人教版九年级数学上册　22.1二次函数的图象与性质复习课件46张PPT

第一部分 夯实基础　提分多
第三单元 函数
第13课时 二次函数的图象与性质
基础点 1
二次函数的定义
基础点巧练妙记
形如(a，b，c是常数，a≠0)的函数．特别地，当a≠0，b＝c＝0时，y＝ax2是二次函数的特殊形式
基础点 2
二次函数的图象与性质
1．根据函数解析式判断函数性质及图象
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
判断
函数
性质 对称轴 直接运用公式x＝①________求解
注：还可利用x＝(其中x1、x2为y值相等的两个点对应的横坐标)求解
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
判断
函数
性质 顶点坐标 1. 直接运用顶点坐标公式

②________________求解；
2. 运用配方法将一般式转化为顶点式求解；
3. 将对称轴的x值代入函数表达式求得对应y值
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
判断
函数
性质 增减性 a>0时，在对轴左侧，y随x的增大而③________；在对称轴右侧，y随x的增大而④________ a<0时，在对称轴⑤________，y随x的增大而增大；在对称轴⑥______，
y随x的增大而减小
减小
增大
左侧
右侧
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
判断
函数
性质 最值 a>0时，当x＝⑦

______时，y的最小值为 ；
离对称轴越近的点函数值越小 a<0时，y的最大值

为⑧________；
离对称轴越近的点函数值越大
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
判断
函数
图象 a，决定抛物线开口方向 a⑨_____0 开口向上
a<0 开口向下
a，b决定抛物线的对称轴位置 b＝0 对称轴为y轴
a、b同号 对称轴为y轴⑩____侧
a、b异号 对称轴为y轴右侧
>
左
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
判断
函数
图象 c，决定抛物线与y轴交点的位置
c＝0 抛物线过原点
c>0 抛物线与y轴交于?______半轴
c<0 抛物线与y轴交于?______半轴
正
负
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
判断
函数
图象
b2－4ac，决定抛物线与x轴交点个数 b2－4ac＝0 与x轴有唯一交点(顶点)
b2－4ac>0 与x轴有?________交点
b2－4ac<0 与x轴没有交点
两个
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
判断
特殊
关系 2a＋b － 与1比较
2a－b － 与－1比较
b2－4ac 与x轴交点个数
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
判断
特殊
关系 a＋b＋c 令x＝1，看纵坐标
a－b＋c 令x＝－1，看纵坐标
4a＋2b＋c 令x＝2，看纵坐标
4a－2b＋c 令x＝－2，看纵坐标
2．根据函数图象判断相关结论






a?____ 0
b?____0
c＜0
b2－4ac＞0 a?____0
b＝0 c＞0
b2－4ac
?____0 a＞0
b?____0
c?____0
b2－4ac＞0 a ＜ 0
b____0 c ＜ 0
b2－4ac____0
＞
＞
＞
＜
＜
＞
=
＞
20

21


a＞0
b?____0
c＞0
b2-4ac?__0 a?____0
b＞0
c?____0
b2－4ac＞0 a?____0
b?____0
c＝0
b2－4ac＞0 a＞0
b?____0
c=0
b2－4ac?__0
＞
＜
＞
=
＜
＞
=
=
1．表达式的三种形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)；
(2)顶点式：____________(a为常数，a≠0，(h，k)为顶点坐标)；
(3)交点式：_________________ (a为常数，a≠0，x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标)；
基础点 3
二次函数表达式的确定
y＝a(x－h)2＋k
y＝a(x－x1)(x－x2)
顶点式 一般式 交点式，若顶点在原点，可设为y＝ax2.
配方
因式分解
(4)三种表达式之间的关系
2．待定系数法求二次函数的表达式：
(1)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，若系数a、b、c中有一个未知，则代入任意一点坐标；若有两个未知，则代入任意两点坐标；若三个都未知，根据下表所给的点坐标选择适当的表达式
已知 所设表达式
顶点＋其他点 y＝a(x－h)2＋k
与x轴的两个交点＋其他点 y＝a(x－x1)(x－x2)
与x轴的一个交点＋对称轴＋其他点
任意三个点 y＝ax2＋bx＋c
(2)联立方程(组)，求得系数或常数项；将所得系数或常数项代入表达式即可．
基础点 4
二次函数图象的平移
(1)上加下减：
y＝ax2＋bx＋c
y＝ax2＋bx＋c＋m
y＝ax2＋bx＋c＋n
向上平移m个单位
向下平移m个单位
(2)左加右减：
方法一：
y＝ax2＋bx＋c
化为
y＝a（x-h）2＋k

规律：
向右平移m个单位
y＝a（x-h-m）2＋k
向左平移m个单位
y＝a（x-h+m）2＋k
左+
右-
方法二：
y＝ax2＋bx＋c左右平移时，给每一个x都加m或减m.
向左平移m个单位
规律：
向右平移m个单位
y＝a（x+m）2＋b(x＋m)＋c
y＝a（x-m）2＋b(x－m)＋c
左+
右-
基础点 5
二次函数与一元二次方程、不等式的关系

1．二次函数与一元二次方程的关系
(1)抛物线与x轴有两个交点?b2－4ac ＞0?方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根；
(2)抛物线与x轴有一个交点?b2－4ac＝0?方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；
(3)抛物线与x轴无交点?b2－4ac＜0?方程ax2＋bx＋c＝0无实数根．
2. 二次函数与不等式的关系
(1)ax2＋bx＋c>0的解集?函数y＝ax2＋bx＋c的图象位于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围；
(2)ax2＋bx＋c<0的解集?函数y＝ax2＋bx＋c的图象位于x轴下方对应的点的横坐标的取值范围．
??????????





练
提
分
必
抛物线y＝x2＋6x＋8与x轴交点坐标为______________________；
当x2＋6x＋8＝0时，x的值为________；
当x2＋6x＋8>0时，x的取值范围为_____________；
x2＋6x＋8<0时，x的取值范围为___________．
(－2，0)或(－4，0)
－2或－4
x<－4或x>－2
－4例1　在探究二次函数图象性质的过程中，x与y的对应值如下表：
重难点精讲优练
类型 1
二次函数的顶点坐标、对称轴与增减性
x … －1 0 1 2 3 …
y … 0 －3 －4 －3 0 …
(1)表中二次函数表达式为______________；
(2)函数图象开口向________，顶点坐标为________，对称轴为________；
(3)当x＝____时，函数取最小值，最小值为________；
x … －1 0 1 2 3 …
y … 0 －3 －4 －3 0 …
y＝x2－2x－3
上
(1，－4)
x＝1
1
－4
(4)函数图象与y轴交点坐标为__________，与x轴交点坐标为_________________；
(5)画出此函数图象；
(0，－3)
(－1，0)，(3，0)
例1题图
例1题解图
(6)根据图象回答：x取何值时，y＞0；x取何值时，y＜0；x取何值时，y随x的增大而增大；x取何值时，y随x的增大而减小？
当x＜－1或x＞3时，y＞0；当－1＜x＜3时，y＜0；当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小．
练习1　已知：抛物线y＝x2－3kx＋2k＋.
(1)当顶点在y轴上时，k的值为________；
(2)当顶点在x轴上时，k的值为________；
(3)当函数图象经过原点时，k的值为________；
(4)当函数图象与x轴的两个交点在y轴的两侧时，k的取值范围为________．
0
解法提示：
(1)∵抛物线y＝x2－3kx＋2k＋ 顶点在y轴上，
∴－3k＝0，解得k＝0；
(2)∵抛物线y＝x2－3kx＋2k＋ 在x轴上，
∴b2－4ac＝0，
∴(－3k)2－4×1×(2k＋ )＝0，
解得k＝1或k＝－ ；
(3)抛物线y＝x2－3kx＋2k＋ 经过原点，
∴2k＋ ＝0，解得x＝－ ；
(4)设抛物线y＝x2－3kx＋2k＋ 的两个交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，
∵抛物线与x轴的两个交点在y轴的两侧，
∴x1x2＜0，
∴x1x2＝ ＝ ＜0，即k＜－ .
变式拓展　已知：二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)．
(1)当b＝2，c＝－3时，求二次函数的最小值；
(2)当c＝b2时，若在自变量x的值满足 b≤x≤b＋3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．
解：(1)当b＝2，c＝－3时，二次函数的解析式为y＝x2＋2x－3，即y＝(x＋1)2－4，
∴当x＝－1时，二次函数取得最小值－4；
(2)当c＝b2时，二次函数的解析式为y＝x2＋bx＋b2，其图象是开口向上，对称轴为x＝－ 的抛物线，
①若－ ＜b，即b＞0，
∴当b≤x≤b＋3时，y随x的增大而增大，
∴当x＝b时，y最小值＝b2＋b·b＋b2＝3b2，
∴3b2＝21，解得b1＝－ (舍)，b2＝ .
∴二次函数解析式为y＝x2＋ x＋7；
②若b≤－ ≤b＋3，即－2≤b≤0，
∴当x＝－ 时，y最小值＝(－ )2＋b·(－ )＋b2＝ b2，
∴ b2＝21，解得b1＝－2 (舍)，b2＝2 (舍)；
③若－ ＞b＋3，即b＜ -2
∴当b≤x≤b＋3时，y随x的增大而减小，
∴当x＝b＋3时，y最小值＝(b＋3)2＋b(b＋3)＋b2＝3b2＋9b＋9，∴3b2＋9b＋9＝21，即b2＋3b－4＝0，解得b1＝1(舍)，b2＝－4，∴二次函数解析式为y＝x2－4x＋16，
综上所述，b＝ 或b＝－4，
∴此时二次函数的解析式为y＝x2＋ x＋7或y＝x2－4x＋16.
类型 2
二次函数图象与系数a、b、c的关系
例2题图
C
例2　已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc＜0；②a＋b＋c＜0；③4a＋c＞2b；④2a－b＝0；⑤m(am＋b)＋b＜a(m≠－1)，其中，正确结论的个数为(　　)
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【解析】∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝－ ＝－1＜0，∴b＝2a，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，∴①错误；∵x＝1时，y＜0，∴a＋b＋c＜0，∴②正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，抛物线与x轴的一个交点在点(0，0)和(1，0)之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(－3，0)和(－2，0)之间，∴当x＝－2时，y＞0，∴4a－
2b＋c＞0，∴③正确；∵抛物线对称轴x＝－ ＝－1.∴b＝2a，即2a－b＝0，∴④正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，∴当x＝－1时，y有最大值，∴am2＋bm＋c＜a－b＋c(m≠－1)，∴m(am＋b)＜a－b(m≠－1)，∴⑤正确；综上所述，正确的结论有②③④⑤.
A
练习2　已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点(－2，0)、(x2，0)，且1＜x2＜2，与y轴正半轴的交点在(0，2)下方，在下列结论中：①b＜0，② 4a－2b＋c＝0，③2a－b＋1＜0，④b＜a＜c.其中，正确的结论是(　　)
A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②④
【解析】画出图象如解图，
∵开口向下，∴a＜0，∵x＝－ ＜0，∴b＜0，∴①正确；根据二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点(－2，0)、(x2，0)，且1＜x2＜2，与y轴的正半轴的交点在(0，2)的下方，把x＝－2代入得：4a－2b＋c＝0，∴②正确；由4a－2b＋c＝0得2a－b＝－
例2题解图
而0＜c＜2，∴－1＜－ ＜0，∴－1＜2a－b＜0，∴2a－b＋1＞0，∴③错误；∵图象与x轴两交点为(－2，0)，(x2，0)，且1＜x2＜2，对称轴x＝－ ＝－ ，则对称轴－ ＜－ ＜0，且a＜0，∴－a＞－b，∴a＜b＜0，由抛物线与y轴的正半轴的交点在(0，2)的下方，得c＞0，即a＜b＜c，∴④错误；∴正确的结论为①②.
类型 3
二次函数与一元二次方程的关系
例3　已知抛物线y＝(x－m)2－(x－m)，其中m是常数．
(1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
(2)若该抛物线的对称轴为直线x＝ .
①求该抛物线的函数解析式；②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点
【自主解答】(1)证明：
∵y＝(x－m)2－(x－m)＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m，
∴b2－4ac＝[－(2m＋1)]2－4×1×(m2＋m)＝4m2
＋4m＋1－4m2－4m＝1＞0，
∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
(2)解：①∵y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m的对称轴为直线x＝－ ＝ ，
抛物线对称轴为直线x＝ ，
∴ ＝ ，
解得m＝2，
∴抛物线解析式为y＝x2－5x＋6；
②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线的解析式为
y＝x2－5x＋6＋k.
∵抛物线y＝x2－5x＋6＋k与x轴只有一个公共点，
∴Δ＝52－4(6＋k)＝0，
∴k＝ ，
即把该抛物线沿y轴向上平移 个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
练习3　(2017张家界节选)已知抛物线c1的顶点为A(－1，4)，与y轴的交点为D(0，3)．
(1)求c1的解析式；
(2)若直线l1：y＝x＋m与c1仅有唯一的交点，求m的值；
(3)若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，平行于x轴的直线记作l2：y＝n.试结合图形回答：当n为何值时，l2与c1和c2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点．
解：(1)∵抛物线c1的顶点为A(－1，4)，
∴设抛物线c1的解析式为y＝a(x＋1)2＋4，
∵点D(0，3)在抛物线上，
∴a(0＋1)2＋4＝3，
∴a＝－1，
则抛物线c1的解析式为y＝－(x＋1)2＋4，
即y＝－x2－2x＋3；
(2) 由题意可得，

即x2＋3x＋m－3＝0，
∵直线与抛物线仅有唯一的交点，
∴b2－4ac＝9－4(m－3)＝0，解得m＝ ；
(3)根据题意可得抛物线c1：y＝－(x＋1)2＋4关于y轴对称的抛物线c2的解析式为：y＝－(x－1)2＋4.

①由图象可得当n＝4时，直线y＝4经过两抛物线顶点(－1，4)，(1，4)，此时直线y＝4与抛物线有两个交点；
②当n＝3时，直线y＝3，经过两抛物线的交点D(0，3)，此时直线y＝3与抛物线有三个交点；
③当n＜3或3＜n＜4时，直线y＝n与抛物线有四个交点．