4.4 探索三角形相似的条件课时作业（2）

4.4 探索三角形相似的条件课时作业（2）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如图，在下列各式中，不能证明的条件是（ ）
A． AD:DB=DE:BC B． AD:AC=AE:AB C． ∠1=∠B D． ∠2=∠C
2．已知点，在直线的同侧，且于，于，，，，现有点在直线上，并且满足与相似，则这样的点的个数为（ ）
A． 3 B． 5 C． 6 D． 7
3．如图，是的边上一点，连接，以下条件中不能判定的是（ ）
A． B． C． ∠ABP=∠C D． ∠APB=∠ABC
4．如图，在中，是边上一点，连接，给出下列条件：①；②；③；④．其中单独能够判定的个数是（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
5．如图，是的边上异于、一点，过点作直线截得的三角形与相似，那么这样的直线可以作的条数是（ ）
A． 1条 B． 2条 C． 3条 D． 4条
6．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①，②，③，④四个三角形，若OA·OC＝OB·OD，则下列结论中一定正确的是( )
A． ①和②相似 B． ②和③相似 C． ①和④相似 D． ②和④相似
7．如图，在等边三角形ABC中，D为AC的中点，，则和△AED（不包含△AED）相似的三角形有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
8．如图，在正方形网格中，与△ABC相似的三角形是(　　)
A． △NBD B． △MBD C． △EBD D． △FBD
二、填空题
9．如图，线段AC与BD相交于点O，且OA＝12，OC＝54，OD＝36，OB＝18，则△ABO与△DCO_______相似．(填“一定”或“不”)
10．如图，与不平行，当________时，与相似．
11．如图，在中，是上一点，连接．要使，则必须有________或________或________．
12．在中，，，点D在边AB上，且，点E在边AC上，当______时，以A、D、E为顶点的三角形与相似．
13．如图，要使△ACD∽△ABC，只需添加条件_______(只要写出一种合适的条件即可).
14．如图，在中，AC是BC、DC的比例中项，则∽____．
15．在中，已知点、分别在边、上，如果，，，，，那么________．
三、解答题
16．如图，和是否相似？为什么？
17．如图，直线EF分别交△ABC的边AC，AB于点E，F，交边BC的延长线于点D，且AB·BF＝BC·BD．求证：AE·EC＝EF·ED．
18．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？
19．已知：如图，在中，，、分别为、边上的点，且，连接．若，，猜想与有怎样的位置关系？并证明你的结论．
20．已知：如图，、交于点，．
求证：；
（2）与相似吗？为什么？
图中还有哪些三角形相似？请直接写出来．
21．如图，已知CD是△ABC中∠ACB的角平分线，E是AC上的一点，且CD2=BC·CE，AD=6，AE=4．
（1）求证：△BCD∽△DCE；
（2）求证：△ADE∽△ACD；
（3）求CE的长．
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据三角形相似判定定理对选项逐项判断即可．
【详解】
A.两边不是对应边，故错误；
由两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似，故B正确，
两角对应相等，两三角形相似，故C、D正确；
故选A．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键
2．C
【解析】
【分析】
设DP=x，根据已知可以分三种情况：①当点P在线段BD上时；②当点P在线段BD的右侧时；③当点P在线段BD的左侧时；分别得出比例式得出方程，解方程求出x的值，即可得出结果．
【详解】
∵AB⊥DB,CD⊥DB,
∴
设DP=x，分三种情况：
当点P在线段BD上时，
当PD:AB=CD:PB时,△PDC∽△ABP，
∴ 解得：DP=2或12，
当PD:PB=CD:AB时,△PCD∽△PAB，
∴
解得：DP=5.6；
当点P在线段BD的右侧，如图所示：
当PD:PB=CD:AB时,△PCD∽△PAB，
即
解得：x=28；
当PD:AB=CD:PB时,△PCD∽△APB，
即
解得： (负值舍去)，
∴
当点P在线段BD的左侧时,如图所示：
当PB:CD=AB:PD时,△PCD∽△APB，
即
解得： (负值舍去)，
∴
综上所述：当DP=5.6或2或12或28或或时，△ABP与△CDP相似，即这样的点P的个数有6个；
故选：C.
【点睛】
考查相似三角形的判定，两组边的比相等及其夹角相等的两个三角形相似.
3．B
【解析】
【分析】
根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后的答案．
【详解】
两个三角形有一组公共角，
A正确，符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；
B不正确，不符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；
C正确，符合有两组角对应相等的两个三角形相似；
D正确，符合有两组角对应相等的两个三角形相似.
故选：B.
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定，常用的判定方法有：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两组对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
4．【考点】相似三角形的判定
【分析】由图可知△ABD与△ACB中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或夹∠A的两边对应成比例即可解答．
解：①∵∠ABD=∠ACB,∠A=∠A,∴△ABD∽△ACB；
②∵AB2=AD(AC,∴=,∠A=∠A,△ABC∽△ADB；
③∠A=∠ABD,不能判定△ABD∽△ACB；
④∵AB(BC=AC(BD,∴=，∠A=∠A，△ABC与△ADB不相似；
故答案选：B.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质.
5．D
【解析】
【分析】
过点P 作作PE∥BC，则△AEP∽△ACB（如图1）；作PE∥AC，则△BPE∽△BAC（如图2）；作PE，使AE：AB=AP：AC，则△AEP∽△ABC（如图3）；作PE，使BP：CB=BE：AB，则△BEP∽△BAC（如图4），由此即可解答.
【详解】
（1）如图1，作PE∥BC，则△AEP∽△ACB；
（2）如图2，作PE∥AC，则△BPE∽△BAC；
（3）如图3，作PE，使AE：AB=AP：AC，则△AEP∽△ABC；
（4）如图4，作PE，使BP：CB=BE：AB，则△BEP∽△BAC．
故选D．
【点睛】
本题考查了平行线的判定方法：①平行于三角形一边的直线截其他两边所得到的三角形与原三角形相似；②两边的比相等，夹角相等的两个三角形相似.
6．D
【解析】
【分析】
根据：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.进行分析.
【详解】
由OA·OC＝OB·OD，得 ,又∠AOD=∠BOC，所以，△AOD∽△BOC.
故选：D
【点睛】
本题考核知识点：三角形相似判定. 解题关键点：熟记三角形相似判定方法.
7．C
【解析】
【分析】
由于△ABC是等边三角形，那么可知其三边相等，三个内角相等，再根据D是AC中点，以及AEEB=13，易得AE：AD=1：2=AD：AB，而∠A=∠A，可证△AED∽△ADB，同理可证△AED∽△CDB．
【详解】
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，又∵D是AC中点，∴BD⊥AC，∠ABD=30°，AD：AC=1：2，∵，∴AE：AB=1：4，∴AE：AD=1：2=AD：AB，又∵∠A=∠A，∴△AED∽△ADB，∴∠AED=∠ADB=90°．∵∠A=∠C=60°，CD：BC=AE：AD=1：2，∴△AED∽△CDB．∵∠AED=∠DEB=90°，∠ADE=∠DBE=30°，∴△AED∽DEB．故选C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了等边三角形的性质．
8．B
【解析】分析：根据正方形的小格可以发现∠BAC=90°+45°=135°，，所以和它相似的三角形也应该有一个钝角是135°，夹钝角的两边比是，根据这一特点进行选择．
详解：在△ABC中，∵∠BAC=90°+45°=135°，，
∠BMD=135°，，∴△MBD∽△ABC．
故选B．
点睛：此类题要首先找到已知三角形的特点，再根据相似三角形的判定进行观察选择．
9．一定
【解析】
【分析】
根据：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.即：，∠AOB=∠DOC.
【详解】
因为，,,
所以,
又因为∠AOB=∠DOC,
所以，△ABO∽△DCO.
故答案为：一定
【点睛】
本题考核知识点：相似三角形的判定. 解题关键点：熟记相似三角形的判定.
10．
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定方法进行判定即可.
【详解】
根据题意得：
∠A=∠A
∴当时，△ABC与△ADE相似；
∵DE与BC不平行，
∴当时，△ABC与△ADE相似；
即
故答案为：
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定，常用的判定方法有：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两组对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
11．
【解析】
【分析】
要使△ABP∽△ACB，已知有一组公共角，则根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似来进行判定．
【详解】
要使△ABP∽△ACB，已知∠A=∠A，则必须有∠ABP=∠C或∠ABP=∠ABC或AB:AP=AC:AB.
故答案为：(1). (2). (3).
【点睛】
考查相似三角形的判定方法，掌握相似三角形的几种判定方法是解题的关键.
12．或
【解析】
【分析】
根据题意可分两种情况进行讨论: (1)当时,根据∠A=∠A,可得△AED∽△ABC,
所以AE=,(2)当时,由于∠A=∠A,可得△ADE∽△ABC,
所以AE=,
【详解】
当时,
∵∠A=∠A,
∴△AED∽△ABC,
此时AE=,
当时,∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC,
此时AE=,
故答案为:,.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质,解决本题的关键是要根据题目已知条件证明两三角形相似,再根据相似三角形的性质进行求解.
13．∠1=∠ABC或∠2=∠ACB或AC2=AD·AB(答案不唯一)
【解析】
【分析】
两个三角形已有公共角∠A，故只要再添加一组相等的角，或添加∠A的两边对应成比例即可.
【详解】
解：两个三角形已有公共角∠A，故可采用添加∠1=∠ABC或∠2=∠ACB或AC2=AD·AB这三方法均可.
【点睛】
本题考察了三角形相似的判定条件.
14．
【解析】
【分析】
由比例中项可知BC:AC=AC:DC，而∠C是△ADC和△BAC的公共角，故可证明两三角形相似.
【详解】
由题意可知：BC:AC=AC:DC，
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△BAC
【点睛】
本题由比例中项定义得两三角形对应边成比例，再由公共角即可证明两三角形相似.
15．
【解析】
【分析】
根据已知条件，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判定△ADE∽△ACB，再根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】
∵AD=2cm，DB=4cm，AE=3cm，EC=1cm，
∴，，
∴ ，
又∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵DE=2.5cm，
∴BC=5cm．
故答案为5．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质．
相似三角形的判定：两个角对应相等的两个三角形相似；两条对应边的比相等，且夹角相等的两个三角形相似；三条对应边的比相等的两个三角形相似．
相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
16．和相似
【解析】
【分析】
相似，根据两边对应成比例且夹角相等的三角形是相似三角形，即可证明．
【详解】
△AEB和△CEF相似．理由如下：
∵EF：AE=24：32=3：4，EC：BE=21：28=3：4，∴EF：AE=EC：BE．
又∵∠CEF=∠AEB（对顶角相等），∴△AEB∽△FEC（两边对应成比例且夹角相等的三角形相似）．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟记各种判定方法是解题的关键，题目比较简单，是中考常见题型．
17．证明见解析
【解析】
【分析】
由＝，∠B＝∠B，证得△ABC∽△DBF，得∠A＝∠D.又∠AEF＝∠DEC，再证△AEF∽△DEC，可得＝，即AE·EC＝EF·ED.
【详解】
证明：∵AB·BF＝BC·BD，
∴＝，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△DBF，
∴∠A＝∠D.
又∵∠AEF＝∠DEC，
∴△AEF∽△DEC，
∴＝，即AE·EC＝EF·ED
【点睛】
本题考核知识点：相似三角形的判定和性质. 解题关键点：熟记相似三角形的判定和性质.
18．s或4s．
【解析】
试题分析：首先设运动了ts，根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，然后分别从当△APQ∽△ABC与当△APQ∽△ACB时去分析求解即可求得答案．
试题解析：设运动了ts，根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，则AQ=AC﹣CQ=16﹣3t（cm），
当△APQ∽△ABC时，，即，解得：t=；
当△APQ∽△ACB时，，即，解得：t=4；
故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是：s或4s．
考点：相似三角形的性质．
19．与的位置关系是互相垂直，理由见解析
【解析】
【分析】
与的位置关系是互相垂直,根据已知条件易证，再根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判定△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质可得，由此即可证得结论.
【详解】
猜想：与的位置关系是互相垂直．
证明：∵，，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及性质，熟知两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似是解决问题的关键.
20．（1）解析解析；（2）相似；（3）；．
【解析】
【分析】
1、两个角相等的两个三角形相似，
2、由1中可知相似，又对应的边成比例以及角相等，即可证明.
3、由已知条件可得即可得出相似三角形.
【详解】
解：证明∵，，
∴；相似．
证明：∵；
∴，
∵，
∴；
（3）；．
【点睛】
本题考察了相似三角形的判定，熟悉掌握概念是解决本题的关键.
21．（1）证明见解析（2）证明见解析（3）5
【解析】试题分析：（1）根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，可得答案；
（2）根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得答案；
（3）根据两个三角形相似，对应边成比例，可得答案．
试题解析：（1）证明：CD是△ABC中∠ACB的角平分线，
∴∠BCD=∠DCE．
∵CD2=BC?CE，
∴，
∴△BCD∽△DCE（两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似）；
（2）证明：∵△BCD∽△DCE，
∴∠EDC=∠DBC（相似三角形的对应角相等）．
∵∠ADC=∠DBC+∠DCB（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∠ADC=∠ADE+∠EDC，
∴∠ADE=∠ACD．
∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACD（两个角对应相等的两个三角形相似）；
（3）解：∵△ADE∽△ACD，
∴，
∴，
∴AC=9，
∴CE=AC-AE=9-4=5．