AC∥OD，
∴∠OAC＝∠BOD，∠DOC＝∠ACO，
∴∠BOD＝∠COD，∴＝.
16．解：(1)△AOC是等边三角形．理由如下：
∵＝，∴∠AOC＝∠COD＝60°.
又∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形．
(2)证明：∵∠AOC＝∠COD＝60°，
∴∠BOD＝60°.
又∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠AOC＝∠B，∴OC∥BD.
17．证明：连接AC，∵∠AOB＝90°，C，D是的三等分点，∴∠AOC＝∠COD＝30°，AC＝CD.又∵OA＝OC，∴∠ACE＝75°.∵∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠OAB＝45°，∴∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝75°，∴∠ACE＝∠AEC，∴AE＝AC，∴AE＝CD.
18．解：(1)四边形OACB是菱形．理由：连接OC，∵∠AOB＝120°，C是的中点，∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°.∵OA＝OC＝OB，∴△AOC与△BOC都是等边三角形，∴AC＝OA＝OC＝OB＝BC，∴四边形OACB是菱形．
(2)∵AP＝OA，AC＝OA，∴AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝∠OAC＝30°，∴∠OCP＝90°.
∵R＝2，∴OC＝2，OP＝4，∴PC＝＝2 .
