4.3 相似多边形课时作业

4.3 相似多边形课时作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如图，在矩形、锐角三角形、正五边形、直角三角形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，则外框与原图一定相似的有（　　）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
2．如图所示的三个矩形中，其中相似图形是( )
A． 甲与乙 B． 乙与丙 C． 甲与丙 D． 以上都不对
3．下列四个命题：(1)两个矩形一定相似；(2)两个菱形都有一个角是40°，那么这两个菱形相似；(3)两个正方形一定相似；(4)有一个角相等的两个等腰梯形相似. 其中正确的命题有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
4．如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，下列结论正确的　　
A．
B．
C． 六边形ABCDEF的周长六边形GHIJKL的周长
D．
5．下列说法正确的是（ ）
A． 对应边都成比例的多边形相似 B． 对应角都相等的多边形相似
C． 等边三角形都相似 D． 矩形都相似
6．取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它进行如图所示的两次对折后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，过点的两直线将矩形分成甲、乙、丙、丁四个矩形，其中在上，且，下列对于矩形是否相似的判断，何者正确（ ）
A． 甲、乙不相似 B． 甲、丁不相似 C． 丙、乙相似 D． 丙、丁相似
二、填空题
8．如图所示，，分别为平行四边形的边，中点，且，则等于________．
9．两个相似多边形的一组对应边边长分别为3cm和4.5cm，那么它们的相似比为________
三、解答题
10．我们已经学习了相似三角形，也知道了:如果两个图形形状相同而大小不一定相同．我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长对应成比例，对应角相等就称为相似图形．那么下了几组几何图形(1)两个圆；(2)两个长方形；(3)两个菱形；(4)两个正五边形．请指出哪几对是相似图形， 哪几对不是相似图形，并简单说明理由．
11．如图，矩形中，，，点，分别在，边上，，求证：矩形矩形．
12．如图，在中，与交于点，点，，，分别是，，，的中点，这样形成一个，你能证明吗？
13．若矩形的一个短边与长边的比值为，（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形
（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD。
（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由。
（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具体有一般性的结论（不需证明）
14．如图所示，矩形ABCD与矩形EFGH相似吗？若相似，请加以证明，并求出相似比；若不相似，请说明理由.
15．如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB＝4.
(1)求AD的长；
(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
16．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
设菱形相邻两个内角的度数分别为和，将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形越接近于正方形．
①若菱形的一个内角为，则该菱形的“接近度”等于________；
②当菱形的“接近度”等于________时，菱形是正方形．
设矩形相邻两条边长分别是和，将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形．
你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案.
【详解】
矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件；锐角三角形、直角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件；正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件.
故选：.
【点睛】
边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形.
2．B
【解析】
【分析】
根据矩形相似的条件，判断对应边的比是否相等即可．
【详解】
甲：矩形宽与长比为：；
乙: 矩形宽与长比为：;
丙: 矩形宽与长比为：,
所以乙和丙的宽与长的比相等，故这两个矩形相似.
故选：B.
【点睛】
考查相似多边形的判定，解题关键是运用了对应角相等,对应边成比例的多边形是相似多边形．
3．B
【解析】
【分析】
根据两个图形相似的性质及判定方法，对应边的比相等，对应角相等，两个条件同时满足，来判断正误．
【详解】
解：①两个矩形对应角都是直角相等，对应边不一定成比例，所以不一定相似，故本小题错误；
②两个菱形，有一个角相等，则其它对应角也相等，对应边成比例，所以一定相似，故本小题正确.；
③两个正方形一定相似，正确；④有一个角相等的两个等腰梯形, 对应角一定相等，但对应边的比不一定相等，故本小题错误．
正确的有2个.
故选：B.
【点睛】
本题考查的是相似多边形的判定及菱形，矩形，正方形，等腰梯形的性质及其定义．
4．B
【解析】
【分析】
根据相似多边形的性质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
A、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，∴∠E=∠K，故本选项错误；
B、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴BC=2HI，故本选项正确；
C、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长×2，故本选项错误；
D、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴S六边形ABCDEF=4S六边形GHIJKL，故本选项错误．
故选B．
【点睛】
本题考查的是相似多边形的性质，即两个相似多边形的对应角相等，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
5．C
【解析】【分析】根据相似图形的定义，对选项一一分析，排除错误答案．
【详解】A、对应边都成比例的多边形，属于形状不唯一确定的图形，故错误；
B、对应角都相等的多边形，属于形状不唯一确定的图形，故错误；
C、等边三角形形状相同，但大小不一定相同，故正确；
D、矩形属于形状不唯一确定的图形，故错误，
故选C．
【点睛】本题考查相似变换的定义，即图形的形状相同，但大小不一定相同的是相似形．
6．B
【解析】分析：根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可得解．
详解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为a．∵小长方形与原长方形相似，∴，∴a=2b．即的值是．
故选B．
点睛：本题考查了相似多边形对应边成比例的性质，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键．
7．A
【解析】
【分析】
根据矩形的性质以及已知条件AP：PC=AD：AB=4：3，求得结果，采用排除法，得出正确答案．
【详解】
如图，
∵AP：PC=AD：AB=4：3，AD∥BC，
∴，
∴甲与丁相似，故选项B错误，
∵当，
AM=EP，
∴甲与丙一定不相似，∴丙和丁不相似，故选项D错误，
∵，，DM=PF，
∴当，MP=AE，
∴甲与乙一定不相似，故选项A正确，
无法确定丙、乙是否相似，故选项C错误，
故选A．
【点睛】
本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．
8．
【解析】
【分析】
首先利用E，F分别为平行四边形的边AD，BC中点，得到AE=BF=AD=BC，然后根据□ABFF∽□ADCB，得到=，从而整理得到，求得结论．
【详解】
∵E，F分别为平行四边形的边AD，BC中点，
∴AE=BF=12AD=12BC，
∵□ABFF∽□ADCB，
∴AE/AB=AB/BC
即：AB2=AE?BC=BC?BC=12BC2，
∴=，
∴= ，
故答案为：
【点睛】
本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握其性质.
9．
【解析】
【分析】
根据题意求出两个相似多边形的一组对应边的比，根据相似多边形的性质得到答案．
【详解】
由题意得，两个相似多边形的一组对应边的比为3：4.5=，∴它们的相似比为，故答案是：．
【点睛】
考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形对应边的比叫做相似比是解题的关键．
10．详见解析.
【解析】
【分析】
根据相似图形的定义，对题目条件进行一一分析，作出正确回答．
【详解】
（1）两个圆，它们的所有对应元素都成比例，是相似图形；
（2）两个长方形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不一定是相似图形；
（3）两个菱形，边的比一定相等，而对应角不一定对应相等，不一定是相似图形；
（4）两个正五边形，它们的边长、对应角等所有元素都对应成比例，是相似图形．
【点睛】
本题考查的是相似形的识别，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．
11．证明见解析
【解析】
【分析】
根据矩形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=2cm，AD=BC=4cm，AD∥BC，求出四边形AEFB是矩形，推出∠AEF=∠EFB=90°，AB=EF=2cm，求出∠A=∠A，∠AEF=∠B，∠B=∠D，∠EFB=∠C，，根据多边形相似的判定定理推出即可．
【详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴，，，，
即，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，，，，
∴矩形矩形．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和判定，相似多边形的判定定理的应用，能求出∠A=∠A、∠AEF=∠B、∠B=∠D、∠EFB=∠C、是解此题的关键，难度适中．
声明：本试题解析著作
12．证明见解析
【解析】
【分析】
判定两个平行四边形的对应角相等、对应边的比也相等即可．
【详解】
证明：∵点，，，分别是，，，的中点，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
【点睛】
本题考查了相似图形及相似多边形的判定的知识，属于相似形的基础知识，难度不大．
13．（1）见解析；（2）矩形EBCF不是黄金矩形，理由见解析；（3）若以黄金矩形的短边为边在矩形内作（截割）正方形，则剩余矩形必为黄金矩形.
【解析】
【分析】
（1）如图，分两种情况：正方形中，AD的对边在矩形的内部或外部；
（2）矩形EBCF不是黄金矩形， 设AB=a，AD=b（a＞b），则BE=BA+AE=a+b，BE′=BA-E′A=a-b，由已知得=，所以==÷（1+）=÷（1+）=≠，对应边不成比例，故矩形EBCF不是黄金矩形；矩形E′BCF′是黄金矩形，
理由：==（1-）÷=（1-）÷=，即对应边成比例，故两个矩形相似.
（3）由（1）、（2）可发现结论：若以黄金矩形的短边为边在矩形内作（截割）正方形，则剩余矩形必为黄金矩形.
【详解】
解：（1）以AD为边可作出两个正方形AEFD与AE′F′D′（AB＞AD），如图所示
（2）矩形EBCF不是黄金矩形，理由如下：
设AB=a，AD=b（a＞b），则BE=BA+AE=a+b，BE′=BA-E′A=a-b，
由ABCD为黄金矩形，得=
∴==÷（1+）=÷（1+）=≠
∴矩形EBCF不是黄金矩形;
矩形E′BCF′是黄金矩形.
证明：如图，∵==（1-）÷=（1-）÷=
∴E′BCF′是黄金矩形
（3）由（1）、（2）可发现结论：若以黄金矩形的短边为边在矩形内作（截割）正方形，则剩余矩形必为黄金矩形.
【点睛】
本题考核知识点：相似多边形. 解题关键点：熟记对应边成比例且对应角相等的多边形相似.
14．相似，相似比为20∶13
【解析】【分析】由矩形的四个角都是直角，只需说明四条边对应成比例即可得两矩形相似.
【详解】矩形ABCD与矩形EFGH相似，相似比为20∶13，理由：
∵，，
∴====，
又∵∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠G=∠H=90°，
∴矩形ABCD∽矩形EFGH.
【点睛】本题考查了矩形相似的判定，熟知对应角相等、对应边成比例的两个多边形相似是解题的关键.
15．（1）AD＝4；（2）1∶.
【解析】
试题分析：1）矩形DMNC与矩形ABCD相似，对应边的比相等，就可以得到AD的长；（2）相似比即为是对应边的比；
试题解析：
(1)若设AD＝x(x＞0)，则DM＝.
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，
∴＝.
∴＝，即x＝4 (舍负)．
∴AD的长为4.
(2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为：＝.
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16．（1）；0；（2）不合理
【解析】
【分析】
（1）根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，相似图形的“接近度”相等．所以若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于|m-n|；当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形；
（2）不合理，举例进行说明．
【详解】
（1）①∵内角为70°，
∴与它相邻内角的度数为110°．
∴菱形的“接近度”=|m-n|=|110-70|=40．
②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．
（2）不合理．
例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a-b|却不相等．
合理定义方法不唯一．
如定义为，
越小，矩形越接近于正方形；越大，矩形与正方形的形状差异越大；
当＝1时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．
【点睛】
正确理解“接近度”的意思，矩形的“接近度”|a-b|越小，矩形越接近于正方形．这是解决问题的关键．