6.1 平均数
引 入
你 怎 么 看 待 该 公司 员 工 的 收 入？
生活中人们离不开数据，我们不仅要收集数据，还要对数据进行加工处理，进而作出判断。
当你听到“小亮的身高在班上是中等偏上的”，“A 篮球队队员比B 队更年轻”等诸如此类的说法时，你思考过这些话的含意吗？你知道人们是如何作出这一判断的吗？
思 考
影响比赛的成绩有哪些因素？
如何衡量两个球队队员的身高？
怎样理解“甲队队员的身高比乙队更高”？
要比较两个球队队员的身高，需要收集哪些数据呢？
学习目标：
1.掌握算术平均数、加权平均数的概念，会求一组数据的平均数和加权平均数。
2.体会算术平均数和加权平均数的联系和区别。
下面哪支球队队员的身材更为高大？哪支球队队员更为年轻？你是怎样判断的？与同伴交流。
概念
日常生活中，我们常用平均数 表示一组数据的“平均水平”。
一般地，对于 n 个数 x1，x2，…，xn，我们把 ( x1+x2+…+xn ) /n 叫做这 n 个数的算术平均数，简称平均数。记为 x 。
想一想
年龄/岁 16 18 21 23 24 26 29 34
相应队员数 1 2 4 1 3 1 2 1
小明是这样计算上海 东方大鲨鱼队队员的平均年龄的：
平均年龄 =（16×1+18×2+21×4+23×1+24×3+26×1 +29×2+34×1）÷（1+2+4+1+3+1+2+1） ≈23.3（岁） 你能说说小明这样做的道理吗？
（1） 如果根据三项测试的平均成绩决定录用人选，那么谁将被录用？
（2）根据实际需要，公司将创新、综合知识和语言三项测试得分按 4∶3∶1 的比例确定各人的测试 成绩，此时谁将被录用？
测试项目 测试成绩
A B C
创 新 72 85 67
综合知识 50 74 70
语 言 88 45 67
例1 某广告公司欲招聘广告策划人员一名，对A ，B，C 三名候选人进行了三项素质测试，他们的各项测试成绩如下表所示：
解: ( 1 ) A 的平均成绩为( 72+50+88) /3 = 70（分）
B 的平均成绩为( 85+74+45 ) /3 = 68（分）
C 的平均成绩为( 67+70+67 ) /3 = 68（分）
因此候选人 A 将被录用。
( 2 ) 根据题意，3 人的测试成绩如下：
A 的测试成绩为（72×4+50×3+88×1）
/（4+3+1）= 65.75（分）
B 的测试成绩为（85×4+74×3+45×1）
/（4+3+1）= 75. 875（分）
C 的测试成绩为（67×4+70×3+67×1）
/（4+3+1） = 68. 125（分）
因此候选人B 将被录用。
黑板 门窗 桌椅 地面
一 班 95 90 90 85
二 班 90 95 85 90
三 班 85 90 95 90
（1）小明将黑板、门窗、桌椅、地面这四项的得分依次按15%，10%，35%，40%的比例计算各班的成绩，那么哪个班的成绩最高？
（2）你认为上述四项中，哪一项更为重要？请你按自己的想 法设计一个评分方案。根据你 的方案，哪一个班的成绩最高？
例2
某学校对各个班级的教室卫生情况
的考察包括如下几项:黑板、门窗、桌
椅、地面。一天三个班级的各项卫生成绩如下：
解: ( 1) 一班的卫生成绩为：
95×15%+90×10%+90×35%+85×40% = 88.75
二班的卫生成绩为：
90×15%+95×10%+85×35%+90×40% = 88.75
三班的卫生成绩为：
85×15%+90×10%+95×35%+90×40% = 91
因此，三班的成绩最高。
( 2) 权有差异，得出的结果就会不同，也就是说
权的差异对结果有影响。
在实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度” 未必相同。因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权 ”。
如例1中 4，3，1 分别是创新、综合知识、语言三项测试成绩的权，而称（72×4+50×3+88×1）/（4+3+1） 为A的三项测试成绩的 加权平均数。
概念
1. 某班 10 名学生为支援希望工程，
将平时积攒的零花钱捐献给贫困地区的失学儿童。
每人捐款金额如下（单位：元）：
10，12，13. 5，21，40. 8，19. 5，20.8，25，16，30
这10 名同学平均捐款多少元？
解：这10名同学平均捐款为
（10+12+13.5+21+40.8+19.5+20.8+25+16+30）
/10 = 20. 86元
答：这10名同学平均捐款20. 86元。
解：小颖这学期的体育成绩是
92×20%+80×30%+84×50% = 84.4（分）
答：小颖这学期的体育成绩是84.4分。
练一练
2. 某校规定学生的体育成绩由三部 分组成：早锻炼及体育课外活动占成绩 的20%，体育理论测试占30%，体育技能测试占50%。小颖的上述三项成绩依次为 92分、80 分、84 分，则小颖这学期的体育成绩是多少分？
3. 从一批机器零件毛坯中取出 10 件， 称得它们的质量如下：（单位：千克）
2001 2007 2002 2006 2005
2006 2001 2009 2008 2010
( 1 ) 求这批零件质量的平均数。
( 2 ) 你能用新的简便方法计算它们的平均数吗？
解: ( 1 ) x =( 2001 ×2+2006×2+2007+2002+2005
+2009+2008+2010 )/10 = 2005.5 （千克）
( 2 ) x =2000+( 1×2+6×2+2+5+7+8+9+10 )
/10 = 2005.5 （千克）
6.2 中位数与众数
你来发表看法
全班的平均分受到了两个极端数据30分和25分的影响，利用平均数反应问题出现了偏差。
某次数学考试，小英得了78分。全班共32人，其他同学的成绩为1个100分，4 个90分，22个80分，2个62分，1个30分，1个25分。
小英计算出全班的平均分为77.4分，所以小英告诉妈妈说，自己这次数学成绩在班上处于 “ 中上水平 ”。小英对妈妈说的情况属实吗？你对此有何看法？
【学习目标】
1掌握中位数、众数的概念，会求出一组数据的中位数与众数。
2能结合具体情境体会平均数、中位数和众数三者的区别，能初步选择恰当的数据代表对数据作出自己的正确评判。
【自学指导】
完成 下列各题。
(1)什么叫中位数、众数？你认为概念中特别需注意哪几个关键字？
(2)完成260页做一做
2．阅读课本260页，完成下列各题
(1) 中位数受___影响较少，但不能充分利用所有数据信息。
（2）众数着眼与对个数据出现频率的考察，其大小只与________有关。当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往是人们尤为关心的一种统计量。
(3) 平均数、中位数和众数从不同的角度描述了一组数据的_______,其中，又以_______的应用最为广泛。
交流评价
（小组内交流，互评对错，并帮助改正，分析错误原因，加以总结。共性的问题全班交流）
问 题
某公司员工的月工资如下：
员工 经理 副经理 职员
A 职员
B 职员
C 职员
D 职员
E 职员
F 杂工G
月工资/ 元 6000 4000 1700 1300 1200 1100 1100 1100 500
我公司员工收入很高，月平均工资2000元。
经理
我的工资是1200元，
在公司算中等收入。
职员C
我们好几个人工资是1100元。
职员D
你是怎样看待该公司员工的收入呢 ？
你认为应该用哪个数据反映员工的平均收入更合适 ？
中位数和众数的定义：
我们把一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.
平均数、中位数、众数都是数据的代表，它们刻画了一组数据的平均水平。
一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.
议一议
我们知道， 现实生活中很多数据都可以用平均数、中位数和众数来刻画的，你能举几个例子吗？并就所举的例子，发表一下你的看法。
求中位数要先将一组数据按大小顺序排列，从小到大或从大到小都可以．
数 据
中位数
众数
15，20，20，22，35
?
?
15，20，20，22，35，38
?
?
15，20，20，22，35，35
?
?
3，0，-1，5，5，-3，14
?
?
思考2：众数是否唯一？
20
21
21
3
20
20
20和35
5
想一想
思考1：中位数怎么确定？
将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列：
如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；
如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数．
如果一组数据中有极端数据，中位数能比平均数更合理地反映该组数据的整体水平．
思考：中位数有何意义？
思考1：中位数怎么确定？
1. 对于一组数据：3，3，2，3，6，3，10，
3，6，3，2，下列说法正确的是（ ）
A. 这组数据的众数是3；
B. 这组数据的众数与中位数的数值不等；
C. 这组数据的中位数与平均数的数值相等；
D. 这组数据的平均数与众数的数值相等。
答案：A
【达标检测】
2. 2000—2001赛季上海东方大鲨鱼篮球队队员身高的中位数、众数分别是多少？
解：平均数为1.98米，中位数为1.97米，众数为1.85米，1.96米，1.98米，2.02米。
3.（1）你课前所调查的50名男同学所穿运动鞋尺码的平均数、中位数、众数分别是多少？
（2）你认为学校商店应多进哪种尺码的男式运动鞋？
小结
平均数、中位数和众数有哪些特征？
用中位数作为一组数据的代表，可靠性比较差，它不能充分利用所有数据的信息，但它不受极端值的影响，当一组数据中有个别数据变动较大时，可用它来描述这组数据的“集中趋势”。
用众数作为一组数据的代表，可靠性也比较差，其大小只与这组数据中的部分数据有关，但它不受极端值的影响。当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往是人们尤为关心的一种统计量。
用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个数都有关系，对这组数据所包含的信息的反映最为充分，因此在现实生活中较为常用，但它容易受极端值的影响。
从统计图分析数据的集中趋势
1．描述一组数据集中趋势的数_______、_________、________．
2．平均数、中位数、众数的比较表：
平均数
中位数
众数
平均数 中位数 众数
计算时要用到所有的数据
容易受组中极端值的影响，计算时只需要中间的数据
不受极端值的影响．简单明了，取频数最多的数据；不受极端值影响.
回顾与思考
体现各项的具体数目
反映事物的变化趋势
表示各部分所占的百分比
我们学习过的统计图都有哪些？各自的特点呢？
从折线统计图分析数据的集中趋势
一
问题1：为了检查面包的质量是否达标，随机抽取同种规格的面包10个，这10个面包的质量如图所示.
（1）这10个面包质量的众数是（ ）、中位数是( ）；
（2）估计这10个面包的平均质量，再具体算一算，看看你的估计水平如何.
100克
100克
99.8克
101
105
98
100
103
100
100
99
97
95
借助统计图描述数据的集中趋势时，要养成先直觉估计，后精确计算进行验证的好习惯.
1．五箱梨的质量(单位：kg)分别为：18，20，21，18，19，则这五箱梨质量的中位数和众数分别为( )
A．20和18 B．20和19
C．18和18 D．19和18
2．学校为了丰富学生课余活动开展了一次“爱我云南，唱我云南”的歌咏比赛，共有18名同学入围，他们的决赛成绩如下表：则入围同学决赛成绩的中位数和众数分别是( )
A．9.70，9.60 B．9.60，9.60
C．9.60，9.70 D．9.65，9.60
成绩(分) 9.40 9.50 9.60 9.70 9.80 9.90
人数 2 3 5 4 3 1
D
B
3．某地区5月3日至5月9日这7天的日气温最高值统计图如图所示．从统计图看，该地区这7天日气温最高值的众数与中位数分别是( )
A．23，25 B．24，23
C．23，23 D．23，24
4．已知一组从小到大的数据：0，4，x，10的中位数是5，则x的值为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
C
B
5．在某公益活动中，张益明对本班同学的捐款情况进行了统计，绘制成如图所示的不完整的统计图．其中捐100元的人数占全班总人数的25%，则本次捐款的中位数是_______元．
6．如果在一组数据中23，25，28，22出现的次数依次为2、5、3、4，并且没有其他的数据，则这组数据的众数是( )。
A．5 B．4.5 C．25 D．24
C
20
5．已知一组数据3，7，9，10，x，12的众数是9，则这组数据的中位数是( )
A．9 B．9.5 C．3 D．12
6．若一组数据2，－1，0，2，－1，a的众数为2，则这组数据的平均数为____．
7．甲、乙、丙、丁四支足球队在世界杯预选赛中进球数分别为9，9，x，7，若这组数据的众数与平均数恰好相等，则这组数据中的x是_______．
8．有一组数据：6，3，4，x，7，它们的平均数是10，则这组数据的中位数是_______．
A
11
6
9．作为宁波市政府民生实事之一的公共自行车建设工作基本完成，某部门对今年4月份中的7天进行了公共自行车租车量的统计，结果如下：
(1)求这7天日租车量的众数、中位数和平均数；
(2)用(1)中平均数估计4月份(30天)共租车多少万车次；
(3)市政府在公共自行车建设项目中共投入9600万元，估计2014年共租车3200万车次，每车次平均收入租车费0.1元，求2014年租车费收入占总投入的百分率．(精确到0.1%)
解：(1)8，8，8.5；
(2)30×8.5＝255(万车次)；
(3)3200×0.1÷9600≈3.3%
10．有19位同学参加歌咏比赛，成绩互不相同，前10名的同学进入决赛．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学成绩的( )
A．平均数 B．中位数
C．众数 D．方差
11．某校三个绿化小组一天植树的棵数如下：10，x，8，已知这组数据只有一个众数且众数等于中位数，那么这组数据的平均数是__________________．
B
12．鸿运公司有一名经理和10名职员，共11人，所有人的工资情况如下表所示：
人员编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
工资(元) 30 000 2 250 2 350 2 350 2 250 2 250 2 250 2 150 2 050 1 950 1 850
(1)以上11个工资数据的平均数为________元，中位数为________元．
(2)通过上面的计算结果不难看出，用__________(填“平均数”或“中位数”)更能准确反映该公司全体员工的月人均收入水平．
2250
中位数
4700
13．在喜迎建党九十四周年之际，某校举办校园唱红歌比赛，选出10名同学担任评委，并事先拟定从如下四种方案中选择合理方案来确定演唱者的最后得分．(每个评委打分最高10分)
方案1：所有评委给分的平均分；
方案2：在所有评委中，去掉一个最高分和一个最低分，再计算剩余评委的平均分；
方案3：所有评委给分的中位数；
方案4：所有评委给分的众数．
为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演唱成绩进行统计实验，下图是这个同学的得分统计图：
(1)分别按上述四种方案计算这个同学演唱的最后得分；
(2)根据(1)中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演唱的最后得分？
(2)因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平”，所以方案1不适合作为最后得分的方案．因为方案4中的众数有两个，众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案．
14．在对全市初中生进行的体质健康测试中，青少年体质研究中心随机抽取的10名学生的坐位体前屈的成绩(单位：厘米)如下：
11．2，10.5，11.4，10.2，11.4，11.4，11.2，9.5，12.0，10.2
(1)通过计算，样本数据(10名学生的成绩)的平均数是_______，中位数是________，众数是__________；
(2)一个学生的成绩是11.3厘米，你认为他的成绩如何？说明理由；
(3)研究中心确定了一个标准成绩，等于或大于这个成绩的学生该项素质被评定为“优秀”等级，如果全市有一半左右的学生能够达到“优秀”等级，你认为标准成绩定为多少？说明理由．
10.9
11.2
11.4
解：(2)根据(1)中得到的样本数据的结论，可以估计，在这次坐位体前屈的成绩测试中，全市大约有一半学生的成绩大于11.2厘米，有一半学生的成绩小于11.2厘米，这位学生的成绩是11.3厘米，大于中位数11.2厘米，可以推测他的成绩比一半以上学生的成绩好。
(3)如果全市有一半左右的学生评定为“优秀”等级，标准成绩应定为11.2厘米(中位数)．因为从样本情况看，成绩在11.2厘米以上(含11.2厘米)的学生占总人数的一半左右，可以估计，如果标准成绩定为11.2厘米，全市将有一半左右的学生能够评定为“优秀”等级。
6.4 数据的离散程度
第六章 数据的分析
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.了解极差的意义，掌握极差的计算方法．（重点）
2.理解方差、标准差的意义，会用样本方差、标准差估计总体的方差、标准差．（重点、难点）
2017年我校篮球联赛开始了
导入新课
刘教练
选 我
选 我
刘教练到我班选拔一名篮球队员，刘教练对陈方楷和李霖东两名学生进行5次投篮测试，每人每次投10个球，下图记录的是这两名同学5次投篮中所投中的个数.
（1）请求出以上两组数据的平均数、中位数、众数；
（3）若要选一个投篮稳定的队员，选谁更好？
（2）用复式折线统计图表示上述数据；
队 员 第 1次 第2次 第3次 第4次 第5次
李霖东 7 8 8 8 9
陈方楷 10 6 10 6 8
讲授新课
问题：为了提高农副产品的国际竞争力，一些行业协会对农副产品的规格进行了划分.
某外贸公司要出口一批规格为75 g的鸡腿，现有2个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿品质相近.
质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，质量（单位：g）如下：
甲厂：75 74 74 76 73 76 75 77 77 74
74 75 75 76 73 76 73 78 77 72
乙厂：75 78 72 77 74 75 73 79 72 75
80 71 76 77 73 78 71 76 73 75
(1)你能从图中估计出甲、乙两厂被抽取的鸡腿的平均质量吗？
(2)在图中画出表示平均质量的直线.
解：(1)甲、乙两厂被抽取鸡腿的平均质量大约是75g；
(2)直线如图所示.
(3)从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是多少？最小值又是多少？它们相差几克？乙厂呢？
(4)如果只考虑鸡腿的规格，你认为外贸公司应购买哪个厂家的鸡腿？
解：甲厂：最大值78g，最小值72g，相差6g；
乙厂：最大值80g，最小值71g，相差9g；
解：平均质量只能反映总体的集中趋势,并不能反映个体的变化情况.从图中看,甲厂的产品更符合要求.
归纳总结
现实生活中，除了关心数据的“平均水平”外，人们还关注数据的离散程度，即它们相对于平均水平的偏离情况.极差就是刻画数据离散程度的一个统计量.
极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差.
极差越大,偏离平均数越大,产品的质量(性能)越不稳定.
如果丙厂也参与了竞争，从该厂也抽查20只鸡腿，
（1）丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差分别是多少？
平均数:
极差:
(3)在甲、丙两厂中你认为哪个厂的鸡腿质量更符合要求?为什么？
(2)如何刻画丙厂这20只鸡腿质量与其平均数的差距？分别求出甲、丙两厂的20只鸡腿质量与其平均数的差距.
数学上，数据的离散程度还可以用方差或标准差来刻画.
方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数,
即
一般而言,一组数据的极差、方差或标准差越小,这组数据就越稳定.
例1:（1）分别计算出从甲、丙两厂抽取的20只鸡腿质量的方差？
（2）根据计算的结果，你认为哪家的产品更符合规格？
丙厂:
4.2
解：(1)甲厂:
2.5
（2）甲厂更符合规定.
例2: 小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的五次测试成绩如下表所示.谁的成绩较为稳定？为什么？
测试次数 1 2 3 4 5
小明 10 14 13 12 13
小兵 11 11 15 14 11
1 2 3 4 5 求平方和
小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13
（每次成绩－
平均成绩）2 5.76 2.56 0.36 0.16 0.36 9.2
小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11
（每次成绩－
平均成绩）2 1.96 1.96 6.76 2.56 1.96 15.2
计算可得：
小明5次测试成绩的标准差为 1.84；
小兵5次测试成绩的标准差为 3.04.
所以根据结果小明的成绩比较稳定
求一组较大数据的方差，有如下简便计算方法：
1.不同品牌的计算器的操作步骤有所不同，
操作时需要参阅计算器的使用说明书.
2.通常需要先按动有关键，使计算器进入统计状态；
然后依次输入数据x1，x2，…，xn ；最后按动求方差的功能键（例如 键），计算器便会求出方差 的值.
使用计算器说明：
例如：
甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数统计结果如下表：
某同学分析上表后得出如下结论：①甲、乙两班学生成绩平均水平相同；②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字≥150个为优秀)；③甲班成绩的波动比乙班大.上述结论正确的有 .
①②③
做一做
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
①数据x1-3，x2-3，x3-3，…，xn-3
平均数为 ，方差为 .
②数据x1+3，x2+3，x3+3，…，xn+3
平均数为 ，方差为 .
s2
s2
知识拓展
③数据3x1 ，3x2 ，3x3 ，…，3xn
平均数为 ，方差为 .
④数据2x1-3，2x2-3，2x3-3 ，…，2xn-3
平均数为 ，方差为 .
9s2
4s2
知识拓展
当堂练习
1.人数相同的八年级（1）、（2）两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：
， ， ，则成绩较为稳定的班级是（ ）
A.甲班 B.乙班
C.两班成绩一样稳定 D.无法确定
2.在样本方差的计算公式
中， 数字10 表示________ ，数字20表示 ______.
B
样本容量
平均数
3.数据－2，－1，0，1，2的方差是___，标准差是___ .
4.五个数1，3，a，5，8的平均数是4，则a =_____，这五个数的方差_____.
2
3
5.6
5.比较下列两组数据的方差:
A组:0, 10, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5;
B组:4, 6, 3, 7, 2, 8, 1, 9, 5, 5
解:
6. 甲、乙两台编织机纺织一种毛衣，在5天中两台编织机每天出的合格品数如下（单位：件）：
甲：7 10 8 8 7 ；乙：8 9 7 9 7 .
计算在这5天中，哪台编织机出合格品的波动较小？
解：
所以是乙台编织机出的产品的波动性较小.
=（7+10+8+8+7）÷5=8
=（8+9+7+9+7）÷5=8
7.为了从甲、乙两名学生中选择一人去参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行10次测验，成绩（单位：分）如下：
（1）填写下表：
84
90
0.5
14.4
甲的成绩 76 84 90 84 81 87 88 81 85 84
乙的成绩 82 86 87 90 79 81 93 90 74 78
同学 平均成绩 中位数 众数 方差 85分以上的频率
甲 84 84 0.3
乙 84 84 34
（2）利用以上信息，请从不同的角度对甲、乙两名同学的成绩进行评价.
解：从众数看，甲成绩的众数为84分，乙成绩的众数是90分，乙的成绩比甲好；
从方差看，s2甲=14.4， s2乙=34，甲的成绩比乙相对稳定；从甲、乙的中位数、平均数看，中位数、平均数都是84分，两人成绩一样好；
从频率看，甲85分以上的次数比乙少，乙的成绩比甲好.
数据的离散程度
极差
课堂小结
方差
标准差
