第8章 统计和概率的简单应用
8.1 中学生的视力情况调查
知识点 1 简单随机抽样的概念
1．下面的抽样方法是简单随机抽样的是( )
A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖
B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其质量是否合格
C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见
D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验
2．某中学为了解学生的视力情况，需要抽取部分学生进行调查，下列抽取方法中最合适的是( )
A．随机抽取一部分男生
B．随机抽取一个班级的学生
C．随机抽取一个年级的学生
D．在各个年级中，每班各随机抽取20名学生
3．2018·重庆A卷 为调查某大型企业员工对企业的满意程度，以下样本具有代表性的是( )
A．企业男员工
B．企业年满50岁及以上的员工
C．用企业人员名册，随机抽取三分之一的员工
D．企业新进员工
4．为了解某市老人的身体健康状况，在以下抽样调查中，你认为样本选择较好的是________．(填序号)
①100位女性老人；
②公园内100位老人；
③在城市和乡镇选10个点，每个点任选10位老人．
5．在以下事件中：
①审查书稿有哪些科学性错误适合普查；
②了解全国足球迷的健康状况适合抽样调查；
③为了调查某省的环境污染情况，调查了该省城市的环境污染情况，利用此调查结果来反映该省的环境污染情况；
④某环保网站正在对“支持商店使用环保购物袋”进行在线调查，此种调查结果不具有普遍代表性．其中说法正确的有________．(只填序号)
6．小明在A班随机询问了30名同学，其中有10人患有近视，他又在同年级的B班询问了2名同学，发现其中有1人患有近视，于是，他认为B班的近视率比A班高，你同意他的观点吗？
7．现有30个零件，需从中抽取10个进行检查，如何采用简单随机抽样得到一个容量为10的样本？
知识点 2 用样本估计总体
8．2018·湘潭 每年5月11日是由世界卫生组织确定的世界防治肥胖日，某校为了解全校2000名学生的体重情况，随机抽测了200名学生的体重，根据体质指数(BMI)标准，体重超标的有15名学生，则估计全校体重超标学生的人数为( )
A．15 B．150 C．200 D．2000
/
图8－1－1
9．某校随机抽取200名学生，对他们喜欢的图书类型进行问卷调查，统计结果如图8－1－1.根据图中信息，估计该校2000名学生中喜欢文学类图书的人数是( )
A．800 B．600
C．400 D．200
10．李大伯承包了一个果园，种植了100棵樱桃树，今年已进入收获期，收获时，从中任选了10棵树并采摘了10棵树上的樱桃，分别称得每棵树所产樱桃的质量如下表：
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
质量(千克)
14
21
27
17
18
20
19
23
19
22
根据调查，市场上今年樱桃的批发价格为每千克15元，用所学的统计知识估计今年此果园樱桃按批发价格销售所得的总收入约为________元．
11．中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了解某中学2500位学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机调查400位家长，结果有360位家长持反对态度，则下列说法正确的是( )
A．调查方式是普查
B．该校只有360位家长持反对态度
C．样本是360位家长
D．该校约有90%的家长持反对态度
12．小亮同学为了估计全县九年级学生的人数，他对自己所在乡的人口和全乡九年级学生的人数做了调查：全乡人口约2万，九年级学生人数为300.全县人口约35万，由此他推断全县九年级学生人数约为5250，但县教育局提供的全县九年级学生人数为3000，与估计数据有很大偏差，根据所学的统计知识，你认为产生偏差的原因是___________________．
13．某学校抽查了某班级某月10天的用电量，数据如下表(单位：度)：
度数
8
9
10
13
14
15
天数
1
1
2
3
1
2
(1)这10天用电量的众数是________，中位数是________；
(2)求这个班级平均每天的用电量；
(3)已知该校共有20个班级，该月共计30天，试估计该校该月总的用电量．
14．某校有2000名学生，为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组在全校随机抽取了150名学生进行抽样调查．整理样本数据，得到下列图表：
某校150名学生上学方式频数分布表
方式
划记
频数
步行
正正正
15
骑车
正正正正正正正正正正一
51
乘公共交
通工具
正正正正正正正正正
45
乘私家车
正正正正正正
30
其他
正/
9
合计
150
/
图8－1－2
(1)理解画线语句的含义，回答问题：如果150名学生全部在同一个年级抽取，这样的抽取是否合理？请说明理由；
(2)根据抽样调查的结果，将估计出的全校2000名学生上学方式的情况绘制成条形统计图：
/
图8－1－3
(3)该校数学兴趣小组结合调查获取的信息，向学校提出了一些建议．如：骑车上学的学生数约占全校的34%，建议学校合理安排自行车停车场地．请你结合上述统计的全过程，再提出一条合理化建议：____________________________________________________．
8.1 中学生的视力情况调查
1．D 2.D
3．C [解析] 易知A，B，D选项的样本均不具有代表性，故选C.
4．③
5．①②④ [解析] ③调查城市的污染情况不能代表一个省的环境污染情况，一个省还包括农村．所以不对．①②符合普查和抽样调查的定义，所以正确，④环保网站正在对“支持商店使用环保购物袋”进行在线调查，此种调查结果不具有普遍代表性．由于不上网的人也有很多，所以此种调查结果不具有普遍代表性，所以④也正确．故填①②④.
6．解：不同意，因为在B班抽样调查时，选择的样本太小，不具有广泛性、代表性，导致调查结果不准确．
7．[解析] 抽签法适合总体个数较少的情况，本题中总体只有30个，所以可用抽签法．
解：答案不唯一，如：
先将30个零件编号：1，2，3，…，30，并把号码写在形状、大小相同的号签上(号签可以用小球、卡片、纸条等制作)，然后将这30个号签放在同一个不透明的箱子里均匀搅拌．抽签时，每次从中抽出1个号签，连续抽10次，就得到一个容量为10的样本．
8．B [解析] 先求出样本中体重超标学生所占的百分比为×100%＝7.5%，然后再估计出总体中体重超标的学生所占的百分比约为7.5%，所以估计全校体重超标学生的 人数为7.5%×2000＝150.故选B.
9．A [解析] 2000×40%＝800(人)．
估计该校2000名学生中喜欢文学类图书的人数为800.故选A.
10．30000 [解析] 根据题意，得今年此果园樱桃的总产量约为(14＋21＋27＋17＋18＋20＋19＋23＋19＋22)÷10×100＝2000(千克)，则销售所得的总收入约为2000×15＝30000(元)．
11．D [解析] A项，共2500位学生家长，从中随机调查400位家长，此调查方式是抽样调查，故本项错误；B项，在调查的400位家长中，有360位家长持反对态度，故该校约有2500×＝2250(位)家长持反对态度，故本项错误；C项，样本是360位家长对“中学生骑电动车上学”的态度，故本项错误；D项，该校约有90%的家长持反对态度，本项正确．
12．样本选取不合理(答案合理即可)
13．解：(1)13度出现了3次，出现的次数最多，故众数为13度；
将10天的用电量从小到大排列，最中间的两个用电量均是13度，故中位数为13度．
故答案为13度，13度．
(2)平均每天的用电量为(8＋9＋10×2＋13×3＋14＋15×2)÷10＝12(度)．
(3)总用电量约为20×12×30＝7200(度)．
14．解：(1)不合理．因为如果150名学生全部在同一个年级抽取，那么全校每名学生被抽到的机会不相等，样本不具有代表性．
(2)如图所示．
/
(3)本题答案不唯一，下列答案供参考．
乘私家车上学的学生约400人，建议学校与交通部门协商安排停车区域．
第8章 统计和概率的简单应用
8.6 收取多少保险费才合理
/
知识点 概率的简单应用
1．在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”试验时，下列说法正确的是( )
A．随着抛掷次数的增加，正面向上的频率越来越小
B．当抛掷的次数n很大时，正面向上的次数一定为
C．不同次数的试验，正面向上的频率可能会不相同
D．若连续抛掷5次硬币都是正面向上，则第6次抛掷出现正面向上的概率小于
2．“闭上眼睛从布袋中随机地摸出1个球，恰好是红球的概率为”的意义是( )
A．布袋中有3个红球和2个其他颜色的球
B．如果摸球的次数很多，那么平均每摸球5次就有3次摸到红球
C．摸球5次就有3次摸到红球
D．摸球5次一定有2次不能摸到红球
3．某摊贩在街头设了一个摸彩游戏，在一个不透明的袋子里放了颜色不同的六个球，其中红、黄、蓝色球各一个，白色球三个，摸彩者只要交一定的钱就可以摸一次彩，摸彩时同时摸出两个球，如果摸到颜色相同的两个球，就可以得到100元奖金，否则就得到一个价值5元的布娃娃．为了不亏本，摊贩要求每个摸彩者每次至少交纳( )
A．18元 B．20元 C．24元 D．30元
4．事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生的次数是________．
5．某汽车运输公司在出售车票时，车票中已包含旅客意外保险费，旅客如果发生意外死亡，就可以得到平均每人30万元的赔偿．已知旅客发生意外死亡的概率为20万分之一，该汽车运输公司为每位旅客交纳的保险金是________元．
6．某篮球运动员去年共参加40场比赛，其中3分球的命中率为0.25，平均每场有12次3分球未投中．
(1)该运动员去年的比赛中共投中多少个3分球？
(2)在其中的一场比赛中，该运动员3分球共出手20次．小亮说：该运动员这场比赛中一定投中了5个3分球．你认为小亮的说法正确吗？请说明理由．
7．某商场为了吸引顾客，规定凡购买200元以上物品的顾客均可以直接获得购物券10元，或参加抽奖．抽奖的具体方法是：从一个装有100个彩球的盒子中任取一个球，摸到红球可获得100元的购物券；摸到黄、蓝球，可分别获得50元、10元的购物券；而摸到白球，不能获奖．已知100个球中，5个红球，10个黄球，20个蓝球，其余均为白球．现有一名顾客可以直接获购物券10元，也可以参加抽奖一次，你觉得他选择哪种方式更合算？
/
8．教材习题8.6第2题变式 某商场举行开业酬宾活动，设立了两个可以自由转动的转盘(如图8－6－1所示，两个转盘均被等分)，并规定：顾客购买满188元的商品，即可任选一个转盘转动一次，转盘停止后，指针所指区域内容为优惠方式；若指针所指区域空白，则无优惠．已知小张在该商场消费300元．
(1)若他选择转动转盘1，则他能得到优惠的概率为多少？
(2)小张选择转动哪个转盘更合算？请通过计算加以说明．
/
图8－6－1
9．某商场推出“25万元真情回馈”的促销活动．活动规定：凡在本商场一次购物200元以上(含200元)者均可当场抽奖．奖金分配见下表：
奖金等级
一等奖
二等奖
三等奖
四等奖
幸运奖
奖金数额/元
16000
8000
1000
80
20
中奖份数
4
10
66
360
560
(1)市场经理说：“我们是诚心的，只要抽奖，每个人都可以得奖，平均每份奖金250元．”你觉得这是否有欺骗顾客的嫌疑？
(2)小磊在看了广告后，觉得每抽奖250人次就会有一人中一等奖．他的想法对吗？为什么？
/
10．2017年5月14日是母亲节，《×××时报》在2017年5月11日刊登了一则有奖征集活动的启事：2017年5月11日起至2017年5月17日止，你可以通过拨打爱心热线电话、发送爱心短信和登录社区文明网站三种方式参加“爱的感言”和“爱的祝福”活动，活动规则如下：
/
图8－6－2
请你利用这则启事中的相关信息解决下列问题：
(1)活动主办方在这次活动中要准备的礼物总价值是多少元？
(2)若预计每天参与活动的人数是2000，其中你也发送了一条短信，请你算一算自己成为200元和50元礼物获得者的概率分别是多少．
/ 教 师 详 解 详 析 /
第8章 统计和概率的简单应用
8.6 收取多少保险费才合理
1．C 2.B
3．C [解析] 由题意，得摸到颜色相同的两个球的概率是，摸到颜色不同的两个球的概率是，每个摸彩者每次交纳的钱数应不少于100×＋5×＝24(元)，故选C.
4．5 [解析] 100×＝5，故答案为5.
5．1.5
6．解：(1)12÷(1－0.25)＝16(个)，16×0.25×40＝160(个)．
答：该运动员去年的比赛中共投中160个3分球．
(2)小亮的说法不正确．理由：虽然20×0.25＝5，但是某一场比赛的命中情况不能用这个平均命中率来衡量，所以该运动员这场比赛中不一定投中了5个3分球．
7．解：因为摸到红球的概率为＝，摸到黄球的概率为＝，摸到蓝球的概率为＝，
故参加抽奖获购物券的平均奖金数是×100＋×50＋×10＝12(元)，而直接获得购物券的奖金数是10元，因为12元＞10元，所以他选择参加抽奖更合算．
8．解：(1)∵转盘1中整个圆被平均分成了12个扇形，其中有6个扇形能得到优惠，∴P(得到优惠)＝＝.
(2)选择转动转盘1更合算．理由：
转动转盘1能获得的优惠为＝25(元)，转动转盘2能获得的优惠为40×＝20(元)，所以选择转动转盘1更合算．
9．解：(1)没有．奖金总份数：4＋10＋66＋360＋560＝1000，
奖金总额：16000×4＋8000×10＋1000×66＋80×360＋20×560＝250000(元)，
250000÷1000＝250(元)．
这说明平均每份奖金为250元，市场经理并没有欺骗顾客．
(2)不对．理由：中一等奖的概率为4÷1000＝0.004.理论上说，平均每250人次抽奖，就有一人获一等奖，但并不意味着250人抽奖后就一定有一人中一等奖．
10．解：(1)活动主办方在这次活动中要准备的礼物总价值是7×25×200＋200×50＝45000(元)．
(2)成为200元礼物获得者的概率是，成为50元礼物获得者的概率是.
第8章 统计和概率的简单应用
8.3 统计分析帮你做预测
/
知识点 用统计量的函数关系预测事物发展的结果
1．2018·郴州 甲、乙两超市在1月至8月期间的赢利情况统计图如图8－3－1所示，下列结论不正确的是( )
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图8－3－1
A．甲超市的利润逐月减少
B．乙超市的利润在1月至4月期间逐月增加
C．8月份两家超市的利润相同
D．乙超市在9月份的利润必超过甲超市
2．手机悦动圈是记录步行数和热量消耗数的工具，下表是孙老师用手机悦动圈连续记录的一周当中，每天的步行数和卡路里消耗数(热量消耗，单位：大卡)：
星期
一
二
三
四
五
六
日
步行数
5025
5000
4930
5208
5080
10085
10000
卡路里消耗
201
200
198
210
204
405
400
孙老师发现每天步行数和卡路里消耗数近似成正比例关系．孙老师想使自己的卡路里消耗数达到300大卡，预估他一天步行约为________步．(直接写出结果，精确到个位)
3．抽测了10名15岁男生的身高x(单位：cm)和体重y(单位：kg)，得到如下数据：
x(cm)
157
153
151
158
156
159
160
158
160
162
y(kg)
45.5
44
42
46
44.5
45
46.5
47
45
49
(1)在如图8－3－2所示的直角坐标系中描出这10个点；
(2)你能从图中发现身高与体重近似成什么关系吗？如果近似成一次函数关系，试画出一条直线来近似地表示这种关系．
/
图8－3－2
4．某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作．已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格，进行了4天的试销，试销情况如下表所示：
第1天
第2天
第3天
第4天
售价x(元/双)
150
200
250
300
销售量y(双)
40
30
24
20
(1)观察表中数据，x，y满足什么函数关系？请求出这个函数的表达式(不要求写自变量的取值范围)；
(2)若商场计划每天的销售利润为3000元，则其售价应定为多少元/双？
/
5．2017·盐城 “大美湿地，水韵盐城”．某校数学兴趣小组就“最想去的盐城市旅游景点”随机调查了本校部分学生，要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点，下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图：
/
图8－3－3
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)求被调查的学生总人数；
(2)补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“最想去景点D”的扇形圆心角的度数；
(3)若该校共有800名学生，请估计“最想去景点B”的学生人数．
6．2017·烟台 数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况，发现该冷柜的工作过程是当温度达到设定温度－20 ℃时，制冷停止，此后冷柜中的温度开始逐渐上升，当上升到－4 ℃时，制冷开始，温度开始逐渐下降，当冷柜制冷至－20 ℃时，制冷再次停止……按照以上方式循环进行．
同学们记录了44 min内15个时间点冷柜中的温度y(℃)随时间x(min)的变化情况，制成下表：
时间x/min
…
4
8
10
16
20
21
22
23
温度y/℃
…
－20
－10
－8
－5
－4
－8
－12
－16
时间x/min
24
28
30
36
40
42
44
…
温度y/℃
－20
－10
－8
－5
－4
a
－20
…
(1)通过分析发现，冷柜中的温度y是时间x的函数．
①当4≤x＜20时，写出一个符合表中数据的函数表达式：________________；
②当20≤x＜24时，写出一个符合表中数据的函数表达式：________________；
(2)a的值为________；
(3)如图8－3－4，在直角坐标系中，已描出了上表中部分数据对应的点，请描出剩余数据对应的点，并画出当4≤x≤44时温度y随时间x变化的函数图像．
/
图8－3－4
/
7．在“春季经贸洽谈会”上，某服装厂接到生产一批出口服装的订单，要求必须在12天(含12天)内保质保量完成，且当天加工的服装当天立即空运走．为了加快进度，车间采取工人轮流休息，机器满负荷运转的生产方式，生产效率得到了提高．这样每天生产的服装数量y(套)与时间x(天)的关系如下表：
时间x(天)
1
2
3
4
…
每天产量y(套)
22
24
26
28
…
由于机器损耗等原因，当每天生产的服装数达到一定量后，平均每套服装的成本会随着服装产量的增大而增大，这样平均每套服装的成本z(元)与生产时间x(天)的关系如图8－3－5所示．
/
图8－3－5
(1)求出每天生产的服装数量y(套)与生产时间x(天)之间的近似函数表达式；
(2)求出平均每套服装的成本z(元)与生产时间x(天)之间的近似函数表达式；
(3)已知这批外贸服装的订购价格为每套1570元，设车间每天的利润为W(元)，求W(元)与x(天)之间的函数表达式，并求出哪一天该生产车间获得最高利润，最高利润是多少元．
/ 教 师 详 解 详 析 /
第8章 统计和概率的简单应用
8.3 统计分析帮你做预测
1．D [解析] 从折线统计图中得，甲超市在1月至8月期间利润逐月减少，乙超市在1月至4月期间利润逐月增加，8月份两家超市利润相同，故选项A，B，C正确；至于9月份的利润哪家超市高些，从这幅统计图中看不出来，因此也就不能确定乙超市在9月份的利润能否超过甲超市，故选项D错误．
2．7500(答案合理即可) [解析] 设孙老师每天步行数为y，卡路里消耗数为x.∵孙老师每天步行数和卡路里消耗数近似成正比例关系，∴设y＝kx.将(201，5025)代入，得k＝25，∴y＝25x.当x＝300时，y＝25×300＝7500.
3．解：(1)如图所示：
/
(2)身高与体重近似成一次函数关系，可以作出如图所示的直线(图形合理即可)．
4．解：(1)由表中数据，得xy＝6000，
∴y是x的反比例函数，所求函数表达式是y＝.
(2)由题意，得(x－120)y＝3000.
将y＝代入，可得(x－120)＝3000，解得x＝240.
经检验，x＝240是原方程的解．
答：若商场计划每天的销售利润为3000元，则其售价应定为240元/双．
5．解：(1)被调查的学生总人数为8÷20%＝40(人)．
(2)最想去景点D的人数为40－8－14－4－6＝8(人)．
补全条形统计图如下：
/
扇形统计图中表示“最想去景点D”的扇形圆心角的度数为×360°＝72°.
(3)800×＝280(人)，
所以估计“最想去景点B”的学生人数为280人．
6．解：(1)①由表格可知当4≤x＜20时，x与y的乘积等于－80，
∴y＝－.故答案为y＝－.
②根据表格可知每经过1分钟，温度降低4 ℃，
∴当20≤x＜24时，y＝－4(x－20)－4，整理得y＝－4x＋76.故答案为y＝－4x＋76.
(2)由表格可知第42分钟时的温度与第22分钟时的温度相同，
∴a＝－12.故答案为－12.
(3)如图所示：
/
7．解：(1)由表格知，y是x的一次函数．
设函数表达式为y＝kx＋b，则
解得∴y＝2x＋20.
检验：当x＝3时，y＝2×3＋20＝26，
当x＝4时，y＝2×4＋20＝28，
∴(3，26)，(4，28)均满足y＝2x＋20，
故y与x之间的函数表达式为y＝2x＋20(1≤x≤12，且x为整数)．
(2)由题意，得当x＝1，2，3，4，5时，z＝400；
当x＝6，7，8，9，10，11，12时，
设函数表达式为z＝k′x＋b′.
∴
解得∴z＝40x＋200.
综上可知，z＝
(3)当x＝1，2，3，4，5时，W1＝(2x＋20)(1570－400)，即W1＝2340x＋23400.
∵2340>0，∴W1随x的增大而增大．
∴当x＝5时，W1取得最大值，最大值为2340×5＋23400＝35100.
当x＝6，7，8，9，10，11，12时，W2＝(2x＋20)·(1570－40x－200)＝(2x＋20)(1370－40x)＝－80x2＋1940x＋27400.
∵－80<0，∴抛物线开口向下．
抛物线的对称轴为直线x＝－＝12，在对称轴的左侧，W2随x的增大而增大．
∴当x＝12时，W2取得最大值，最大值为39160.
综上可知，W＝
∵39160>35100，
∴第12天该生产车间获得最高利润，最高利润为39160元．
8.2 货比三家
知识点 从几方面分析数据
1．2017·邵阳 “救死扶伤”是我国的传统美德．某媒体就“老人摔倒该不该扶”进行了调查，将得到的数据经统计分析后绘制成如图8－2－1所示的扇形统计图．根据统计图判断下列说法中错误的一项是( )
/
图8－2－1
A．认为依情况而定的占27%
B．认为该扶的在统计图中所对应的扇形圆心角是234°
C．认为不该扶的占8%
D．认为该扶的占92%
2．质检员分别抽取了甲、乙两个车间生产的各5个批次的产品，每批次抽10件产品进行调查，发现各批次优等品的个数的统计结果如下(单位：件)：
甲车间
4
5
5
7
9
乙车间
5
5
6
6
7
根据上述数据，两车间都说优等品的“平均”是6件，则乙车间表述中的“平均”的含义是指该厂产品所测数据的________数．
3．2017年某市全年实现地区生产总值3551.65亿元，按可比价格计算，比上年增长13.5%，经济平稳较快增长．其中，第一产业、第二产业、第三产业增加值与增长率情况如图8－2－2所示：
/
/
图8－2－2
根据图中信息，填空：
(1)第三产业的增加值为__________亿元；
(2)第三产业的增长率约是第一产业增长率的______倍(精确到0.1)；
(3)三个产业中第________产业增长得最快．
4．一则广告说：据调查，使用本厂牙膏可以使蛀牙率降低20%.并以图8－2－3示意其调查到的数据．
你觉得这样的统计图会给人留下怎样的印象？
/
图8－2－3
5．某商厦对销量较大的A，B，C三种品牌的纯牛奶进行了问卷调查，共发放问卷300份(问卷由单选题和多选题组成)，对收回的265份问卷进行了整理，部分数据如下．
最近一次购买各品牌纯牛奶用户比例如图8－2－4：
/
图8－2－4
用户对各品牌纯牛奶满意情况汇总如下表：
内容
质量
广告
价格
品牌
A
B
C
A
B
C
A
B
C
满意户数
196
115
115
132
173
108
98
101
101
结合上述信息，回答下列问题：
(1)A品牌牛奶的主要竞争优势是什么？请简要说明理由；
(2)广告对用户选择品牌有影响吗？请简要说明理由．
6．某校公布了反映该校各年级学生体育达标情况的两张统计图(如图8－2－5)，该校七、八、九三个年级共有学生800人．甲、乙、丙三名同学看了这两张统计图后，甲说：七年级的体育达标率最高；乙说：八年级共有学生264人；丙说：九年级的体育达标率最高．甲、乙、丙三名同学的说法中正确的是( )
/
图8－2－5
A．甲和乙 B．乙和丙
C．甲和丙 D．甲、乙和丙
7．甲、乙、丙三所学校进行了一次八年级数学联合考试．老师们对其中的一道题进行了分析，把每个学生的解答情况归结为下列四种情况之一：A.概念错误；B.计算错误；C.解答基本正确，但不完整；D.解答完全正确．
各校出现这四类情况的人数分别占本校八年级学生数的百分比如下表.
A
B
C
D
甲校(%)
6.25
12.75
44.75
36.25
乙校(%)
3.4
14.6
24.4
57.6
丙校(%)
13.3
31.7
17
38
各校八年级学生人数的扇形统计图如图8－2－6.
/
图8－2－6
已知甲校八年级有400名学生，根据以上信息，解答下列问题：
(1)求三校八年级学生总数；
(2)求三校解答完全正确的学生总数占三校八年级学生总数的百分比m(精确到0.01%)；
(3)请你对表中三校的数据进行对比分析，给丙校八年级数学老师们提一个值得关注的问题，并说明理由．
8．某中学七、八年级各选派10名选手参加学校举办的知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，成绩达到6分或6分以上为合格，达到9分或10分为优秀．这次竞赛后，七、八年级两支代表队选手成绩分布的条形统计图和成绩统计分析表如下所示，其中七年级代表队得6分、10分的选手人数分别为a，b.
队别
平均分
中位数
方差
合格率
优秀率
七年级
6.7
m
3.41
90%
n
八年级
7.1
7.5
1.69
80%
10%
/
图8－2－7
(1)请依据图表中的数据，求a，b的值；
(2)直接写出表中的m，n的值；
(3)有人说七年级的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级代表队的成绩比八年级代表队的成绩好，但也有人说八年级代表队的成绩比七年级代表队的成绩好．请你给出两条支持八年级代表队成绩好的理由．
8.2 货比三家
1．D [解析] 选项A，扇形统计图上直观地表示出“依情况而定”所占比例是27%，所以选项A正确；选项B，“该扶”所占比例是65%，整个圆形的圆心角的度数是360°，所以“该扶”所对应的扇形圆心角的度数是360°×65%＝234°，所以B正确；选项C，“不该扶”所占的百分比等于100%－27%－65%＝8%，所以选项C正确；选项D，“该扶”所占比例为65%，“依情况而定”不属于“该扶”，所以选项D错误．故选D.
2．中位
3．(1)1440.06 (2)3.2 (3)二
[解析] 由题图②可知，第三产业的增加值为1440.06亿元；(2)由题图①可知，14.50%÷4.50%≈3.2；(3)由题图①可知，三个产业的增长率依次为4.50%，14.60%，14.50%，由此可知，三个产业中第二产业增长得最快．
4．解：条形图的纵轴是从20%开始的，这样使左边条形的高度等于右边条形的高度的两倍，从而容易给人错误的印象：使用该厂牙膏会使蛀牙率降低50%.
5．解：(1)A品牌牛奶的主要竞争优势是质量好．
理由：因为对此品牌牛奶的质量满意的用户最多，而对其广告、价格满意的用户不是最多．
(2)广告对用户选择品牌有影响．理由：因为对于B，C两种品牌的纯牛奶在质量和价格上顾客满意率是相同的，但由于B品牌牛奶广告做得好，所以销量比C品牌大．
6．B [解析] 七年级的达标率为×100%≈87.8%，
八年级的达标率为×100%≈94.7%，
九年级的达标率为×100%≈97.9%，
则九年级的达标率最高．
八年级的学生数：800×33%＝264(人)，则乙、丙的说法是正确的．故选B.
7．解：(1)三校八年级学生总数为400÷＝1200(人)．
(2)乙校八年级人数为1200×＝500(人)，丙校八年级人数为1200×＝300(人)，
∴D情况总人数为400×36.25%＋500×57.6%＋300×38%＝547(人)，
∴三校解答完全正确的学生总数占三校八年级学生总数的百分比m＝×100%≈45.58%.
(3)丙校犯计算性错误的学生人数所占的比例很大，∴丙校的老师应加强学生在计算方面的练习(答案不唯一，合理即可)．
8．解：(1)根据题意，得
解得
(2)七年级10名选手的成绩分别为3，6，6，6，6，6，7，8，9，10，中位数为6，即m＝6；优秀率为×100%＝×100%＝20%，即n＝20%.
(3)八年级代表队的平均分高于七年级，方差小于七年级，成绩比较稳定，故八年级代表队的成绩比七年级代表队的成绩好(答案合理即可)．
第8章 统计和概率的简单应用
8.4 抽签方法合理吗
/
知识点 抽签方法合理吗
1．在有25名男生和24名女生的班级中，随机抽签确定一名学生代表，则下列说法正确的是( )
A．男、女生做代表的可能性一样大
B．男生做代表的可能性较大
C．女生做代表的可能性较大
D．男、女生做代表的可能性的大小不能确定
2．甲、乙、丙三人用牌面数字为“A，2，3”的三张扑克牌做游戏(牌的背面完全相同)，将三张牌打乱顺序正面朝下放置，然后由甲、乙、丙三人依次从中抽出一张(不放回)，且规定抽到“A”者获胜，下面对甲、乙、丙三人获胜概率的陈述正确的是( )
A．甲先抽，甲获胜的概率最大
B．乙获胜的概率比甲小，比丙大
C．丙最后抽，丙获胜的概率最小
D．三人获胜的概率相同，与抽牌的顺序无关
3．2017·威海 甲、乙两人用如图8－4－1所示的两个转盘(每个转盘被分成面积相等的3个扇形)做游戏，游戏规则：转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时，甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜，若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘．甲获胜的概率是( )
/
图8－4－1
A. B. C. D.
4．2018·武汉 一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1，2，3，4.随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率是( )
A. B. C. D.
/
图8－4－2
5．如图8－4－2所示，一只蚂蚁从A点出发到D，E，F处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条向左下或右下的路径(比如从A岔路口可以向左下到达B处，也可以向右下到达C处，其中A，B，C都是岔路口)，那么蚂蚁从A出发到达E处的概率是________．
6．2017·酒泉 在一次数学兴趣小组活动中，李燕和刘凯同学设计了如图8－4－3所示的两个转盘做游戏(每个转盘都被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字)．
/
图8－4－3
游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数之和小于12，则李燕获胜；若指针所指区域内两数之和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数之和大于12，则刘凯获胜(若指针停在等分线上，则重转，直到指针指向某一区域为止)．
(1)请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；
(2)分别求出李燕和刘凯获胜的概率．
7．2017·盐城 为了弘扬祖国的优秀传统文化，某校组织了一次“诗词大会”，小明和小丽同时参加，其中，有一道必答题是从如图8－4－4所示的九宫格中选取七个字组成一句诗，其答案为“山重水复疑无路”．
(1)小明回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，若随机选择其中一个，则小明回答正确的概率是________；
(2)小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”，第四个字是选“富”还是选“复”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率．
/
图8－4－4
/
8．某电视台在它的娱乐性节目中每期抽出两名场外幸运观众，有一期甲、乙两人被抽为场外幸运观众，他们获得了一次抽奖的机会，在如图8－4－5所示的翻奖牌的正面4个数字中任选一个，选中后翻开，可以得到该数字反面的奖品，第一个人选中的数字第二个人不能再选择了．
1
2
3
4
文具
手机
计算器
海宝
图8－4－5
(1)如果甲先抽奖，那么甲获得手机的概率是多少？
(2)小亮同学说：“甲先抽奖，乙后抽奖，甲、乙两人获得手机的概率不同，且甲获得手机的概率更大些．”你同意小亮同学的说法吗？为什么？请用列表法或画树状图法分析．
9．把大小和形状完全相同的六张卡片分成两组，每组三张，分别标上数字1，2，3，将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中分别随机抽取一张．
(1)试求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率．
(2)若取出的两张卡片数字之和为奇数，则甲胜；若取出的两张卡片数字之和为偶数，则乙胜．试分析这个游戏是否公平，并说明理由．
/
10．2017·苏州 七年级(1)班针对“你最喜爱的课外活动项目”对全班学生进行调查(每名学生分别选一个活动项目)，并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图．
男、女生所选项目人数统计表
项目
男生(人)
女生(人)
机器人
7
9
3D打印
m
4
航模
2
2
其他
5
n
/图8－4－6
根据以上信息解决下列问题：
(1)m＝________，n＝________；
(2)扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数为________°；
(3)从选航模项目的4名学生中随机选取2名学生参加学校航模兴趣小组训练，请用列举法(画树状图或列表)求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率．
/ 教 师 详 解 详 析 /
第8章 统计和概率的简单应用
8.4 抽签方法合理吗
1．B [解析] ∵这个班有25名男生和24名女生，∴用抽签方式确定一名学生代表，男生当选的可能性为＝，女生当选的可能性为＝，∴男生当选的可能性大于女生当选的可能性．故选B.
2．D [解析] 画树状图如图．
/
∵共有6种等可能的结果，甲、乙、丙获胜的情况都是2种，
∴P(甲胜)＝P(乙胜)＝P(丙胜)＝.故选D.
3．C [解析] 如图所示：
/
共有9种情况，其中和为偶数的有5种情况，故甲获胜的概率＝，故选C.
4．C [解析] 列表如下：
第二次
结果
第一次
1
2
3
4
1
(1，1)
(1，2)
(1，3)
(1，4)
2
(2，1)
(2，2)
(2，3)
(2，4)
3
(3，1)
(3，2)
(3，3)
(3，4)
4
(4，1)
(4，2)
(4，3)
(4，4)
由表可知，共有16种等可能结果，其中两次抽取的卡片上数字之积为偶数的有12种结果，所以P(两次抽取的卡片上数字之积为偶数)＝＝.故选C.
/
5. [解析] 画树状图如图．
∵共有4种等可能的结果，蚂蚁从A点出发到达E处有2种情况，∴蚂蚁从A点出发到达E处的概率是＝.故答案为.
6．解：(1)所有可能出现的结果如下表：
6
7
8
9
3
(3，6) 9
(3，7) 10
(3，8) 11
(3，9) 12
4
(4，6) 10
(4，7) 11
(4，8) 12
(4，9) 13
5
(5，6) 11
(5，7) 12
(5，8) 13
(5，9) 14
(2)从上面的表格可以看出，所有可能的结果共有12种，且每种结果出现的可能性相同，
其中小于12的结果有6种，即9，10，10，11，11，11，
∴P(李燕获胜)＝＝；
其中大于12的结果有3种，即13，13，14，
∴P(刘凯获胜)＝＝.
7．解：(1)
(2)画树状图如下：
/
由树状图可知共有4种等可能的结果，其中回答正确的结果有1种，
所以小丽回答正确的概率是.
8．解：(1)甲获得手机的概率是.
(2)不同意．理由：画树状图如下．
/
从树状图中可以看出，所有可能出现的结果共12种，而且这些情况都是等可能的．先抽奖的人获得手机的概率是；后抽奖的人抽中手机的概率是＝，所以甲、乙两人获得手机的概率是相同的．
9．解：(1)从两组卡片中各随机抽取一张，画树状图如图所示．
/
由树状图可知，取出的两张卡片数字之和共9种等可能的情况，其中数字之和为奇数的情况只有4种，所以取出的两张卡片数字之和为奇数的概率P＝.
(2)这个游戏不公平．理由：由(1)可知，取出的两张卡片数字之和为偶数的情况有5种，所以P(乙胜)＝，而P(甲胜)＝，≠，故这个游戏不公平．
10．解：(1)由统计图表可知：被调查的总人数＝4÷10%＝40(人)．
∵3D打印项目占30%，
∴3D打印项目的人数＝40×30%＝12(人)，
∴m＝12－4＝8，∴n＝40－16－12－4－5＝3.
故答案为8，3.
(2)144
(3)将2名男生和2名女生分别编号为男1，男2，女1，女2.列表如下：
男1
男2
女1
女2
男1
男2男1
女1男1
女2男1
男2
男1男2
女1男2
女2男2
女1
男1女1
男2女1
女2女1
女2
男1女2
男2女2
女1女2
由表格可知，所有可能出现的结果共有12种，并且它们都是等可能的，其中“1名男生、1名女生”有8种情况，
所以P(所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生)＝＝.
第8章 统计和概率的简单应用
8.5 概率帮你做估计
/
知识点 1 用大量试验所得的频率估计概率
1．2017·北京 下图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．
/
图8－5－1
下面有三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；
②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620.
其中合理的是( )
A．① B．② C．①② D．①③
2．2018·武汉 下表记录了某种幼树在一定条件下移植成活情况：
移植总数n
400
1500
3500
7000
9000
14000
成活数m
325
1336
3203
6335
8073
12628
成活的频率
(精确到0.001)
0.813
0.891
0.915
0.905
0.897
0.902
由此估计这种幼树在此条件下移植成活的概率是________．(精确到0.1)
知识点 2 用概率做估计
3．在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估计正面朝上的概率，其试验次数分别为10次，50次，100次，200次，其中试验相对科学的是( )
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组
4．一个不透明的袋中装有除颜色不同外其余均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后从中随机摸出1个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4，由此可估计袋中有红球________个．
5．2017·呼和浩特 我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”计算圆周率．随着时代发展，现在人们依据频率估计概率这一原理，常用随机模拟的方法对圆周率π进行估计．用计算机随机产生m个有序数对(x，y)(x，y是实数，且0≤x≤1，0≤y≤1)，它们对应的点在平面直角坐标系中全部在某一个正方形的边界及其内部，如果统计出这些点中到原点的距离小于或等于1的点有n个，那么据此可估计π的值为________．(用含m，n的式子表示)
6．儿童节期间，某游乐场举行一场活动．有一种游戏规则：在一个装有8个红球和若干个白球(每个球除颜色不同外，其他都相同)的袋中，随机摸1个球，摸到1个红球就得到1个小狗玩具．已知参加这种游戏的儿童有40000人，游乐场发放小狗玩具8000个．
(1)求参加此次活动得到小狗玩具的频率；
(2)请你估计袋中白球的数量接近多少．
7．养鱼专业户老李想知道他的鱼塘今年的收入情况，他第一次从鱼塘里捕捞150条鱼，称得平均每条鱼重2.1千克，把每条鱼做上记号又放回鱼塘中，等带记号的鱼完全混合于鱼群后，再捕捞200条，发现其中带记号的有3条．此时市场上鱼的售价为每千克4.2元，请你帮助老李计算一下他今年大约能收入多少元．
/
8．已知一只纸箱中装有除颜色不同外其余完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共100个．从纸箱中任意摸出1个球，摸到红色球、黄色球的概率分别是0.2，0.3.
(1)试求出纸箱中蓝色球的个数；
(2)小明又向纸箱中放进红色球若干个，小丽为了估计放入的红球的个数，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出1个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，她发现摸到红球的频率在0.5附近波动，请据此估计小明放入的红球的个数．
9．王老师将只有颜色不同的1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出1个球(有放回)，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到黑球
的次数m
23
31
60
130
203
251
摸到黑球
的频率
0.230
0.207
0.300
0.260
0.254
____
(1)补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出1个球是黑球的概率是________(精确到0.01)；
(2)估算袋中白球的个数；
(3)在(2)的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率．
/
10．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出1个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白
球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球
的频率
0.580
0.640
0.580
0.590
0.605
0.601
(1)当n很大时，请估计摸到白球的频率将会接近________(精确到0.1)；
(2)假如你去摸一次球，你摸到白球的概率是________，摸到黑球的概率是________；
(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球分别有______个和______个；
(4)解决了上面的问题，小明同学猛然顿悟，过去一个未解决的问题有办法了．这个问题是：在一个不透明的口袋里装有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，如何估计白球的个数(可以借助其他工具及用品)？请你应用统计与概率的思想和方法解决这个问题，写出解决这个问题的主要步骤及估算方法．
/ 教 师 详 解 详 析 /
第8章 统计和概率的简单应用
8.5 概率帮你做估计
1．B [解析] ①当频数增大时，频率逐渐稳定的值即为概率，500次的试验次数偏低，而频率稳定在了0.618，错误；②由题图可知频率稳定在了0.618，所以估计概率为0.618，正确；③这个试验是一个随机试验，当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率不一定是0.620，错误．故选B.
2．0.9 [解析] 表中移植的棵树最多的是14000棵，对应的频率是0.902，因此0.902可作为概率估计值，故答案为0.9.
3．D [解析] 大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在概率附近．
4．8 [解析] 由题意，得摸到黑球和白球的频率之和为1－0.4＝0.6，
∴总的球数为(8＋4)÷0.6＝20，
∴红球的个数为20－(8＋4)＝8.
5. [解析] 根据频率估计概率可知为.
6．解：(1)参加此次活动得到小狗玩具的频率＝＝.
(2)设袋中共有m个球，则摸到红球的概率P(红球)＝，∴≈，解得m≈40.
∴估计袋中白球的数量接近40－8＝32(个)．
7．解：设鱼塘中共有m条鱼．根据题意，得＝，解得m＝10000.∴10000×2.1×4.2＝8.82×104(元)．
答：老李今年大约能收入8.82×104元．
8．解：(1)由已知得纸箱中蓝色球的个数为100×(1－0.2－0.3)＝50(个)．
(2)设小明放入红球x个．
根据题意，得＝0.5，解得x＝60.
答：估计小明放入的红球的个数为60个．
9．解：(1)251÷1000＝0.251.
∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近，
∴估计从袋中摸出1个球是黑球的概率是0.25.
故答案为0.251，0.25.
(2)设袋中白球有x个．
根据题意，得＝0.25，
解得x＝3.
答：估计袋中有3个白球．
(3)用B代表1个黑球，W1，W2，W3代表3个白球，将摸球情况列表如下：
第二次
第一次
B
W1
W2
W3
B
(B，B)
(B，W1)
(B，W2)
(B，W3)
W1
(W1，B)
(W1，W1)
(W1，W2)
(W1，W3)
W2
(W2，B)
(W2，W1)
(W2，W2)
(W2，W3)
W3
(W3，B)
(W3，W1)
(W3，W2)
(W3，W3)
共有16种等可能的结果，其中两个球都是白球的结果有9种，
故小强两次都摸出白球的概率为.
10．解：(1)0.6 (2)0.6 0.4 (3)8 12
(4)添加：向口袋中添加一定数量的黑球(与白球的形状、大小、质地等相同)，并充分搅匀；
试验：进行大量重复摸球试验(有放回)，记录摸到黑球和白球的次数，分别计算出相应的比值，由比值估算概率；
估计：＝球的总个数，
球的总个数×摸到白球的概率＝白球的个数．(答案合理即可)
