4.6 利用相似三角形测高课时作业

4.6 利用相似三角形测高课时作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题
1.中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐 标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高度为 EF. 观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（　　）
A． 五丈 B． 四丈五尺 C． 一丈 D． 五尺
3.已知：如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上， 则球拍击球的高度h应为 ( )
A． 0.9m B． 1.8m C． 2.7m D． 6m
4.如图是小明设计的利用镜面反射来测量某古城墙CD高度的示意图，如果镜子P与古城墙的距离PD＝12米，镜子P与小明的距离BP＝1.5米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端C，小明眼睛距离地面的高度AB＝1.2米，那么该古城墙的高度是(　　)
A． 9.6米 B． 15米 C． 18米 D． 24米
5.兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为米，一级台阶高为米，如图所示，若此时落在地面上的影长为米，则树高为（ ）
A． 11.5米 B． 11.75米 C． 11.8米 D． 12.25米
6.如图，△ABC是一块锐角三角形材料，高线AH长8 cm，底边BC长10 cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形DEFG的一边EF在BC上，其余两个顶点D，G分别在AB，AC上，则四边形DEFG的最大面积为( )
A． 40 cm2 B． 20 cm2 C． 25 cm2 D． 10 cm2
7.如图所示，数学小组发现米高旗杆的影子落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高米，测得其影长为米，同时测得的长为米，的长为米，测得小桥拱高（弧的中点到弦的距离，即的长）为米，则小桥所在圆的半径为（ ）
A． B． 5 C． D． 6
、填空题
8.如图是幻灯机的工作情况，幻灯片与屏幕平行，光源距幻灯片30cm，幻灯片距屏幕1.5m，幻灯片中的小树高8cm，则屏幕上的小树高是____.
9.如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长是_____毫米．
10.如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=____m．
11.如图，小军在地面上合适的位置平放了一块平面镜(平面镜的高度忽略不计)，刚好在平面镜中的点处看到旗杆顶部，此时小军的站立点与点的水平距离为2m，旗杆底部与点的水平距离为12m.若小军的眼睛距离地面的高度为1. 5m(即=1. 5m)，则旗杆的高度为_________m.
12.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”
用今天的话说，大意是：如图，是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门位于的中点，南门位于的中点，出东门15步的处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于处的树木（即点在直线上）？请你计算的长为__________步．
13.如图，上午10时小东测得某树的影长为2 m，到了下午5时又测得该树的影长为8 m．若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为________m.
14.如图，数学兴趣小组想测量电线杆AB的高度，他们发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝4 m，BC＝10 m，CD与地面成30°角，且此时测得高1 m的标杆的影长为2 m，则电线杆的高度为________m(结果保留根号)．
、解答题（本大题共6小题，共0分）
15.如图，在离树AB的3米远处竖一长2米的杆子CD，站在离杆子1米远EF处的人刚好越过杆顶C看到树顶A，这个人高EF=1.5米，求树高.
16.如图，大刚在晚上由灯柱A走向灯柱B，当他走到M点时，发觉他身后影子的顶部刚好接触到灯柱A的底部，当他向前再走12米到N点时，发觉他身前的影子刚好接触到灯柱B的底部，已知大刚的身高是1.6米，两根灯柱的高度都是9.6米，设AM=NB=x米．求：两根灯柱之间的距离．
17.如图是一块底边长为，高为的三角形余料，现要把它加式成正方形零件，使得正方形的四个顶点、、、都在三角形三边上，其中、在边上，求加工后正方形的边长．
18.为了测量某教学楼CD的高度，小明在教学楼前距楼基点C，12米的点A处测得楼顶D的仰角为50°，小明又沿CA方向向后退了3米到点B处，此时测得楼顶D的仰角为40°（B、A、C在同一水平线上），依据这些数据小明能否求出教学楼的高度？若能求，请你帮小明求出楼高；若不能求，请说明理由．（取2.24）
19.晚上，小亮走在大街上．他发现：当他站在大街两边的两盏路灯之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长为1.5米．又知自己身高1.80米，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离为12米．求路灯的高．
20.钟楼是西安标志性的建筑之一，建于1384年，是中国古代遗留下来众多钟楼中保存最完整的一座．为了对钟楼有基本的认识，小明和小亮运用所学的数学知识对钟楼进行了测量，由于无法直接测量出它的高度，他们先在地面选择了一点C放置平面镜，小明到F点时正好在平面镜中看到顶尖A，小明的眼睛距地面的高度EF=1.5米；然后在点D处放置平面镜小亮到H点时正好在平面镜中看到顶尖A（点B、C、F、D、H共线）．小亮的眼睛距地面的高度GH=1.6米，此时测得俯角∠KGD=39°，如图，已知CF=1米，DF=20米，AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据以上测量数据及信息，计算钟楼的高度，（参考数据：sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8）
答案解析
、选择题
1.【考点】相似三角形的应用
【分析】由平行得出相似，由相似得出比例，即可作出判断.
解: ∵EF∥AB,
∴△CEF∽△CAB,
∴,故选B.
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.
2.【考点】相似三角形的应用
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
解：设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，
∴，
解得x=45（尺），
故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．
3.【考点】相似三角形的应用
【分析】发现图形中的相似三角形，并利用相似三角形的性质定理解题
解：很容易可以发现图中的两个直角三角形相似，由性质定理得直角边对应成比例，即，解得h=2.7m，
故答案选C.
【点睛】熟练掌握相似三角形的性质定理并学会应用是解答本题的关键.
4.【考点】相似三角形的应用
【分析】由光学知识反射角等于入射角不难分析得出∠APB=∠CPD，再由∠ABP=∠CDP=90°得到△ABP∽△CDP，得到代入数值求的CD的值即可．
解：∵∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP，
∴△ABP∽△CDP
∴，
即：，
解得：CD=9.6米．
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，注意到相似三角形，解决本题关键．
5.【考点】相似三角形的应用
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在台阶上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上台阶的高就是树高．
解：如图，根据题意可知EF=BC=4.4米，DE=0.2米，BE=FC=0.3米，则ED=4.6米，
∵同一时刻物高与影长成正比例，
∴AE：ED=1：0.4，即AE：4.6=1：0.4，
∴AE=11.5米，
∴AB=AE+EB=11.5+0.3=11.8米，
∴树的高度是11.8米，
故选C.
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，根据相似三角形的相似比，列出方程进行求解是关键.
6.【考点】相似三角形的应用
【分析】设矩形DEFG的宽DE=x，根据相似三角形对应高的比等于相似比列式求出DG，再根据矩形的面积列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答即可．
解：如图所示：
设矩形DEFG的宽DE=x，则AM=AH-HM=8-x，
∵矩形的对边DG∥EF，
∴△ADG∽△ABC，
∴，
即，
解得DG=（8-x），
四边形DEFG的面积=（8-x）x=-（x2-8x+16）+20=-（x-4）2+20，
所以，当x=4，即DE=4时，四边形DEFG最大面积为20cm2．
故选：B．
【点睛】考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形的对应高的比等于相似比用矩形DEFG的宽表示出长是解题的关键．
7.【考点】相似三角形的应用
【分析】小桥所在圆的圆心为点O，连结OG，设⊙O的半径为r米．先利用平行投影的性质和相似的性质得到＝，于是可求出GH＝8米，再根据垂径定理得到点O在直线MN上，GM＝HM＝GH＝4米，然后根据勾股定理得到r2＝（r?2）2＋16，再解方程即可．
解：如图，设小桥的圆心为O，连接OM、OG．设小桥所在圆的半径为r米．
∵＝，
∴＝
解得EF＝12，
∴GH＝12?3?1＝8（米）．
∵MN为弧GH的中点到弦GH的距离，
∴点O在直线MN上，GM＝HM＝GH＝4米．
在Rt△OGM中，由勾股定理得：OG2＝OM2＋GM2，
即r2＝（r?2）2＋16，
解得：r＝5．
答：小桥所在圆的半径为5米．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，勾股定理以及垂径定理的应用，根据已知得出关于r的等式是解题关键．
、填空题
8.【考点】相似三角形的应用
【分析】由题意可知图中小三角形与大三角形为相似关系，由距离可知相似比，根据相似性质即可求解小树高.
解：设屏幕上小树高度为xcm，由题意可知小三角形与大三角形为相似关系，且相似比为0.3:1.8=1:6，故此可得关系式：
，解得x=48，
故屏幕上小树高为48cm.
【点睛】本题考察了相似三角形在实际生活中的应用，理解本题距离比就是相似比是解题关键.
9.【考点】相似三角形的应用
【分析】利用相似三角形性质：相似三角形的对应边的比相等，列出方程，通过解方程求出小管口径DE的长即可．
解：∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴CD：CA=DE：AB，
∴20：60=DE：10，
∴DE=（毫米），
∴小管口径DE的长是毫米.
【点睛】本题考查了相似三角形的实际应用.借助相似三角形的性质，即相似三角形的对应边的比相等来建立方程是解题的关键.
10.【考点】相似三角形的应用
【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB的长．
解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，
∴△ABD∽△ECD，
∴，
即 ，
解得：AB= =100（米）．
故答案为：100．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
11.【考点】相似三角形的应用
【分析】根据题意容易得到△CDE∽△CBA，再根据相似三角形的性质解答即可．
解：由题意可得：AB=1.5m，BC=2m，DC=12m，
△ABC∽△EDC，
则，
即，
解得：DE=9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程．
12.【考点】相似三角形的应用
【分析】由正方形的性质得到∠EDG=90°，从而∠KDC+∠HDA=90°，再由∠C+∠KDC=90°，得到∠C=∠HDA，即有△CKD∽△DHA，由相似三角形的性质得到CK：KD=HD：HA，求解即可得到结论．
解：∵DEFG是正方形，
∴∠EDG=90°，
∴∠KDC+∠HDA=90°．
∵∠C+∠KDC=90°，
∴∠C=∠HDA．
∵∠CKD=∠DHA=90°，
∴△CKD∽△DHA，
∴CK：KD=HD：HA，
∴CK：100=100：15，
解得：CK=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用．解题的关键是证明△CKD∽△DHA．
13.【考点】相似三角形的应用
【分析】根据题意，画出示意图，易得Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得 ；即DC2=ED?FD，代入数据可得答案．
解：根据题意，作△EFC：
树高为CD，且∠ECF=90°，ED=2，FD=8；
∵∠ECD+∠FCD=90°，
∠CED+∠ECD=90°，
∴∠CED=∠FCD，
又∵∠EDC=∠FDC=90°，
∴Rt△EDC∽Rt△FDC，
∴；
即DC2=ED?FD，
代入数据可得DC2:16，
解得DC=4．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．
14.【考点】相似三角形的应用
【分析】过D作DE⊥BC的延长线于E，连接AD并延长交BC的延长线于F，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DE，再根据勾股定理求出CE，然后根据同时同地物高与影长成正比列式求出EF，再求出BF，再次利用同时同地物高与影长成正比列式求解即可．
解：如图，过D作DE⊥BC的延长线于E，连接AD并延长交BC的延长线于F，
∵CD=4 m，CD与地面成30°角，
∴DE=CD=×4=2 m，
根据勾股定理得：CE===2 m，
∵1 m杆的影长为2 m，
∴=，
∴EF=2DE=2×2=4 m，
∴BF=BC+CE+EF=10+2+4=（14+2）m，
∴=，
∴AB=（14+2）=（7+）m．
故答案为：（7+）．

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比的性质，作辅助线求出AB的影长若全在水平地面上的长BF是解题的关键．
、解答题
15.【考点】相似三角形的应用
【分析】延长AE、BF交于点P，由平行可得比例关系，通过比例关系求解即可.
解：延长AE、BF交于点P，
∵EF∥CD，
∴，解得PF=3，
∵CD∥AB，
∴，解得AB=3.5，
故答案为3.5米.
【点睛】本题延长AE、BF交于点P，从而利用比例关系进行求解是本题关键.
16.【考点】相似三角形的应用
【分析】根据已知条件易证△AMF∽△ABC，设AM=NB=x米，根据相似三角形的对应边成比例列出方程，解方程求得x的值，即可求得两个路灯之间的距离.
解：由对称性可知AM=BN，设AM=NB=x米，
∵MF∥BC，
∴△AMF∽△ABC
∴=，
∴=
∴x=3
经检验x=3是原方程的根，并且符合题意．
∴AB=2x+12=2×3+12=18（m）．
答：两个路灯之间的距离为18米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，在运用相似三角形的知识解决实际问题时，能够抽象出相似三角形的数学模型是解决问题的关键．
17.【考点】相似三角形的应用
【分析】设正方形的边长为x，根据正方形的对边平行可得DG∥BC，然后判断出△ADG和△ABC相似，再根据相似三角形对应高的比等于相似比列式进行计算即可得解.
解：设正方形的边长为，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
解得，
所以，加工后正方形的边长为．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于相似比的性质，熟记性质并列出比例式是解题的关键.
18.【考点】相似三角形的应用
【分析】根据题意：可得△ACD∽△DCB；可得；进而得到CD与AC、BC的关系，代入数据解可得答案．
解：能求．
△ACD与△DCB中，有∠ADC=∠DBC=40°；∠DAC=∠BDC=50°；
故有△ACD∽△DCB，
∴，
CD2=AC?BC=12×15=180，
∴CD=13.44（米）．
答：该教学楼的高度约为13.44米．
【点睛】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
19.【考点】相似三角形的应用
【分析】首先根据已知条件求证出△FHG∽△FDE，然后根据相似三角形的性质求得两个相似三角形的相似比，进而求出路灯DE的高度．
解：设路灯的高为x米，
∵GH⊥BD，AB⊥BD，
∴GH∥AB，
∴△EGH∽△EAB，
∴.①
同理可得△FGH∽△FCD，
∴.②
∴，即，
解得EB＝11(米)，将EB＝11米代入①，
得，
解得x＝6.6.
∴路灯的高为6.6米．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
20.【考点】相似三角形的应用
【分析】设AB=x，BC=y, 根据题意求出△ABC∽△EFC，△ABD∽△GHD，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
解：如图设AB=x，BC=y．∵AB⊥BD，GH⊥BH，
∴∠ABC=∠EFC=90°，
∵∠ACB=∠ECF，
∴△ACB∽△ECF，
∴，
∴，
∴x=y ①
同理：△ADB∽△GDH，
∴，
∴=tan39°=0.8 ②
由①②解得y=36（米），
答：钟楼的高度为36米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据相似三角形的判定得到△ABC∽△EFC，△ABD∽△GHD.