4.4 探索三角形相似的条件课时作业（1）

4.4 探索三角形相似的条件课时作业（1）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如图，△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，DE⊥AC，则图中与△ABC相似的三角形有（　　）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
2．如图，已知D是△ABC中的边BC上的一点，∠BAD=∠C，∠ABC的平分线交边AC于点E，交AD于点F，那么下列结论中错误的是(　　)
A． △BDF∽△BEC B． △BFA∽△BEC C． △BAC∽△BDA D． △BDF∽△BAE
3．如图，AB∥CD，AC，BD，EF相交于点O，则图中相似三角形共有(　 　)
A． 1对 B． 2对 C． 3对 D． 4对
4．如图，是矩形的边上任意一点，是边上一点，，图中一定相似的三角形是（ ）
A． ①与② B． ③与④ C． ②与③ D． ①与④
5．具备下列各组条件的两个三角形中，不一定相似的是（ ）
A． 有一个角是的两个等腰三角形 B． 有一个角为的两个等腰三角形
C． 有一锐角对应相等的两个直角三角形 D． 图中的与相似
6．如图，在平行四边形中，是延长线上一点，连接，交于点，交于点，那么图中相似三角形（不含全等三角形）共有（ ）
A． 6对 B． 5对 C． 4对 D． 3对
7．如图，在Rt△ABC中， CD是边AB上的高，若AC=4，AB=10，则AD的长为（　　）
A． B． 2 C． D． 3
8．如图，是等边三角形，为的中点，，垂足为．则图中和相似的三角形（不包含）有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
二、填空题
9．如图，∠A＝∠D＝80°，∠B＝40°，∠F＝60°，则_______∽_________．
10．如图，D是的边AB上一点，若，则∽，若，则∽．
11．如图，BD、CE是的高，图中相似三角形有__________对．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，作CD⊥AB于点D，则图中相似的三角形有________对，它们分别是_____________.
13．如图，在矩形中，点在上，交于，连接，则图中与一定相似的三角形是________．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，则△BCD与△ABC的周长之比为________．
三、解答题
15．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE．求证：△ABE∽△ACD．
16．如图，BC与DF交于点，求证：∽．
17．如图，在梯形中，，．
请再写出图中另外一对相等的角；
若，，试求梯形的中位线的长度．
18．如图所示，在平行四边形ABCD中，过点B作，垂足为E，连接AE，F为AE上的一点，且，求证：∽．
19．在中，，，点在边上，．
求证：；
求的长．
20．已知：如图，、交于点，．
求证：；
（2）与相似吗？为什么？
图中还有哪些三角形相似？请直接写出来．
21．如图，点是菱形的对角线上一点，连接并延长，交于，交的延长线点．问：
图中与哪个三角形全等？并说明理由；
求证：；
猜想：线段，，之间存在什么关系？并说明理由．
参考答案
1．D
【解析】分析：根据相似三角形的判定定理，利用已知条件判定相似的三角形．
详解：
∵DE⊥BC，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠A=∠EDC=∠BCD∴△CAD∽△DCE∽△BDE∽△BCD∽△ABC∴共有四个三角形与Rt△ABC相似．有四个，分别是△DBE，△ACD，△CDE，△CBD，可以运用相似三角形的判定进行验证．故选D．
点睛：主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况，是证明相似的关键．
2．A
【解析】试题分析：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴△BAC∽△BDA．故C正确．
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴△BFA∽△BEC．故B正确，∴∠BFA=∠BEC，∴∠BFD=∠BEA，∴△BDF∽△BAE．故D正确．而不能证明△BDF∽△BEC，故A错误．故选A．
考点：相似三角形的判定．
3．C
【解析】
【分析】
找图中的相似三角形，根据相似三角形的判定方法，有两组对应角相等的三角形相似即可判定.
【详解】
AB∥CD，
∴
∴ ∴共有3对相似三角形．
故选:C.
【点睛】
考查相似三角形的判定，有两组对应角相等的三角形相似是判定两个三角形相似的常用方法.
4．A
【解析】
【分析】
由矩形ABCD，根据矩形四个角为90°，的∠A=∠D=90°；根据直角三角形中两锐角互余，得∠AEF+∠AFE=90°，又有∠EFC=90°，根据同角的余角相等，可得∠CFD=∠AEF;根据两个角对应相等的三角形相似，得△AEF∽△DFC.
【详解】
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°
∵∠EFC=90°
∴∠AEF+∠AFE=90°，∠AFE+∠DFC=90°
∴∠AFE=∠DFC=90°
所以△AFE∽△DFC,所以答案选择A项.
【点睛】
本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定。注意相似的判定是解决本题的关键.
5．A
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
A.?∵36°是等腰三角形的顶角与底角不能确定，
∴两个三角形不一定相似，故本选项错误；
B.?∵108°只能是等腰三角形的定角，
∴此三角形的底角一定相等，
∴两个三角形一定相似，故本选项正确；
C.?∵两个直角三角形的直角一定相等，且有一锐角对应相等，
∴两个三角形一定相似，故本选项正确；
D.?∵∠B′A′C′=180°?36°?39°=105°，
∴图中的△ABC与△A′B′C′相似，故本选项正确.
故答案选A.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与等腰三角形的性质.
6．B
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理进行解答即可．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠EBF=∠EAD，∠EFB=∠EDA，
∴△EFB∽△EAD；
同理可得，△FGC∽△DGA，△EBF∽△DCF，△GAE∽△GCD，△ADE∽△CDF．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质等知识点，能运用相似三角形的判定定理进行证明是解此题的关键．
7．【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】求出∠ADC=∠ACB=90°，∠CAD=∠BAC，推出△CAD∽△BAC，得出比例式，代入求出即可．
解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∵∠CAD=∠BAC，
∴△CAD∽△BAC，
∴，
∵AC＝4，AB＝10，
∴，
∴AD＝.
故选A.
【点睛】考查了相似三角形的性质和判定，关键是能根据相似得出比例式．
8．C
【解析】
【分析】
利用等边三角形的性质得出各角的度数，进而得出和△AED相似的三角形．
【详解】
∵△ABC是等边三角形，D为AC的中点，DE⊥AB，垂足为E，
∴∠ABD=∠CBD=30°，∠A=∠C=60°，
∴∠ADE=30°，
则图中和△AED相似的三角形（不包含△AED）有：△ADB，△DEB，△CDB．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定以及等边三角形的性质，得出三角形各内角度数是解题关键．
9． △ABC △DEF
【解析】
【分析】
由三角形内角和可求出∠E=40°，根据两角分别相等的两个三角形相似即可得解.
【详解】
在△DEF中，∠D=80°，∠F=60°,
∴∠E=180°-∠D-∠F=180°-80°-60°=40°.
在△ABC和△DEF中，
∠A＝∠D＝80°，
∠B＝∠E=40°
∴△ABC和△DEF
故答案为：△ABC；△DEF
【点睛】
本题考查了运用：两角分别相等的两个三角形相似，进行证明.
10．
【解析】
【分析】
运用“两角对应相等，两三角形相似”进行解答.
【详解】
若∠1=∠B，因∠A是公共角，可证明∽；若∠2=∠ACB，因∠A是公共角，可证明∽.
【点睛】
本题考查了有两角对应相等的三角形相似.
11．2对（∽，∽）
【解析】
【分析】
由△ACE和△ABD均为直角三角形且有公共角，可判定两个三角形相似；由△EOB和△DOC均为直角三角形且有对顶角，可判定两个三角形相似.
【详解】
解：∵∠A=∠A，∠AED=∠ADB=90°，
∴△ACE∽△ABD，
∵∠EOB=∠DOC，∠BEO=∠CDO=90°
∴△EOB∽△DOC，
故答案为：2
【点睛】
本题考查了有两角对应相等的三角形相似.
12．三△ACD∽△ABC △BCD∽△BAC △ACD∽△CBD
【解析】
【分析】
由在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，即可证得∠ADC=∠BDC=90°，又由同角的余角相等，证得∠A=∠BCD，根据有两角对应相等的三角形相似，证得△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD.
【详解】
∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD，
故答案为3，△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意有两角对应相等的三角形相似定理的应用，注意数形结合思想的应用．
13．
【解析】
【分析】
由矩形的性质得出∠A=∠D=90°，再由角的互余关系得出∠AEB=∠DFE，即可得出结论．
【详解】
∵ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
∵∠DEF+∠DFE=90°，
∴∠AEB=∠DFE，
∴△ABE∽△DEF．
故答案为：△DEF．
【点睛】
此题考查了矩形的性质、相似三角形的判定方法；熟练掌握矩形的性质，有两角对应相等的两个三角形相似是常用的判定方法．
14．1∶2
【解析】分析：易证得△BCD∽△BAC，得∠BCD=∠A=30°，那么BC=2BD，即△BCD与△BAC的相似比为1：2，根据相似三角形的周长比等于相似比即可得到正确的结论．
详解：∵∠B=∠B，∠BDC=∠BCA=90°，
∴△BCD∽△BAC；①
∴∠BCD=∠A=30°；
Rt△BCD中，∠BCD=30°，则BC=2BD；
由①得：C△BCD：C△BAC=BD：BC=1：2；
故答案为：1:2．
点睛：此题主要考查的是直角三角形和相似三角形的性质；
相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
15．见解析.
【解析】分析：先由∠BAC=∠BDC，∠AOB=∠DOC，得出∠ABE=∠ACD，再根据∠BAC=∠DAE可得出∠DAC=∠EAB，故可得出结论．
详解：
∵∠BAC=∠BDC，∠AOB=∠DOC，
∴∠ABE=∠ACD
又∵∠BAC=∠DAE
∴∠BAC+∠EAC=∠DAE+∠EAC
∴∠DAC=∠EAB
∴△ABE∽△ACD．
点睛：考查了相似三角形的判定．①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
16．见解析
【解析】
【分析】
由三角形外角关系可得，，又已知，故可得到∠B=∠D，又因公共角∠A，故可证两三角形相似.
【详解】
，
，
∴，
又是公共角，
∴∽．
【点睛】
本题考察了运用两角对应相等判定两三角形形似的方法.
17．(1)见解析；（2）6.5
【解析】
【分析】
（1）由AD∥BC，可得∠ACB=∠DAC；（2）根据两组角相等可求得△ABC∽△DCA，可得AC2=BC?AD，进而求得AD的值，根据梯形的中位线定理即可求得中位线的长度．
【详解】
解：∵，
∴．
∵，又，
∴，
∴，
即．
∵，，
∴．
解得，
∴梯形的中位线长为．
【点睛】
考查梯形中位线定理, 三角形中位线定理, 相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
18．详见解析.
【解析】
【分析】
由平行的性质结合条件可得到∠AFB=∠EDA和∠BAE=∠AED，可证得结论．
【详解】
四边形ABCD是平行四边形，
，，
，，
，，
，
∽．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和平行线的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
19．（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）证明∠B=∠C=36°；结合∠BAD=36°，得到△BAD∽△BCA．
（2）证明BD=AD（设为λ）；证明DC=AC=6；由△BAD∽△BCA，得到＝，即＝，求出λ=，即可解决问题.
【详解】
解：∵，，
∴；
∵，
∴．
∵，
∴（设为）；
∵，，
∴，；
∵，
∴，即，
解得：，
即的长．
【点睛】
该题主要考查了相似三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握相似三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定等几何知识点.
20．（1）解析解析；（2）相似；（3）；．
【解析】
【分析】
1、两个角相等的两个三角形相似，
2、由1中可知相似，又对应的边成比例以及角相等，即可证明.
3、由已知条件可得即可得出相似三角形.
【详解】
解：证明∵，，
∴；相似．
证明：∵；
∴，
∵，
∴；
（3）；．
【点睛】
本题考察了相似三角形的判定，熟悉掌握概念是解决本题的关键.
21．．理由见解析；（2）见解析；（3）．理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据已知利用SAS来判定两三角形全等．
（2）根据每一问的结论及已知，利用两组角相等则两三角形相似来判定即可；
（3）根据相似三角形的对应边成比例及全等三角形的对应边相等即可得到结论．
【详解】
解：．
理由：∵四边形是菱形，
∴，．
又∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
猜想：．
理由：∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定，菱形的性质等知识点，本题中依据三角形的全等或相似得出线段的相等或比例关系是解题的关键．