4.4 探索三角形相似的条件课时作业（3）

4.4 探索三角形相似的条件课时作业（3）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如图，点O是△ABC内任一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，则图中相似三角形有( )
A． 1对 B． 2对 C． 3对 D． 4对
2．以下条件不可以判定与相似的是（ ）
A． B． ，且’
C． ’，’ D． ，且’
3．已知的三边长分别为，，，现在有长度分别为和的木条各一根，要做一个三角形木架与已知三角形相似，那么第三根木条的长度应为（ ）
A． 20cm B． 25cm C． 30cm D． 35cm
4．如图所示，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC；②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK.其中②～⑥中与①相似的是( )
A． ②③④ B． ③④⑤ C． ④⑤⑥ D． ②③⑥
5．如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若△CEF的面积为18cm2，则S△DGF的值为（　　）
A． 4cm2 B． 5cm2 C． 6cm2 D． 7cm2
6．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AD与BE相交于点G，若AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB＝DE，EF⊥AC于点F，以下结论：①△BMD≌△DFE；②△NBE∽△DBC；③AC＝2DF；④EFAB＝CFBC，其中正确结论的个数是（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
二、填空题
8．的三边长，，，的三边长，，，则________．
9．如图，在中，，，，则的长是________．
10．一个铝质的三角形框架的三边长分别为24 cm，30 cm，36 cm，要做一个与它相似的铝质三角形的框架，现有长27 cm，45 cm的两根铝材，要求以其中的一根为边，从另一根上截下两段(允许有余材)，则截法有______种．
11．如图所示，∠C＝∠E＝90°，AC＝3，AB＝4，AE＝2，当AD＝___时，Rt△ABC∽Rt△ADE.
12．如图，在?ABCD中，AB＝10，AD＝6，点E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF与△CDE相似，则BF的长是________．
13．已知：如图，在中，、是上两点，且是等边三角形，，则的度数是________．
14．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是________（请填上编号）．

三、解答题
15．已知，在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，要使△ABC∽△，求△中的第三边长．
16．如图， ，试说明：∠ABD=∠EBC．
17．如图，在1×5的正方形的网格中有四边形ABCD，求∠BDC的度数．
18．如图， . 求证：AB=AE.
19．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是CA，AB，BC的中点，求证：△ABC∽△FDE.
20．△ABC和△A′B′C′的各角的度数与各边的长度如图，这两个三角形相似吗？若相似，则相似比是多少？若不相似，请说明理由．

21．如图，在四边形ABCD中，AD、BD相交于点F，点E在BD上，且．
（1）试问：∠BAE与∠CAD相等吗？为什么？
（2）判断△ABE与△ACD是否相似？并说明理由．
22．如图，在4×4的正方形网格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的正方形的顶点上．
(1)填空：∠ABC＝__________度，BC＝_________；
(2)求证：∠C＝∠E.
23．已知：如图，．
（1）求证：∠B=∠ADE；
（2）当∠BAC=90时，求证：EC⊥BC．
24．如图，在△ABC和△ADE中， ，点B，D，E在一条直线上．求证：△ABD∽△ACE.
参考答案
1．【考点】相似三角形的判定
【分析】根据点D,E,F分别为OA,OB,OC的中点,可得DE是△AOB的中位线,DF是△AOC的中位线,EF是△BOC的中位线,可得DE//AB,DF//AC,EF//BC,进而可判定△DOE∽△AOD, △DOF∽△AOC, △EOF∽△BOC,根据中位线性质可得,,
继而可得，可判定△DEF∽△ABC.
解：因为点D,E,F分别为OA,OB,OC的中点,
所以DE是△AOB的中位线,DF是△AOC的中位线,EF是△BOC的中位线,
所以DE//AB,DF//AC,EF//BC,
所以△DOE∽△AOD, △DOF∽△AOC, △EOF∽△BOC,
因为DE是△AOB的中位线,DF是△AOC的中位线,EF是△BOC的中位线,
所以,,
所以，
所以△DEF∽△ABC,
因此有四对相似三角形,
故选D.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定,解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定方法.
2．【考点】相似三角形的判定
【分析】根据三组对应边的比相等的两个三角形相似可对进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对、进行判断；根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对进行判断.
解：、因为，所以，即选项可以判断与相似；
、因为，，所以，即选项可以判断与相似；
、因为，，所以，即选项可以判断与相似；
、因为，，所以，即选项不可以判断与相似.
故选：.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似.
3．【考点】相似三角形的判定
【分析】先判断出第三根木条与50cm的边长是对应边，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
解：∵
∴第三根木条与50cm的边长是对应边，设为xcm，
∴
解得x=25cm.
故选B.
【点睛】考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等,对应边的比相等是解题的关键.
4．【考点】相似三角形的判定
【分析】先根据勾股定理计算出三角形各边的长度,再根据三边对应成比例两三角形相似进行判定即可.
解：设第个小正方形的边长为1,则△ABC的各边长分别为1,,,则
②△BCD的各边长分别为1,,,
③△BDE的各边长分别为2,,,（为△ABC对应各边长的2倍）,
④△BFG的各边长分别为5,,,（为△ABC对应各边长的?倍）,
⑤△FGH的各边长分别为2,,（为△ABC对应各边长的?倍）,
⑥△EFK的各边长分别为3,,,
根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到与三角形①相似的是③④⑤．故选B.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理,解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定方法.
5．【考点】相似三角形的判定
【分析】作GH⊥BC于H交DE于M，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC，证明△GDF∽△GBC，根据相似三角形的性质、三角形的面积公式计算．
解：作GH⊥BC于H交DE于M，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵F是DE的中点，
∴DF＝BC，
∵DF∥BC，
∴△GDF∽△GBC，
∴＝＝，
∴＝，
∵DF＝FE，
∴S△DGF＝×△CEF的面积＝6cm2，
故选：C．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
6．【考点】相似三角形的判定
【分析】如图，过点D作DF//AC交BE于点F，则△BCE△BDF, △GDF△GAE.再根据相似三角形的性质分别得到EC=DF,AE=4DF.所以AE:EC=.
解：如图，过点D作DF//AC交BE于点F，
则△BCE△BDF, △GDF△GAE.
∴=,,
∵AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3,
∴EC=DF,AE=4DF.
∴AE:EC=4DF:DF=4：=.
故选C.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，根据题意正确作出辅助线是解题的关键.
7．【考点】相似三角形的判定
【分析】根据全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质即可.
解：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边中线，
∴∠MBC＝∠C =45°,BM=AM=MC
∵DB＝DE,
∴∠DBE＝∠DEB
即∠DBM+45°＝∠CDE+45°.
∴∠DBM＝∠CDE.
∵EF⊥AC,
∴∠DFE＝∠BMD=90°
在△BMD和△DFE中
∴△BMD≌△DFE.
故①正确.
由① 可得∠DBE＝∠DEB，∠MBC＝∠C
∴△NBE∽△DCB，
故②错，对应字母没有写在对应的位置上.
∵△BMD≌△DFE，
∴BM=DF,
∵BM=AM=MC，
∴AC=2BM,
∴AC＝2DF.
故③正确
易证△EFC∽△ABC,所以=,
∴EFAB＝CFBC
故④正确
故选C.
【点睛】本题主要考查的是全等三角形、相似三角形性质和判定，等腰直角三角形的性质，
掌握基础知识是解题的关键.
8．【考点】相似三角形的判定
【分析】根据已知条件可知两三角形的对应边成的比值相等，由此即可得答案.
解：∵AB=5，BC=4，AC=3， A'B'=10，B'C'=8，A'C'=6，
∴AB： A′B′=BC：B′C′=AC：A′C′=1：2，
∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，
故答案为：∽.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟知三边的比对应相等的两个三角形相似是解题的关键.
9．【考点】相似三角形的判定
【分析】由平行可得到DE：BC=AD：AB，由DE=6可求得BC．
解：∵DE∥BC,
∴DE:BC=AD:AB=1:3，
即6:BC=1:3，
∴BC=18.
故答案为：18.
【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.
10．【考点】相似三角形的判定
【分析】先判断出两根铝材哪根为边,需截哪根,再根据相似三角形的对应边成比例求出另外两边的长,由另外两边的长的和与另一根铝材相比较即可.
解：∵两根铝材的长分别为27cm,45cm,若45cm为一边时,
则另两边的和为27cm,27＜45,不能构成三角形,
∴必须以27cm为一边,45cm的铝材为另外两边,
设另外两边长分别为x,y,则:
若27cm与24cm相对应时,
,
解得:x=33.75cm,y=40.5cm,
x+y=33.75+40.5=74.25cm＞45cm,故不成立,
若27cm与36cm相对应时,
,
解得:x=22.5cm,y=18cm,x+y=22.5+18=40.5cm＜45cm,成立,
若27cm与30cm相对应时,
,解得:x=32.4cm,y=21.6cm,x+y=32.4+21.6=54cm＞45cm,故不成立,故只有一种截法.
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质及三角形成立的条件,解决本题的关键是要根据三角形的边长分情况讨论,利用相似三角形三边对应成比例列式求解.
11．【考点】相似三角形的判定
解：由于∠C＝∠E＝90°，，根据两角对应相等，两三角形相似得：Rt△ABC∽Rt△ADE.所以：，即：AD=.
故答案：.
12．【考点】相似三角形的判定
解：∵在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，
∴CD=10，BC=6，DE=3．
∵△CBF∽△CDE，
∴BF：DE=BC：DC，
∴BF=6÷10×3=1.8．
13．【考点】相似三角形的判定
【分析】由可得出∠BPM=∠A,进而由等边三角形性质和角的转化可得.
解：∵
∴∠BPM=∠A,
∵是等边三角形
∴∠A+∠APN=60°，∠APN+∠MPN=60°
∴∠APB=∠BPM+∠MPN+∠APN=60°+60=120°.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟悉换算是解决本题的关键.
14．【考点】相似三角形的判定
解：∵①中的三角形的三边分别是：2， ， ；
②中的三角形的三边分别是：3， ， ；
③中的三角形的三边分别是：2，2，2；
④中的三角形的三边分别是：3， ，4；
∵①与③中的三角形的三边的比为：1： ：
∴①与③相似．
故答案为：①③．
【点睛】相似三角形的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
15．【考点】相似三角形的判定
【分析】此题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例的两个三角形相似，分析作答即可．
解：已知在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△ 的两边长分别为1，1.5，可以看出，△的两边分别为△ABC的两边长的一半，因此要使△ABC∽△需两三角形各边对应成比例，则第三边长就为4的一半即2．
16．【考点】相似三角形的判定
【分析】先根据三边对应成比例,两三角形相似可判定△ABC∽△DBE,再根据相似三角形对应角相等可得: ∠ABC＝∠DBE,然后根据角的和差关系可得∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC,继而可证: ∠ABD＝∠CBE.
解：∵,
∴△ABC∽△DBE,
∴∠ABC＝∠DBE,
∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC,
即∠ABD＝∠CBE.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质,解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定和性质.
17．【考点】相似三角形的判定
【分析】先根据勾股定理计算出网格中三角形的各个边长,然后求出各边比值,根据三边对应成比例两三角形相似可得△ABD∽△DCB,然后再可得∠BDC＝∠BAD＝135°.
解：由图知AB＝,AD＝1,BD＝,BC＝5,DC＝,
∴,,,
∴,
∴△ABD∽△DCB,
∴∠BDC＝∠BAD＝135°.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理,解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定方法.
18．【考点】相似三角形的判定
【分析】根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得△ADE∽△CAB，再根据相似三角形的对应角相等可得到∠AED=∠ABC，从而可证AB=AE.
解：∵，
∴△ADE∽△CAB，（三条对应边成比例，两三角形相似），
∴∠AED=∠ABC，
∴AB=AE.
19．【考点】相似三角形的判定
【分析】根据三角形中位线的判定可得:DE,DF,EF,是△ABC的中位线,然后根据中位线的性质可得:,最后根据三边对应成比例,两三角形相似可判定△ABC∽△FDE.
解：∵点D,E,F分别是CA,AB,BC的中点,
∴,
∴△ABC∽△FDE.
【点睛】本题主要考查三角形中位线的判定和性质,相似三角形的判定,解决本题的关键是要熟练掌握中位线的判定和性质,相似三角形的判定.
20．【考点】相似三角形的判定
【分析】由已知可推出两个图形对应角相等，对应边成比例,所以相似.
解：∵∠A＝180°－∠B－∠C＝82.5°，∠A′＝180°－∠B′－∠C′＝82.5°，
∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′.
又∵,，，
∴.
∴根据相似图形的定义可知，△ABC与△A′B′C′相似，相似比是3∶1.
【点睛】本题考核知识点：相似判定. 解题关键点：理解相似的条件.
21．【考点】相似三角形的判定
【分析】(1)、根据，得出△ABC∽△AED，从而说明∠BAC=∠EAD，然后得出答案；(2)、根据得出，结合∠BAE=∠CAD得出三角形相似.
解：（1）∠BAE与∠CAD相等．
在△ABC和△AED中，
∵，
∴△ABC∽△AED，
∴∠BAC=∠EAD，
∴∠BAE=∠CAD；
（2）△ABE与△ACD相似．
由
得,
在△ABE和△ACD中，
∵，
∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ACD．
22．【考点】相似三角形的判定
【分析】(1)根据正方形的对角线可得∠ABC的补角等于45°,即可求出∠ABC=135°,根据BC是正方形的对角线,利用勾股定理进行计算即可.
(2)先根据勾股定理计算出网格中三角形的各个边长,然后求出各边比值,根据三边对应成比例两三角形相似可得△ABD∽△DCB,然后再可得
解：(1) 135° 2
(2) 由图知,AB＝2,BC＝2,AC＝2,DF＝,EF＝2,DE＝,
∴,,,
∴,
∴△DEF∽△ACB,
∴∠C＝∠E.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质,解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定和性质.
23．【考点】相似三角形的判定
【分析】(1)由相似三角形的判定可得△ABC∽△DEF，再根据相似三角形的性质即可解出;(2) 利用边角的关系证出△ABD∽△ACE，从而得出∠ACE+∠ACD=90°，得出结论.
解：（1）∵
∴△ABC∽△DEF???
∴，
（2）∵BAC=DAE??
∴BAD=CAE?
又∵
∴?
∴△ABD∽△ACE?
∴ABD=ACE
∵BAC=90°
∴ABD+ACD=90°?????
∴ACE+ACD=90°?
即ECBC.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键.
24．【考点】相似三角形的判定
【分析】由在△ABC和△ADE中，，可证得△ABC∽△ADE，即可证得∠BAD=∠CAE，又由，即可证得：△ABD∽△ACE．
证明：∵在△ABC和△ADE中，，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵，
∴，
∴△ABD∽△ACE．