4.3.3余角和补角
学习目标：
1.掌握余角和补角的定义和性质，并能熟练应用.
2.正确地根据方位角确定方向.
3.让学生初步接触和体会演绎推理在数学中的应用.
学习重点：余角和补角的概念及其应用.
学习难点：余角和补角性质的应用中推理能力和表达能力的培养.
学习过程：
新知引入
（ppt展示）
（1）比莎斜塔的底部是石头堆砌而成的，量角器无法进入底部测量，
如何得到比萨斜塔偏离竖直的角度？
∠1与∠2有什么关系？
（2）一张长方形纸片，沿一个角折叠后，图中的
∠1与∠2有什么数量关系 ？
∠3与∠4呢？
新知讲解
活动1 余角和补角的定义
●归纳：余角的定义（PPT演示）
如果两个角的和等于_____（直角），就说这两个角互为_____，即其中每一个角是另一个角的余角.
符号语言：
∵∠1+∠2=____
∴∠1与∠2互为_____
反之：
∵∠1与∠2互为_____
∴∠1+∠2=______
§质疑：互余的角是否一定是锐角吗？
●归纳：余角的定义（PPT演示）
如果两个角的和等于____平角），就说这两个角互为____，即其中每一个角是另一个角的补角
符号语言：
∵∠3+∠4=180°
∴______________
反之：
∵_________________
∴∠3+∠4=180°
§质疑：一个角的补角是否一定是钝角？
巩固练习
1、帮∠α找朋友
2、一个角的补角是它的余角的4倍，求这个角的余角是多少度？你有几种解法，试一试！
活动2 余角和补角的性质
（1）思考：已知∠1与∠2，∠3都互为补角.那么∠2和∠3的大小有什么关系？
由∠1与∠2和∠3都互为补角，
那么 ∠2＝180o－∠1，
∠3＝180o－∠1，
所以___________
你能总结出补角的一个性质？
（引导学生交流、探索，形成结论）
●归纳：补角的性质
同角（等角）的补角_________.（试一试用几何语言表述）
几何语言：∵∠2+∠1＝180o，
∠3+∠1＝180o
∴_______________
（2）思考：已知∠1与∠2，∠3都互为余角.那么∠2和∠3的大小有什么关系？
由∠1与∠2和∠3都互为余角，
那么 ∠2＝90o－∠1，
∠3＝90o－∠1，
所以______________.
余角也有类似的性质吗？
●归纳：余角的性质
同角（等角）的余角_________.（试一试用几何语言表述）
几何语言：∵∠2+∠1＝90o，
∠3+∠1＝90o
∴____________.
例题讲解
例1.如图，A，O，B在同一直线上,射线OD和射线OE分别平分∠AOC和 ∠BOC，图中哪些角互为余角？
巩固练习：
1、如图，E、F是直线DG上两点∠BEF=∠BFE，∠AED = ∠CFG = 90 °找出图中相等的角并说明理由。
2、如图∠AOC=∠BOC=∠DOE=90°，则
图中与∠3互余的角是_________.
图中与∠4互余的角是_________.
图中有与∠3互补的角吗?_________.
3、如图,已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD，则与∠AOC互余的角为_____________.
例2.如图，货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60o的方向上,同时,在它北偏东40o、南偏西10o、西北(即北偏西45o)方向上又分别发现客轮B,货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线.
●归纳：方位角：
有时以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向.
表示方向的角（方位角）在航行、测绘等工作中经常用到.
变式练习：
1、在图中，有A,B,C三个城市，地图被损坏了一部分，使C的具体位置看不清楚了，但知道C在A地的北偏东30°，在B地的南偏东45°，请你帮助确定C的位置.
2、如图，一只蚂蚁从O点出发，沿东北方向爬行2.5 cm碰到障碍物B后，折向北偏西60°的方向爬行3 cm到C.
(1)画出蚂蚁的爬行路线.
(2)求出∠OBC的度数.
四、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.说一说什么是互余？什么是互补？
2.余角和补角有什么性质？
3.什么是方位角？
五、布置作业
教材140页习题4.3第12、13题．
当堂测评
1、下列说法错误的是( )
A.同角或等角的余角相等
B.同角或等角的补角相等
C.两个锐角的余角相等
D.两个直角的补角相等
2、一个角的补角是( )
A.锐角 B.直角 C.钝角 D.以上三种情况都有可能
3、一个锐角的补角比这个角的余角大 ( )
A.300 B.450 C.600 D.900
4、从A看B的方向是北偏东21°，那么从B看A的方向是( )
A.南偏东69° B.南偏西69°
C.南偏东21° D.南偏西21°
5、若∠α=500,则它的余角是_______,它的补角是_______。
6、若∠β=1100,则它的补角是_______,它的补角的余角是_______
7、已知∠1=200,∠2=300,∠3=600,∠4=700,则∠2是____的余角,_____是∠4的补角.
8、若∠1与∠2互余,∠3和∠2互补,且∠3=1200,那么 ∠1=_______
9、已知一个角的补角是这个角的余角的3倍少400,求这个角。
10、画出射线OA，使射线OA在北偏西45°的方向上.
4.3.3余角和补角
教学目标：
1.掌握余角和补角的定义和性质，并能熟练应用.
2.正确地根据方位角确定方向.
3.让学生初步接触和体会演绎推理在数学中的应用.
教学重点：余角和补角的概念及其应用.
教学难点：余角和补角性质的应用中推理能力和表达能力的培养.
教学过程：
新知引入
（ppt展示）
（1）比莎斜塔的底部是石头堆砌而成的，量角器无法进入底部测量，
如何得到比萨斜塔偏离竖直的角度？
∠1与∠2有什么关系？
∠1+∠2=90°，∴∠2=90°-∠1（因此只需量出∠2的度数就可以解决问题了）
（2）一张长方形纸片，沿一个角折叠后，图中的
∠1与∠2有什么数量关系 ？
∠3与∠4呢？
引入课题
新知讲解
活动1 余角和补角的定义
●归纳：余角的定义（PPT演示）
如果两个角的和等于90o（直角），就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角.
符号语言：
∵∠1+∠2=90°
∴∠1与∠2互为余角
反之：
∵∠1与∠2互为余角
∴∠1+∠2=90°
§质疑：互余的角是否一定是锐角吗？
※注意：互余的两个角一定都是锐角。
●归纳：余角的定义（PPT演示）
如果两个角的和等于180o（平角），就说这两个角互为补角，即其中每一个角是另一个角的补角
符号语言：
∵∠3+∠4=180°
∴∠3与∠4互为补角
反之：
∵∠3与∠4互为补角
∴∠3+∠4=180°
§质疑：一个角的补角是否一定是钝角？
※注意：不一定
巩固练习
1、帮∠α找朋友
2、一个角的补角是它的余角的4倍，求这个角的余角是多少度？你有几种解法，试一试！
活动2 余角和补角的性质
（1）思考：已知∠1与∠2，∠3都互为补角.那么∠2和∠3的大小有什么关系？
由∠1与∠2和∠3都互为补角，
那么 ∠2＝180o－∠1，
∠3＝180o－∠1，
所以∠2＝∠3.
你能总结出补角的一个性质？
（引导学生交流、探索，形成结论）
●归纳：补角的性质
同角（等角）的补角相等.（试一试用几何语言表述）
几何语言：∵∠2+∠1＝180o，
∠3+∠1＝180o
∴∠2＝∠3.
（2）思考：已知∠1与∠2，∠3都互为余角.那么∠2和∠3的大小有什么关系？
由∠1与∠2和∠3都互为余角，
那么 ∠2＝90o－∠1，
∠3＝90o－∠1，
所以∠2＝∠3.
余角也有类似的性质吗？
●归纳：余角的性质
同角（等角）的余角相等.（试一试用几何语言表述）
几何语言：∵∠2+∠1＝90o，
∠3+∠1＝90o
∴∠2＝∠3.
例题讲解
例1.如图，A，O，B在同一直线上,射线OD和射线OE分别平分∠AOC和 ∠BOC，图中哪些角互为余角？
巩固练习：
1、如图，E、F是直线DG上两点∠BEF=∠BFE，∠AED = ∠CFG = 90 °找出图中相等的角并说明理由。
2、如图∠AOC=∠BOC=∠DOE=90°，则
图中与∠3互余的角是_________.
图中与∠4互余的角是_________.
图中有与∠3互补的角吗?_________.
3、如图,已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD，则与∠AOC互余的角为_____________.
例2.如图，货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60o的方向上,同时,在它北偏东40o、南偏西10o、西北(即北偏西45o)方向上又分别发现客轮B,货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线.
●归纳：方位角：
有时以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向.
表示方向的角（方位角）在航行、测绘等工作中经常用到.
变式练习：
1、在图中，有A,B,C三个城市，地图被损坏了一部分，使C的具体位置看不清楚了，但知道C在A地的北偏东30°，在B地的南偏东45°，请你帮助确定C的位置.
2、如图，一只蚂蚁从O点出发，沿东北方向爬行2.5 cm碰到障碍物B后，折向北偏西60°的方向爬行3 cm到C.
(1)画出蚂蚁的爬行路线.
(2)求出∠OBC的度数.
四、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.说一说什么是互余？什么是互补？
2.余角和补角有什么性质？
3.什么是方位角？
五、布置作业
教材140页习题4.3第12、13题．
当堂测评
1、下列说法错误的是( )
A.同角或等角的余角相等
B.同角或等角的补角相等
C.两个锐角的余角相等
D.两个直角的补角相等
2、一个角的补角是( )
A.锐角 B.直角 C.钝角 D.以上三种情况都有可能
3、一个锐角的补角比这个角的余角大 ( )
A.300 B.450 C.600 D.900
4、从A看B的方向是北偏东21°，那么从B看A的方向是( )
A.南偏东69° B.南偏西69°
C.南偏东21° D.南偏西21°
5、若∠α=500,则它的余角是_______,它的补角是_______。
6、若∠β=1100,则它的补角是_______,它的补角的余角是_______
7、已知∠1=200,∠2=300,∠3=600,∠4=700,则∠2是____的余角,_____是∠4的补角.
8、若∠1与∠2互余,∠3和∠2互补,且∠3=1200,那么 ∠1=_______
9、已知一个角的补角是这个角的余角的3倍少400,求这个角。
10、画出射线OA，使射线OA在北偏西45°的方向上.
当堂测评答案
C 2. D 3. D 4. D
5. 40° 130° 6. 70° 20° 7. ∠3 ∠1 8. 30° 9. 25° 10.图略
