人教版A选修1-1第二章圆锥曲线与方程 教师

第二章 圆锥曲线与方程 知识要点
1、平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆．
即：。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．
2、椭圆的几何性质：
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
范围 且 且
顶点 、、 、、
轴长 短轴的长 长轴的长
焦点 、 、
焦距
对称性 关于轴、轴、原点对称
离心率
3、平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．即：。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
4、双曲线的几何性质：
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
范围 或， 或，
顶点 、 、
轴长 虚轴的长 实轴的长
焦点 、 、
焦距
对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称
离心率
渐近线方程
5、平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线．
6、抛物线的几何性质：
标准方程
图形
顶点
对称轴 轴 轴
焦点
准线方程
离心率
范围

第二章 圆锥曲线与方程单元综合测试
班别：　　　　　　　　 　 姓名：　　　　　　　　　　 成绩：　　　　

一、选择题(每小题5分，共60分)　　　　　　　　　　　
1．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为(　　)
A. B.　　　C. D.
2．双曲线3mx2－my2＝3的一个焦点是(0,2)，则m的值是(　　)
A．－1 　　　 B．1　　　　C．－ 　　 D.
3．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是(　　)
A．(－∞，0) B．(－12,0)
C．(－3,0) D．(－60，－12)
4．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为(　　)
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
5．已知两定点F1(－1,0)，F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段
6．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|
为C的实轴长的2倍，则C的离心率为(　　)
A. B. C．2 D．3
7．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，
则这样的直线(　　)
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条　　C．有无穷多条 D．不存在
8．已知(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是(　　)
A．x－2y＝0 B．x＋2y－4＝0 C．2x＋3y＋4＝0 D．x＋2y－8＝0
9．过椭圆＋＝1的右焦点作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，已知双曲线的焦点在x轴
上，对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过A、B两点，则双曲线的离心率e为(　　)
A. B. C. D.
10．双曲线－＝1(mn≠0)有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则m＋n的值为(　　)
A．3 B．2 C．1 D．以上都不对
11．设F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b<0)的左、右焦点，点P在双曲线上，若
·＝0，且||·||＝2ac(c＝)，则双曲线的离心率为(　　)
A. B. C．2 D.
12．已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意
一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(1,2] C．(1，] D．(1,3]
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．若双曲线的渐近线方程为y＝±x，它的一个焦点是(，0)，则双曲线的标准方程是
　　　　　　　　　　　．
14．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝__________，
∠F1PF2的大小为________．
15．已知F1、F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，点P是椭圆上任意一点，从F1引∠F1PF2
的外角平分线的垂线，交F2P的延长线于M，则点M的轨迹方程是　　　　　　　　．
16．过抛物线y2＝4x的焦点，作倾斜角为的直线交抛物线于P，Q两点，O为坐标原点，
则△POQ的面积等于__________．
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共60分)
17．(10分)求与椭圆＋＝1有公共焦点，并且离心率为的双曲线方程．








18、（12分）知抛物线，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的
中点，M是FQ的中点，求点M的轨迹方程．















19．(12分)已知双曲线中心在原点，且一个焦点为(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N
两点，MN的中点的横坐标为－，求此双曲线的方程．








20、如图，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右项点分别为A1，A2，左右焦点分别为F1，F2，离心率为，|F1F2|=2，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点P（4，m）的直线PA1，PA2与椭圆分别交于点M，N，其中m＞0，求△OMN的面积S的最大值．






第二章圆锥曲线与方程单元综合测试参考答案
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．A 解析：∵a＝1，b＝，∴c＝＝，∴e＝＝，故选A.
2．A　解析　把方程化为标准形式－＋＝1，则a2＝－，b2＝－，
∴c2＝a2＋b2＝－＝4，∴m＝－1.
3．B 解析：∵a2＝4，b2＝－k，∴c2＝4－k.∵e∈(1,2)，∴＝∈(1,4)，k∈(－12,0)．
4．D 解析：设M(2,0)，由题设可知，把直线x＝－1向左平移一个单位即为直线x＝－2，
则点P到直线x＝－2的距离等于|PM|，所以动点P的轨迹为抛物线，故选D.
5．D 解析：依题意知|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝2，作图可知点P的轨迹为线段，故选D.
6．B 解析：不妨设双曲线C为－＝1(a>0，b>0)，并设l过F2(c,0)且垂直于x轴，则
易求得|AB|＝，∴＝2×2a，b2＝2a2，∴离心率e＝＝＝，故选B.
7．B 解析：由定义|AB|＝5＋2＝7，∵|AB|min＝4，∴这样的直线有且仅有两条．
8．D 解析：设l与椭圆的两交点分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则得＝－，所以
＝－.故方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.
9．C 解析：A(，1)，B(，－1)，设双曲线为－＝1(a>0，b>0)，渐近线方程为
y＝±x，因为A、B在渐近线上，所以1＝·，＝，e＝＝
＝＝.
10．C 解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，故双曲线－＝1中m>0，n>0，且
m＋n＝c2＝1.
11．A 解析：由·＝0可知△PF1F2为直角三角形，则由勾股定理，得
||2＋||2＝4c2，① 由双曲线的定义，得(||－||)2＝4a2，②
又||·||＝2ac，③ 由①②③得c2－ac－a2＝0，即e2－e－1＝0，
解得e＝或e＝(舍去)．
12．D 解析：＝＝＋|PF2|＋4a≥4a＋4a＝8a，当且仅当＝|PF2|，
即|PF2|＝2a时取等号．这时|PF1|＝4a.由|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，得6a≥2c，即e＝≤3，
得e∈(1,3]，故选D.
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．－y2＝1 解析：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，知＝，它的一个焦点是
(，0)，知a2＋b2＝10，因此a＝3，b＝1，故双曲线的方程是－y2＝1.
14．2；120°　解析：由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×3＝6，因为|PF1|＝4，
所以|PF2|＝2.在△PF1F2中，cos∠F1PF2＝＝－.　
∴∠F1PF2＝120°.
15．(x－)2＋y2＝4a2　　解析：由题意知|MP|＝|F1P|，∴|PF1|＋|PF2|＝|MF2|＝2a.
∴点M到点F2的距离为定值2a.
∴点M的轨迹是以点F2为圆心，以2a为半径的圆，其方程为(x－)2＋y2＝4a2.
16．2 解析　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，F为抛物线焦点，由,
得y2＋4y－4＝0，∴|y1－y2|＝
∴S△POQ＝|OF||y1－y2|＝2.
三、解答题
17．解：由椭圆方程＋＝1，知长半轴a1＝3，短半轴b1＝2，焦距的一半c1＝＝，
∴焦点是F1(－，0)，F2(，0)，因此双曲线的焦点也是F1(－，0)，F2(，0)，
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由题设条件及双曲线的性质，
得解得故所求双曲线的方程为－y2＝1. （10分）

18． [解析]：设M（），P（），Q（），易求的焦点F的坐标为（1，0）
∵M是FQ的中点，∴ ，又Q是OP的中点
∴ ，
∵P在抛物线上，∴，
所以M点的轨迹方程为. （12分）
19．解：设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，依题意c＝，
∴方程可以化为－＝1，
由得(7－2a2)x2＋2a2x－8a2＋a4＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，
∵＝－，∴＝－，解得a2＝2.
∴双曲线的方程为－＝1. （12分）
20、解：（Ⅰ）∵离心率为，|F1F2|=2，∴，∴a=2，c=，则b=1
∴椭圆C的方程的方程为：．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A1（-2，0），A2（2，0），
直线PA1，PA1的方程分别为：y=，y=
由得（9+m2）x2+4m2x+4m2-36=0
∴-2+xM=，可得.，=
由，可得（1+m2）x2-4mx+4m2-4=0
∴2+xN=，可得xN=，=
，
直线MN的方程为：，
?y===
可得直线MN过定点（1，0），故设MN的方程为：x=ty+1
由得（t2+4）y2+2ty-3=0
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，
|y1-y2|==
∴△OMN的面积S=（y1-y2）=2
令，则s=
∵，且函数f（d）=d+在[，+∞）递增，
∴当d=，s取得最小值