29．1 投影
第1课时 投影
关键问答
①如何判断影子是中心投影还是平行投影？
②怎样利用平行投影的方向及长度判断时刻？
1．如图29－1－1，太阳在房子的后方，那么房子所成的影子为( )
图29－1－1
图29－1－2
2．①下列投影是中心投影的是( )
A．中午林荫道旁树的影子 B．在空中低飞的老鹰在地上的影子
C．中午海滩上撑起的伞的影子 D．房间里花瓶在灯光下的影子
3．②如图29－1－3是北半球的某天在不同时刻的圆木棒及其影长，按编号写出圆木棒所在的时刻的先后顺序：____________．
图29－1－3
命题点 1 识别中心投影和平行投影 [热度：90%]
4.③下列图形中，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的是( )
图29－1－4
方法点拨
③分别过物体的顶端与对应影子的顶端作直线，若直线平行，则该投影是平行投影；若直线相交于一点，则该投影是中心投影.
5．④一幢4层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图29－1－5所示，则亮着灯的窗口是( )
图29－1－5
A．1号窗口 B．2号窗口
C．3号窗口 D．4号窗口
方法点拨
④分别过物体的顶端与对应影子的顶端作直线，直线的交点即为点光源的位置．
命题点 2 影子的变化规律 [热度：93%]
6.⑤在同一时刻，将两根长度不等的木杆置于阳光之下，发现它们的影长相等，那么这两根木杆可能的相对位置是( )
A．都垂直于地面 B．都平放在地面上
C．平行地斜插在地面上 D．不平行地斜插在地面上
方法点拨
⑤同一时刻，太阳光下物高与影长成正比.
7．⑥如图29－1－6，夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路灯越近，旗杆的影子( )
图29－1－6
A．越长 B．越短
C．一样长 D．随时间变化而变化
方法点拨
⑥在点光源下，物体离光源越近，影子越短．
8．⑦如图29－1－7，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一盏路灯．晚上小红由A处径直走到B处，将她在灯光照射下的影长l与行走路程s之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是( )
图29－1－7
图29－1－8
解题突破
⑦人离路灯越远，影子越长；人离路灯越近，影子越短．
9.⑧灯光下的两根小木棒A和B，它们竖直放置时影子的长度分别为lA和lB，若lA>lB，则它们的高度hA和hB满足( )
A．hA>hB B．hA解题突破
⑧竖直放置的木棒如果在灯光的正下方，它的影子是什么形状？
10．⑨如图29－1－9所示，灯在距地面3米的A处，现有一根2米长的木棒，当B处木棒绕其与地面的固定端点顺时针旋转到地面时，其影子的变化规律是( )
图29－1－9
A．先变长，后变短 B．先变短，后变长
C．不变 D．先变长，再不变，后变短
解题突破
⑨木棒旋转时，点B的运动路线是什么图形？
命题点 3 利用投影知识进行作图、计算 [热度：95%]
11.B10如图29－1－10，路灯距地面8米，当身高1.6米的小明从点A处沿AO所在的直线行走14米到达点B处时，小明影子的长度( )
图29－1－10
A．变长3.5米 B．变长2.5米
C．变短3.5米 D．变短2.5米
解题突破
当小明在A处和B处时，他的影子分别是图中的哪条线段？图中有相似三角形吗？小明在A处和B处时影子的长度能用相同的字母表示出来吗？
12．圆桌面(桌面中间有一个直径为0.4 m的圆洞)正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图29－1－11所示的圆环形阴影．已知桌面直径为1.2 m，桌面离地面1 m，若灯泡离地面3 m，则地面上圆环形阴影的面积是( )
图29－1－11
A．0.324π m2 B．0.288π m2 C．1.08π m2 D．0.72π m2
13．平面直角坐标系内，一点光源位于点A(0，4)处，线段CD⊥x轴，垂足为D，C(3，1)，则CD在x轴上的影子长为________，点C的影子的坐标为________．
14.?如图29－1－12，一根直立于水平地面的木杆AB在灯光下形成影子AC(AC＞AB)，当木杆绕点A按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知AE＝5 m，在旋转过程中，影长的最大值为5 m，最小值为3 m，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯EF的高度为________m.
图29－1－12
解题突破
?当木杆与光线垂直时，影长最长；当木杆到达地面时，影长最短.
15.?如图29－1－13，某学校旗杆AB旁边有一个半圆的时钟模型，时钟的9点和3点的刻度线刚好和地面重合，半圆的半径为2 m，旗杆的底端A到钟面9点刻度C的距离为11 m，一天小明观察到阳光下旗杆顶端B的影子刚好投到时钟的11点的刻度上，同时测得1 m长的标杆的影长为1.2 m．求旗杆AB的高度．
图29－1－13
解题突破
?过点D作DF⊥AB，旗杆AB的高度可看作是点D到AC的距离与影长DF所对应的物高的和.
16.?某数学兴趣小组开展课外活动．如图29－1－14，小明从点M以1.5米/秒的速度出发，沿射线MN方向匀速前进，2秒后到达点B，此时他(AB)在某一灯光下的影长为MB，继续按原速行走2秒到达点D，此时他(CD)在同一灯光下的影子GD仍落在其身后，并测得这个影长GD为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点F，已知A，C，E三点共线．
(1)请在图中画出光源点O的位置，并画出小明位于点F时在这个灯光下的影子FH(不写画法)；
(2)求小明到达点F时的影子FH的长．
图29－1－14
模型建立
?一般地，解决影子问题都需要用到相似三角形的性质，通过建立方程求解．平行投影中物高与影长成正比，中心投影中不同位置物高与光源的高度比不变，据此建立已知量与未知量之间的等量关系.
详解详析
1．D 2.D 3.③①②④
4．A [解析] A项，影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子长度，故本选项符合题意；
B项，影子的方向不相同，故本选项不符合题意；
C项，影子的方向不相同，故本选项不符合题意；
D项，平行投影中，相同时刻树高与影长是成正比的，选项中较高的树的影子长度小于较低的树的影子长度，故本选项不符合题意．
5．B
6．D [解析] 在同一时刻，两根长度不等的木杆置于阳光之下，当它们都垂直于地面或都平放在地面上或平行地斜插在地面上时，木杆长的影子就长；当它们不平行地斜插在地面上时，它们的影长可能相等．
7．B [解析] 由图易得AB＜CD，那么旗杆离路灯越近，它的影子越短．
8．C [解析] 根据中心投影的相关特点可知，人离路灯越远，影子越长；离路灯越近，影子越短．当小红由点A走向路灯时，影子由长变短，当走到路灯正下方时，其影长为0；当小红从路灯下方走向点B时，其影长从0又逐渐变长．故结合选项中的图象可知应选C.
9．D 10.A
11．C [解析] 如图，设小明在A处时影长为x米，在B处时影长为y米，AO长为a米．
∵AC∥OP，BD∥OP，
∴△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，
∴＝，＝，
则＝，＝，
∴x＝a，y＝a－3.5，∴x－y＝3.5，
故小明影子的长度变短3.5米．
12．D 13.1 (4，0)
14．7.5 [解析] 当木杆旋转到达地面时，影长最短，等于AB，
∵影长的最小值为3 m，∴AB＝3 m.
∵影长最大时，木杆与光线垂直，
∴△CAB∽△CFE，∴＝.
∵在Rt△ACB中，由勾股定理可求得CB＝4 m，
∴＝，
解得EF＝7.5(m)．
15．解：如图，设半圆圆心为O，连接OD，CD.
∵点D在11点的刻度上，
∴∠COD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
过点D作DE⊥OC于点E，DF⊥AB于点F，则四边形AEDF是矩形．
∵半圆的半径为2 m，
∴DE＝2×＝(m)，CE＝1 m，
∴DF＝AE＝12 m.
∵同时测得1 m长的标杆的影长为1.2 m，
∴＝，解得BF＝10(m)，
∴AB＝BF＋AF＝(10＋)m.
答：旗杆AB的高度为(10＋)m.
16．解：(1)如图，点O和FH即为所求．
(2)依题意，得BM＝BD＝2×1.5＝3(米)，
GD＝1.2米，DF＝1.5×1.5×2＝4.5(米)．
设AB＝CD＝EF＝a米，
过点O作OK⊥MN于点K，如图．
∵AB∥OK，∴△MAB∽△MOK，
∴＝，即＝.①
∵CD∥OK，∴△GCD∽△GOK，
∴＝，即＝.②
由①②得＝，
解得DK＝2(米)，
∴＝＝，FK＝DF－DK＝4.5－2＝2.5(米)．
∵EF∥OK，∴△HEF∽△HOK，
∴＝，即＝＝，
解得FH＝1.5(米)．
答：小明到达点F时的影子FH的长为1.5米．
【关键问答】
①由平行光线形成的投影是平行投影，由同一点(点光源)发出的光线形成的投影是中心投影．
②就北半球来说，同一物体从早晨到傍晚在太阳光下的影子由长变短，再变长，影子的方向是西—西北—北—东北—东．
第2课时 正投影
关键问答
①正投影具备的两个条件是什么？
②线段的正投影有几种情况？各种情况下正投影的长度与原线段的长度之间有什么样的数量关系？
③画立体图形正投影的方法是什么？
1．①把一个正六棱柱如图29－1－15摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是( )
图29－1－15
图29－1－16
2．②木棒长为1.2 m，则它的正投影的长一定( )
A．大于1.2 m B．小于1.2 m
C．等于1.2 m D．小于或等于1.2 m
3．③画出如图29－1－17所示的物体(正三棱柱)在下列投影情况下的正投影．
(1)投影线由物体前方照射到后方；
(2)投影线由物体左方照射到右方；
(3)投影线由物体上方照射到下方．
图29－1－17
命题点 1 常见几何图形的正投影 [热度：85%]
4.④夏日正午时分，一名小朋友拿着一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地面上的影子不可能是( )
图29－1－18
方法点拨
④几何图形的正投影通常分三种情况：(1)几何图形平行于投影面放置；(2)几何图形倾斜于投影面放置；(3)几何图形垂直于投影面放置.
5．⑤如图29－1－19所示的圆台的上、下底面与投影线平行，圆台的正投影是( )
图29－1－19
A．矩形 B．两条线段
C．等腰梯形 D．圆环
解题突破
⑤可以分上底面圆、下底面圆、中间曲面三部分考虑其正投影．
命题点 2 正投影的性质 [热度：84%]
6．⑥一根笔直的小木棒(记为线段AB)，它的正投影为线段CD，则下列各式中一定成立的是( )
A．AB＝CD B．AB≤CD C．AB＞CD D．AB≥CD
解题突破
⑥线段的正投影有三种情况：线段平行于投影面，线段倾斜于投影面，线段垂直于投影面．
7．⑦当某一几何体在投影面P前的摆放位置确定以后，改变它与投影面P的距离，其正投影( )
A．不发生变化 B．变大 C．变小 D．无法确定
易错警示
⑦正投影只和几何体相对于投影面的摆放位置有关，与它到投影面的距离无关．
8．下列说法正确的有( )
①线段a垂直于投影面P，则线段a在投影面P上的正投影是一个点；②长方形的对角线垂直于投影面，则长方形在投影面上的正投影是一条线段；③正方体的一面与投影面平行，则该正方体有4个面的正投影是线段；④圆锥的轴截面与投影面平行，则圆锥在投影面上的正投影是等腰三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
命题点 3 有关正投影的画法及计算 [热度：88%]解题突破
9．⑧一个正方体的某个面的对角线垂直于投影面，正方体在这个投影面上的正投影是一个面积为25 的矩形，则该正方体的体积是________．
⑧正方体与投影面的相对位置是什么样的？矩形的长和宽分别是正方体中哪条线段的正投影？
10．已知木棒AB在投影面α上的正投影为A1B1，且木棒AB的长为8 cm.
(1)如图29－1－20①，若AB平行于投影面α，求A1B1的长；
(2)⑨如图29－1－20②，若木棒AB与投影面α的倾斜角为30°，求A1B1的长．
图29－1－20
解题突破
⑨木棒与它的正投影的夹角的度数是多少？
11.B10如图29－1－21，已知一纸板的形状为正方形ABCD，其边长为10 cm，AD，BC与投影面β平行，AB，CD与投影面不平行，正方形ABCD在投影面β上的正投影为A1B1C1D1，若∠ABB1＝45°，求投影A1B1C1D1的面积．
图29－1－21
方法点拨
先判断几何图形的正投影的形状，进而通过解直角三角形解答.
详解详析
1．A 2.D
3．解：如图所示．
4．B 5.C
6．D [解析] 根据正投影的定义，当AB与投影面平行时，AB＝CD；当AB与投影面不平行时，AB＞CD.故选D.
7.A [解析] 某一几何体在投影面P前的摆放位置确定以后，改变它与投影面P的距离，其正投影的形状不发生变化．
8．D 9.125
10．解：(1)8 cm
(2)过点A作AC⊥BB1于点C，则四边形A1B1CA是矩形，∠BAC＝30°，所以AC＝4 cm，所以A1B1＝4 cm.
11．解：依题意可知投影A1B1C1D1的形状为矩形．过点A作AH⊥BB1于点H.因为∠ABB1＝45°，所以△ABH是等腰直角三角形，
所以AH＝AB＝×10＝5 (cm)，
所以A1B1＝AH＝5 cm.
又因为A1D1＝AD＝10 cm，
所以投影A1B1C1D1的面积＝A1D1·A1B1＝10×5 ＝50 (cm2)．
【关键问答】
①一是投影光线是平行光线，二是投影光线垂直于投影面．
②有三种情况：线段平行于投影面，这时正投影的长等于线段长；线段倾斜于投影面，这时正投影的长小于线段的长；线段垂直于投影面，这时正投影是一个点．
③掌握常见平面图形在不同情况下的正投影，将立体图形的正投影转化成平面图形的正投影．
29.2 三视图
第1课时 三视图
关键问答
①主视图是从哪个方向看物体得到的平面图形？
②俯视图是从哪个方向看物体得到的平面图形？
③怎样画几何体的三视图？
1．①如图29－2－1所示的正三棱柱的主视图是( )
图29－2－1
图29－2－2
2．②如图29－2－3所示的几何体的俯视图是( )
图29－2－3
图29－2－4
3．③画出如图29－2－5所示的几何体的主视图、左视图和俯视图．
图29－2－5
命题点 1 基本几何体的三视图 [热度：99%]
4．2017·济宁下列几何体中，主视图、俯视图、左视图都相同的是( )
图29－2－6
5．如图29－2－7所示的几何体是一个圆锥，下面有关它的三视图的结论中，正确的是( )
图29－2－7
A．主视图是中心对称图形
B．左视图是中心对称图形
C．主视图既是中心对称图形又是轴对称图形
D．俯视图既是中心对称图形又是轴对称图形
6．下面四个几何体：
图29－2－8
其中，俯视图是四边形的几何体有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列选项中哪个不是如图29－2－9所示的正六棱柱的三视图中的一个( )
图29－2－9
图29－2－10
命题点 2 组合体的三视图 [热度：98%]
8.④有两个完全相同的长方体按如图29－2－11所示的方式摆放，其主视图是( )
图29－2－11
图29－2－12
方法点拨
④在画三视图时，看得见的部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线.
9．如图29－2－13，该几何体的左视图是( )
图29－2－13
图29－2－14
10．如图29－2－15，圆柱体中挖去一个小圆柱，那么这个几何体的主视图和俯视图分别为( )
图29－2－15
图29－2－16
11．将图29－2－17绕AB边所在直线旋转一周，所得几何体的俯视图为( )
图29－2－17
图29－2－18
12．如图29－2－19所示的几何体是由5个大小相同的小正方体摆成的，若取走小正方体①，则下列说法正确的是( )
图29－2－19
A．主视图与左视图不变
B．左视图与俯视图不变
C．主视图与俯视图改变
D．左视图与俯视图改变
13．如图29－2－20，一个正方体切去一个三棱锥后所得几何体的俯视图是( )
图29－2－20
图29－2－21
命题点 3 画三视图 [热度：90%]
14．如图29－2－22是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体．
(1)请画出这个几何体的左视图和俯视图；
(2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的俯视图和左视图不变，那么最多可以再添加几个小正方体？
图29－2－22
15．画出如图29－2－23所示的立体图形的三视图．
图29－2－23
命题点 4 与视图有关的计算 [热度：94%]
16.⑤由6个大小相同的小正方体搭成的几何体如图29－2－24所示，则关于它的视图说法正确的是( )
图29－2－24
A．主视图的面积最大
B．左视图的面积最大
C．俯视图的面积最大
D．三个视图的面积一样大
解题突破
⑤先画出几何体的三视图，分别计算出其面积，再比较大小.
17．(1)如图29－2－25①是一个组合几何体，如图29－2－25②是它的两种视图，在横线上填写出两种视图的名称；
图29－2－25
(2)⑥根据两种视图中的尺寸(单位： cm)，计算这个组合几何体的表面积(π取3.14)．
解题突破
⑥该组合几何体的表面积等于长方体的表面积加上圆柱的侧面积．
18.如图29－2－26，一透明的敞口正方体容器ABCD－A′B′C′D′内装有一些有色液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α(注：图①中∠CBE＝α，图②中BQ＝3 dm)．
探究：如图①，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，其三视图及尺寸如图②所示，那么图①中，液体形状为________(填几何体的名称)；利用图②中的数据，可以算出图①中液体的体积为________dm3(提示：V＝底面积×高)．
⑦拓展：在图①的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出．从正面看，若液面与棱C′C或CB交于点P，点Q始终在棱BB′上，设PC＝x dm，请你在图③中把此容器的主视图补充完整，并用含x的代数式表示BQ的长度．
图29－2－26
解题突破
⑦向左或向右旋转容器时，利用液体的体积不变可用含x的代数式表示BQ的长度.
详解详析
1．B 2.C
3．解：如图所示．
4．B [解析] 根据几何体“三视图的定义”，题图中B选项球的主视图、俯视图、左视图都是圆，其他三个选项几何体的主视图、俯视图、左视图不全一样．
5．D [解析] 主视图是等腰三角形，不是中心对称图形，故A选项错误；左视图是等腰三角形，不是中心对称图形，故B选项错误；主视图是等腰三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故C选项错误；俯视图是圆(带圆心)，既是中心对称图形又是轴对称图形，故D选项正确．
6．B [解析] 俯视图是四边形的几何体有正方体和三棱柱．
7．A [解析] 正六棱柱的主视图是选项D，左视图是选项C，俯视图是选项B，只有选项A不是其三视图中的一个．
8．C 9.C 10.B
11．B [解析] 将图形绕AB边所在直线旋转一周后得到的是由上面一个圆锥体、下面一个圆柱体组合而成的几何体，从上往下看其俯视图是外面一个实线的大圆(包括圆心)，里面一个虚线的小圆．故选B.
12．D 13.D
14．解：(1)画图如下：
(2)最多可以再添加4个小正方体．
15．解：如图所示：
16．C
17．解：(1)如图所示：
(2)表面积＝2×(8×5＋8×2＋5×2)＋4×π×6
≈2×(8×5＋8×2＋5×2)＋4×3.14×6
＝207.36(cm2)．
18．解：探究：三棱柱 24
拓展：当容器向左旋转时，如图①.
∵液体体积不变，
∴(x＋BQ)×4×4＝24，∴BQ＝－x＋3.
当容器向右旋转时，如图②.
同理可得×(4－x)×BQ×4＝24，
∴BQ＝.
【关键问答】
①在正面内得到的由前向后观察物体的视图是主视图．
②在水平面内得到的由上向下观察物体的视图是俯视图．
③画三视图时，主视图在左上边，它的正下方是俯视图，左视图在主视图的右边，同时注意主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等．另外，画图时还规定：看得见的部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线．
第2课时 由三视图想象出立体图形
关键问答
①如何由三视图判断几何体？
②从主视图、左视图、俯视图上分别能读出几何体的哪些量？
1．①一个几何体的三视图如图29－2－27所示，这个几何体是( )
图29－2－27
A．圆锥 B．圆柱 C．三棱锥 D．三棱柱
2．②某商品的外包装盒的三视图如图29－2－28所示，则这个包装盒的侧面积为( )
图29－2－28
A．150π cm2 B．200π cm2 C．300π cm2 D．400π cm2
命题点 1 由三视图判断简单几何体 [热度：97%]
3.③某几何体的主视图和左视图如图29－2－29所示，则该几何体可能是( )
图29－2－29
A．长方体 B．圆锥 C．圆柱 D．球
解题突破
③熟记一些常见几何体的三视图对解决此类问题非常有帮助.
4．下列各视图中，能组成一个立体图形的三种视图的是( )
图29－2－30
A．①②⑥ B．①③⑤ C．②③⑤ D．②③④
命题点 2 由三视图判断组合体 [热度：96%]
5.④某几何体的主视图和左视图完全一样，均如图29－2－31所示，则该几何体的俯视图不可能是( )
图29－2－31
图29－2－32
模型建立
④由两种视图确定的几何体是不唯一的，事实上，由三种视图确定的几何体也可能不唯一.
6．如图29－2－33所示的三视图所对应的几何体是( )
图29－2－33
图29－2－34
命题点 3 由三视图计算对应几何体的有关量 [热度：94%]
7．一个几何体的三视图如图29－2－35所示，则该几何体的表面积为( )
图29－2－35
A．4π B．3π C．2π＋4 D．3π＋4
8．2017·凉山州如图29－2－36是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是( )
图29－2－36
A．2 π B．10π C．20π D．4 π
9.⑤一个三棱锥的三视图如图29－2－37所示，这个三棱锥最长棱的长度为________．
图29－2－37
方法点拨
⑤由三视图还原三棱锥，利用三视图，结合勾股定理分别计算各条棱长．
10．⑥如图29－2－38是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为________．
图29－2－38
解题突破
⑥该几何体的体积为大圆柱的体积减去小圆柱的体积.
11．已知直三棱柱的三视图如图29－2－39，在△PMN中，∠MPN＝90°，PN＝4，sin∠PMN＝.
(1)求BC及FG的长；
(2)若主视图与左视图相似，求AB的长；
(3)在(2)的条件下，求直三棱柱的表面积．
图29－2－39
命题点 4 由三视图推断小正方体的个数 [热度：98%]
12．如图29－2－40是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，则该几何体的左视图是( )
图29－2－40
图29－2－41
13．如图29－2－42是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最少是( )
图29－2－42
A．5 B．6 C．7 D．8
14.2017·齐齐哈尔一个几何体的主视图和俯视图如图29－2－43所示，若这个几何体最多由a个小正方体组成，最少由b个小正方体组成，则a＋b等于( )
图29－2－43
A．10 B．11 C．12 D．13
15．⑦如图29－2－44是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图，则组成这个几何体的小立方体的个数可能是( )
图29－2－44
A．5或6 B．5或7 C．4或5或6 D．5或6或7
方法点拨
⑦已知组合体的左视图、俯视图，判断组成该几何体的小正方体的数量范围的步骤：在俯视图的方格中标上由左视图所看到的小正方体的最高层数，将这些数字填入所在横行上的每一个方格中，则可得到组成这个几何体所需最多的小正方体的个数；因为由俯视图可以确定底层小正方体的个数，所以方格中的数字最小为1，所以只要将每横行上的数字留一个不变，其余的均改为1，就可以确定组成这个几何体所需最少的小正方体的个数．
16．⑧如图29－2－45是某种工件的三视图，某工厂要铸造5000件这种铁质工件，要用去多少吨生铁？工件铸成后，表面需要涂一层防锈漆，已知1 kg防锈漆可以涂4 m2的铁器面，涂完这批工件要用多少千克防锈漆？(铁的密度为7.8 g/cm3，图中尺寸单位：cm)
图29－2－45
解题突破
⑧先根据三视图计算工件的体积和表面积，再利用体积乘密度等于质量，表面积(m2)除以4等于所需防锈漆的千克数进行计算.
详解详析
1．D 2.A 3.C
4．C [解析] ②③⑤能组成一个直四棱柱的三视图．
5．C 6.C
7．D [解析] 由该几何体的三视图可知其为半个圆柱，半圆柱的直径为2，高为2，
故其表面积为π×12＋(π＋2)×2＝3π＋4.
故选D.
8．A [解析] 由三视图可知此几何体为圆锥，根据三视图的尺寸可得圆锥的底面半径为2，高为3，∴圆锥的母线长为＝，∴圆锥的底面周长＝圆锥的侧面展开扇形的弧长＝2πr＝2π×2＝4π，∴圆锥的侧面积＝×4π×＝2 π.故选A.
9．2 [解析] 还原几何体如图，由题意得AB＝2，BC＝2，DE＝BE＝CE＝1，BD＝CD＝，AD＝，AC＝2 .故最长棱的长度为2 .
10．70π
11．解：(1)在俯视图中过点P作PK⊥MN于点K，由图可知BC＝MN，FG＝PK.
∵在Rt△PMN中，sin∠PMN＝＝，PN＝4，
∴MN＝5，∴BC＝5，
∴PM＝＝3.
又∵sin∠PMN＝＝，
∴PK＝×3＝，
∴FG＝.
(2)∵矩形ABCD与矩形EFGH相似，且AB＝EF，
∴＝，即＝，则AB2＝12，
∴AB＝2 (负值已舍去)．
(3)直三棱柱的表面积为×3×4×2＋(5＋3＋4)×2 ＝12＋24 .
12．A 13.A
14．C [解析] 根据主视图可知俯视图中第一列最高有3块，第二列最高有1块，
∴a＝3×2＋1＝7，b＝3＋1＋1＝5，
∴a＋b＝7＋5＝12.
15．D [解析] 由俯视图易得最底层有4个小立方体，由左视图易得第二层最多有3个小立方体，最少有1个小立方体，那么小立方体的个数可能是5或6或7.
16．解：∵一件工件的体积为(30×10＋10×10)×20＝8000(cm3)，
∴一件工件的质量为8000×7.8＝62400(g)，
62400 g＝62.4 kg，
∴铸造5000件这种铁质工件需生铁5000×62.4＝312000 kg＝312(t)．
∵一件工件的表面积为2×(30×20＋20×20＋10×30＋10×10)＝2800(cm2)＝0.28(m2)，
∴涂完这批工件需要防锈漆5000×0.28÷4＝350(kg)．
【关键问答】
①由三视图判断几何体，首先分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形并进行取舍．
②从主视图上能读出几何体的长与高，从俯视图上能读出几何体的长与宽，从左视图上能读出几何体的宽与高．
第3课时 由三视图到展开图
关键问答
①长方体、正方体、圆柱、圆锥等常见几何体的展开图分别是什么？怎样根据物体的展开图画其三视图？
②怎样画物体的侧面展开图？怎样根据物体的三视图画其展开图？
1．①某几何体的侧面展开图如图29－2－46所示，那么它的左视图为( )
图29－2－46
图29－2－47
2．②如图29－2－48是某几何体的三视图，则该几何体的侧面展开图是( )
图29－2－48
图29－2－49
命题点 1 由物体的展开图想象物体的三视图 [热度：96%]
3．如图29－2－50是一个几何体的展开图，下面哪一个不是它的三视图中的一个( )
图29－2－50
图29－2－51
4．如图29－2－52是某个几何体的展开图，则把该几何体平放在桌面上时，其俯视图为( )
图29－2－52
图29－2－53
5.③如图29－2－54是某几何体的展开图．
(1)这个几何体的名称是________；
(2)画出这个几何体的三视图；
(3)求这个几何体的体积(π取3.14)．
图29－2－54
解题突破
③该几何体是什么？20是该几何体哪部分的长度？10是该几何体哪部分的长度？
命题点 2 由三视图到几何体的展开图 [热度：87%]
6．④如图29－2－55是一圆锥的左视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角的度数为( )
图29－2－55
A．90° B．120° C．135° D．150°
解题突破
④根据圆锥的底面半径求得圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长，根据勾股定理得到圆锥的母线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图(扇形)的圆心角度数．
7．一个几何体的三视图如图29－2－56所示，则这个几何体的侧面展开图的面积是( )
图29－2－56
A．40π B．24π C．20π D．12π
8．如图29－2－57是一个几何体的三视图(含有数据)，则这个几何体的侧面展开图的面积为________．
图29－2－57
9．如图29－2－58是三个物体的三视图和展开图，请将同一物体的三视图和展开图搭配起来．
图29－2－58
A与________；B与________；C与________．
10．如图29－2－59是一个几何体的三视图，任意画出它的一种展开图，若主视图的高为25，俯视图中等边三角形的边长为10，求这个几何体的表面积．
图29－2－59
11.⑤如图29－2－60是一个几何体的三视图，根据图中所标数据，求该几何体的表面积和体积．
图29－2－60
解题突破
⑤该几何体是由哪两个常见几何体组合而成的？如何求它们的表面积和体积？
12．如图29－2－61是一个几何体的三视图．
(1)写出这个几何体的名称；
(2)根据图中所标数据计算这个几何体的表面积；
解题突破
⑥最短路线长为展开图中两点之间的线段长．(3)⑥如果一只蚂蚁要从这个几何体上的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，请你求出这只蚂蚁的最短路线长．
图29－2－61
详解详析
1．B 2.A
3．D [解析] 由几何体的展开图可知该几何体为六棱柱，A项是它的俯视图，B项是它的主视图，C项是它的左视图．故选D.
4．B [解析] 由几何体的展开图可知该几何体是圆锥，则它的俯视图为带圆心的圆．故选B.
5．解：(1)圆柱
(2)这个几何体的三视图如图：
(3)体积为πr2h≈3.14×52×20＝1570.
6．B [解析] ∵圆锥的底面半径为3，∴圆锥的底面周长为6π.∵圆锥的高为6 ，∴圆锥的母线长为＝9.设扇形的圆心角度数为n°，∴＝6π，解得n＝120.
7．C [解析] 由几何体的三视图可知该几何体为圆锥，且底面直径为8，圆锥的高为3，由勾股定理可得圆锥的母线长为5，则侧面展开图的面积为×π×8×5＝20π.故选C.
8．2π 9.c a b
10．解：画展开图略．
根据题意可得等边三角形的高为＝5 ，
∴俯视图的面积为×10×5 ＝25 ，
∴这个几何体的表面积为3×25×10＋2×25 ＝750＋50 .
11．解：该几何体上、下部分分别是圆柱、长方体，根据图中数据，得
表面积为32×20π＋30×40×2＋25×40×2＋25×30×2＝(5900＋640π)cm2.
体积为25×30×40＋32×102π＝(30000＋3200π)cm3.
12．解：(1)圆锥．
(2)表面积为S＝S侧面＋S底面＝12π＋4π＝16π(厘米2)．
(3)如图，将圆锥的侧面展开，线段BD的长为所求的最短路线长．
设∠BAB′＝n°.
∵＝4π，∴n＝120，即∠BAB′＝120°.
∵C为′的中点，
∴∠ADB＝90°，∠BAD＝60°，
∴BD＝AB·sin∠BAD＝6×＝3 (厘米)，
故这只蚂蚁的最短路线长为3 厘米．
【关键问答】
①常见几何体的展开图略．
先根据展开图想象出物体的形状，再画其三视图．
②画物体的侧面展开图的方法略．
先根据三视图想象出物体的形状，再画其展开图．
29.3 课题学习 制作立体模型
关键问答
①红心标志所在面的相邻面包括什么图形？
②已知物体的三视图，如何制作相应的立体模型？是不是所有的平面图形都能折叠成立体图形？
1．①将图29－3－1①围成如图②所示的正方体，则图①中的红心“”标志所在的正方形是正方体中的( )
图29－3－1
A．面CDHE B．面BCEF
C．面ABFG D．面ADHG
2．②一物体的三视图如图29－3－2所示，用硬纸板做出相应的实物模型．
图29－3－2
命题点 1 由平面图形折叠成立体图形 [热度：82%]
3.③下列图形经过折叠不能围成棱柱的是( )
图29－3－3
方法点拨
③可通过实际操作进行判断.
4．小明用纸(如图29－3－4)折成了一个正方体的盒子，里面装了一瓶墨水，与其他空盒子混放在一起，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中( )
图29－3－4
图29－3－5
5.④如图29－3－6，将一张边长为6的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正六边形的棱柱，则这个六棱柱的侧面积为__________．
图29－3－6
方法点拨
④根据示意图及几何体的特点挖掘题目中包含的相等关系，并利用相等关系进行相关量的计算.
6．用如图29－3－7所示的材料拼成一个圆柱，则圆柱的表面积为________．(π取3.14)
图29－3－7
命题点 2 由三视图制作立体图形 [热度：80%]
7.⑤按照图29－3－8给出的三视图，用马铃薯(或萝卜)做出相应的实物模型，并求出此三视图所描述的几何体的表面积．
图29－3－8
解题突破
⑤熟悉常见立体图形摆放位置不同时所得的三视图.
8．如图29－3－9是某校升旗台的三视图(单位： cm)．
(1)用萝卜做出台阶的立体模型；
(2)计算出台阶的体积．
图29－3－9
命题点 3 三视图和展开图之间的关系 [热度：89%]
9.如图29－3－10是某几何体的三视图．
(1)画出此几何体的示意图及其展开图；
(2)⑥计算出此几何体的表面积(结果保留π)．
图29－3－10
易错警示
⑥对于多个几何体的组合体而言，几何体之间的接触面不能计入组合体的表面积，但几何体与水平面的接触面应计入其表面积.
10.⑦【问题】如图29－3－11①是底面半径为1 cm，母线长为2 cm的圆锥模型，如图②是底面半径为1 cm，高为2 cm的圆柱模型．现要用长为2π cm，宽为4 cm的长方形彩纸(如图③)装饰圆柱、圆锥模型表面．已知一个圆柱和一个圆锥模型为一套，长方形彩纸共有122张，用这些纸最多能装饰多少套模型呢？
【对话】老师：“长方形纸可以怎样裁剪呢？”
学生甲：“可按图④方式裁剪出2个长方形．”
学生乙：“可按图⑤方式裁剪出6个小圆．”
学生丙：“可按图⑥方式裁剪出1个大圆和2个小圆．”
老师：“尽管还有其他裁剪方法，但为裁剪方便，我们就仅用这三名同学的裁剪方法．”
【解决】(1)计算：圆柱的侧面积是________ cm2，圆锥的侧面积是________ cm2；
(2)1张长方形彩纸剪拼后最多能装饰________个圆锥模型，5张长方形彩纸剪拼后最多能装饰________个圆柱模型；
(3)求用122张彩纸最多能装饰的圆锥、圆柱模型套数．
图29－3－11
解题突破
⑦装饰圆锥、圆柱模型所需的彩纸数不能超过题中所给的彩纸数，这是问题中所隐含的不等关系.
详解详析
1．A
2．解：第一步：由三视图可知该物体为三棱柱；第二步：用硬纸板制作两个底面和三个侧面；第三步：将做好的五个纸板粘贴．做出的实物模型如图．
3．D [解析] A项，能围成四棱柱；B项，能围成五棱柱；C项，能围成三棱柱；D项，经过折叠不能围成棱柱．
4．A [解析] 根据展开图中阴影三角形的位置可判断B，D错误，根据圆的位置可以判断C错误．
5．36－12 [解析] ∵将一张边长为6的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正六边形的棱柱，
∴这个正六边形的边长为1，
∴这个六棱柱的侧面展开图是长为6，宽为6－2 的长方形，
∴其侧面积为6×(6－2 )＝36－12 .
6．125.6 cm2 [解析] 依题意有2πr＋2r＝16.56，解得r＝2，
S表＝3.14×2×2×2＋3.14×2×2×(2×4)＝125.6(cm2)．
故圆柱的表面积是125.6 cm2.
7．解：实物模型如图所示．由三视图可知，该几何体的上部分为长方体，下部分为平放着的四棱柱，平放的四棱柱的高为4，底面等腰梯形的上底长为2，下底长为6，高为2，则其腰长为2 ，∴长方体的表面积为2×4×3＋2×2×2＝32，
四棱柱的两个底面积之和为×2＝16，侧面积为(2 ＋2 ＋6)×4＝16 ＋24.
故该几何体的表面积为32＋16＋16 ＋24＝72＋16 .
8．解：(1)立体模型如图．
(2)台阶的体积可以转化为三个长方体的体积，V＝150×(800＋1600＋2400)＝150×4800＝720000(cm3)．
9．解：(1)由三视图可知，该几何体由上部分是底面直径为12，高为5的圆锥和下部分是底面直径为12，高为20的圆柱组成．此几何体的示意图及其展开图如下：
(2)圆锥的底面半径r＝6，由勾股定理，得圆锥的母线长为，
所以圆锥的侧面积＝π·12×＝6 π，
所以此几何体的表面积＝π·62＋π·12×20＋6 π＝276π＋6 π.
10．解：(1)圆柱的底面周长是2π cm，则圆柱的侧面积是2π×2＝4π(cm2)，圆锥的侧面积是×2π×2＝2π(cm2)．
故填：4π，2π.
(2)圆柱的底面积是π cm2，则圆柱的表面积是6π cm2，圆锥的表面积是3π cm2.
1张纸的面积是4×2π＝8π(cm2)，
则1张长方形彩纸剪拼后最多能装饰2个圆锥模型，5张长方形彩纸剪拼后最多能装饰6个圆柱模型．
故填：2，6.
(3)设用122张彩纸能装饰x套模型，则装饰圆锥模型需要张纸，装饰圆柱模型需要x张纸，
∴＋x≤122，解得x≤.
∵x是6的倍数，∴取x＝90，装饰90套模型后剩余长方形纸片的张数是122－(45＋75)＝2(张)．
∵2张纸够装饰一套模型，
∴122张彩纸最多能装饰91套模型．
【关键问答】
①红心标志所在面的相邻面包括的图形有等边三角形、直角三角形和正方形．
②根据三视图制作立体模型的方法有两种：
(1)先根据三视图想象出立体模型，然后画出立体模型的各个侧面，再将它们粘合起来；
(2)先根据三视图想象出立体模型，然后直接用马铃薯(或萝卜)刻制出来．
不是所有的平面图形都能折叠成立体图形．
