4．1 随机事件与可能性
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 确定性事件与随机事件
1．一个不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是( )
A．摸出的是3个白球
B．摸出的是3个黑球
C．摸出的是2个白球、1个黑球
D．摸出的是2个黑球、1个白球
2．“当x是有理数时，－x2＞0”，此事件是( )
A．必然事件 B．随机事件
C．不可能事件 D．不能确定
3．2017·自贡下列成语描述的事件为随机事件的是( )
A．水涨船高 B．守株待兔
C．水中捞月 D．缘木求鱼
4．2018·徐州下列事件中，必然事件是( )
A．抛掷1个均匀的骰子，出现6点向上
B．两直线被第三条直线所截，同位角相等
C．366人中至少有2人的生日相同
D．实数的绝对值是非负数
5．有两个事件，事件A：掷一次骰子，向上一面的点数是3；事件B：姚明在罚球线上投篮一次，投中，则( )
A．事件A和B都是随机事件
B．只有事件B是随机事件
C．只有事件A是随机事件
D．事件A和B都不是随机事件
6．2017·随州“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是________事件(从“必然”“随机”“不可能”中选一个)．
7．下列事件：①随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；②测得某天的最高气温是100 ℃；③掷一次骰子，向上一面的点数是2；④度量四边形的内角和，结果是360°.其中是随机事件的是____________(填序号)．
8．下列事件中哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
(1)太阳从西边落山；
(2)a2＋b2＝－1(其中a，b都是实数)；
(3)水往低处流；
(4)三个人性别各不相同；
(5)一元二次方程x2＋2x＋3＝0无实数解；
(6)经过有信号灯的十字路口，遇见红灯．
知识点 2 随机事件可能性大小
9．如图4－1－1是一个可以自由转动的转盘，转盘面被分成8个相同的扇形，颜色分为红、黄、绿三种，转动这个转盘，转盘停止后，指针指向可能性最小的颜色是( )
图4－1－1
A．红色 B．绿色C．黄色 D．无法确定
10．从编号为1～20的20张卡片中任意选取一张，则取出卡片的编号是______的可能性最大( )
A．偶数 B．3的倍数
C．4的倍数 D．5的倍数
11．甲种商品出现次品的可能性是20%，乙种商品出现次品的可能性是10%，则下列说法正确的是( )
A．甲种商品的次品比乙种商品的次品多一些
B．甲种商品的次品比乙种商品的次品少一些
C．甲、乙两种商品的次品一样多
D．无法确定甲、乙两种商品哪种次品多
12．如图4－1－2所示，第一排表示了各袋中球的情况，请用第二排中的语言描述摸到红球的可能性的大小，用线连起来．
图4－1－2
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13．从平行四边形、矩形、菱形、正三角形中任选一个图形，下列事件中，是确定性事件的为( )
A．选出的是中心对称图形
B．选出的既是轴对称图形又是中心对称图形
C．选出的是轴对称图形
D．选出的既不是轴对称图形又不是中心对称图形
14．2018·泰州小亮是一名职业足球运动员，根据以往比赛数据统计，小亮的进球率为10%.他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是( )
A．小亮明天的进球率为10%
B．小亮明天每射球10次必进球1次
C．小亮明天有可能进球
D．小亮明天肯定进球
15．下列每一个不透明袋子中都装有若干个红球和白球(除颜色外其他均相同)．
第一个袋子：红球1个，白球1个；
第二个袋子：红球1个，白球2个；
第三个袋子：红球2个，白球3个；
第四个袋子：红球4个，白球10个．
分别从中任意摸出1个球，摸到红球的可能性最大的是( )
A．第一个袋子 B．第二个袋子
C．第三个袋子 D．第四个袋子
16．一只不透明的袋子中装有4个黑球，2个白球，这些球除颜色不同外其余都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是( )
A．至少有1个球是黑球
B．至少有1个球是白球
C．至少有2个球是黑球
D．至少有2个球是白球
17．下列所描述的事件：①某个数的绝对值小于0；②抛掷一枚质地均匀的硬币，着地时正面向上；③守株待兔；④某两个负数的积大于0；⑤水中捞月．其中属于不可能事件的有________(填序号)．
18．有两个不透明的布袋，里面装有一些除颜色外其他没有任何区别的小球，各种颜色的小球的具体数目如图4－1－3所示，请指出下列事件的类型．
(1)从第一个布袋中任意取出一个球，该球是白色的；
(2)从第一个布袋中同时取出两个球，这两个球都是白色的；
(3)从第二个布袋中任意取出一个球，该球是白色的；
(4)任意挑选一个布袋，从中取出一个球，该球的颜色肯定是红、白、黑、黄中的一种．
图4－1－3
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19．如图4－1－4，一个转盘被平均分成12份，每份上写有不同的数，游戏方法：先猜数后转动转盘，若指针指向的数与所猜的数一致，则猜数者获胜．现提供三种猜数方法：
(1)猜是“奇数”或是“偶数”；
(2)猜是“大于10的数”或是“不大于10的数”；
(3)猜是“3的倍数” 或是“不是3的倍数”．如果你是猜数者，你愿意选择哪一种猜数方法？怎样猜？并说明理由．
图4－1－4
教师详解详析
1．A [解析] 白球只有2个，不可能摸出3个．
2．C [解析] “当x是有理数时，－x2＞0”，一定错误，故此事件是不可能事件．
3．B [解析] 水涨船高是必然事件，选项A不符合题意；守株待兔是随机事件，选项B符合题意；水中捞月是不可能事件，选项C不符合题意；缘木求鱼是不可能事件，选项D不符合题意．故选B.
4．D [解析] 选项A中，抛掷1个均匀的骰子，出现6点向上是随机事件；选项B中，两直线被第三条直线所截，同位角可能相等，也可能不相等，是随机事件；选项C中，闰年中，一年是366天，所以闰年时366人中至少有2人的生日相同是随机事件；根据绝对值的性质，实数的绝对值一定是非负数，是必然事件．故选D.
5．A [解析] 事件A：掷一次骰子，向上一面的点数是3是随机事件；事件B：姚明在罚球线上投篮一次，投中是随机事件，故选A.
6．随机
7．①③ [解析] ①是随机事件；②是不可能事件；③是随机事件；④是必然事件．
8．解：(1)(3)(5)是必然事件．
(2)(4)是不可能事件．
(6)是随机事件．
9．C [解析] 因为转盘被平均分为8份，黄色为2份，红色为3份，绿色为3份，所以指针指向可能性最小的颜色是黄色．故选C.
10．A 11.D
12．解：
13．D [解析] A项是随机事件，故该选项不符合题意．B项是随机事件，故该选项不符合题意．
C项是随机事件，故该选项不符合题意．
D项是一定不会发生的事件，是确定性事件，故该选项符合题意．
14．C [解析] “小亮的进球率为10%”的含义是：在大数次试验情况下，小亮每射球100次，平均进球10次，因此A，B选项都错了；小亮明天进球这一事件为随机事件，故D选项错误；只有C选项说法正确．
15．A [解析] 第一个袋子中红球所占的比例最大，故选A.
16．A [解析] 摸出的3个球有以下3种情况：3个都是黑球、2个黑球1个白球、1个黑球2个白球．不论哪种情况都至少有1个黑球．故选A.
17．①⑤
18．解：(1)(3)是随机事件，(2)是不可能事件，(4)是必然事件．
19．解：选择第(3)种猜数方法，猜是“3的倍数”．
理由如下：∵转盘中奇数与偶数的个数相同，大于10与不大于10的数的个数也相同，
∴(1)与(2)的猜数方法是公平的．
又∵转盘中是3的倍数的数有7个，不是3的倍数的数有5个，
∴选第(3)种猜数方法，猜是“3的倍数”获胜的机会大．
4．2.1 概率的概念
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 概率的意义
1．必然事件发生的概率是( )
A．0 B．0.5 C．1 D．不能确定
2．下列数值不可以作为一个事件发生的概率的是( )
A．0 B. C．0.7 D.
3．下列说法中，正确的是( )
A．不可能事件发生的概率为0
B．随机事件发生的概率为
C．概率很小的事件不可能发生
D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次
4．2017·阿坝州对“某市明天下雨的概率是75%”这句话，理解正确的是( )
A．某市明天将有75%的时间下雨
B．某市明天将有75%的地区下雨
C．某市明天一定下雨
D．某市明天下雨的可能性较大
知识点 2 求简单随机事件的概率
5．2018·宜昌在“绿水青山就是金山银山”这句话中任选一个汉字，这个字是“绿”的概率为( )
A. B. C. D.
6．2017·宜昌九(1)班在参加学校4×100 m接力赛时，安排了甲、乙、丙、丁四位选手，他们的顺序由抽签随机决定，则甲跑第一棒的概率为( )
A．1 B. C. D.
7．2017·义乌在一个不透明的袋子中装有4个红球和3个黑球，它们除颜色外其他均相同，从中任意摸出一个球，则摸出黑球的概率是( )
A. B. C. D.
8．2017·岳阳从，0，π，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是( )
A. B. C. D.
9．2018·怀化在一个不透明的盒子中有五个完全相同的小球，把它们分别标号1，2，3，4，5，随机摸出一个小球，摸出的小球标号为奇数的概率是________．
10．2017·永州把分别写有数字1，2，3，4，5的5张同样的小卡片放进不透明的盒子里，搅拌均匀后随机取出一张小卡片，则取出的卡片上的数字大于3的概率是________．
11．2018·东营有五张背面完全相同的卡片，其正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形，将这五张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是________．
12．暑假将至，某商场为了吸引顾客，设计了可以自由转动的转盘(如图4－2－1所示，转盘被均匀地分为20份)，并规定：顾客购物每满 200元，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．若某顾客购物用了300元．
(1)求他此时获得购物券的概率是多少；
(2)他获得哪种购物券的概率最大？请说明理由．
图4－2－1
规律方法综合练 提升能力
13．如图4－2－2，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，能与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是( )
图4－2－2
A. B. C. D.
14．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为( )
A. B. C. D.
15．2017·鄂尔多斯将四张形状、大小完全一致的卡片放在不透明的箱子中，每张卡片正反面上分别标的点的坐标如下表所示：
第一张
第二张
第三张
第四张
正面
(2，3)
(1，3)
(－1，2)
(2，4)
反面
(－2，1)
(－1，－3)
(1，2)
(－3，4)
若从中随机抽取一张卡片，其正反面上两点正好关于y轴对称的概率是( )
A. B. C. D．1
16．2017·阜新设计一个摸球游戏，先在一个不透明的盒子中放入2个白球，如果希望从中任意摸出1个球是白球的概率为，那么应该向盒子中再放入________个其他颜色的球．(游戏用球除颜色外其他均相同)
17．一个口袋中放着若干个黄球和绿球，这两种球除了颜色之外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，从口袋中取出一个球，取出黄球的概率为.
(1)取出绿球的概率是多少？
(2)如果袋中的黄球有12个，那么袋中的绿球有多少个？
18．一个不透明的布袋里装有5个球，其中2个红球、3个白球，它们除颜色外其余都相同．
(1)求摸出1个球是白球的概率；
(2)现再将n个白球放入布袋中，搅匀后，若摸出1个球是白球的概率为，求n的值．
拓广探究创新练 冲刺满分
19．如图4－2－3所示，转盘被等分成六个扇形，并在上面依次写上数字1，2，3，4，5，6.
(1)自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区域的概率是多少？
(2)请你用这个转盘设计一个游戏，使自由转动转盘时，当转盘停止后，指针指向的区域的概率为.
图4－2－3
教师详解详析
1．C [解析] 必然事件就是一定发生的事件，∴必然事件发生的概率是1.
2．D
3．A [解析] 不可能事件发生的概率为0，所以A选项正确；随机事件发生的概率在0与1之间，所以B选项错误；概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，所以C选项错误；投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数可能为50次，所以D选项错误，故选A.
4．D
5．B [解析] 根据概率的定义，可知P(选中“绿”)＝.
6．D
7．B [解析] ∵在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的4个红球和3个黑球，
∴从中任意摸出一个球，摸出黑球的概率是＝.
8．C [解析] 在，0，π，3.14，6这5个数中，只有0，3.14和6为有理数，∴抽到有理数的概率是.
9. [解析] 根据等可能条件下概率的计算公式，共有5种等可能结果，其中摸出奇数号球的结果有3种，所以P(摸出的小球标号为奇数)＝3÷5＝.
10. [解析] ∵在1，2，3，4，5中，大于3的数只有4，5，∴取出的卡片上的数字大于3的概率是.
11. [解析] 在已知的五个图形中是中心对称图形的是平行四边形、矩形、正方形和菱形，所以从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是.
12．解：(1)∵转盘被均匀地分为20份，涂颜色的有10份，∴他此时获得购物券的概率是＝.
(2)他获得50元购物券的概率最大．
理由：∵P(获得200元购物券)＝，P(获得100元购物券)＝，P(获得50元购物券)＝＝，∴他获得50元购物券的概率最大．
13．C [解析] ∵在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使其能与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤3种情况，∴能与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是.故选C.
14．D [解析] ∵他在该路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，∴他遇到绿灯的概率是1－－＝.
15．A [解析]∵四张形状，大小完全一致的卡片中，只有第三张卡片上标的点关于y轴对称，∴从中随机抽取一张卡片，其正反面上两点正好关于y轴对称的概率是.故选A.
16．4 [解析] 设应该向盒子中再放入x个其他颜色的球，根据题意，得＝，解得x＝4.
经检验，x＝4是原分式方程的解且符合题意．故答案为4.
17．解：(1)P(取出绿球)＝1－P(取出黄球)＝1－＝.
(2)设袋中有绿球x个，
根据题意，得＝(或＝)．
解得x＝18，
经检验x＝18是所列方程的解且符合题意．
所以袋中的绿球有18个．
18．解：(1)∵布袋里装有5个球，其中有3个白球，∴P(摸出1个球是白球)＝.
(2)布袋里装有5个球，其中有3个白球，再将n个白球放入布袋中，有＝，
解得 n＝2.经检验n＝2是原分式方程的解且符合题意，故n＝2.
19．解：(1)P(指针指向奇数区域)＝＝.
(2)答案不唯一，如方法一：如图所示，自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向阴影部分区域的概率为.
方法二：自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向数字不大于4的区域的概率是.
4．2.2 第1课时 用列表法求概率
知识要点分类练 夯实基础
知识点 1 用列表法求概率
1．2017·大庆将一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，则至少出现一次正面向上的概率为( )
A. B. C. D.
2．2017·郴州从1，－1，0三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概率是________．
3．抽屉里放着黑、白两种颜色的袜子各1双(除颜色外其余都相同)，在看不见的情况下随机摸出2只袜子，它们恰好同色的概率是________．
4．红花中学现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学分别作为①号选手和②号选手代表学校参加全县汉字听写大赛．
(1)请用列表法列举出所有可能选派的结果；
(2)求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．
知识点 2 游戏的公平性
5．甲、乙两人玩一个游戏，判定这个游戏是否公平的标准是( )
A．游戏的规则是否由甲方确定
B．游戏的规则是否由乙方确定
C．游戏的规则是否由甲、乙双方商定
D．游戏双方是否各有50%赢的机会
6．小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看．他们约定：若两人所写的数都是奇数或都是偶数，则小明获胜；若两人所写的数一个是奇数，另一个是偶数，则小亮获胜．这个游戏( )
A．对小明有利 B．对小亮有利
C．对双方公平 D．无法确定对谁有利
7．王红和刘芳两人在玩转盘游戏，如图4－2－4，把转盘甲、乙分别分成3等份，并在每一份内标上数字，游戏规则如下：转动两个转盘，停止后指针所指的两个数字之和为7时，王红胜；数字之和为8时，刘芳胜．这二人中获胜的可能性较大的是________．
图4－2－4
8．小伟和小欣玩一种抽卡片游戏：将背面完全相同、正面分别写有数字1，2，3，4的四张卡片背面向上洗匀后，小伟和小欣各自随机抽取一张(不放回)．将小伟抽取的卡片上的数字作为十位数字，小欣抽取的卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数．如果所组成的两位数为偶数，那么小伟胜；否则小欣胜．
(1)当小伟抽取的卡片上的数字为2时，问两人谁获胜的可能性大？
(2)通过计算判断这个游戏对小伟和小欣是否公平．
规律方法综合练 提升能力
9．2017·淄博在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n.如果m，n满足≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会”．两人“心领神会”的概率是( )
A. B. C. D.
10．十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做中高数，如796就是一个“中高数”．若十位上的数字为7，则从3，4，5，6，8，9中任选两个数，能与7组成“中高数”的概率是( )
A. B. C. D.
11．一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数－2，1，4.从中随机摸出一个小球(不放回)，其数记为p，再随机摸出一个小球，其数记为q，则满足关于x的方程x2＋px＋q＝0有实数根的概率是( )
A. B. C. D.
12．襄阳市辖区内旅游景点较多，李老师和刚初中毕业的儿子准备到古隆中、水镜庄、黄家湾三个景点去游玩．如果他们各自在三个景点中任选一个作为游玩的第一站(每个景点被选为第一站的可能性相同)，那么他们都选择古隆中景点为第一站的概率是________．
图4－2－5
13．如图4－2－5，把一个转盘平均分成三份，依次标上数字1，2，3.自由转动转盘两次，把第一次转动停止后指针指向的数字记作x，把第二次转动停止后指针指向的数字的2倍记作y，长度分别为x，y，5的三条线段能构成三角形的概率为________．(注：长度单位一致)
14．2017·澧县三模改编如图4－2－6，把一个可以自由转动的转盘平均分成3个扇形，并分别标上1，2，3三个数字．小王和小李各转动一次转盘为一次游戏，每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游戏结束后得到一组数(若指针指在分界线时重转)．
(1)请你用列表的方法表示出每次游戏可能出现的所有结果；
(2)求每次游戏后得到的一组数，恰好是方程x2－4x＋3＝0的解的概率．
图4－2－6
拓广探究创新练 冲刺满分
15．如图4－2－7①，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4.如图②，正方形ABCD顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则如下：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，就沿正方形的边顺时针连续跳几个边长．
如：若从图中A处起跳，第一次掷得3，就顺时针连续跳3个边长，落到圈D；若第二次掷得2，就从D开始顺时针连续跳2个边长，落到圈B；….
设游戏者从圈A起跳．
(1)嘉嘉随机掷一次骰子，求落回到圈A的概率P1；
(2)淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到圈A的概率P2，并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样吗？
图4－2－7
教师详解详析
1．C
2. [解析] 列表如下：
－1
1
0
－1
(1，－1)
(0，－1)
1
(－1，1)
(0，1)
0
(－1，0)
(1，0)
所有等可能的情况有6种，其中该点刚好在坐标轴上的情况有4种，所以该点在坐标轴上的概率是＝.
3.
4．解：(1)列表：
甲
乙
丙
丁
甲
甲乙
甲丙
甲丁
乙
乙甲
乙丙
乙丁
丙
丙甲
丙乙
丙丁
丁
丁甲
丁乙
丁丙
(2)所有等可能的结果共有12种，恰有一男一女参赛的可能结果有8种，
所以P(一男一女)＝＝.
5．D
6．C [解析] 两人写的数有奇偶、偶奇、偶偶、奇奇四种情况，因此两人写的数同为奇数或同为偶数的概率为；一奇一偶的概率也为，所以游戏公平．故选C.
7．王红 [解析] 列表可得共有9种等可能的情况，其中和为7的情况有3种，故王红获胜的概率为，和为8的情况有2种，故刘芳获胜的概率为.∵>∴王红获胜的可能性较大．故答案为王红．
8．解：(1)列表如下：
数字
1
2
3
4
1
12
13
14
2
21
23
24
3
31
32
34
4
41
42
43
共有3种等可能的情况，其中P(小伟胜)＝，P(小欣胜)＝，
∴小欣获胜的可能性大．
(2)由(1)，可知共有12种等可能的结果，其中是偶数的结果有6种，是奇数的结果有6种，∴P(小伟胜)＝，P(小欣胜)＝，∴这个游戏对小伟和小欣是公平的．
9．B [解析] 列表如下：
乙
甲
6
7
8
9
6
(6，6)
(6，7)
(6，8)
(6，9)
7
(7，6)
(7，7)
(7，8)
(7，9)
8
(8，6)
(8，7)
(8，8)
(8，9)
9
(9，6)
(9，7)
(9，8)
(9，9)
由表格知共有16种等可能的结果，其中符合条件的结果是(6，6)，(6，7)，(7，6)，(7，7)，(7，8)，(8，7)，(8，8)，(8，9)，(9，8)，(9，9)，所以符合条件的共有10种等可能的结果，所以两人“心领神会”的概率是＝.
10．C [解析] 列表：
3
4
5
6
8
9
3
(3，4)
(3，5)
(3，6)
(3，8)
(3，9)
4
(4，3)
(4，5)
(4，6)
(4，8)
(4，9)
5
(5，3)
(5，4)
(5，6)
(5，8)
(5，9)
6
(6，3)
(6，4)
(6，5)
(6，8)
(6，9)
8
(8，3)
(8，4)
(8，5)
(8，6)
(8，9)
9
(9，3)
(9，4)
(9，5)
(9，6)
(9，8)
从表格中可以看出所有可能的结果共有30种，个位和百位上的数字都小于7的有12种结果，因此是“中高数”的概率为＝.故选C.
11．D [解析] 列表如下：
p
q
－2
1
4
－2
(1，－2)
(4，－2)
1
(－2，1)
(4，1)
4
(－2，4)
(1，4)
所有等可能的情况有6种，其中满足关于x的方程x2＋px＋q＝0有实数根，即满足p2－4q≥0的情况有4种，则P＝＝.
故选D.
12. [解析] 根据题意，二人选择的所有可能结果共有9种，每种结果出现的可能性相同，即(古隆中，古隆中)，(古隆中，水镜庄)，(古隆中，黄家湾)，(水镜庄，古隆中)，(水镜庄，水镜庄)，(水镜庄，黄家湾)，(黄家湾，古隆中)，(黄家湾，水镜庄)，(黄家湾，黄家湾)．二人都选择古隆中景点作为第一站的结果只有1种，∴他们都选择古隆中景点作为第一站的概率为.
13. [解析] 列表如下：
x
y
1
2
3
2
(1，2)
(2，2)
(3，2)
4
(1，4)
(2，4)
(3，4)
6
(1，6)
(2，6)
(3，6)
因此，所有等可能的结果共有9个．
其中长度分别为x，y，5的三条线段能构成三角形的结果有4个：2，4，5；3，4，5；2，6，5；3，6，5.故P(能构成三角形)＝.
14．解：(1)列表如下：
1
2
3
1
(1，1)
(2，1)
(3，1)
2
(1，2)
(2，2)
(3，2)
3
(1，3)
(2，3)
(3，3)
(2)所有等可能的情况有9种，其中是方程x2－4x＋3＝0的解的情况为(1，3)，(3，1)，共2种，则P(是方程的解)＝.
15．解：(1)∵掷一次骰子有4种等可能的结果，只有掷得4时，才会落回到圈A，∴P1＝.
(2)列表如下：
第2次 第1次
1
2
3
4
1
(1，1)
(2，1)
(3，1)
(4，1)
2
(1，2)
(2，2)
(3，2)
(4，2)
3
(1，3)
(2，3)
(3，3)
(4，3)
4
(1，4)
(2，4)
(3，4)
(4，4)
所有等可能的情况共有16种，当两次掷得的数字之和为4的倍数，即为(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，4)这4种时，才可落回到圈A，∴P2＝＝.
∵P1＝，
∴她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样．
第2课时 用树状图法求概率
知识要点分类练 夯实基础
知识点 用树状图法求概率
1．2017·大连同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为( )
A. B. C. D.
2．2018·广州甲袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2；乙袋中装有2个相同的小球，分别写有数字1和2.从两个口袋中各随机取出1个小球，取出的2个小球上都写有数字2的概率是( )
A. B. C. D.
3．有两双不同的鞋子，第一双的两只鞋编号分别为1，2，第二双的两只鞋编号分别为3，4，从中任意取出两只，恰好是同一双鞋的概率为( )
A. B. C. D.
4．2018·临沂2018年某市初中学业水平实验操作考试有物理、化学、生物三个学科，要求每名学生从这三个学科中随机抽取一科参加测试，小华和小强都抽到物理学科的概率是( )
A. B. C. D.
5．2017·张家界某校高一年级今年计划招四个班的新生，并采取随机摇号的方法分班，小明和小红既是该校的高一新生，又是好朋友，那么小明和小红分在同一个班的概率是( )
A. B. C. D.
6．小颖将一枚质地均匀的硬币连续抛掷三次，三次都是正面朝上的概率是( )
A. B. C. D.
7．“红灯停绿灯行”是我们在日常生活中必须遵守的交通规则，这样才能保障交通顺畅和行人安全．小刚每天从家骑自行车上学都经过三个路口，且每个路口都安装了红灯和绿灯，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家出发去学校，他遇到两次红灯的概率是________．
8．某班级准备召开主题班会，现从由3名男生和2名女生组成的班委中，随机选取两人担任主持人，求两名主持人恰为一男一女的概率．
9．甲、乙两人都握有分别标记为A，B，C的三张牌，两人做游戏，游戏规则如下：若两人出的牌不同，则A胜B，B胜C，C胜A；若两人出的牌相同，则为平局．
(1)用画树状图或列表的方法，列出甲、乙两人一次游戏的所有可能的结果；
(2)求出现平局的概率．
规律方法综合练 提升能力
10．从2，3，4，5中任意选两个数，并分别记作a和b，那么点(a，b)在函数y＝的图象上的概率是( )
A. B. C. D.
11．从1，2，3这三个数字中任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是________．
12．2017·常德甲、乙、丙三个同学站成一排合影留念，请用列表法或树状图法列出所有可能的情形，并求出甲、乙两人相邻的概率是多少？
13．有三张卡片(形状、大小、颜色、质地都相同)，正面分别写有整式x2＋1，－x2－2，3.将这三张卡片背面向上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记卡片上的整式为A，再从剩下的卡片中任意抽取一张，记卡片上的整式为B，于是得到代数式.
(1)请用画树状图或列表的方法写出代数式所有可能的结果；
(2)求代数式恰好是分式的概率．
14．为了参加中考体育测试，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练．球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传球给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传三次．
(1)请用树状图法列举出三次传球的所有可能情况；
(2)求三次传球后，球回到甲脚下的概率；
(3)三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？
拓广探究创新练 冲刺满分
15．小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用(使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项)．
(1)如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是________；
(2)如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表法分析小明顺利通关的概率；
(3)从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”(直接写出答案)．
教师详解详析
1．A [解析] 画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1，所以两枚硬币全部正面向上的概率为.
2．C [解析] 根据题意画出如下树状图：
从树状图可以看出一共有4种等可能的结果，其中取出的2个小球上都写有数字2的结果有1种，所以取出的2个小球上都写有数字2的概率是.
3．A [解析] 根据题意画树状图，如图所示．
共有12种等可能的结果，其中恰好是同一双鞋的结果有4种，则P(恰好是同一双鞋)＝＝.
4．D [解析] 用树状图分析：
一共有9种不同的结果，而小华和小强都抽到物理学科的结果只有1种，所以P(小华和小强都抽到物理学科)＝.
5．A [解析] 如图，共有16种等可能的结果，小明和小红分在同一个班的结果有4种，故小明和小红分在同一个班的概率是＝.故选A.
6．D [解析] 根据题意画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中三次都是正面朝上的结果有1种，∴P(三次都是正面朝上)＝.
7. [解析] 根据如下树状图分析，所有等可能的结果共有8种，其中遇到两次红灯的结果有3种，∴遇到两次红灯的概率是.
8．解：根据题意画出树状图如下：
一共有20种等可能的结果，恰好是一男一女的有12种结果，P(两名主持人恰为一男一女)＝＝.
答：两名主持人恰为一男一女的概率为.
9．解：(1)画树状图如下：
(2)∵由(1)知所有等可能的情况有9种，出现平局的情况有3种，
∴出现平局的概率为＝.
10．D
11. [解析] 画树状图：
共有6种等可能的结果，其中这个两位数能被3整除的结果有2种，所以这个两位数能被3整除的概率为＝.
12．解：画树状图如下：
∴一共有6种等可能的情况，甲、乙两人恰好相邻有4种情况，∴甲、乙两人相邻的概率是＝.
13．解：(1)画树状图：
(2)代数式所有可能的结果共有6种，且它们出现的可能性相等，其中代数式是分式的结果有4种：，，，，
所以P＝＝.
14．[解析] 本题考查树状图的画法．
解：(1)三次传球所有可能的情况如图：
(2)由图，知三次传球后，球回到甲脚下的概率P＝＝.
(3)由图，知三次传球后，球回到乙脚下的概率P＝，
因为>，所以球传到乙脚下的概率大．
15．解：(1)∵第一道单选题有3个选项，∴如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是.
(2)分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示第二道单选题剩下的3个选项，画树状图：
∵共有9种等可能的结果，小明能顺利通关的只有1种结果，∴小明顺利通关的概率为.
(3)建议小明在第一题使用“求助”．
4．3 用频率估计概率
知识要点分类练 夯实基础
知识点 利用频率估计概率
1．关于频率和概率的关系，下列说法正确的是( )
A．频率等于概率
B．试验得到的频率与概率不可能相等
C．当试验次数很小时，概率稳定在频率附近
D．当试验次数很大时，频率稳定在概率附近
2．为了看图钉落地后钉尖着地的概率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是试验总次数的40%，下列说法错误的是( )
A．钉尖着地的频率是0.4
B．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率稳定在0.4附近
C．钉尖着地的概率约为0.4
D．前20次试验结束后，钉尖着地的次数一定是8次
3．在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算其正面朝上的概率，其试验次数分别为10次、50次、100次、200次，其中试验相对科学的是( )
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组
4．做绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：
每批粒数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的粒数m
96
282
382
570
948
1912
2850
发芽的频率
0.960
0.940
0.955
0.950
0.948
0.956
0.950
则绿豆发芽概率的估计值是( )
A．0.96 B．0.95 C．0.94 D．0.90
5．2017·兰州一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子．通过大量摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么盒子中小球的个数n约为( )
A．20 B．24 C．28 D．30
6．在一块试验田抽取1000个麦穗考察它的长度(单位： cm)，对数据适当分组后看到落在5.75～6.05之间的频率为0.36，于是可以估计出这块田里麦穗长度在5.75～6.05 cm之间的概率为________%.
7．2018·淮安某射手在相同条件下进行射击训练，结果如下：
射击
次数n
10
20
40
50
100
200
500
1000
击中靶心
的频数m
9
19
37
45
89
181
449
901
击中靶心
的频率
0.900
0.950
0.925
0.900
0.890
0.905
0.898
0.901
该射手击中靶心的概率的估计值是________(精确到0.01)．
8．在一个不透明的袋子中装有黄色、白色乒乓球共40个，这些球除颜色外其他完全相同．小明从这个袋子中随机摸出一球，记下颜色后放回，通过多次摸球试验后发现，摸到黄色球的频率稳定在15%附近，则口袋中黄色球可能有________个．
9．对某工厂生产的大批同类产品进行合格率检查，从中分别抽取5件、10件、60件、150件、600件、900件、1200件、1800件，检查结果如下表所示：
抽取的
件数n
5
10
60
150
600
900
1200
1800
合格
件数m
5
8
53
131
542
820
1091
1631
合格
频率
1
0.8
0.883
0.873
0.903
0.911
0.909
0.906
(1)估计该厂产品的合格率(精确到0.1)；
(2)若抽取这类产品1000件，试估计合格品数．
规律方法综合练 提升能力
10．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图4－3－1的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是( )
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是4
11．2017·营口在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共20个，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球试验后发现，摸到红色、黄色球的频率分别稳定在10%和15%，则箱子里蓝色球的个数很可能是________个．
图4－3－1
12．2017·宿迁如图4－3－2，为测量平地上一块不规则区域(图中的阴影部分)的面积，画一个边长为2 m的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子(假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的)，经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是________m2.
图4－3－2
13．一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是平的．将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某试验小组做了棋子下掷试验，试验数据如下表：
试验次数
20
40
60
80
100
120
140
160
“兵”字面
朝上频数
14
a
38
47
52
66
78
88
相应频率
0.7
0.45
0.63
0.59
0.52
b
0.56
0.55
(1)请直接写出a，b的值；
(2)如果试验继续进行下去，根据上表的数据，这个试验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少(精确到0.01)?
(3)如果做这种试验2000次，那么“兵”字面朝上的次数大约是多少？
拓广探究创新练 冲刺满分
14．小颖和小红两位同学在学习概率时，做投掷骰子(质地均匀的正方体)试验，他们共做了60次试验，试验的结果如下：
朝上的点数
1
2
3
4
5
6
出现的次数
7
9
6
8
20
10
(1)计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率．
(2)小颖说：“根据试验结果分析，一次试验中出现5点朝上的概率最大．”小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次．”小颖和小红的说法正确吗？为什么？
(3)小颖和小红各投掷一枚骰子，用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率．
教师详解详析
1．D [解析] A项，频率只能估计概率，故此选项错误．
B项，试验得到的频率与概率可能相等，故此选项错误．
C项，当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，故此选项错误．
D项，当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，故此选项正确．
2．D
3．D [解析] 根据模拟试验的定义，可知试验相对科学的是次数最多的丁组．
4．B
5．D [解析] 由题意，可知×100%＝30%，易解得n＝30.经检验n＝30是原分式方程的解，且符合题意．故选D.
6．36
7．0.90 [解析] 用频率估计概率时，试验的次数越多，其频率越接近于概率，所以取射击1000次击中靶心的频率来估计射手击中靶心的概率．
8．6 [解析] 黄色球的个数为15%×40＝6(个)．
9．解：(1)从表中的数据可看到，当抽取件数(即重复试验次数)n越大时，“一件产品合格”事件发生的频率就越接近常数0.9，所以该厂产品的合格率为0.9.
(2)90%×1000＝900(件)．
答：估计合格品数为900件．
10．D
11．15 [解析] 根据题意，得摸到红色、黄色球的概率为10%和15%，所以摸到蓝色球的概率为75%.因为20×75%＝15(个)，所以可估计箱子中蓝色球的个数为15个．
12．1 [解析]∵经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，∴小石子落在不规则区域的概率为0.25.∵正方形的边长为2 m，∴面积为4 m2.设不规则区域的面积为S，则＝0.25，解得S＝1.故答案为1.
13．解：(1)a＝18，b＝0.55.
(2)估计这个概率为0.55.
(3)2000×0.55＝1100.
答：“兵”字面朝上的次数大约是1100.
14．解：(1)“3点朝上”的频率是＝，
“5点朝上”的频率是＝.
(2)小颖的说法是错误的．理由：因为60次试验中“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大，只有当试验的次数足够大时，事件发生的频率才会稳定在事件发生的概率附近；小红的说法是错误的，理由：因为事件的发生具有随机性，故“6点朝上”的次数不一定是100次．
(3)列表如下：
小红投掷的点数点数之和小颖投掷的点数
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
∵共有36种等可能的情况，其中点数之和为3的倍数的情况一共有12种，
∴P(点数之和为3的倍数)＝＝.
