2．5.1 直线与圆的位置关系
知识点 直线与圆的位置关系
1．已知⊙O的半径为10，圆心O到直线l的距离为6，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是( )
图2－5－1
2．2017·岳阳模拟已知⊙O的面积为9π cm2，若圆心O到某直线的距离为3 cm，则该直线与⊙O的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．无法确定
3．在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆( )
A．与x轴相交，与y轴相切
B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交
D．与x轴相切，与y轴相离
4．若∠OAB＝30°，OA＝10 cm，则以O为圆心，6 cm为半径的圆与射线AB的位置关系是________．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则以点C为圆心，r为半径的⊙C与直线AB有何位置关系？
(1)r＝2.1； (2)r＝2.4； (3)r＝3.2.
6．如图2－5－2，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为( )
图2－5－2
A．1 B．1或5 C．3 D．5
7．已知点O到直线l的距离为6，以O为圆心，r为半径作⊙O，若⊙O上只有3个点到直线l的距离为2，则r的值为________．
8．如图2－5－3所示，半径为2的⊙P的圆心在直线y＝2x－1上运动．
(1)当⊙P与x轴相切时，写出点P的坐标．
(2)当⊙P和y轴相切时，写出点P的坐标．
(3)⊙P能否同时与x轴和y轴相切？若能，写出点P的坐标；若不能，说明理由．
图2－5－3
教师详解详析
1．B [解析] ∵⊙O的半径为10，圆心O到直线l的距离为6，∴d＝6，r＝10，∴d＜r，∴直线与圆相交．
2．A [解析] 由题意，得r＝3 cm，d＝r＝3 cm，故选A.
3．C
4．相交
5．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5.
设点C到直线AB的距离为d，则有×3×4＝×5d，解得d＝2.4.
(1)当r＝2.1时，⊙C与直线AB相离；
(2)当r＝2.4时，⊙C与直线AB相切；
(3)当r＝3.2时，⊙C与直线AB相交．
6．B [解析] 当⊙P位于y轴左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴右侧且与y轴相切时，平移的距离为5.故选B.
7．8
8．解：(1)当⊙P和x轴相切时，点P到x轴的距离为2，所以点P的纵坐标为2或－2.又因为点P在直线y＝2x－1上，所以点P的坐标为(，2)或(－，－2)．
(2)当⊙P和y轴相切时，点P到y轴的距离为2，所以点P的横坐标为2或－2.又因为点P在直线y＝2x－1上，所以点P的坐标为(2，3)或(－2，－5)．
(3)不能．理由：当⊙P同时与x轴和y轴相切时，点P的坐标为(2，2)或(2，－2)或(－2，－2)或(－2，2)．而这四点都不在直线y＝2x－1上，所以⊙P不能同时与x轴和y轴相切．
2．5.2 第1课时 切线的判定
知识点 1 切线的判定
1．下列直线中一定是圆的切线的是( )
A．与圆有公共点的直线
B．过半径外端点的直线
C．垂直于圆的半径的直线
D．过圆的半径的外端并且垂直于这条半径的直线
2．如图2－5－4，A是⊙O上一点，AO＝5，PO＝13，AP＝12，则PA与⊙O的位置关系是( )
图2－5－4
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
3．如图2－5－5，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为______________．
图2－5－5
4．如图2－5－6，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，以3 cm为半径作⊙A，当AB＝________ cm时，BC与⊙A相切．
图2－5－6
5．如图2－5－7，A，B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线，如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB的度数为________时，AC才能成为⊙O的切线．
图2－5－7
6．如图2－5－8，点A，B，D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB＝40°，则直线BC与⊙O的位置关系为________．
图2－5－8
7．教材习题2.5A组第3题变式如图2－5－9，延长⊙O的半径OA到点B，使AB＝OA，过点A作弦AC，使AC＝OA.求证：BC是⊙O的切线．
图2－5－9
8．教材习题2.5A组第2题变式如图2－5－10，直线MN过⊙O上的一点B，△ABC内接于⊙O，∠CBM＝∠A，求证：MN是⊙O的切线．
图2－5－10
知识点 2 切线的画法
9．如图2－5－11所示，过⊙O外一点P作⊙O的切线．
图2－5－11
10．如图2－5－12，P是⊙O外一点，OP交⊙O于点A，OA＝AP.甲、乙两人想作一条经过点P且与⊙O相切的直线，其作法如下：
甲：以点A为圆心，AP长为半径画弧，交⊙O于点B，则直线BP即为所求．
乙：过点A作直线MN⊥OP，以点O为圆心，OP长为半径画弧，交射线AM于点B，连接OB，交⊙O于点C，直线CP即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是( )
图2－5－12
A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误
C．两人都正确 D．两人都错误
11．如图2－5－13，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1 cm的⊙P的圆心P在射线OA上，点P与点O的距离为8 cm，如果⊙P以2 cm/s的速度由A向B匀速运动，那么________s时⊙P与直线CD相切．
图2－5－13
12．2018·邵阳如图2－5－14所示，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为D，连接BC，BC平分∠ABD.
求证：CD为⊙O的切线．
图2－5－14
13．2018·郴州如图2－5－15，已知BC是⊙O的直径，D是BC的延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°.
(1)求证：直线AD是⊙O的切线；
(2)若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．
图2－5－15
14．2017·聊城如图2－5－16，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线交于点P.
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)求证：△PBD∽△DCA；
(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．
图2－5－16
教师详解详析
1．D 2.B
3．AB⊥BC(答案不唯一)
4．6 [解析] 过点A作AD⊥BC于点D.∵AB＝AC，∠B＝30°，∴AD＝AB，即AB＝2AD.又∵BC与⊙A相切，∴AD就是⊙A的半径，∴AD＝3 cm，则AB＝2AD＝6 cm.
5．60° [解析] ∵在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠OAB＝30°，∴当∠CAB的度数为60°时，OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线．
6．相切 [解析] ∵∠BOC＝2∠A＝50°，∠OCB＝40°，∴∠OBC＝180°－50°－40°＝90°.
又∵OB为⊙O的半径，∴直线BC与⊙O相切．
7．证明：连接OC.∵AC＝OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝60°.
又OA＝AB，∴AC＝AB，
∴∠ACB＝∠OAC＝30°，
∴∠OCB＝∠OCA＋∠ACB＝90°.
又∵OC是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线．
8．证明：如图，过点B作⊙O的直径BD，连接DC，则∠D＝∠A.
又∠CBM＝∠A，
∴∠CBM＝∠D.
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠D＋∠DBC＝90°，
∴∠CBM＋∠DBC＝90°，
即∠DBM＝90°，∴BD⊥MN.
又BD是⊙O的直径，∴MN是⊙O的切线．
9．解：作法：如图，
(1)连接OP，以OP为直径作⊙O′交⊙O于A，B两点；
(2)连接PA，PB，则PA，PB所在的直线即为所求作的切线．
10．C [解析] 对于甲的作法，连接OB，如图①，先判断OP为⊙A的直径，再根据圆周角定理得到∠OBP＝90°，于是根据切线的判定定理得到PB为⊙O的切线；
对于乙的作法：如图②，通过证明△OAB≌△OCP得到∠OAB＝∠OCP＝90°，于是根据切线的判定定理得到PC为⊙O的切线．
11．3或5 [解析] 当⊙P在点O左侧与直线CD相切时，设圆心为P′，切点为E′，∵∠AOC＝30°，P′E′＝1 cm，∴OP′＝2 cm，PP′＝8－2＝6(cm)，运动时间为6÷2＝3(s)；当⊙P在点O右侧与直线CD相切时，同理可得PP″＝8＋2＝10(cm)，运动时间为10÷2＝5(s)．
12．证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC＝∠DBC.
∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB.
∴∠DBC＝∠OCB.∴OC∥BD.
∵BD⊥CD，∴OC⊥CD.
又∵OC为⊙O的半径，
∴CD为⊙O的切线．
13．解：(1)证明：连接OA.
因为BC是⊙O的直径，所以∠BAC＝90°.
因为∠AEC＝30°，AB＝AD，
所以∠B＝∠D＝30°，∠ACB＝60°，
又∠ACB＝∠CAD＋∠D，
所以∠CAD＝30°，
因为OC，OA是⊙O的半径，
所以△AOC是等边三角形，
所以∠OAC＝60°，
所以∠OAD＝90°，即OA⊥AD.
又因为OA是⊙O的半径，
所以AD是⊙O的切线．
(2)因为AE⊥BC，垂足为M，所以AE＝2AM.
在直角三角形AOM中，半径OA＝4，∠AOC＝60°，
所以AM＝OA·sin60°＝4×＝2 ，
所以AE＝2AM＝4 .
14．解：(1)证明：∵圆心O在BC上，∴BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.
连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC.∵∠DOC＝2∠DAC，∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC.∵PD∥BC，∴OD⊥PD.∵OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线．
(2)证明：∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC.∵∠ADC＝∠ABC，∴∠P＝∠ADC.∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∠ACD＋∠ABD＝180°，∴∠PBD＝∠ACD，∴△PBD∽△DCA.
(3)∵△ABC是直角三角形，∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋82＝100，∴BC＝10.∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°.∵AD平分∠BAC，∴＝，∴BD＝CD.∴在Rt△BDC中，BD2＋CD2＝BC2，即2CD2＝BC2＝100，∴CD＝BD＝5 .∵△PBD∽△DCA，∴＝，即PB＝＝＝.
第2课时 切线的性质
知识点 切线的性质
1．如图2－5－17，PA是⊙O的切线，切点为A，PA＝2 ，∠APO＝30°，则⊙O的半径为( )
图2－5－17
A．1 B. C．2 D．4
2．如图2－5－18，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB＝12，AO＝8，则OC的长为( )
图2－5－18
A．5 B．4 C．2 D．2
3．2017·莱芜如图2－5－19，AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相切于点A，DO交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝21°，则∠ADC的度数为( )
图2－5－19
A．46° B．47° C．48° D．49°
4．2017·怀化模拟如图2－5－20，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sinE的值为( )
图2－5－20
A. B. C. D.
5．2018·湘潭如图2－5－21，AB是⊙O的切线，B为切点，若∠A＝30°，则∠AOB＝________°.
图2－5－21
6．2018·长沙如图2－5－22，点A，B，D在⊙O上，∠A＝20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB＝________°.
图2－5－22
7．如图2－5－23，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，PC与⊙O相切于点C，连接AC，OC.若∠P＝20°，则∠A的度数为________．
图2－5－23
8．2017·连云港如图2－5－24，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB＝12，AC＝8，则⊙O的半径为________．
图2－5－24
9．教材练习第2题变式如图2－5－25，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，且∠ABD＝45°，求证：AD＝DC.
图2－5－25
10．如图2－5－26，在⊙O中，M是弦AB的中点，过点B作⊙O的切线，与OM的延长线交于点C.求证：∠A＝∠C.
图2－5－26
11．2018·泰安如图2－5－27，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA＝140°，则∠ACB的度数为( )
图2－5－27
A．40° B．50° C．60° D．70°
12．如图2－5－28，一宽为2 cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”(单位： cm)，则该圆的半径为________．
图2－5－28
13．2017·常德如图2－5－29，已知AB是半圆O的直径，CD与⊙O相切于点C，BE∥CO.
(1)求证：BC是∠ABE的平分线；
(2)若DC＝8，半圆O的半径OA＝6，求CE的长．
图2－5－29
14．2017·邵阳如图2－5－30所示，直线DP和圆O相切于点C，交直径AE的延长线于点P.过点C作AE的垂线，交AE于点F，交圆O于点B.作平行四边形ABCD，连接BE，DO，CO.
(1)求证：DA＝DC；
(2)求∠P及∠AEB的度数．
图2－5－30
15．如图2－5－31，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的任意一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线PD与AC交于点D.
(1)如图①，若∠CPA恰好等于30°，求∠CDP的度数；
(2)如图②，当点P与(1)中的位置不同时，∠CDP的大小是否发生变化？说明你的理由．
图2－5－31
教师详解详析
1．C [解析] 连接OA，∵PA是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥PA.
∵∠APO＝30°，∴OA＝PA＝2，
即⊙O的半径为2.
2．D
3．C [解析] 由题知∠AOC＝2∠ABC＝42°，AB是⊙O的直径，直线DA与⊙O相切于点A，∴∠OAD＝90°，∴∠ADC＝90°－∠AOD＝90°－42°＝48°.故选C.
4．A [解析] 连接OC，如图．∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE.
∵∠A＝30°，∴∠BOC＝2∠A＝60°，
∴∠E＝90°－∠BOC＝30°，
∴sinE＝sin30°＝.
5．60 [解析] 因为AB是⊙O的切线，B为切点，所以∠ABO＝90°.又因为∠A＝30°，所以∠AOB的度数为90°－30°＝60°.
6．50 [解析] ∵∠BOD＝2∠A，∠A＝20°，
∴∠BOD＝40°.
又∵BC与⊙O相切，
∴BC⊥OB，∠OBC＝90°，∴∠OCB＝50°.
7．35° [解析] 根据圆的切线性质可知，PC⊥OC，于是由直角三角形两锐角互余，得∠COB＝90°－20°＝70°.因为△AOC为等腰三角形，所以∠A＝∠ACO.由∠COB＝∠A＋∠ACO，可求出∠A＝35°.
8．5 [解析] 连接OB，根据切线的性质可知OB⊥AB，设圆的半径为r，根据勾股定理可得，r2＋AB2＝(r＋AC)2，即r2＋122＝(8＋r)2，解得r＝5.
9．证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°.∵∠ABD＝45°，∴∠A＝45°.∵BC为⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，∴∠A＋∠C＝90°，∴∠A＝∠C＝45°，∴AB＝CB.又∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，∴AD＝DC.
10．证明：连接OB.∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°，∴∠OBM＋∠CBM＝90°.∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBM.∵M是AB的中点，∴OM⊥AB，∴∠C＋∠CBM＝90°，∴∠C＝∠OBM，∴∠A＝∠C.
11．A [解析] 如图，连接OA，OB.∵BM与⊙O相切于点B，∴OB⊥BM，
∴∠BAO＝∠ABO＝∠MBA－∠OBM＝140°－90°＝50°，
∴∠AOB＝180°－50°×2＝80°，
∴∠ACB＝∠AOB＝40°.
12. cm [解析] 如图，过点O作OE⊥AB于点E，交⊙O于点D.
设OB＝r，根据垂径定理，得BE＝AB＝×6＝3 (cm)，由勾股定理得(r－2)2＋9＝r2，
解得r＝，∴该圆的半径为 cm.
13．解：(1)证明：∵BE∥CO，∴∠OCB＝∠CBE.
∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠CBE＝∠CBO，∴BC是∠ABE的平分线．
(2)在Rt△CDO中，∵DC＝8，OC＝OA＝6，
∴OD＝＝10.
∵OC∥BE，∴＝，即＝，∴CE＝4.8.
14．解：(1)证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∵CB⊥AE，∴AD⊥AE，∴∠DAO＝90°.∵DP和圆O相切于点C，∴DC⊥OC，∴∠DCO＝90°.在Rt△DAO和Rt△DCO中，DO＝DO，AO＝CO，
∴Rt△DAO≌Rt△DCO，∴DA＝DC.
(2)∵CB⊥AE，AE是⊙O的直径，∴CF＝FB＝BC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴CF＝AD.
∵CF∥DA，∴△PCF∽△PDA，∴＝＝，∴PC＝PD，DC＝PD.
由(1)知DA＝DC，∴DA＝PD，
∴在Rt△DAP中，∠P＝30°.
∵DP∥AB，∴∠FAB＝∠P＝30°.又∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠AEB＝60°.
15．解：(1)连接OC.
∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，
∴∠OCP＝90°.
∵∠CPA＝30°，∴∠COP＝60°.
∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝30°.
∵PD平分∠APC，∴∠APD＝15°，
∴∠CDP＝∠A＋∠APD＝45°.
(2)∠CDP的大小不发生变化．理由如下：
连接OC，∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°.
∵PD是∠CPA的平分线，
∴∠APC＝2∠APD.
∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，
∴∠COP＝2∠A.
在Rt△OCP中，∠OCP＝90°，
∴∠COP＋∠OPC＝90°，
∴2(∠A＋∠APD)＝90°，
∴∠CDP＝∠A＋∠APD＝45°，
即∠CDP的大小不发生变化．
*2.5.3 切线长定理
知识点 切线长定理
1．如图2－5－32，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中不一定正确的是( )
图2－5－32
A．∠1＝∠2 B．PA＝PB
C．AB⊥OP D．∠PAB＝2∠1
2．如图2－5－33，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是( )
图2－5－33
A．4 B．8 C．4 D．8
3．如图2－5－34，PA和PB是⊙O的切线，A和B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB的度数是( )
图2－5－34
A．40° B．60° C．70° D．80°
4．如图2－5－35，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠APB＝50°，则∠AOP＝________°.
图2－5－35
5．如图2－5－36，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连接PO与⊙O相交于点C，连接AC，BC.
求证：AC＝BC.
图2－5－36
6．如图2－5－37，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于点L，M，N，P.若四边形ABCD的周长为8，则AB＋CD的值为( )
图2－5－37
A．2 B．4 C．6 D．8
7．教材习题2.5B组第11题变式如图2－5－38，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，C是上一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点D，E，△PDE的周长是8 cm，∠DOE＝70°.
求：(1)PA的长；(2)∠APB的度数．
图2－5－38
8．如图2－5－39，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，点F在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．
图2－5－39
教师详解详析
1．D
2．B [解析] ∵PA，PB都是⊙O的切线，∴PA＝PB.又∵∠P＝60°，∴△PAB是等边三角形，即AB＝PA＝8.
3．C
4．65 [解析] ∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠APB＝50°，∴∠APO＝∠APB＝25°，∠OAP＝90°，∴∠AOP＝90°－25°＝65°.
5．证明：∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC.
又∵PC＝PC，∴△APC≌△BPC，∴AC＝BC.
6．B [解析] 由切线长定理可得该四边形两组对边的和相等．
7．解：(1)∵PA，PB，DE是⊙O的切线，
∴DC＝DA，EC＝EB，PA＝PB.
∵△PDE的周长是8 cm，
∴PD＋PE＋DE＝8 cm，
∴PD＋PE＋DC＋EC＝8 cm，
∴PD＋PE＋DA＋EB＝8 cm，
∴PD＋DA＋PE＋EB＝8 cm，
即PA＋PB＝8 cm.
又PA＝PB，∴PA＝4 cm.
(2)连接OA，OB，OC，则∠OAP＝90°，∠OBP＝90°.
∵DA＝DC，OA＝OC，OD＝OD，
∴△OAD≌△OCD，∴∠AOD＝∠COD，
同理∠BOE＝∠COE，∴∠COD＋∠COE＝∠AOD＋∠BOE，
∴∠AOB＝2∠DOE＝2×70°＝140°.
在四边形OAPB中，∠APB＝180°－∠AOB＝180°－140°＝40°.
8．解：设AF＝x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴DA⊥AB，CB⊥AB.
又∵AB为⊙O的直径，
∴AD，BC是⊙O的切线．
∵CF是⊙O的切线，E为切点，
∴EF＝AF＝x，CE＝CB＝1，
∴FD＝1－x，CF＝CE＋EF＝1＋x.
在Rt△CDF中，由勾股定理得CF2＝CD2＋DF2，
即(1＋x)2＝12＋(1－x)2，解得x＝，
∴DF＝1－x＝，
∴S△CDF＝×1×＝.
2．5.4 三角形的内切圆
知识点 三角形的内切圆
1．2017·广州如图2－5－40，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的( )
图2－5－40
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
2．如图2－5－41，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，点O是内心，则∠BOC的度数是( )
图2－5－41
A．105° B．115° C．120° D．130°
3．如图2－5－42，△ABC的三边与⊙O分别相切于点D，E，F，已知AB＝7 cm，AC＝5 cm，AD＝2 cm，则BC＝________cm.
图2－5－42
4.如图2－5－43，等边三角形ABC的内切圆半径为2，那么AB的长为________．
图2－5－43
5．为美化校园，学校准备在如图2－5－44所示的三角形(△ABC)空地上修建一个面积最大的圆形花坛，请在图中画出这个圆形花坛．(用圆规、直尺作图，不写作法，保留作图痕迹)
图2－5－44
6．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为( )
A．1∶∶ B．1∶2∶
C．1∶∶2 D．1∶2∶3
7．如图2－5－45，在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则它的内切圆半径是( )
图2－5－45
A. B．1 C．2 D.
8．若等腰直角三角形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为( )
A. B．2 －2 C．2－ D.－1
9．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，AC的长分别是c，a，b，根据“切线长定理”，我们易证得△ABC的内切圆半径r＝，当⊙O符合下列条件时，求其半径r.
(1)如图②，圆心O在直角三角形外，且⊙O与三角形三边均相切；
(2)如图③，圆心O在直角三角形的斜边上，且⊙O与其中一条直角边相切．
图2－5－46
教师详解详析
1．B [解析] 根据三角形的内切圆得出点O到三边的距离相等，所以点O是△ABC的三条角平分线的交点．
2．B
3．8 [解析] ∵△ABC的三边与⊙O分别相切于点D，E，F，
∴AE＝AD＝2 cm，BF＝BD＝AB－AD＝7－2＝5(cm)，
∴CF＝CE＝AC－AE＝5－2＝3(cm)，
∴BC＝BF＋CF＝5＋3＝8(cm)．故填8.
4．4
5．略
[点评] 正确画出三角形两个内角的角平分线，其交点即为所求内切圆的圆心，交点到三边的距离即为所求内切圆的半径．
6．D
7．B [解析] 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，根据勾股定理，得AB＝＝5，若设Rt△ABC的内切圆半径为R，则有R＝＝1.
8．B [解析] 如图，在等腰直角三角形ABC中，⊙D为其外接圆，可知D为AB的中点，因此AD＝2，AB＝2AD＝4，根据勾股定理可求得AC＝2 ，根据⊙E是△ABC的内切圆，可知四边形EFCG是正方形，AF＝AD，因此EF＝FC＝AC－AF＝2 －2.
故选B.
9．解：如图①，设⊙O与△ABC的边或边的延长线的三个切点分别是D，E，F，连接OE，OF，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，
∴∠OEC＝∠OFC＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴四边形CFOE是矩形．
∵OF＝OE，
∴四边形CFOE是正方形，
∴OF＝OE＝CE＝CF＝r，
由切线长定理得BD＝BE＝BC－CE＝a－r，
AF＝AD，
即b＋r＝c＋(a－r)，
∴r＝.
(2)如图②，设⊙O与直角边AC的切点为D，连接OD，则OD⊥AC，
∴OD∥BC，∴＝，
即＝，∴r＝.
