第2课时 利用二次函数解决与最大值或最小值有关的实际问题
知识要点分类练 夯实基础
知识点1 利用二次函数解决与最大值或最小值有关的实际问题
1．一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足函数表达式h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是( )
A．1米 B．5米 C．6米 D．7米
2．竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h＝at2＋bt，其图象如图1－5－10所示．若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是( )
图1－5－10
A．第3秒 B．第3.5秒 C．第4.2秒 D．第6.5秒
3．若销售一种服装的盈利y(万元)与销售量x(万件)满足函数表达式y＝－2x2＋4x＋5，则盈利的最大值是________．
4．2017·仙桃飞机着陆后滑行的距离s(单位：米)关于滑行的时间t(单位：秒)的函数表达式是s＝60t－t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为________秒．
5．教材例题变式某超市销售一种品牌的牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．当售价为每箱36元时，每月可销售60箱．经市场调查发现，这种品牌牛奶的售价每降低1元，每月的销售量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元(x为正整数)，每月的销售量为y箱．
(1)写出y与x之间的函数表达式和自变量x的取值范围；
(2)问超市如何定价，才能使每月销售牛奶获得的利润最大？最大利润是多少元？
6．2017·德州随着新农村的建设和对旧城区的改造，我们的家园越来越美丽．小明家附近的广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池的中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，如图1－5－11，它喷出的抛物线形水柱在与池中心水平距离为1米处达到最高，水柱落地处与池中心的距离为3米．
(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线形水柱满足的函数表达式；
(2)求水柱的最大高度是多少？
图1－5－11
知识点2 利用二次函数解决其他问题
7. 公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线形．水流的高度h(单位：m)与水流运动时间t(单位：s)之间的函数表达式为h＝30t－5t2，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是( )
A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s
8. 心理学家发现，在一定的时间范围内，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)，y的值越大，表示学生的接受能力越强．
(1)若用10分钟提出概念，则学生的接受能力y的值是多少？
(2)如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念，那么与用10分钟相比，学生的接受能力是增强了还是减弱了？通过计算来回答．
规律方法综合练 提升能力
9．2017·临沂足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线．不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝4.5；③足球被踢出9 s时落地；④足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m．其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
10．2017·沈阳某商场购进一批单价为20元/个的日用商品，如果以30元/个的价格出售，那么半月内可售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减少，即销售单价每提高1元，半月内销售量减少20件．当销售单价是________元/件时，该商场才能在半月内获得最大利润．
11．2018·滨州如图1－5－12，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：米)与飞行时间x(单位：秒)之间的函数关系为y＝－5x2＋20x，请根据要求解答下列问题．
(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15米时，飞行的时间是多少？
(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
(3)在飞行过程中，小球的飞行高度何时最大？最大高度是多少？
图1－5－12
拓广探究创新练 冲刺满分
12．2018·仙桃绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图1－5－13，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价格y1(元)、生产成本y2(元)与产量x(千克)之间的函数关系．
(1)求该产品销售价格y1(元)与产量x(千克)之间的函数表达式；
(2)直接写出生产成本y2(元)与产量x(千克)之间的函数表达式；
(3)当产量为多少时，销售这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？
图1－5－13
教师详解详析
1．C [解析] ∵高度h(米)和飞行时间t(秒)满足函数表达式h＝－5(t－1)2＋6，∴当t＝1时，小球距离地面的高度最大，最大高度为6米．
2．C
3．7万元 [解析] y＝－2x2＋4x＋5＝－2(x2－2x)＋5＝－2[(x－1)2－1]＋5＝－2(x－1)2＋7，则盈利的最大值为7万元．
4．20 [解析] s＝60t－t2＝－(t－20)2＋600，∴当t＝20时，s取得最大值．故答案为20.
5．解：(1)根据题意，得y＝60＋10x，
由36－x≥24，得x≤12，
∴1≤x≤12，且x为整数．
(2)设所获利润为W(元)，
则W＝(36－x－24)(60＋10x)＝－10x2＋60x＋720＝－10(x－3)2＋810，
∴当x＝3时，W取得最大值，最大值为810.
答：超市将牛奶的售价定为每箱33元时，才能使每月销售牛奶获得的利润最大，最大利润是810元．
6．解：(1)答案不唯一，如图所示，以喷水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，喷水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
设抛物线的函数表达式为y＝a(x－1)2＋h，
将(0，2)和(3，0)代入，得
解得
∴抛物线的函数表达式为y＝－(x－1)2＋，
即y＝－x2＋x＋2(0≤x≤3)．
(2)由(1)，得y＝－(x－1)2＋(0≤x≤3)，
∴当x＝1时，y最大＝，
即水柱的最大高度为米．
7．A [解析] 水流回落到地面时的高度h为0，把h＝0代入h＝30t－5t2，得30t－5t2＝0，解得t1＝0(舍去)，t2＝6.故水流从喷出至回落到地面所需要的时间是6 s．故选A.
8．解：(1)当x＝10时，y＝－0.1×102＋2.6×10＋43＝59.
(2)当x＝8时，y＝－0.1×82＋2.6×8＋43＝57.4，
∴用8分钟来提出这一概念，与用10分钟相比，学生的接受能力减弱了；
当x＝15时，y＝－0.1×152＋2.6×15＋43＝59.5，
∴用15分钟提出这一概念，与用10分钟相比，学生的接受能力增强了．
9．B [解析] 由题意，得抛物线的函数表达式为h＝at(t－9)，把(1，8)代入可得a＝－1，∴h＝－t2＋9t＝－(t－4.5)2＋20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25 m，故①错误；∴足球飞行路线的对称轴是直线t＝4.5，故②正确；∵当t＝9时，y＝0，∴足球被踢出9 s时落地，故③正确；∵当t＝1.5时，y＝11.25，故④错误．∴正确的有②③，故选B.
10．35 [解析] 设销售单价为x元/件，销售利润为y元．根据题意，得y＝(x－20)[400－20(x－30)]＝(x－20)·(1000－20x)＝
－20x2＋1400x－20000＝－20(x－35)2＋4500.∵－20＜0，∴当x＝35时，y有最大值，故答案为35.
11．解：(1)当y＝15时，有－5x2＋20x＝15，化简得x2－4x＋3＝0，因式分解，得(x－1)(x－3)＝0，故x＝1或x＝3，即飞行时间是1秒或者3秒．
(2)飞出和落地的瞬间，小球的高度都为0，
即y＝0，所以0＝－5x2＋20x，
解得x＝0或x＝4，
所以小球从飞出到落地所用时间是4－0＝4(秒)．
(3)当x＝－＝－＝2时，小球的飞行高度最大，最大高度为20米．
12．解：(1)设y1与x之间的函数表达式为y1＝kx＋b，
∵图象过点(0，168)与点(180，60)，
∴
解方程组，得
∴y1＝－0.6x＋168(0≤x≤180)．
(2)y2与x之间的函数表达式为
y2＝
(3)设产量为x千克时，销售这种产品获得的利润为W元．
①当0≤x≤50时，
W＝x(－0.6x＋168－70)＝－0.6x2＋98x.
∵该函数图象的对称轴为直线x＝，
∴当0≤x≤50时，W随x的增大而增大，
∴当x＝50时，W的值最大，最大值为3400.
②当50∴当x＝110时，W有最大值4840.
③当130≤x≤180时，W＝(－0.6x＋168－54)x＝－0.6x2＋114x.
∵该函数图象的对称轴为直线x＝95，
∴当130≤x≤180时，W随x的增大而减小，
∴当x＝130时，W的值最大，最大值为4680.
综上，当产量为110千克时，销售这种产品获得的利润最大，最大利润为4840元．
1．2 第1课时 二次函数y＝ax2(a>0)的图象与性质
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 二次函数y＝ax2(a>0)的图象
1．二次函数y＝2x2的图象可能是( )
图1－2－1
2．画出函数y＝x2的图象．
知识点 2 二次函数y＝ax2(a>0)的性质
3．函数y＝3x2的图象的开口向________，顶点坐标是________，对称轴是________，当x________时，y随x的增大而减小，当x________时，y随x的增大而增大．
4．二次函数y＝8x2的图象的开口方向是( )
A．向上 B．向下
C．向上或向下 D．不能确定
5．关于函数y＝5x2的图象与性质的叙述，错误的是( )
A．其图象的顶点是原点
B．y有最大值
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x<0时，y随x的增大而减小
6．若原点是二次函数y＝(m－2)x2的图象上的最低点，则m的取值范围是( )
A．m>2 B．m>－2
C．m<2 D．m<0
7．2017·连云港已知抛物线y＝ax2(a>0)过A(－2，y1)，B两点，则下列关系式一定正确的是( )
A．y1>0>y2 B．y2>0>y1
C．y1>y2>0 D．y2>y1>0
8．分别写出下列各抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)y＝x2； (2)y＝x2.
规律方法综合练 提升能力
9．若E(a，h1)，F(b，h2)是二次函数y＝x2的图象上不同的两个点，且h1＝h2，则a，b的大小关系是( )
A．a＝b B．a＝－b
C．a>b D．无法确定
10．二次函数y1＝mx2与y2＝nx2的图象如图1－2－2所示，则m________n(填“＞”或“＜”)．
图1－2－2
拓广探究创新练 冲刺满分
11．已知点A(2，a)在抛物线y＝x2上．
(1)求点A的坐标．
(2)在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
教师详解详析
1．C
2．解：列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
13.5
6
1.5
0
1.5
6
13.5
…
描点、连线如图所示：
3．上 (0，0) y轴 ＜0 ＞0
4．A [解析] 二次函数y＝ax2(a＞0)的图象开口向上．
5．B
6.A [解析] ∵原点是二次函数图象的最低点，
∴图象开口方向向上，∴m－2>0，∴m>2.
7．C [解析] ∵a>0，∴抛物线y＝ax2的开口向上，对称轴为y轴，点A(－2，y1)在对称轴的左侧，点B(1，y2)在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离大于点B离对称轴的距离，
∴y1>y2>0，因此选C.
8．解：(1)抛物线y＝x2的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是(0，0)．
(2)抛物线y＝x2的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是(0，0)．
9．B
10．＞ [解析] 根据抛物线的开口大小与二次函数的二次项系数的关系：系数越大，开口越小，可得m＞n.
11．解：(1)∵点A(2，a)在抛物线y＝x2上，∴a＝22＝4，∴点A的坐标为(2，4)．
(2)存在．如图所示，在Rt△AOE中，AO＝＝2 .以O为顶角的顶点时，
AO＝P1O＝2 或AO＝P2O＝2 ，
∴P1(－2 ，0)，P2(2 ，0)；以A为顶角的顶点时，AO＝AP，∴P(4，0)；以P为顶角的顶点时，OP′＝AP′.
在Rt△AEP′中，AE2＋P′E2＝AP′2.
设AP′＝x，则42＋(x－2)2＝x2，
解得x＝5，∴P′(5，0)．
综上所述，使△OAP是等腰三角形的点P的坐标为(－2 ，0)或(2 ，0)或(4，0)或(5，0)．
第2课时 二次函数y＝ax2(a＜0)的图象与性质
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 二次函数y＝ax2(a<0)的图象
1．已知函数y＝－3x2，当x＜0时，函数图象在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．画出二次函数y＝－x2的图象．
知识点 2 二次函数y＝ax2(a<0)的性质
3．抛物线y＝－5x2的开口________，当x＝________时，y有最________值，是________；当x________时，y随x的增大而减小．
4．二次函数y＝－x2的最大值是( )
A．x＝－ B．x＝0 C．y＝－ D．y＝0
5．若二次函数y＝－2x2的函数值y随x的增大而增大，则自变量x的取值范围为( )
A．x>0 B．x>－2
C．x<0 D．x＜－2
6．下列关于二次函数y＝－x2的图象与性质的描述，正确的是( )
A．顶点坐标为(0，－) B．对称轴是y轴
C．当y＝－时，x＝1 D．函数有最小值
规律方法综合练 提升能力
7．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是( )
A．y＝2x B．y＝2x－1
C．y＝ D．y＝－2x2
8．函数y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2的图象的共同特征是( )
A．开口都向上，且都关于y轴对称
B．开口都向下，且都关于x轴对称
C．顶点都是原点，且都关于y轴对称
D．顶点都是原点，且都关于x轴对称
9．若二次函数y＝－x2的图象过点A(－1，y1)，B(－2，y2)，C(3，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2
C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
10．已知y＝(k＋2)xk2＋k－4是二次函数，且函数图象有最高点．
(1)求k的值；
(2)求该函数图象的顶点坐标和对称轴．
拓广探究创新练 冲刺满分
11．如图1－2－3，在抛物线y＝－x2上取三点A，B，C，设点A，B的横坐标分别为a(a＞0)，a＋1，直线BC与x轴平行．
(1)把△ABC的面积S用a表示出来；
(2)当△ABC的面积S为15时，求a的值．
图1－2－3
教师详解详析
1．C
2．解：列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝－x2
…
－9
－4
－1
0
－1
－4
－9
…
描点和连线如图所示：
3．向下 0 大 0 >0 [解析] 因为y＝－5x2的二次项系数小于0，所以抛物线的开口向下，y有最大值．
4．D [解析] 二次函数y＝ax2(a＜0)的图象的顶点坐标为(0，0)，其最大值为y＝0.
5．C 6.B
7．D [解析] 函数y＝－2x2的对称轴为直线x＝0，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，故D选项正确．
8．C
9．D [解析] 开口向下的抛物线上，离对称轴越远的点，其纵坐标越小．
10．解：(1)∵y＝(k＋2)xk2＋k－4是二次函数，∴k2＋k－4＝2，∴k2＋k－6＝0，∴(k＋3)(k－2)＝0，∴k＝－3或k＝2.
∵函数图象有最高点，∴k＋2＜0，∴k<－2，∴k的值为－3.
(2)∵k＝－3，∴二次函数的表达式为y＝－x2，
∴该函数图象的顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴．
11．解：(1)当x＝a时，y＝－x2＝－a2，则A(a，－a2)；当x＝a＋1时，y＝－x2＝－(a＋1)2，则B(a＋1，－(a＋1)2)．
∵抛物线y＝－x2的对称轴为y轴，且BC与x轴平行，∴点C与点B为对称点，
∴点C的坐标为(－(a＋1)，－(a＋1)2)，
∴△ABC的面积S＝(a＋1＋a＋1)·[－a2＋(a＋1)2]＝2a2＋3a＋1.
(2)当△ABC的面积S为15时，2a2＋3a＋1＝15，整理得2a2＋3a－14＝0，
解得a1＝－，a2＝2，而a>0，∴a的值为2.
第3课时 二次函数y＝a(x－h)2
的图象与性质
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 二次函数y＝a(x－h)2与y＝ax2的图象的关系
1．把抛物线y＝3x2向左平移1个单位后，所得的抛物线表示的二次函数的表达式为( )
A．y＝3x2－1 B．y＝3(x－1)2
C．y＝3x2＋1 D．y＝3(x＋1)2
2．将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝(x＋2)2，则下列平移过程正确的是( )
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位
3．下列关于抛物线y＝2(x－1)2与y＝2x2的说法，错误的是( )
A．形状相同 B．开口方向相同
C．顶点相同 D．对称轴不同
4．抛物线y＝(x＋3)2向________平移________个单位后得到抛物线y＝x2.
知识点 2 二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
5．函数y＝－3(x＋1)2，当x________时，y随x的增大而减小；当x＝________时，函数取得最________值，最________值为________．
6．在平面直角坐标系中，二次函数y＝3(x－2)2的图象可能是( )
图1－2－4
7．下列抛物线中，对称轴为直线x＝的是( )
A．y＝x2 B．y＝x2＋1 C．y＝ D．y＝
8．关于二次函数y＝(x＋2)2的图象，下列说法正确的是( )
A．开口向下
B．最低点是(2，0)
C．对称轴是直线x＝2
D．对称轴右侧的部分是上升的
9．在函数y＝2(x＋1)2中，y随x的增大而减小，则x的取值范围为( )
A．x＞－1 B．x＞1 C．x＜－1 D．x＜1
10．画出函数y＝－4(x－5)2的图象，并指出它的开口方向、对称轴及顶点坐标．
11．已知二次函数y＝2(x－1)2.
(1)当x＝2时，函数值y是多少？
(2)当y＝4时，x的值是多少？
(3)当x在什么范围内时，y值随着x值的增大逐渐增大？当x在什么范围内时，y值随着x值的增大逐渐减小？
(4)这个函数有最大值还是最小值，最大值或最小值是多少？这时x的值是多少？
规律方法综合练 提升能力
12．若点M(－3，a)，N(－1，b)均在函数y＝－3(x－1)2的图象上，则( )
A．aB．a＝b
C．a>b
D．a与b的大小关系不确定
13．二次函数y＝a(x－h)2的图象的顶点位置( )
A．只与a有关 B．只与h有关
C．与a，h有关 D．与a，h无关
14．2017·衡阳已知函数y＝－(x－1)2的图象上的两个点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a>2，则y1与y2的大小关系是y1________y2(填“<”“>”或“＝”)．
15．写出一个对称轴是直线x＝－3，且开口向下的抛物线所表示的二次函数的表达式_____________________________________________．
16．已知抛物线y＝(x－h)2，当x＝2时，y有最小值．
(1)写出该抛物线表示的二次函数的表达式；
(2)若(－100，y1)，(－99，y2)，(103，y3)三点都在该抛物线上，请比较y1，y2，y3的大小．
17．已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y＝3x2都相同，顶点与抛物线y＝(x＋2)2的顶点相同．
(1)求这条抛物线表示的二次函数的表达式；
(2)将(1)中的抛物线向右平移4个单位后，得到的抛物线表示的二次函数的表达式是什么？
拓广探究创新练 冲刺满分
18．将二次函数y＝2x2的图象(如图1－2－5①)向右平移1个单位，所得的二次函数的图象的顶点为D(如图1－2－5②)，并与y轴交于点A.
(1)写出平移后的二次函数图象的对称轴与点A的坐标．
(2)设平移后的二次函数图象的对称轴与函数y＝2x2的图象的交点为B，试判断四边形OABD是哪种特殊的四边形，并证明你的结论．
(3)能否在函数y＝2x2的图象上找到一点P，使△DBP是以线段DB为直角边的直角三角形？若能，请求出点P的坐标；若不能，请简要说明理由．
图1－2－5
教师详解详析
1．D [解析] 把抛物线y＝3x2向左平移1个单位后，得到的抛物线表示的函数的表达式为y＝3(x＋1)2.故选D.
2．A [解析] 将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝(x＋2)2，则这个平移过程是向左平移2个单位．故选A.
3．C 4.右 3 5.>－1 －1 大 大 0
6．D [解析] 二次函数y＝3(x－2)2的图象的顶点坐标为(2，0)，它的顶点坐标在x轴右半轴上．故选D.
7．D [解析] 已知对称轴为直线x＝，表明在抛物线y＝a(x－h)2中，h＝，在四个选项中只有抛物线y＝符合．故选D.
8．D [解析] 二次函数y＝(x＋2)2的图象在对称轴右侧的部分是上升的．
9．C [解析] 函数y＝2(x＋1)2的图象开口向上，对称轴为直线x＝－1，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故选C.
10．解：图略．图象的开口向下，对称轴为直线x＝5，顶点坐标为(5，0)．
11．解：(1)当x＝2时，y＝2×(2－1)2＝2.
(2)当y＝4时，2(x－1)2＝4，解得x＝1±.
(3)当x>1时，y值随着x值的增大逐渐增大；
当x<1时，y值随着x值的增大逐渐减小．
(4)这个函数有最小值，最小值是0，这时x的值为1.
12．A
13．B [解析] ∵二次函数y＝a(x－h)2的图象的顶点坐标为(h，0)，当h＝0时，顶点在原点处，当h＞0时，顶点在x轴的正半轴上，当h＜0时，顶点在x轴的负半轴上，∴图象的顶点位置只与h有关．
14．> [解析] 因为函数的二次项系数为－1，小于0，对称轴为直线x＝1，所以在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．因为a>2>1，所以y1>y2.故填“>”．
15．答案不唯一，如y＝－2(x＋3)2
16．解：(1)∵函数y＝(x－h)2在x＝2处取得最小值，
∴该抛物线的顶点坐标为(2，0)，则此抛物线表示的二次函数的表达式为y＝(x－2)2.
(2)由题意，知函数y＝(x－2)2有最小值，图象开口向上，函数的增减性为“左降右升”．
∵－100<－99<2，∴ y1 >y2.
又∵＝，根据抛物线的对称性，可知y2＝y3.综上所述，y1 >y2＝y3.
17．解：(1)∵所求抛物线的顶点与抛物线y＝(x＋2)2的顶点相同，∴这条抛物线表示的二次函数的表达式为y＝a(x＋2)2.
∵所求抛物线的开口方向和大小与抛物线y＝3x2都相同，∴a＝3.
∴这条抛物线表示的二次函数的表达式为y＝3(x＋2)2.
(2)点(－2，0)向右平移4个单位后得点(2，0)，故平移后的抛物线表示的二次函数的表达式为y＝3(x－2)2.
18．解：(1)平移后的二次函数图象的对称轴为直线x＝1，点A的坐标为(0，2)．
(2)四边形OABD是矩形．
证明：把x＝1代入y＝2x2，得y＝2，
∴点B的坐标为(1，2)．
根据题意，得平移后的二次函数的图象表示的函数表达式为y＝2(x－1)2，
∴顶点D的坐标为(1，0)，
∴OA＝DB＝2，OA∥BD，
∴四边形OABD是平行四边形．
又∵∠AOD＝90°，∴?OABD是矩形．
(3)能．①当∠DBP＝90°时，
∵四边形OABD是矩形，∴∠DBA＝90°，
即点P在直线AB上，直线AB表示的一次函数的表达式为y＝2.
把y＝2代入y＝2x2，得x＝±1(正值舍去)．
∴点P的坐标为(－1，2)．
②当∠BDP＝90°时，
∵四边形OABD是矩形，∴∠BDO＝90°，即点P在x轴上．
又∵点P在函数y＝2x2的图象上，
∴点P与点O重合，即点P的坐标为(0，0)．
综上所述，点P的坐标为(－1，2)或(0，0)．
第4课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 二次函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的图象的关系
1．2017·常德将抛物线y＝2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为( )
A．y＝2(x－3)2－5 B．y＝2(x＋3)2＋5
C．y＝2(x－3)2＋5 D．y＝2(x＋3)2－5
2．抛物线y＝(x－3)2＋2可以由抛物线y＝x2先向右平移________个单位，再向上平移________个单位得到．
3．函数y＝－2(x－1)2－1的图象可以由函数y＝－2(x＋2)2＋3的图象先向右平移________个单位，再向________平移________个单位得到．
知识点 2 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
4．教材习题1.2第6题变式二次函数y＝2(x＋2)2－1的图象大致是( )
图1－2－6
5．2017·长沙抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是( )
A．(3，4) B．(－3，4) C．(3，－4) D．(2，4)
6．设二次函数y＝(x－3)2－4的图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是( )
A．(1，0) B．(3，0) C．(－3，0) D．(0，－4)
7．设A(6，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋a上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系为____________(用“>”连接)．
8．指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
y＝－4(x＋3)2＋5
y＝3(x＋1)2－2
y＝(x－5)2－7
y＝－2(x－2)2＋6
9.在同一平面直角坐标系中画出函数y＝(x＋1)2－3和y＝(x－1)2＋3的图象，并写出它们的顶点坐标和对称轴．
知识点 3 根据图象的顶点坐标求二次函数的表达式
10．已知抛物线的顶点坐标为(－1，－2)，且过点(1，6)，求抛物线所表示的二次函数的表达式．
解：设二次函数的顶点式为____________，
把点(1，6)代入表达式得____________，
解方程得________，
所以抛物线所表示的二次函数的表达式为____________．
11．若某抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝x2相同，顶点坐标为(－2，1)，则此抛物线表示的二次函数的表达式为( )
A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2－1
C．y＝(x＋2)2＋1 D．y＝－(x＋2)2＋1
规律方法综合练 提升能力
12．关于二次函数y＝2－(x＋1)2，下列说法：(1)函数的图象开口向上；(2)有最小值2；(3)有最大值2；(4)函数图象的对称轴是直线x＝1；(5)函数图象的对称轴是直线x＝－1.其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．图1－2－7中有对称轴相同的两条抛物线，则下列关系不正确的是( )
图1－2－7
A．h＝m B．k＞n C．k＝n D．h＞0，k＞0
14．若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为( )
A．m＞1 B．m＞0 C．m＞－1 D．－1＜m＜0
15．在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝－2x2不动，而将x轴，y轴分别向上、向左各平移3个单位，那么新抛物线表示的二次函数的表达式是( )
A．y＝－2(x－3)2＋3 B．y＝－2(x＋3)2＋3
C．y＝－2(x－3)2－3 D．y＝－2(x＋3)2－3
16．如图1－2－8，二次函数的图象的顶点坐标是(－1，3)，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是________．
图1－2－8
17．将二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y＝(x＋1)2－1的图象．
(1)试确定a，h，k的值；
(2)请写出二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
18．如图1－2－9，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点为A(1，－4)，且图象经过点B(3，0)．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)将该二次函数的图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？请直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．
图1－2－9
拓广探究创新练 冲刺满分
19．如图1－2－10，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于点C，D.P是x轴上的一个动点．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标．
图1－2－10
教师详解详析
1．A [解析] 抛物线y＝2x2的顶点坐标为(0，0)，将(0，0)向右平移3个单位，再向下平移5个单位后的坐标为(3，－5), ∴平移后的抛物线的表达式为y＝2(x－3)2－5.故选A.
2．3 2 3.3 下 4
4．C [解析] ∵a＝2＞0，∴抛物线开口向上．
∵二次函数的表达式为y＝2(x＋2)2－1，
∴图象的顶点坐标为(－2，－1)，对称轴为直线x＝－2.
5．A 6.B
7．y2＞y3>y1
8．解：
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
y＝－4(x＋3)2＋5
向下
直线x＝－3
(－3，5)
y＝3(x＋1)2－2
向上
直线x＝－1
(－1，－2)
y＝(x－5)2－7
向上
直线x＝5
(5，－7)
y＝－2(x－2)2＋6
向下
直线x＝2
(2，6)
9.解：它们的图象如图所示．
抛物线y＝(x＋1)2－3的顶点坐标是(－1，－3)，对称轴是直线x＝－1；
抛物线y＝(x－1)2＋3的顶点坐标是(1，3)，对称轴是直线x＝1.
10．y＝a(x＋1)2－2 6＝a(1＋1)2－2 a＝2 y＝2(x＋1)2－2
11．C 12.B
13．C [解析] 由题意，可知抛物线y＝(x－h)2＋k的顶点坐标为(h，k)；抛物线y＝(x－m)2＋n的顶点坐标为(m，n)．选项A，由两抛物线有相同的对称轴，可得h＝m，故本选项不合题意；选项B，由两抛物线顶点的位置可知，k＞n，故本选项不合题意；选项C，由两抛物线顶点的位置可知，k>n，故本选项符合题意；选项D，由抛物线y＝(x－h)2＋k的位置可知，h＞0，k＞0，故本选项不合题意．
14．B
15．C [解析] 如果抛物线y＝－2x2不动，把x轴，y轴分别向上、向左平移3个单位，相当于平面直角坐标系不动，将抛物线向下、向右各平移3个单位，得到的新抛物线表示的二次函数的表达式为y＝－2(x－3)2－3.故选C.
16．x＜－1
17．解：(1)∵平移不改变图象的形状和大小，
∴a＝.
将二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象向左平移2个单位，再向上平移4个单位后，所得图象的顶点坐标为(h－2，k＋4)，故h－2＝－1，k＋4＝－1，解得h＝1，k＝－5.∴a＝，h＝1，k＝－5..
(2)由(1)知二次函数的表达式为y＝(x－1)2－5，故其图象的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－5)．
18．解：(1)设该二次函数的表达式为y＝a(x－1)2－4.
∵二次函数的图象经过点B(3，0)，
∴0＝4a－4，解得a＝1，
∴该二次函数的表达式为y＝(x－1)2－4.
(2)令y＝0，得(x－1)2－4＝0，
解方程，得x1＝3，x2＝－1，
∴二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(3，0)和(－1，0)，
∴将该二次函数的图象向右平移1个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点，平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标为(4，0)．
19．解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(1，4)，
∴设抛物线的函数表达式为y＝a(x－1)2＋4.
∵抛物线过点B(0，3)，
∴3＝a(0－1)2＋4，解得a＝－1，
∴抛物线的函数表达式为y＝－(x－1)2＋4，
即y＝－x2＋2x＋3.
(2)作点B关于x轴的对称点E(0，－3)，连接AE，交x轴于点P，连接PB，此时PA＋PB的值最小．
设直线AE的函数表达式为y＝kx＋b，
则解得
∴y＝7x－3.
当y＝0时，x＝，
∴点P的坐标为(，0)．
第5课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c
的图象与性质
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 用配方法将二次函数由一般式化为顶点式
1．将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式为( )
A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x－1)2＋4
C．y＝(x＋1)2＋2 D．y＝(x－1)2＋2
2．用配方法把二次函数y＝2x2－4x＋5化为y＝a(x－h)2＋k的形式．
解：y＝2x2－4x＋5＝2(________)＋5＝2(x2－2x＋________－________)＋5＝2[(x－1)2－________]＋5＝2(x－1)2＋________．
知识点 2 二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝a(x－h)2＋k的关系
3．2017·淄博将二次函数y＝x2＋2x－1的图象沿x轴向右平移2个单位后，得到的图象表示的二次函数的表达式是( )
A．y＝(x＋3)2－2 B．y＝(x＋3)2＋2
C．y＝(x－1)2＋2 D．y＝(x－1)2－2
4．将二次函数y＝x2－2x＋2的图象平移后得到抛物线y＝(x＋2)2－1，则其平移方式是( )
A．向左平移3个单位，向上平移2个单位
B．向右平移3个单位，向下平移2个单位
C．向右平移3个单位，向上平移2个单位
D．向左平移3个单位，向下平移2个单位
5．将抛物线y＝x2－4x＋3向左平移2个单位后，所得抛物线表示的二次函数的表达式为__________．
知识点 3 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
6．抛物线y＝x2－4x－4的对称轴是( )
A．直线x＝－2 B．直线x＝2 C．直线x＝4 D．直线x＝－4
7．2018·攀枝花抛物线y＝x2－2x＋2的顶点坐标为( )
A．(1，1) B．(－1，1)
C．(1，3) D．(－1，3)
8．对于抛物线y＝－4x＋x2－7，下列说法：①抛物线的开口向上；②对称轴为直线x＝2；③顶点坐标为(2，－3)；④点在该抛物线上；⑤在对称轴右侧，抛物线是上升的．其中正确的说法有________(填序号)．
9．若A(2，y1)，B(3，y2)是二次函数y＝x2－2x＋1的图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为y1________y2(填“>”“<”或“＝”)．
10．若抛物线y＝2x2－bx＋3的对称轴是直线x＝1，则b的值为________．
11．已知二次函数y＝x2＋4x＋3.
(1)求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
(2)当x为何值时，y随x的增大而增大？当x为何值时，y随x的增大而减小？
(3)当x为何值时，函数有最小值，最小值是多少？
规律方法综合练 提升能力
12．将二次函数y＝x2＋bx＋c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象表示的二次函数的表达式为y＝(x－1)2－4，则b，c的值分别为( )
A．2，－6 B．2，0 C．－6，8 D．－6，2
13．2017·六盘水已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图1－2－11所示，则( )
图1－2－11
A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＜0，c＞0
14．二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表：
x
…
－5
－4
－3
－2
－1
0
…
y
…
4
0
－2
－2
0
4
…
下列说法正确的是( )
A．抛物线的开口向下
B．当x＞－3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是－2
D．抛物线的对称轴是直线x＝－
15．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图1－2－12所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1图1－2－12
16．已知二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点P(－3，1)，对称轴是直线x＝－1.
(1)求m，n的值．
(2)x取什么值时，y随x的增大而减小；x取什么值时，y随x的增大而增大？
17．如图1－2－13，已知抛物线y＝ax2＋bx－3的对称轴为直线x＝1，交x轴于A，B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为(3，0)．
(1)写出点A的坐标；
(2)求抛物线的函数表达式．
图1－2－13
拓广探究创新练 冲刺满分
18．若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
(2)已知关于x的二次函数y1＝2x2－4mx＋2m2＋1和y2＝ax2＋bx＋5，其中函数y1的图象经过点A(1，1)，若函数y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．
教师详解详析
1．D [解析] y＝x2－2x＋3＝x2－2x＋1＋2＝(x－1)2＋2.
2．x2－2x 1 1 1 3
3．D [解析] ∵y＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，∴二次函数y＝x2＋2x－1的图象沿x轴向右平移2个单位后，得到的图象的函数表达式是y＝(x＋1－2)2－2＝(x－1)2－2，故选D.
4．D [解析] y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，∴函数图象的顶点为(1，1)．抛物线y＝(x＋2)2－1的顶点为(－2，－1)，故应将函数的图象向左平移3个单位，向下平移2个单位．
5．y＝x2－1
6．B [解析] 根据题意，可知a＝1，b＝－4，依据抛物线的对称轴公式x＝－求解即可．
7．A
8．①②⑤
9．< [解析] 思路一：二次函数y＝x2－2x＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．∵1<2<3，∴y1思路二：把x＝2和x＝3分别代入函数表达式中，可求得y1＝22－2×2＋1＝1，y2＝32－2×3＋1＝4，∴y110．4 [解析] 由－＝1，解得b＝4.
11．解：(1)∵－＝－＝－2，＝＝－1，∴顶点坐标为(－2，－1)，对称轴为直线x＝－2.
(2)当x＞－2时，y随x的增大而增大；
当x＜－2时，y随x的增大而减小．
(3)当x＝－2时，函数有最小值，最小值是－1.
12．B [解析] 将点(1，－4)向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到点(－1，－1)，所以原抛物线表示的二次函数的表达式为y＝(x＋1)2－1，化成一般形式为y＝x2＋2x，所以b＝2，c＝0.故选B.
13．B [解析] ∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，∴a＜0.∵二次函数图象与y轴交于负半轴，∴c＜0.又∵对称轴为直线x＝－，且－＞0，∴b＞0，故选B.
14．D [解析] 从表格中得知当x＝－3和x＝－2时，y＝－2，∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝－，故选D.
15．< [解析] 由图象，可知抛物线的对称轴为直线x＝1.∵点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，且x116．解：(1)∵二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点P(－3，1)，对称轴是直线x＝－1，
∴ 解得
即m，n的值分别为2，－2.
(2)∵a＝1＞0，∴抛物线的开口向上．
当x＜－1时，y随x的增大而减小；
当x＞－1时，y随x的增大而增大．
17．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－3的对称轴为直线x＝1，交x轴于A，B两点，其中点B的坐标为(3，0)，∴点A的横坐标为－1，
∴点A的坐标为(－1，0)．
(2)将A(－1，0)，B(3，0)代入y＝ax2＋bx－3，得解得
∴抛物线的函数表达式是y＝x2－2x－3.
18．解：(1)答案不唯一，如y＝x2和y＝2x2.
(2)将点A(1，1)代入y1＝2x2－4mx＋2m2＋1，得2－4m＋2m2＋1＝1，解得m＝1，
所以y1＝2x2－4x＋3＝2(x－1)2＋1，
即函数y1的图象的顶点坐标为(1，1)．
又∵y1＋y2＝(a＋2)x2＋(b－4)x＋8，
函数y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，
∴函数y1＋y2＝(a＋2)x2＋(b－4)x＋8的图象的顶点坐标为(1，1)，
∴解得
∴y2＝5x2－10x＋5.
当0≤x≤3时，易知x＝3时，y2最大值＝5×32－10×3＋5＝20.
*1.3 不共线三点确定二次函数的表达式
知识要点分类练 夯实基础
知识点 不共线三点确定二次函数的表达式
1．若抛物线过点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)，求此抛物线表示的函数的表达式．
解：(1)设抛物线表示的函数的表达式为__________________________________；
(2)将A，B，C三点的坐标代入得方程组___________________________________；
(3)解方程组得
(4)抛物线表示的函数的表达式为____________．
2．某二次函数的图象经过点A(0，0)，B(－1，－11)，C(1，9)，则这个二次函数的表达式是( )
A．y＝－10x2＋x B．y＝－10x2＋19x
C．y＝10x2＋x D．y＝－x2＋10x
3．已知一个二次函数，当x＝0时，y＝－5；当x＝－1时，y＝－4；当x＝－2时，y＝5，则这个二次函数的表达式是( )
A．y＝4x2＋3x－5 B．y＝2x2＋x＋5
C．y＝2x2－x＋5 D．y＝2x2＋x－5
4．如图1－3－1，该抛物线表示的二次函数的表达式是( )
图1－3－1
A．y＝x2－x＋2 B．y＝x2＋x＋2
C．y＝－x2－x＋2 D．y＝－x2＋x＋2
5．2017·百色经过A(4，0)，B(－2，0)，C(0，3)三点的抛物线表示的函数的表达式是________．
6．已知三个点的坐标，是否存在一个二次函数的图象经过这三个点？若存在，请求出这个函数表达式；若不存在，请说明理由．
(1)A(0，－1)，B(1，2)，C(－1，0)；
(2)A(0，－1)，B(1，2)，C(－1，－4)．
7．一条抛物线经过点(1，－2)，(－1，2)，(3，2)．
(1)求这条抛物线表示的二次函数的表达式；
(2)用配方法把函数表达式化为顶点式，并写出抛物线的顶点坐标．
8．已知某二次函数的图象经过点A(－1，－5)，B(0，－4)和C(1，1)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)判断点D(－2，－1)是否在此抛物线上．
规律方法综合练 提升能力
9．已知抛物线经过点A(2，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C，且OC＝2，则这条抛物线表示的二次函数的表达式为( )
A．y＝x2－x－2
B．y＝－x2＋x＋2
C．y＝x2－x－2或y＝－x2＋x＋2
D．y＝－x2－x－2或y＝x2＋x＋2
10．如图1－3－2，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交点的坐标是(0，5)，且经过两个长、宽分别为4和2的相同的长方形的顶点，则这条抛物线表示的二次函数的表达式是__________________．
图1－3－2
11．如图1－3－3，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)．
(1)求抛物线表示的二次函数的表达式；
(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；
(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，求此时抛物线所表示的函数的表达式．
图1－3－3
12．如图1－3－4，已知直线y＝－x＋2与x轴，y轴分别交于点A，B，过A，B两点的抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于点C(－1，0)．
(1)求点A，B的坐标．
(2)求抛物线表示的二次函数的表达式．
(3)抛物线在x轴上方的部分是否存在一点P，使得△ACP的面积是△ABO面积的2倍？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由，并求出能使△ACP的面积最大的点P的坐标．
图1－3－4
拓广探究创新练 冲刺满分
13．2018·永州如图1－3－5，抛物线的顶点A的坐标为(1，4)，抛物线与x轴交于B，C两点，与y轴交于点E(0，3)．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)已知点F(0，－3)，在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG＋FG的值最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
(3)如图②，连接AB，若P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB，抛物线交于点M，N(点M，N都在对称轴的右侧)，当MN的长度最大时，求△PON的面积．
图1－3－5
教师详解详析
1．(1)y＝ax2＋bx＋c (2)
(3)a＝1 b＝－4 c＝3 (4)y＝x2－4x＋3
2．D 3.A
4．D [解析] 根据题意，设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c，因为抛物线过点(－1，0)，(0，2)，(2，0)，所以
解得故抛物线表示的二次函数的表达式为y＝－x2＋x＋2.
5．y＝－x2＋x＋3 [解析] 根据题意设抛物线的表达式为y＝a(x＋2)(x－4)，把C(0，3)代入，得－8a＝3，即a＝－，则抛物线的表达式为y＝－(x＋2)(x－4)＝－x2＋x＋3.
6．解：(1)存在．设二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组解得
因此二次函数y＝2x2＋x－1的图象经过A，B，C三点．
(2)不存在．理由：设二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组解得
因此一次函数y＝3x－1的图象经过A，B，C三点，这说明不存在一个二次函数的图象经过A，B，C三点．
7．解：(1)设抛物线表示的二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c.将点(1，－2)，(－1，2)，(3，2)代入，得解得
因此这条抛物线表示的二次函数的表达式为y＝x2－2x－1.
(2)根据抛物线表示的函数的表达式，可知y＝(x－1)2－2，因此抛物线的顶点坐标为(1，－2)．
8．解：(1)设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c，
∵二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)，(1，1)，
∴解得
∴二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4.
(2)当x＝－2时，y＝－2，
∴点D不在此抛物线上．
9．C [解析] 抛物线与y轴交于点C，且OC＝2，所以点C的坐标是(0，2)或(0，－2)．当点C的坐标是(0，2)时，图象经过A，B，C三点，可以设函数表达式为y＝a(x－2)(x＋1)，把C(0，2)代入函数表达式，得－2a＝2，a＝－1，则函数表达式为y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2.同理可得当点C的坐标是(0，－2)时，函数表达式为y＝x2－x－2.故这条抛物线表示的二次函数的表达式为y＝－x2＋x＋2或y＝x2－x－2.
10．y＝－x2－x＋5 [解析] 根据题意，得抛物线经过点(0，5)，(－4，2)，(2，4)．设抛物线表示的二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c，
则，解得
故抛物线表示的二次函数的表达式为y＝－x2－x＋5.
11．解：(1)把点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)代入y＝ax2＋bx＋c，得
解得，
所以抛物线表示的二次函数的表达式为y＝x2－4x＋3.
(2)因为y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
所以抛物线的顶点坐标为(2，－1)，对称轴为直线x＝2.
(3)由(1)得y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1.平移后抛物线的顶点落在x轴上，此时抛物线所表示的函数的表达式为y＝(x－2)2.
12．解：(1)当x＝0时，y＝－×0＋2＝2，则B(0，2)；
当y＝0时，－x＋2＝0，解得x＝4，则A(4，0)．
(2)设抛物线表示的二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－4)，
把B(0，2)代入，得a×1×(－4)＝2，解得a＝－，
所以函数表达式为y＝－(x＋1)(x－4)，即y＝－x2＋x＋2.
(3)不存在．
理由：假设存在点P(t，－t2＋t＋2)(－1＜t＜4)，使得△ACP的面积是△ABO面积的2倍，所以×(4＋1)×(－t2＋t＋2)＝2××2×4，
整理，得5t2－15t＋12＝0，Δ＝(－15)2－4×5×12＜0，所以方程没有实数解，
即抛物线在x轴上方的部分不存在点P，使得△ACP的面积是△ABO面积的2倍．
当P为抛物线的顶点时，△ACP的面积最大．
因为y＝－x2＋x＋2＝－(x－)2＋，
所以此时点P的坐标为(，)．
13．解：(1)设抛物线的函数表达式为y＝a(x－1)2＋4，把点E(0，3)代入，得a(0－1)2＋4＝3，解得a＝－1，∴y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3.
(2)存在．如图①，点E关于对称轴直线x＝1的对称点为E′(2，3)，连接E′F，与对称轴直线x＝1交于点G，连接EG，此时EG＋FG的值最小．设过点E′，F的直线的函数表达式为y＝mx＋n，把E′，F两点坐标代入，得解得∴直线E′F的函数表达式为y＝3x－3，把x＝1代入，得y＝0，因此点G的坐标为(1，0)．
(3)连接AN，BN.要使MN的长度最大，即要使△ABN的面积最大，过点N作NK⊥x轴，交直线AB于点H，交x轴于点K.在y＝－x2＋2x＋3中，令y＝0，则－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，即B(3，0)，过A(1，4)，B(3，0)两点的直线的函数表达式为y＝－2x＋6.设N(t，－t2＋2t＋3)，则H(t，－2t＋6)，∴NH＝－t2＋4t－3.当NH的长度最大时，△ABN的面积最大．∵NH＝－t2＋4t－3＝－(t－2)2＋1，∴t＝2时，△ABN的面积最大，此时N(2，3)．过点A作AQ⊥x轴，垂足为Q，∴AQ＝4，OQ＝1，BQ＝BO－OQ＝3－1＝2.设直线PN交x轴于点D，∵PN⊥AB，∴∠BMD＝90°，∴∠ABD＋∠BDN＝90°.∵NK⊥x轴，∴∠DKN＝90°，∴∠DNK＋∠BDN＝90°，∴∠ABD＝∠DNK.在△ABQ和△DNK中，∠AQB＝∠DKN＝90°，∠ABD＝∠DNK，∴△ABQ∽△DNK，∴＝，∴＝，∴DK＝6，∴DO＝DK－OK＝6－2＝4，∴D(－4，0)．设直线PN的函数表达式为y＝kx＋c，把点D(－4，0)，N(2，3)代入，得解得∴直线PN的函数表达式为y＝x＋2，与y轴的交点P的坐标为(0，2)，∴S△PON＝×2×2＝2.
1.4 二次函数与一元二次方程的联系
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 二次函数与一元二次方程的关系
1．小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象，如图1－4－1，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( )
图1－4－1
A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x1＝－1，x2＝4
2．二次函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴的交点情况是( )
A．有两个相同的交点 B．有两个不同的交点
C．没有交点 D．无法确定
3．二次函数y＝x2＋x－6的图象与x轴交点的横坐标是( )
A．2和－3 B．－2和3
C．2和3 D．－2和－3
4．2018·自贡若函数y＝x2＋2x－m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为________．
5．抛物线y＝3x2＋x－10与x轴有无交点？若无，请说明理由；若有，请求出交点坐标．
知识点 2 用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
6．2017·兰州下表是二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的几组对应值：
x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
y
－1
－0.49
0.04
0.59
1.16
那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是( )
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
7．用图象法求一元二次方程x2＋2x－10＝0的近似解(精确到0.1)．
知识点 3 用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题
8．小明同学在体育课上练习推铅球，图1－4－2是某次铅球被推出后所经过的路线，铅球从点A处出手，在点B处落地，它的运行轨迹满足二次函数y＝－x2＋x＋，则小明同学这次推铅球的成绩是________ m.
图1－4－2
9．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端B处，其身体(看成一点)经过的路线是抛物线y＝－x2＋3x＋1的一部分，如图1－4－3所示．
(1)求演员弹跳时离地面的最大高度；
(2)已知人梯BC高3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演能否成功？请说明理由．
图1－4－3
规律方法综合练 提升能力
10．2017·徐州若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是( )
A．b＜1且b≠0 B．b＞1 C．0＜b＜1 D．b＜1
11．2017·苏州若二次函数y＝ax2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x的方程a(x－2)2＋1＝0的实数根为( )
A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝－2，x2＝6
C．x1＝，x2＝ D．x1＝－4，x2＝0
12．若二次函数y＝x2＋bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2＋bx＝5的解为( )
A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝1，x2＝5
C．x1＝1，x2＝－5 D．x1＝－1，x2＝5
13．2017·牡丹江若将图1－4－4中的抛物线y＝x2－2x＋c向上平移，使它经过点(2，0)，此时抛物线位于x轴下方的图象对应的x的取值范围是________．
图1－4－4
14．已知抛物线y＝(x－m)2－(x－m)，其中m是常数．
(1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点．
(2)若该抛物线的对称轴为直线x＝.
①求该抛物线表示的函数的表达式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点？
拓广探究创新练 冲刺满分
15．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰好在水面中心位置，安装在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线的形状如图1－4－5①所示．建立如图②所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(米)与水平距离x(米)之间的表达式是y＝－x2＋2x＋，请回答下列问题：
(1)柱子OA的高度为多少米？
(2)若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在水池外面？
图1－4－5
教师详解详析
1．D
2．A [解析] 在二次函数y＝x2－2x＋1中，∵Δ＝4－4＝0，∴二次函数的图象与x轴有两个相同的交点．
3．A [解析] 解方程x2＋x－6＝0，得x1＝2，x2＝－3.∴函数图象与x轴交点的横坐标是2和－3.
4．－1 [解析] 由二次函数y＝x2＋2x－m的图象与x轴有且只有一个交点，可得b2－4ac＝22－4×1×(－m)＝0，∴4m＋4＝0，解得m＝－1，∴m的值为－1.
5．解：有．令y＝0，得3x2＋x－10＝0.∵Δ＝12－4×3×(－10)＝121＞0，∴抛物线y＝3x2＋x－10与x轴有交点．∵解方程3x2＋x－10＝0，得x1＝－2，x2＝，∴抛物线y＝3x2＋x－10与x轴的交点坐标是(－2，0)，(，0)．
6．C
7．[解析] 方程x2＋2x－10＝0的解可以看成抛物线y＝x2＋2x－10与x轴交点的横坐标．因此应先画出抛物线，由抛物线与x轴交点的位置确定方程的根的取值范围，观察图象求得近似解．
解：画出函数y＝x2＋2x－10的图象如图所示．
由图象，知方程有两个根，一个根在－4和－5之间，另一个根在2和3之间．先求－5和－4之间的根，利用计算器进行探索：
x
－4.1
－4.2
－4.3
－4.4
y
－1.39
－0.76
－0.11
0.56
因此，x＝－4.3是方程的一个精确到0.1的近似解．同理，可求得另一个精确到0.1的近似解为x＝2.3.故一元二次方程x2＋2x－10＝0的近似解为x1≈－4.3，x2≈2.3.
[点评] 本题还可以将方程化为x2＝－2x＋10的形式，利用函数y＝x2和y＝－2x＋10的图象的交点求解．
8．10 [解析] 当y＝0时，－x2＋x＋＝0，解得x1＝10，x2＝－2(不合题意，舍去)，所以小明同学这次推铅球的成绩是10 m.
9．解：(1)将二次函数y＝－x2＋3x＋1化成y＝－＋的形式，
当x＝时，y有最大值，y最大值＝＝4.75.
因此，演员弹跳时离地面的最大高度是4.75米．
(2)这次表演能成功．理由：
当x＝4时，y＝－×42＋3×4＋1＝3.4.
即点B(4，3.4)在抛物线y＝－x2＋3x＋1上，
因此，这次表演能成功．
10．A [解析] ∵函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，
∴解得b＜1且b≠0.
11．A [解析] ∵二次函数y＝ax2＋1的图象经过点(－2，0)，∴4a＋1＝0，解得a＝－.
∴方程－(x－2)2＋1＝0的实数根为x1＝0，x2＝4.故选A.
12．D [解析] 由题意，得二次函数图象的对称轴为直线x＝2，由对称轴公式得－＝2，解得b＝－4，代入一元二次方程，得x1＝－1，x2＝5.故选D.
13．0＜x＜2 [解析] 设平移后抛物线的函数表达式为y＝x2－2x＋c＋b，把A(2，0)代入，得c＋b＝0，则该函数表达式为y＝x2－2x.当y＝0时，x2－2x＝0，解得x1＝0，x2＝2，∴此时抛物线位于x轴下方的图象对应的x的取值范围是0＜x＜2.
14．解：(1)证明：y＝(x－m)2－(x－m)＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m，
∵Δ＝(2m＋1)2－4(m2＋m)＝1>0，
∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点．
(2)①根据对称轴公式，得x＝－＝，∴m＝2，
∴抛物线表示的函数表达式为y＝x2－5x＋6.
②设抛物线沿y轴向上平移k个单位后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线表示的函数表达式为y＝x2－5x＋6＋k，
∵抛物线y＝x2－5x＋6＋k与x轴只有一个公共点，
∴Δ＝(－5)2－4(6＋k)＝0，解得k＝.
即把该抛物线沿y轴向上平移个单位后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
15．解：(1)当x＝0时，y＝，故柱子OA的高度为米．
(2)解方程－x2＋2x＋＝0，得x1＝－，
x2＝，∴点B的坐标为，∴OB＝.
故不计其他因素，水池的半径至少为米，才能使喷出的水流不至于落在水池外面．
1.5 第1课时 利用二次函数解决拱桥问题、面积问题
知识要点分类练 夯实基础
知识点1 利用二次函数解决拱桥问题
1．河北省赵县赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图1－5－1②所示的平面直角坐标系，其函数表达式为y＝－x2.当水面离桥拱顶部的距离DO是4 m时，水面宽度AB为( )
图1－5－1
A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m
2. 如图1－5－2，已知桥拱形状为抛物线，其函数表达式为y＝－x2，当水位线在AB位置时，水面的宽度为12 m，这时水面离桥拱顶部的距离是________．
图1－5－2
3. 如图1－5－3，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成．已知河底ED是水平的，ED＝16 m，AE＝8 m，抛物线的顶点C到ED的距离是11 m．试以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，求题中抛物线的函数表达式．
图1－5－3
知识点2 利用二次函数解决面积问题
4．某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设其边长为x厘米，当x＝3时，y＝18，那么当正方形合金板材的成本为72元时，其边长为( )
A．6厘米 B．12厘米
C．24厘米 D．36厘米
5．用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a的值不可能为( )
A．20 B．40 C．100 D．120
6．把一根长为100 cm的铁丝分为两段，并把每一段都弯成一个正方形，设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为________ cm，设这两个正方形的面积的和为y cm2，则y与x之间的函数表达式为______________；当两个正方形的边长分别为________，________时，两个正方形的面积的和最小，最小是________．
7．某小区要用篱笆围成一直角三角形花坛，花坛的斜边利用足够长的墙，两条直角边所用的篱笆长的和恰好为17米．围成的花坛是图1－5－4所示的直角三角形ABC，其中∠ACB＝90°.设AC边的长为x米，直角三角形ABC的面积为S平方米．
(1)求S和x之间的函数表达式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(2)根据小区的规划要求，所修建的直角三角形花坛的面积是30平方米，则直角三角形的两条直角边的长各为多少米？
图1－5－4
规律方法综合练 提升能力
8．图1－5－5是一个长100 m、宽80 m的矩形草坪，现欲在草坪中间修两条互相垂直且宽为x m的小路，这时草坪的面积y (m2)与宽x(m)之间的函数表达式是( )
图1－5－5
A．y＝x2－20x－8000(0B．y＝x2－180x－8000(0C．y＝x2－180x＋8000(0D．y＝x2－20x＋8000(09．某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段防护栏需要每隔0.4 m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图1－5－6)，则防护栏不锈钢支柱的总长度至少为( )
图1－5－6
A．50 m B．100 m C．160 m D．200 m
10．小明在某次投篮中，球的运行路线是抛物线y＝－x2＋3.5的一部分，如图1－5－7所示，若该球命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是( )
图1－5－7
A．4.6 m B．4.5 m C．4 m D．3.5 m
11．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m．设饲养室的长为x(m)，占地面积为y(m2)．
(1)如图1－5－8①，问饲养室的长x为多少时，占地面积y最大？
(2)如图②，现要求在图中所示位置留一个2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室的长比(1)中饲养室的长多2 m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．
图1－5－8
拓广探究创新练 冲刺满分
12．如图1－5－9，隧道的截面由抛物线和矩形的一部分构成，矩形的长是12 m，宽是4 m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝－x2＋bx＋c表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为 m.
(1)求该抛物线表示的函数的表达式，并计算出拱顶D到地面OA的距离．
(2)一辆货车装载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
(3)现要在抛物线形拱壁上安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
图1－5－9
教师详解详析
1．C
2．9 m [解析] 根据题意，当x＝6时，原式＝－×62＝－9，即水面离桥拱顶部的距离是9 m.
3．解：如图所示．由题，知抛物线的顶点坐标为(0，11)，B(8，8)，设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋11，
将点B(8，8)代入抛物线的函数表达式得a＝－，所以抛物线的函数表达式为y＝－x2＋11.
4．A [解析] 设y与x之间的函数表达式为y＝kx2，把x＝3，y＝18代入可得9k＝18，k＝2，∴y＝2x2.把y＝72代入上式得2x2＝72，
解得x＝±6.
∵正方形的边长不能为负数，∴x＝6.
故选A.
5．D [解析] 设围成的长方形的长为x cm，则由题意，得a＝x＝－x2＋20x.∵－1<0，∴a有最大值，即当x＝10时，a最大＝100.∵120＞100，∴a的值不可能为120.故选D.
6．(25－x) y＝2x2－50x＋625 12.5 cm 12.5 cm 312.5 cm2 [解析] 一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为(100－4x)＝(25－x)cm，则y＝x2＋(25－x)2＝2x2－50x＋625.∵y＝2x2－50x＋625＝2(x－12.5)2＋312.5，∴当一个正方形的边长为12.5 cm，另一个正方形的边长为25－12.5＝12.5(cm)时，两个正方形的面积的和最小，最小为312.5 cm2.
7．解：(1)∵两条直角边所用的篱笆长的和恰好为17米，围成的花坛是直角三角形ABC，其中∠ACB＝90°，AC边的长为x米，
∴BC＝(17－x)米．
又∵直角三角形ABC的面积为S平方米，
∴S＝AC·BC＝x(17－x)＝－x2＋x.
(2)当S＝30时，－x2＋x＝30，
整理，得x2－17x＋60＝0，解得x1＝12，x2＝5.
∴直角三角形的两条直角边的长分别为12米和5米．
8．C 9.C 10.B
11．解：(1)∵y＝x·＝－(x－25)2＋，
∴当x＝25时，y最大，
即当饲养室的长为25 m时，占地面积y最大．
(2)∵y＝x·＝－(x－26)2＋338，
∴当x＝26时，y最大，即当饲养室的长为26 m时，占地面积y最大．
∵26－25＝1≠2，∴小敏的说法不正确．
12．解：(1)由题意，得点B的坐标为(0，4)，点C的坐标为，
∴解得
∴该抛物线表示的函数的表达式为y＝－x2＋2x＋4.
∵y＝－x2＋2x＋4＝－(x－6)2＋10，
∴拱顶D到地面OA的距离为10 m.
(2)当x＝6＋4＝10时，y＝－x2＋2x＋4＝－×102＋2×10＋4＝＞6，
∴这辆货车能安全通过．
(3)当y＝8时，－x2＋2x＋4＝8，即x2－12x＋24＝0，
∴x1＋x2＝12，x1x2＝24，
∴两排灯的水平距离最小是
|x1－x2|＝＝＝＝＝4 (m)．
1．1 二次函数
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 二次函数的概念及自变量的取值范围
1．下列函数是二次函数的是( )
A．y＝2x＋1 B．y＝－2x＋1
C．y＝x2＋2 D．y＝x－2
2．已知二次函数y＝1－3x＋5x2，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是( )
A．a＝1，b＝－3，c＝5 B．a＝1，b＝3，c＝5
C．a＝5，b＝3，c＝1 D．a＝5，b＝－3，c＝1
3．下列函数中，是二次函数的是( )
A．圆的周长l关于它的半径r的函数
B．购买单价相同的笔记本的总钱数y(元)关于购买数量x(台)的函数
C．正三角形的面积S关于它的边长a的函数
D．当路程一定时，汽车行驶的速度v关于行驶时间t的函数
4．函数y＝－2x2＋4x中，自变量x的取值范围是______________．
知识点 2 建立简单的二次函数模型
5．在半径为4 cm的圆中，挖去一个半径为x cm的圆，剩余部分的面积为y cm2，则y关于x的函数表达式为(不要求写出自变量的取值范围)( )
A．y＝πx2－4 B．y＝π(2－x)2
C．y＝－(x2＋4) D．y＝－πx2＋16π
6．一个直角三角形的两条直角边长的和为20 cm，面积为y cm2，其中一直角边长为x cm，则y与x之间的函数表达式是(不要求写出自变量的取值范围)( )
A．y＝10x B．y＝x(20－x)
C．y＝x(20－x) D．y＝x(10－x)
7．用长为24 m的篱笆，一面利用围墙围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图1－1－1，设花圃垂直于墙的一边长为x m，面积为S m2，则S与x之间的函数表达式是(不要求写出自变量的取值范围)( )
图1－1－1
A．S＝－3x2＋24x B．S＝－2x2＋24x
C．S＝－3x2－24x D．S＝－2x2－24x
8. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品的售价，每件每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x之间的函数表达式为(不考虑x的取值范围)( )
A．y＝60(300＋20x) B．y＝(60－x)(300＋20x)
C．y＝300(60－20x) D．y＝(60－x)(300－20x)
9．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份的研发资金y(元)关于增长率x的函数表达式为y＝____________．(不要求写出自变量的取值范围)
10．教材习题1.1第3题变式如图1－1－2，一块矩形田地的长为100 m，宽为80 m，现计划在该矩形田地中修3条宽度均为x m的小路，其中两条小路与AB垂直，另一条小路与AB平行，剩余部分种庄稼．设剩余部分的面积为y m2，求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
图1－1－2
规律方法综合练 提升能力
11．下列各式：①y＝x＋2；②y＝2x2；③y＝；④y＝；⑤y＝(x－1)(x＋2)；⑥y＝2(x－1)2＋2；⑦y＝(2x＋1)(x－2)－2x2.其中y是x的二次函数的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．下列结论正确的是( )
A．关于x的二次函数y＝a(x＋2)2中，自变量的取值范围是x≠－2
B．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的自变量的取值范围是全体实数
C．在函数y＝－中，自变量的取值范围是x≠0
D．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的自变量的取值范围是所有非零实数
13．如果y＝(a＋1)x2＋ax是二次函数，那么a的取值范围是________．
图1－1－3
14．2017·常德如图1－1－3，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形ABCD的边上，若设AE＝x，正方形EFGH的面积为y，则y与x之间的函数表达式为____________________________．(不要求写出自变量的取值范围)
15．已知关于x的函数y＝(m2＋m)xm2－2m＋2.
(1)当函数是二次函数时，求m的值；
(2)当函数是一次函数时，求m的值．
16．为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款每件成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售．经过调查发现，该产品每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)满足一次函数关系y＝－10x＋1200.
(1)求出每天的利润S(元)与销售单价x(元/件)之间的函数表达式(不要求写出x的取值范围，利润＝销售额－成本)．
(2)当销售单价定为50元/件时，该公司每天获取的利润是多少？
(3)当该公司每天获取的利润是12000元时，销售单价为多少？
拓广探究创新练 冲刺满分
17．为了改善小区环境，某小区决定在一块空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙(墙的长为25 m)，其他三边用总长为60 m的栅栏围成(如图1－1－4)．设绿化带的边BC的长为x m，绿化带的面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
(2)绿化带的面积能为450 m2吗？若能，请求出此时BC的长；若不能，请说明理由．
图1－1－4
教师详解详析
1．C
2．D [解析] 将原二次函数化为一般形式为y＝5x2－3x＋1，故a＝5，b＝－3，c＝1.
3．C 4.全体实数 5.D
6．C [解析] 一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为(20－x)cm，根据题意得出y＝x(20－x)．
7．A [解析] 由题意知AB＝x m，BC＝(24－3x)m，利用长方形的面积公式可得S＝(24－3x)x＝24x－3x2.故选A.
8．B [解析] 每件降价x元，则每件售价为(60－x)元，每星期的销售量为(300＋20x)件，根据题意，得y＝(60－x)(300＋20x)．故选B.
9．a(1＋x)2
10．解：依题意，得y＝(100－2x)(80－x)＝2x2－260x＋8000.
由得x<50.
又∵x>0，
∴自变量x的取值范围是0∴所求函数表达式为y＝2x2－260x＋8000(0＜x＜50)．
11．B [解析] ②⑤⑥是二次函数．
12．B 13.a≠－1
14．y＝2x2－4x＋4
[解析] 由题中条件，可知图中的四个直角三角形是全等三角形，设AE＝x，则BE＝2－x，BF＝x.在Rt△EBF中，由勾股定理，可得EF2＝(2－x)2＋x2＝2x2－4x＋4，即y＝2x2－4x＋4.
15．解：(1)依题意，得m2－2m＋2＝2，解得m＝2或m＝0.
又因为m2＋m≠0，解得m≠0且m≠－1.
因此m＝2.
(2)依题意，得m2－2m＋2＝1，解得m＝1.
又因为m2＋m≠0，解得m≠0且m≠－1.
因此m＝1.
16．解：(1)S＝y(x－40)＝(－10x＋1200)(x－40)＝－10x2＋1600x－48000.
(2)当x＝50时，S＝－10×502＋1600×50－48000＝7000，即当销售单价定为50元/件时，该公司每天获取的利润是7000元．
(3)当S＝12000时，－10x2＋1600x－48000＝12000，解得x＝60或x＝100，经检验均符合题意，
即该公司每天获取的利润是12000元时，销售单价为60元/件或100元/件．
17．解：(1)由题意得y＝x×＝－x2＋30x，自变量x的取值范围是0＜x≤25.
(2)不能．理由如下：若绿化带的面积为450 m2，则有450＝－x2＋30x，解得x1＝x2＝30.
∵0＜x≤25，∴x＝30不合题意，∴绿化带的面积不能为450 m2.
