3．2 直棱柱、圆锥的侧面展开图
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 直棱柱及其侧面展开图
1．下列五种立体图形中，是棱柱的有( )
图3－2－1
A．①② B．④ C．④⑤ D．③④
2．一个正方体的侧面展开图有几个全等的正方形( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
3．直三棱柱的底面边长都是3厘米，侧棱长为5厘米，则此三棱柱共有________个侧面，侧面展开图的面积为________平方厘米．
知识点 2 圆锥的侧面展开图
4．若圆锥的母线长为3，底面圆的半径为2，则圆锥的侧面积是( )
A．4π B．6π C．10π D．12π
5．一个圆锥的侧面展开图是半径为8 cm、圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为( )
A. cm B. cm C．3 cm D. cm
6．2017·宁夏如图3－2－2，圆锥的底面圆的半径r＝3，高h＝4，则圆锥的侧面积是( )
图3－2－2
A．12π B．15π C．24π D．30π
规律方法综合练 提升能力
7．一个长方体的底面是面积为5平方米的正方形，若它的侧面展开图正好是一个正方形，则这个长方体的侧面积是( )
A．400平方米 B．100平方米
C．80平方米 D．50平方米
8．如图3－2－3，圆锥形的烟囱帽的底面半径为15 cm，母线长为16 cm，制作这样一个烟囱帽所需要的铁皮面积至少是( )
图3－2－3
A．120π cm2 B．240π cm2
C．480π cm2 D．120 cm2
9．如果圆柱的侧面展开图是相邻两边长分别为8，8π的矩形，那么这个圆柱的体积等于________．
10．如图3－2－4，有一直径是1 m的圆形铁皮，要从中剪出一个圆心角是120°的扇形ABC.
(1)求被剪掉部分(阴影部分)的面积；
(2)若用剪出的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥底面圆的半径是多少？
图3－2－4
拓广探究创新练 冲刺满分
11．如图3－2－5，圆锥的侧面展开图是一个半圆．
(1)求母线AB与高AO的夹角；
(2)当圆锥的母线长为10 cm时，求圆锥的表面积．
图3－2－5
教师详解详析
1．D [解析] ①是三棱锥，故①不符合题意．②是圆锥，故②不符合题意．③是四棱柱，故③符合题意．④是三棱柱，故④符合题意．⑤是圆柱，故⑤不符合题意．
2．C
3．3 45
4．B
5．A [解析]设此圆锥底面圆的半径为r cm，根据圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长等于圆锥底面圆的周长，可得＝2πr，解得r＝.
6．B [解析] 圆锥的侧面积公式是S＝πrl，其中母线长l可以根据勾股定理求得，即l＝.
7．C
8．B
9．128或128π [解析] ①若圆柱的底面周长为8，高为8π，则圆柱的体积为π×()2×8π＝π××8π＝128；②若圆柱的底面周长为8π，高为8，则圆柱的体积为π×()2×8＝π×16×8＝128π.故这个圆柱的体积可以是128或128π.
10．[解析] (1)S阴影＝S圆－S扇形ABC.
(2)由的长度＝该圆锥底面圆的周长可求得．
解：(1)如图，设O为圆心，连接OA，OB，OC.
则OA＝OC＝OB.
∵AB＝AC，
∴△ABO≌△ACO(SSS)．
又∵∠BAC＝120°，
∴∠BAO＝∠CAO＝60°，
故△ABO是等边三角形，
∴AB＝OA＝ m，
∴S扇形ABC＝π×＝(m2)，
∴S阴影＝π×－＝(m2)．
(2)在扇形ABC中，的长为π×＝(m)．
设围成的圆锥的底面圆的半径为r m，则2πr＝，
解得r＝，
即该圆锥底面圆的半径为 m.
11．解：设圆锥底面圆的半径为r，母线AB长为l.
(1)∵2πr＝πl，
∴l＝2r，
∴sin∠BAO＝＝，
∴∠BAO＝30°，
即母线AB与高AO的夹角为30°.
(2)在Rt△AOB中，∵∠BAO＝30°，AB＝10 cm，∴OB＝5 cm，
∴圆锥的表面积＝＋πr2＝＋π×52＝75π(cm2)．
3．3 第1课时 由立体图形到三视图
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 简单几何体的三视图
1．2017·郴州如图3－3－1所示的圆锥的主视图是( )
图3－3－1
图3－3－2
2．2017·丽水如图3－3－3是底面为正方形的长方体，下面有关它的三个视图的说法正确的是( )
图3－3－3
A．俯视图与主视图相同
B．左视图与主视图相同
C．左视图与俯视图相同
D．三个视图都相同
3．下列选项中，是如图3－3－4所示的圆柱的三视图的是( )
图3－3－4
图3－3－5
4．画出图3－3－6中三棱柱的主视图、左视图、俯视图．
图3－3－6
知识点 2 简单组合体的三视图
5．2018·郴州如图3－3－7是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是( )
图3－3－7
图3－3－8
6．2018·黄石如图3－3－9，该几何体的俯视图是( )
图3－3－9
图3－3－10
7．由5个大小相同的小正方体拼成的几何体如图3－3－11所示，则下列说法正确的是( )
图3－3－11
A．主视图的面积最小
B．左视图的面积最小
C．俯视图的面积最小
D．三个视图的面积相等
8．画出如图3－3－12所示几何体的三视图．
图3－3－12
9．如图3－3－13所示的几何体的三视图有无错误？如果有，请改正．
图3－3－13
图3－3－14
规律方法综合练 提升能力
10．2017·黔南州我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图3－3－15所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是( )
图3－3－15
图3－3－16
11．如图3－3－17是由相同小正方体搭的几何体的俯视图(小正方形中所标的数字表示在该位置上小正方体的个数)，则这个几何体的左视图是( )
图3－3－17
图3－3－18
12．下列立体图形中，主视图相同的是__________，左视图相同的是____________，俯视图相同的是__________．(填序号)
图3－3－19
13．画出如图3－3－20所示物体的三视图．
图3－3－20
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14．在平整的地面上有一个由若干个完全相同的小正方体堆成的几何体，如图3－3－21所示．
(1)请画出这个几何体的三视图；
(2)如果在这个几何体的表面喷上黄色的漆(底面不喷漆)，则在所有的小正方体中，有________个正方体只有一个面是黄色，有________个正方体只有两个面是黄色，有________个正方体只有三个面是黄色；
(3)若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加几个小正方体？
图3－3－21
教师详解详析
1．A
2．B [解析] 选项A，俯视图是一个正方形，主视图是一个长方形，故A错误；选项B，左视图是一个长方形，主视图是一个长方形，且两个长方形的长和宽分别相等，所以B正确；选项C，左视图是一个长方形，俯视图是一个正方形，故C错误；选项D，俯视图是一个正方形，主视图是一个长方形，左视图是一个长方形，故D错误．故选B.
3．A
4．解：如图所示：
5．B
6．A
7．B [解析] 设每个小正方体的棱长是1.从正面看第一层是三个小正方形，第二层是左边一个小正方形，故主视图的面积是4；从左边看第一层是两个小正方形，第二层是左边一个小正方形，故左视图的面积为3；从上边看第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是一个小正方形，故俯视图的面积是4，因此左视图的面积最小．故选B.
8．解：如图所示：
9．解：主视图错，左视图对，俯视图错．如图所示．
10．B
11．C [解析] 从左面看，可得到从左到右依次是1，3，2个小正方形，故选C.
12．①③④⑤⑥ ①②④⑤⑥⑧ ①②⑦⑧
13．解：如图所示：
14．[解析] (1)由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方形的数目分别为3，1，2；左视图有3列，每列小正方形的数目分别为3，2，1；俯视图有3列，每列小正方形的数目分别为3，2，1.据此可画出图形．
(2)只有一个面是黄色的正方体是第一列正方体中最底层中间那个；只有两个面是黄色的正方体是第一列最底层最后面那个和第二列最后面那个；只有三个面是黄色的正方体是第一列第二层最后面的那个，第二列最前面那个和第三列最底层那个．
(3)保持俯视图和左视图不变，可往第二列前面的正方体上放1个小正方体，后面的正方体上放2个小正方体，第三列正方体上放1个小正方体．
解：(1)如图所示：
(2)1 2 3 (3)最多可以再添加4个小正方体．
第2课时 由三视图到立体图形
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 由三视图判断几何体
1．2017·新疆某几何体的三视图如图3－3－22所示，则该几何体是( )
图3－3－22
A．球 B．圆柱 C．三棱锥 D．圆锥
2．2018·襄阳一个几何体的三视图如图3－3－23所示，则这个几何体是( )
图3－3－23
图3－3－24
3．若一个几何体的主视图、左视图、俯视图是半径相等的圆，则这个几何体是( )
A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．正方体
4．2017·河南某几何体的左视图如图3－3－25所示，则该几何体不可能是( )
图3－3－25
图3－3－26
5．如图3－3－27所示为一几何体的三视图．
(1)写出这个几何体的名称；
(2)画出这个几何体的一种表面展开图．
图3－3－27
知识点 2 根据三视图进行计算
6．若一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图3－3－28所示，则其主视图的面积为( )
图3－3－28
A．6 B．8 C．12 D．24
7．2018·威海如图3－3－29是某圆锥的主视图和左视图，该圆锥的侧面积是( )
图3－3－29
A．25π B．24π
C．20π D．15π
8．2018·日照如图3－3－30是一个几何体的三视图(图中尺寸单位：cm)，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是________．
图3－3－30
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9．2017·常德如图3－3－31是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )
图3－3－31
图3－3－32
10．如图3－3－33是由若干个大小相同的正方体搭成的几何体的三视图，则组成该几何体所用的正方体的个数是( )
图3－3－33
A．6 B．4 C．3 D．2
11．2017·青岛已知某几何体的三视图如图3－3－34所示，其中俯视图为正六边形，则该几何体的表面积为__________．
图3－3－34
12．图3－3－35①是一个组合几何体，它的下面是一个长方体，上面是一个圆柱．
图3－3－35
(1)图②和图③是它的两个视图，在横线上分别填写两种视图的名称(填“主”“左”或“俯”)；
(2)根据两个视图中的尺寸，计算这个组合几何体的体积．(结果保留π)
拓广探究创新练 冲刺满分
13．已知如图3－3－36①所示的几何体．
(1)图②所画的此几何体的三视图有错误吗？如果有错误，错在哪里？并画出正确的视图；
(2)根据图中的尺寸，求出几何体的表面积．(注：长方体的底面为正方形，单位： cm)
图3－3－36
教师详解详析
1．D [解析] 由于主视图与左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故该几何体是圆锥．故选D.
2．C [解析] 根据主视图和左视图为矩形判断出该几何体是柱体，根据俯视图是三角形判断出这个几何体是三棱柱．
3．C [解析] 三视图是半径相等的圆的几何体只有球．
4．D
5．解：(1)三棱柱．(2)答案不唯一，如图所示：
6．B [解析] 主视图反映物体的长和高，左视图反映物体的宽和高，俯视图反映物体的长和宽．结合三者之间的关系从而确定主视图的长和宽分别为4，2，所以面积为8.
故选B.
7．C
8．4π cm2 [解析] 观察三视图确定此几何体为圆锥，由左视图知此圆锥的底面半径为1，高为2 ，由勾股定理得母线长为3，所以此圆锥的表面积＝侧面积＋底面积＝πrl＋πr2＝π×1×3＋π×12＝3π＋π＝4π(cm2)．
9．B [解析] 结合三个视图发现，应该是一个正方体在一个角上挖去一个小正方体，且小正方体的位置应该在右上角，故选B.
10．A [解析] 综合三视图可知，这个几何体的底层有3个小正方体，第2层有1个小正方体，第3层有1个小正方体，第4层有1个小正方体，因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是3＋1＋1＋1＝6.故选A.
11．48＋12 [解析] 观察该几何体的三视图发现该几何体为正六棱柱，其底面是边长为2的正六边形，高为4，故其底面中心到边的距离为，所以其表面积为2×4×6＋2××6×2×＝48＋12 .
12．解：(1)左 俯
(2)2×5×8＋π×(2÷2)2×6＝80＋π×1×6＝80＋6π.
答：这个组合几何体的体积是80＋6π.
13．解：(1)左视图错误，圆锥的左视图是三角形，
左视图应为下图．
(2)几何体的表面积＝圆锥的侧面积＋长方体的表面积－圆锥底面圆的面积＝×10π×＋20×20×2＋20×5×4－π×52＝25 π＋1200－25π＝[1200＋(25 －25)π] cm2.
3．1 投 影
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 平行投影与中心投影
1．下列投影是平行投影的是( )
A．太阳光下窗户的影子
B．台灯下书本的影子
C．在手电筒照射下纸片的影子
D．路灯下行人的影子
2．幻灯机的投影是( )
A．平行投影 B．中心投影
C．平行投影或中心投影 D．以上均不是
3．画出图3－1－1中每个木杆在灯光下的影子．
图3－1－1
知识点 2 正投影
4．把一个正六棱柱如图3－1－2摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是( )
图3－1－2
图3－1－3
5．分别画出如图3－1－4所示的几何体的正投影．
①中投影线由物体前方射到后方；
②中投影线由物体左方射到右方；
③中投影线由物体上方射到下方．
图3－1－4
规律方法综合练 提升能力
6．如图3－1－5所示，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是( )
图3－1－5
7．如图3－1－6，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝5 m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3 m，同时测量出DE在阳光下的投影长为6 m.
(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
(2)请你计算DE的长．
图3－1－6
拓广探究创新练 冲刺满分
8．如图3－1－7，花丛中有一路灯杆AB，在灯光下，大华在点D处的影长DE＝3米，他沿BD方向行走到点G，DG＝5米，这时他的影长GH＝5米．如果大华的身高为2米，求路灯杆AB的高度．
图3－1－7
教师详解详析
1．A
2．B [解析] 中心投影有一个固定的投影中心，原像和像上对应点所在的直线都经过该中心，其光线是由一点向四周扩散的，正好与幻灯机的投影原理相吻合．
3．解：如图所示：
4．A [解析] 把一个正六棱柱如题图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是正六边形．故选A.
5．解：①如图所示：
②如图所示：
③如图所示：
6．A [解析] 选项B，C影子的方向不相同，故不符合题意；在阳光下，相同时刻树高与影长是成正比的，较高的树的影长应大于较低的树的影长，故选项D不符合题意．
7．[解析] (1)根据平行投影的性质可先连接AC，再过点D作DF∥AC交地面于点F，EF即为所求．
(2)根据平行线的性质可知△ABC∽△DEF，利用相似三角形的对应边成比例即可求出DE的长．
解：(1)DE在阳光下的投影是EF，如图所示．
(2)∵△ABC∽△DEF，AB＝5 m，BC＝3 m，EF＝6 m，
∴＝，即＝，解得DE＝10，
∴DE的长为10 m.
8．解：∵CD∥AB，∴△ECD∽△EAB，
∴＝，即＝①.
∵FG∥AB，∴△HFG∽△HAB，
∴＝，即＝②.
由①②得＝，
解得BD＝7.5，∴＝，解得AB＝7.
答：路灯杆AB的高度为7 m.
