课题：垂直于弦的直径
【学习目标】
1．探索并了解圆的对称性和垂径定理．
2．能运用垂径定理解决几何证明、计算问题，并会解决一些实际问题．
【学习重点】
垂径定理、推论及其应用．
【学习难点】
发现并证明垂径定理．
情景导入 生成问题
1．请同学们把手中圆对折，你会发现圆是一个什么样的图形？
答：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是圆的对称轴．
2．请同学们再把手中圆沿直径向上折，折痕是圆的一条什么呢？通过观察，你能发现直径与这条折痕的关系吗？
答：折痕是圆的一条弦，直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
自学互研 生成能力
阅读教材P81，完成下面的内容：
根据教材P81探究及其证明过程可知通过证明△OAA′是等腰三角形，再由AA′⊥CD，即可得出AM＝MA′.即CD是AA′的垂直平分线，从而得出圆是轴对称图形．
归纳：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．
阅读教材P81～P82上面的文字，完成下面的内容：
(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
用几何语言表示：
如图，∵在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB于点E.
∴EA＝EB，＝，＝．
(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
用几何语言表示：
如图，∵在⊙O中，CD是直径，若AE＝EB.
∴CD⊥AB，＝，＝．
范例：如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2米，净高5米，求圆拱形门所在圆的半径是多少米？
解：连接OA
∵CD⊥AB，且CD过圆心O，
∴AD＝AB＝1米，∠CDA＝90°
在Rt△OAD中，设⊙O的半径为R，则
OA＝OC＝R，OD＝5－R.
由勾股定理，得：OA2＝AD2＋OD2，即
R2＝(5－R)2＋12，解得R＝2.6.
故圆拱形门所在圆的半径为2.6米．
变例：如图，D、E分别为弧、的中点，DE交AB、AC于M、N.求证：AM＝AN.
证明：连接OD、OE分别交AB、AC于点F、G.
∵D、E分别为弧、的中点，
∴∠DFM＝∠EGN＝90°.
∵OD＝OE，
∴∠D＝∠E.
∴∠DMB＝∠ENC.
而∠DMB＝∠1，∠ENC＝∠2，
于是∠1＝∠2，故AM＝AN.
交流展示 生成新知
INCLUDEPICTURE"交流预展.TIF"
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
INCLUDEPICTURE"展示提升.TIF"
知识模块一 圆的轴对称性
知识模块二 垂径定理及其推论
当堂检测 达成目标
【当堂检测】
1．如图，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP∶AP＝1∶5，则CD的长为( D )
A．4 B．8 C．2 D．4
(第1题图) (第2题图) (第3题图)
2．如图，已知⊙O的半径为4，OC垂直弦AB于点C，∠AOB＝120°，则弦AB的长为4．
3．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB＝8cm，AC＝6cm，那么⊙O的半径OA长为5cm．
4．如图，⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD长．
解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，
∴F为CD的中点，即CF＝DF.
∵AE＝2，EB＝6，∴AB＝AE＋EB＝2＋6＝8.
∴OA＝4，∴OE＝OA－AE＝4－2＝2.
在Rt△OEF中，∠DEB＝30°，
∴OF＝OE＝1.
在Rt△ODF中，OF＝1，OD＝4，
根据勾股定理得：DF＝＝，
则CD＝2DF＝2.
【课后检测】见学生用书
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
《垂直于弦的直径》说课稿
各位老师，今天我说课的内容是：义务教材人教版三年制初中《几何》第三册第七章第一单元第三节7.3垂直于弦的直径的第一节课。下面，我从教材分析、目的分析、教法分析、教材处理、教学程序及四点说明等六个方面对本课的设计进行说明。
一、教材分析
教材的地位和作用
垂径定理既是前面圆的性质的体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算和作图提供了方法和依据。
通过“实验—观察—猜想—证明”的途径，培养学生的动手能力，分析、联想能力，同时利用圆的轴对称性，可以对学生进行数学美的教育。
教学重点
垂径定理及应用
教学难点
对题设与结论的区分及证明方法
教学关键
圆的轴对称性
二、目的分析
认知目标
（1）使学生理解圆的轴对称性；
（2）掌握垂径定理；
（3）学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。
能力目标
培养学生观察能力、分析能力及联想能力。
情感目标
通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辨证唯物主义观点及美育教育。
三、教学方法与教材处理
教学方法：
引导发现法和直观演示法
教材处理：
（1）定理的发现及证明采用师生共同演示的方法
（2）辅助线的作法总结出“半径半弦弦心距”的七字口诀。
（3）练习题要求课内完成
四、学法指导
指导——观察、归纳
调动——动手、动脑
引导——分析、讨论、得出结论
五、教学程序
*复习提问—创设情景
*引导新课—揭示课题
*讲解新课—探求新知
*定理应用—循序渐进
*巩固练习—测评反馈
*课堂小结—深化提高
1、复习提问—创设情景
什么是轴对称图形？我们在平面图形中学过哪些轴对称图形？
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。
我们所学的圆是不是轴对称图形呢？
2、引导新课—揭示课题
①动手实验，把圆形纸片沿直径对折，观察两部分重合，得出结论：
(1)圆是轴对称图形；(2)经过圆心的每一条直线（注：不能说直径）都是它的对称轴；(3)圆的对称轴有无数条。
②在圆中作图：(1)任意作一条弦 AB；(2)过圆心作AB的垂线得直径CD且交AB于E。直径CD与弦AB的垂直关系，说明CD是垂于弦的直径。
探索：它除了上述性质外，是否还有其他性质呢？
（板书课题：垂直于弦的直径）
3、讲解新课—探求新知
实验：将圆沿直径CD对折
观察：图形重合部分
猜想：线段相等、弧相等
证明：轴对称、A与B重合
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
?
题组一：判断正误，快速抢答
(1)直径平分弦；
(2)垂直于弦的直线平分弦；
(3)垂直于弦的半径平分弦
垂径定理的变式
文字语言：一条直线（1）过圆心，（2）垂直于弦，则（a）平分弦，（b）平分弦所对的劣弧，（c）平分弦所对的优弧；
符号语言：（1）CD过圆心，（2）CD ⊥ AB于E，则（a）AE=BE,（b）AC=BC，（C）AD=BD.
4、定理应用—循序渐进
题组二 ： 如图（见例1）
(1)AB=8，OE=3，则OA=——；
(2)OA=1O，OE=6，则AB=——；
(3)AB=1,
(4)在例1条件下，弦AB的中点到这条弦所对劣弧的中点的距离是————。
引导学生归纳：此类问题可以归结为直角三角形求解。“过圆心作弦的垂线段”，构成三边为“半径半弦弦心距”（略释弦心距的含义）的直角三角形的“七字口诀”，然后结合勾股定理得出三边的数量关系：r?=(a/2)?+ d?.并说明，垂径定理与勾股定理合用，将问题化归为直角三角形求解，这样使学生对定理的认识又上了一个新台阶。
题组三：如图，A、B是圆O的弦，若以O为圆心再画一个圆，交弦AB于C、D，则AC与BD间可能存在什么关系？试证明你的结论。（即例2）
小结: 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
5、巩固练习—测评反馈
（1）已知：⊙O中，弦AB∥CD，AB相等的弧有————。
（2）课本P63页2题
6、课堂小结—深化提高
圆的轴对称性——垂径定理——应用(半径半弦弦心距)(直角三角形)
六、几点说明
１、教学流程图：
复习引入——实验观察——猜想结论——证明命题——题组训练——定理说明——题组训练——巩固测评——小结作业
２、板书设计
垂直于弦的直径
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
３、时间大致安排
复习引入约３分钟，圆的轴对称性约４分钟，定理的发现、证明约１２分钟，题组训练约１８分钟，反馈测评约５分钟，小结作业约３分钟。
４、整个设计要突出的特点：
在教学过程中始终面对全体学生，依据学生的实际水平，选择适当的教学起点和教学方法，充分让学生参与教学，通过“实验—观察—猜想—证明”的思想，让每个学生都能够达到课程标准规定的要求。
（定理的证明）(变式练习１)
例1 (变式练习２)
?
例２
1.圆的轴对称性
2.垂径定理
3.垂径定理的表达形式
４.辅助线的作法
24.1 圆的有关性质
第二十四章 圆
九年级数学上
24.1.2 垂直于弦的直径
24.1 圆的有关性质
学习目标
null
第2课时 垂直于弦的直径
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题（重点）
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
24.1 圆的有关性质
学习目标
第2课时 垂直于弦的直径
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题（重点）
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
24.1 圆的有关性质
学习目标
第2课时 垂直于弦的直径
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题（重点）
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥
主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m，
拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥
拱的半径（精确到 0.1 m）．
创设情境，导入新知
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥
主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m，
拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥
拱的半径（精确到 0.1 m）．
创设情境，导入新知
A
C
D
B
O
什么是轴对称图形？
我们学过哪些轴对称图形？
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形．
回 顾
线段
角
等腰三角形
矩形
菱形
正方形
请同学们把手中的圆对折，重复做几次，你发现了圆是一个什么样的图形？
探究新知
D
O
A
B
E
C
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是圆的对称轴
再把手中圆沿直径向上折，折痕是圆的一条什么呢？你能猜想哪些线段相等？哪些弧相等？
垂径定理
·
O
A
B
C
D
E
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
归纳总结
推导格式：
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm.
·
O
A
B
E
解析：连接OA，∵ OE⊥AB，
∴ AB=2AE=16cm.
16
一
垂径定理的计算
二
∴
cm.
例2 如图， ⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
·
O
A
B
E
C
D
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
∴
设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得
解得 x=5，
即半径OC的长为5cm.
x2=42+(x-2)2，
探究点2
结论改为：②垂直于弦，④平分弦所对的劣弧，⑤平分弦所对的优弧.
这个命题正确吗？
１.垂径定理的条件和结论分别是什么？
条件：
结论：
③平分弦，④平分弦所对的劣弧，⑤平分弦所对的优弧.
①过圆心，②垂直于弦.
质疑2.条件改为：
①过圆心，③平分弦.
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论
·
O
A
B
C
D
特别说明：
圆的两条直径是互相平分的.
归纳总结
推导格式：
∵
∴
·
O
A
B
C
D
E
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何 个条件都可以推出其他 个结论(知二推三）
注意
两
三
① 直径过圆心
③ 平分弦 （不是直径）
② 垂直于弦
④ 平分弦所对优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧
垂径定理的推论
D
O
A
B
E
C
① 直径过圆心
④ 平分弦所对优弧
③ 平分弦
② 垂直于弦
⑤ 平分弦所对的劣弧
④ 平分弦所对优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心
② 垂直于弦
③ 平分弦
② 垂直于弦
③ 平分弦
① 直径过圆心
④ 平分弦所对优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧
垂径定理的推论
D
O
A
B
E
C
② 垂直于弦
④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心
③ 平分弦
⑤ 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦
⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心
③ 平分弦
④ 平分弦所对优弧
② 垂直于弦
③ 平分弦
① 直径过圆心
④ 平分弦所对优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦
④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心
③ 平分弦
⑤ 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦
⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心
③ 平分弦
④ 平分弦所对优弧
经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件．
解决有关弦的问题
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥
主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m，
拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥
拱的半径（精确到 0.1 m）．
A
C
D
B
O
A
B
O
C
D
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB
所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37m，CD=7.23m.
解得R≈27.3（m）.
即主桥拱半径约为27.3m.
=18.52+(R-7.23)2
∵
∴ AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：
连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形
课堂小结
完成练习册本课时的习题
作业
