《积的变化规律》教学设计
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文档简介
《积的变化规律》教学设计
【教学内容】
人教版义务教育课程标准实验教科书小学数学四年级上册第三单元58页例4。
【教材分析】
《积的变化规律》它是在学生掌握了三位数乘两位数的计算方法的基础上进行教学的。本节课主要引导学生探索当一个因数不变时，另一个因数与积的变化情况，从中归纳出积的变化规律。通过这个过程的探索，不但让学生理解两数相乘时积的变化随其中一个因数的变化而变化，同时使学生经历“积的变化规律”的发现过程，初步获得探索和发现数学规律的基本方法和经验，培养学生迁移类推的能力。
【学生分析】
学生在前段时间刚完成了数与代数领域中的三位数乘两位数的学习。乘法算式中的规律学习是学生第一次接触，这对于学习纯计算问题有着较大的不同，但又有内在的联系。所以运用新的教学手法来调动学生学习本节课的内容是非常必要的。
【设计理念】
本节课，尝试把数与形结合起来学习“积的变化规律”。使只能靠学生想象、推理的纯代数问题转变为可看、可想的空间与图形的问题。把静态的数与数之间的关系转变成为了动态的变化过程，使学生经历通过长与宽的变化促使图形面积变化的过程。形象、生动，更能唤起学生对知识的渴求。整一节课都围绕这一个中心，就是让学生通过图形面积大小的变化来掌握“积的变化规律”，而又把所掌握的规律应用在解决实际问题上。
【教学目标】
1、把数与形结合起来，让学生经历“积的变化规律”整个过程。
2、培养学生用自己的语言来概括“积的变化规律”。
3、运用知识解决实际问题。
4、培养学生主动探究、合作交流和归纳总结的能力，初步养成严谨的治学态度。
【教学重点】
通过数形结合，引导学生自已发现规律、概括规律，进而运用规律。
【教学难点】
把规律运用在实际问题上。
【教学过程】
一、情景导入，初建数模
1、创设情景，引起悬念
课件出示一个长方形，求面积。（课件演示，第一步：出现一个长方形；第二步：里面出现小正方形；第三步：出现长与宽。）
图1：
师：同学们看，这里每个正方形的面积是1平方厘米。长方形的长10厘米表示什么？宽2厘米表示什么？
引导学生说出：长方形的长是10厘米，表示每一行有10小正方形。宽是2厘米，表示这样的小正方形有2行。
师：这个长方形的面积如何算出？表示什么？
引导学生说出：每行有10个小正方形，有2行，10×2=20，一共有20个小正方形，每个小正方形的面积是1平方厘米，就是20平方厘米。
师：老师想把这个长方形的面积变大，你有什么办法?（预设答案：①把长扩大；②把宽扩大；③把长和宽同时扩大。）
师：同学们想的办法都很好，老师决定先采取把宽扩大的方法使这个长方形的面积变大。
2、直观图形面积的变化
长方形的宽扩大2、3、4倍，面积随着变化。
图2：（课件演示宽扩大到原来2倍的过程）
师：怎样列算式求出这个长方形的面积？（10×4=40（平方厘米））
师：长、宽和面积各表示什么？
引导学生说出：长10厘米表示每一行有10个小正方形，宽4厘米表示有4行，一共有40个小正方形。）
图3：（课件演示宽扩大到原来3倍的过程）
师：怎样列算式求出这个长方形的面积？（10×6=60（平方厘米））
师：长、宽和面积各表示什么？
引导学生说出：长10厘米表示每一行有10个小正方形，宽6厘米表示有6行，一共有60个小正方形。）
图4 ：（课件演示宽扩大到原来4倍的过程）
师：怎样列算式求出这个长方形的面积？（10×8=80（平方厘米））
师：长、宽和面积各表示什么？
引导学生说出：长10厘米表示每一行有10个小正方形，宽8厘米表示有8行，一共有80个小正方形。）
【设计意图：本环节尝试把数与形结合起来，通过图形面积的变化，使学生能用肉眼看到其中的一个因数变化，使积有所变化的动态演变过程全程显现在学生的面前。借助于“形”的变化，为往后的寻找规律环节做好充分的准备，扫清了学习障碍。】
二、研究问题，寻找规律
1、探索面积随宽的变化而变化的规律
（1）小组讨论
师：先从图1 图4这样顺序观察这四个长方形，什么变了？什么没变？怎么变？再从图4 图1观察，什么变了？什么没变？你能从中找到规律吗？
（学生讨论）
引导学生从上往下对黑板上的式子进行观察、讨论，发现规律。
（1）10×2=20（平方厘米）
（2）10×4=40（平方厘米）
（3）10×6=60（平方厘米）
（4）10×8=80（平方厘米）
（2）汇报交流
（画箭头↓）（穿插课件，出示图形提醒）
引导学生说出：长方形的长不变，宽变了，宽乘2、乘3、乘4……，面积也随着乘2、乘3、乘4……；长不变，宽除以2、除以3、除以4……，面积也会随着除以2、除以3、除以4……。
【设计意图：通过把图形的不断变化随之带来的视觉效果让学生真正感受到“积的变化规律”，有了图形的帮助，使得寻找规律的思路敞开了。学生也能跟着老师一步一个脚印的、扎实的发现并掌握规律。比起单纯的数字游戏活动，印象更深刻更有效果。】
2、探索宽不变，长变化引起面积变化的规律
师：长方形的长不变，宽变化引起了面积的变化。同学们猜想一下，假如长方形的宽不变，长乘2、乘3、乘4……或除以2、除以3、除以4……，也会引起面积有同样的变化吗？
小组讨论，你能以图1来举例说明吗？
预设学生会举例子如：
根据学生的回答，老师列算式。
师：你能根据算式来说说变化的规律吗？
引导学生说出：宽不变，长乘2、乘3、乘4…或长除以2、除以3、除以4……，面积也会跟着乘2、乘3、乘4（或除以2、除以3、除以4……）
【设计意图：通过让学生大胆的猜想，大胆举例来验证长方形的宽不变，长变化了同样也能引起面积的变化规律。使学生在此环节中充分运用自己的经验来解决问题，做到举一反三，并且使学生有自己获取知识的成功感。通过长的变化而引起长方形面积的变化，又是一次视觉的冲击。学生借助图形的变化，会很快找出相应的变化规律。而且在老师的指导下能用比较准确的语言来描述与概括。】
3、整体概括规律
师：在乘法的算式中，乘号前后两个数称为因数。你能把以上所有的算式变化规律用一句话来概括吗？
引导学生用简明的语言表示出来：两数相乘，一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0除外），积也要乘（或除以）几。（板书规律）并揭示课题：积的变化规律。
三、运用规律，解决问题
师：同学们，从你们刚才的表现老师知道，你们已经学会了“积的变化规律”，但我们不光要掌握它，更重要的是学以致用。
1、基础练习
（1）根据8×50=400，直接写出下面各题的积。（课本P58做一做）
16×50= 32×50= 8×25=
（2）根据7×30=210，直接写出下面各题的得数。
14×30= 21×30= 28×30=
7×60= 7×10= 90×7=
【设计意图：此两个练习主要是围绕着其中一个因数不变，另一个因数乘或除以一个数而展开的。主要的目的是巩固刚刚所寻找到的“积的变化规律”，为下面两个因数的变化而引起积的变化奠定基础，也能从侧面来检查学生对最基本的知识掌握的情况。以此为根据来决定下一个环节的开展程度。】
2、综合练习
师：我们刚刚学会了跟路程有关系的公式：速度×时间=路程。其实，在这公式当中，蕴含着我们本节课的知识在里面，不信你们瞧一瞧！
（根据学生的回答，出现表内黑色字体的数据。）
表一：速度、时间、路程
速度
时间 2小时 4小时 6小时
路程 160千米 320千米 480千米
速度
时间 3小时 3小时 3小时
路程 240千米 480千米 2400千米
师：你能根据以上两个表总结出速度、时间与路程之间的变化规律吗?
引导学生说出在速度不变的情况下，时间乘2、乘3、乘4（或除以2、除以3、除以4……），路程也会乘2、乘3、乘4（或除以2、除以3、除以4……）。反之在时间不变的情况下，速度乘2、乘10（或除以2、除以10）路程也会跟着乘2、乘10（或除以2、除以10）。
表二：单价、数量和总价
师：你能根据(表一)来自己设计“积的变化规律”的数据吗？
单价（元） 数量（本……） 总价（元）
【设计意图：把刚学到的“积的变化规律”马上运用在实际当中。不仅让学生明白到速度、时间与路程三者之间有着怎样紧密的联系，而且也感受到数学知识之间并不是孤立的，知识与知识之间是互相影响着的。学习了的公理或公式都是为了以后的知识学习打基础的。把速度、时间、路程与之联系，极大程度上提高了学生运用知识的能力，也把知识串联起来了。】
3、拓展练习（课本P59第2题）
下面这块长方形绿地的宽要增加到24米，长不变。扩大后的绿地面积是多少？
引导学生利用那个本节课所学到的“积的变化规律”来解决本题。
【设计意图：在新授的同时穿插相关的练习，使学生掌握得更牢固，也加深了印象。我们知道孩子的瞬间记忆是非常强的，假如我们能加以运用，肯定会达到事半功倍的效果。所以整一个环节，都采取了边讲边练的形式。】
四、拓展升华，继续探索
（这部分内容作为弹性要求，视学生学习情况决定是否出现）
1、探索两个因数同时扩大（或缩小），积的变化规律
课件演示长方形从原来的10厘米，宽2厘米。长乘2、宽也乘2，面积的变化。
原来的长方形：
面积是：10×2=20 （平方厘米）
变为：
面积是：（10×2）×（2×2）=80（平方厘米）
师：把长方形的长和宽同时乘2 ，这个长方形的面积会如何变化？为什么？（面积会扩大4倍。因为长乘以2，宽也乘以2，一共乘了4，所以面积也要乘以4.）
（引申规律：一个因数乘以一个数，另一个因数乘以另一个数，积就乘这两个数的积。）
【设计意图：这是“积的变化规律”的又一次升华。引导学生探究当两个因数都发生变化时，积是如何变化的。目的是让学生能跳出书本的框框，能有自己的想法，能大胆的想问题。本环节更能体现老师为学生创设的思考空间，充分调动学生去开动脑筋，大胆把猜想溶于课本内容当中，并且通过这告诉学生，在课堂中要大胆的猜想，大胆去想课本以外的内容。】
2、探讨一个因数扩大，另一个因数缩小，积的变化规律
算一算，想一想，根据18×24=432，你能发现什么规律。
（18÷2）×（24×2）= （18×2）×（24÷2）=
（18÷6）×（24×6）= （18×6）×（24Ο□）=432
（18÷9）×（24×□）=432 （18Ο□）×（24÷3）=432
（引申规律：一个因数乘一个数，另一个因数除以同一个数，积不变。）
【设计意图：这是为有学习余力的孩子特意设计的，也是为”积的变化规律”这节课的完整性设计的。有了此环节，整个内容就变得完整了，但由于此环节所涉及的内容有很大的难度，所以会在此有所保留，提供给有学习余力的孩子来尝试。】
五、质疑问难，思考再现
师：一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0除外），积也乘（或除以）几。同学们，你们想过没有，一个因数不变，另一个因数加（或减）几，积也会加（或减）几吗？带着这个问题，我们回家想一想，用你认为可行的方法找出答案。
【设计意图：既然在乘法中其中一个因数不变，另一个因数乘或除以几，积就乘或除以几。那么一个因数不变，另一个因数加（或减）也会有这样的变化规律吗？我想，学生一定会很想知道，也会有这样的疑问，因此把这一疑问留给学生回家思考，培养学生的学习热忱，建立拓展延伸、探究问题的意识。】
【板书设计】 积的变化规律
（1）10×2=20（平方厘米）
（2）10×4=40（平方厘米）
（3）10×6=60（平方厘米）
（4）10×8=80（平方厘米）
乘法算式中，一个因数不变，另一个因数乘几（或除以几，０除外）积也乘几（或除以几）。
【设计意图：板书的呈现是随着课程的开展而板演的，课件的演示赋予板书更丰富的内涵，而板书又能辅助课的深入探讨。这样的板书设计能很好的体现本节课的重点内容，且板书书写的顺序指导着学生观察的顺序，从而帮助学生总结出“积的变化规律”。】
10厘米
2厘米
10厘米
4厘米
10厘米
6厘米
10厘米
8厘米
20厘米
2厘米
10厘米
2厘米
（10×2）厘米
（2×2）厘米
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【教学内容】
人教版义务教育课程标准实验教科书小学数学四年级上册第三单元58页例4。
【教材分析】
《积的变化规律》它是在学生掌握了三位数乘两位数的计算方法的基础上进行教学的。本节课主要引导学生探索当一个因数不变时，另一个因数与积的变化情况，从中归纳出积的变化规律。通过这个过程的探索，不但让学生理解两数相乘时积的变化随其中一个因数的变化而变化，同时使学生经历“积的变化规律”的发现过程，初步获得探索和发现数学规律的基本方法和经验，培养学生迁移类推的能力。
【学生分析】
学生在前段时间刚完成了数与代数领域中的三位数乘两位数的学习。乘法算式中的规律学习是学生第一次接触，这对于学习纯计算问题有着较大的不同，但又有内在的联系。所以运用新的教学手法来调动学生学习本节课的内容是非常必要的。
【设计理念】
本节课，尝试把数与形结合起来学习“积的变化规律”。使只能靠学生想象、推理的纯代数问题转变为可看、可想的空间与图形的问题。把静态的数与数之间的关系转变成为了动态的变化过程，使学生经历通过长与宽的变化促使图形面积变化的过程。形象、生动，更能唤起学生对知识的渴求。整一节课都围绕这一个中心，就是让学生通过图形面积大小的变化来掌握“积的变化规律”，而又把所掌握的规律应用在解决实际问题上。
【教学目标】
1、把数与形结合起来，让学生经历“积的变化规律”整个过程。
2、培养学生用自己的语言来概括“积的变化规律”。
3、运用知识解决实际问题。
4、培养学生主动探究、合作交流和归纳总结的能力，初步养成严谨的治学态度。
【教学重点】
通过数形结合，引导学生自已发现规律、概括规律，进而运用规律。
【教学难点】
把规律运用在实际问题上。
【教学过程】
一、情景导入，初建数模
1、创设情景，引起悬念
课件出示一个长方形，求面积。（课件演示，第一步：出现一个长方形；第二步：里面出现小正方形；第三步：出现长与宽。）
图1：
师：同学们看，这里每个正方形的面积是1平方厘米。长方形的长10厘米表示什么？宽2厘米表示什么？
引导学生说出：长方形的长是10厘米，表示每一行有10小正方形。宽是2厘米，表示这样的小正方形有2行。
师：这个长方形的面积如何算出？表示什么？
引导学生说出：每行有10个小正方形，有2行，10×2=20，一共有20个小正方形，每个小正方形的面积是1平方厘米，就是20平方厘米。
师：老师想把这个长方形的面积变大，你有什么办法?（预设答案：①把长扩大；②把宽扩大；③把长和宽同时扩大。）
师：同学们想的办法都很好，老师决定先采取把宽扩大的方法使这个长方形的面积变大。
2、直观图形面积的变化
长方形的宽扩大2、3、4倍，面积随着变化。
图2：（课件演示宽扩大到原来2倍的过程）
师：怎样列算式求出这个长方形的面积？（10×4=40（平方厘米））
师：长、宽和面积各表示什么？
引导学生说出：长10厘米表示每一行有10个小正方形，宽4厘米表示有4行，一共有40个小正方形。）
图3：（课件演示宽扩大到原来3倍的过程）
师：怎样列算式求出这个长方形的面积？（10×6=60（平方厘米））
师：长、宽和面积各表示什么？
引导学生说出：长10厘米表示每一行有10个小正方形，宽6厘米表示有6行，一共有60个小正方形。）
图4 ：（课件演示宽扩大到原来4倍的过程）
师：怎样列算式求出这个长方形的面积？（10×8=80（平方厘米））
师：长、宽和面积各表示什么？
引导学生说出：长10厘米表示每一行有10个小正方形，宽8厘米表示有8行，一共有80个小正方形。）
【设计意图：本环节尝试把数与形结合起来，通过图形面积的变化，使学生能用肉眼看到其中的一个因数变化，使积有所变化的动态演变过程全程显现在学生的面前。借助于“形”的变化，为往后的寻找规律环节做好充分的准备，扫清了学习障碍。】
二、研究问题，寻找规律
1、探索面积随宽的变化而变化的规律
（1）小组讨论
师：先从图1 图4这样顺序观察这四个长方形，什么变了？什么没变？怎么变？再从图4 图1观察，什么变了？什么没变？你能从中找到规律吗？
（学生讨论）
引导学生从上往下对黑板上的式子进行观察、讨论，发现规律。
（1）10×2=20（平方厘米）
（2）10×4=40（平方厘米）
（3）10×6=60（平方厘米）
（4）10×8=80（平方厘米）
（2）汇报交流
（画箭头↓）（穿插课件，出示图形提醒）
引导学生说出：长方形的长不变，宽变了，宽乘2、乘3、乘4……，面积也随着乘2、乘3、乘4……；长不变，宽除以2、除以3、除以4……，面积也会随着除以2、除以3、除以4……。
【设计意图：通过把图形的不断变化随之带来的视觉效果让学生真正感受到“积的变化规律”，有了图形的帮助，使得寻找规律的思路敞开了。学生也能跟着老师一步一个脚印的、扎实的发现并掌握规律。比起单纯的数字游戏活动，印象更深刻更有效果。】
2、探索宽不变，长变化引起面积变化的规律
师：长方形的长不变，宽变化引起了面积的变化。同学们猜想一下，假如长方形的宽不变，长乘2、乘3、乘4……或除以2、除以3、除以4……，也会引起面积有同样的变化吗？
小组讨论，你能以图1来举例说明吗？
预设学生会举例子如：
根据学生的回答，老师列算式。
师：你能根据算式来说说变化的规律吗？
引导学生说出：宽不变，长乘2、乘3、乘4…或长除以2、除以3、除以4……，面积也会跟着乘2、乘3、乘4（或除以2、除以3、除以4……）
【设计意图：通过让学生大胆的猜想，大胆举例来验证长方形的宽不变，长变化了同样也能引起面积的变化规律。使学生在此环节中充分运用自己的经验来解决问题，做到举一反三，并且使学生有自己获取知识的成功感。通过长的变化而引起长方形面积的变化，又是一次视觉的冲击。学生借助图形的变化，会很快找出相应的变化规律。而且在老师的指导下能用比较准确的语言来描述与概括。】
3、整体概括规律
师：在乘法的算式中，乘号前后两个数称为因数。你能把以上所有的算式变化规律用一句话来概括吗？
引导学生用简明的语言表示出来：两数相乘，一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0除外），积也要乘（或除以）几。（板书规律）并揭示课题：积的变化规律。
三、运用规律，解决问题
师：同学们，从你们刚才的表现老师知道，你们已经学会了“积的变化规律”，但我们不光要掌握它，更重要的是学以致用。
1、基础练习
（1）根据8×50=400，直接写出下面各题的积。（课本P58做一做）
16×50= 32×50= 8×25=
（2）根据7×30=210，直接写出下面各题的得数。
14×30= 21×30= 28×30=
7×60= 7×10= 90×7=
【设计意图：此两个练习主要是围绕着其中一个因数不变，另一个因数乘或除以一个数而展开的。主要的目的是巩固刚刚所寻找到的“积的变化规律”，为下面两个因数的变化而引起积的变化奠定基础，也能从侧面来检查学生对最基本的知识掌握的情况。以此为根据来决定下一个环节的开展程度。】
2、综合练习
师：我们刚刚学会了跟路程有关系的公式：速度×时间=路程。其实，在这公式当中，蕴含着我们本节课的知识在里面，不信你们瞧一瞧！
（根据学生的回答，出现表内黑色字体的数据。）
表一：速度、时间、路程
速度
时间 2小时 4小时 6小时
路程 160千米 320千米 480千米
速度
时间 3小时 3小时 3小时
路程 240千米 480千米 2400千米
师：你能根据以上两个表总结出速度、时间与路程之间的变化规律吗?
引导学生说出在速度不变的情况下，时间乘2、乘3、乘4（或除以2、除以3、除以4……），路程也会乘2、乘3、乘4（或除以2、除以3、除以4……）。反之在时间不变的情况下，速度乘2、乘10（或除以2、除以10）路程也会跟着乘2、乘10（或除以2、除以10）。
表二：单价、数量和总价
师：你能根据(表一)来自己设计“积的变化规律”的数据吗？
单价（元） 数量（本……） 总价（元）
【设计意图：把刚学到的“积的变化规律”马上运用在实际当中。不仅让学生明白到速度、时间与路程三者之间有着怎样紧密的联系，而且也感受到数学知识之间并不是孤立的，知识与知识之间是互相影响着的。学习了的公理或公式都是为了以后的知识学习打基础的。把速度、时间、路程与之联系，极大程度上提高了学生运用知识的能力，也把知识串联起来了。】
3、拓展练习（课本P59第2题）
下面这块长方形绿地的宽要增加到24米，长不变。扩大后的绿地面积是多少？
引导学生利用那个本节课所学到的“积的变化规律”来解决本题。
【设计意图：在新授的同时穿插相关的练习，使学生掌握得更牢固，也加深了印象。我们知道孩子的瞬间记忆是非常强的，假如我们能加以运用，肯定会达到事半功倍的效果。所以整一个环节，都采取了边讲边练的形式。】
四、拓展升华，继续探索
（这部分内容作为弹性要求，视学生学习情况决定是否出现）
1、探索两个因数同时扩大（或缩小），积的变化规律
课件演示长方形从原来的10厘米，宽2厘米。长乘2、宽也乘2，面积的变化。
原来的长方形：
面积是：10×2=20 （平方厘米）
变为：
面积是：（10×2）×（2×2）=80（平方厘米）
师：把长方形的长和宽同时乘2 ，这个长方形的面积会如何变化？为什么？（面积会扩大4倍。因为长乘以2，宽也乘以2，一共乘了4，所以面积也要乘以4.）
（引申规律：一个因数乘以一个数，另一个因数乘以另一个数，积就乘这两个数的积。）
【设计意图：这是“积的变化规律”的又一次升华。引导学生探究当两个因数都发生变化时，积是如何变化的。目的是让学生能跳出书本的框框，能有自己的想法，能大胆的想问题。本环节更能体现老师为学生创设的思考空间，充分调动学生去开动脑筋，大胆把猜想溶于课本内容当中，并且通过这告诉学生，在课堂中要大胆的猜想，大胆去想课本以外的内容。】
2、探讨一个因数扩大，另一个因数缩小，积的变化规律
算一算，想一想，根据18×24=432，你能发现什么规律。
（18÷2）×（24×2）= （18×2）×（24÷2）=
（18÷6）×（24×6）= （18×6）×（24Ο□）=432
（18÷9）×（24×□）=432 （18Ο□）×（24÷3）=432
（引申规律：一个因数乘一个数，另一个因数除以同一个数，积不变。）
【设计意图：这是为有学习余力的孩子特意设计的，也是为”积的变化规律”这节课的完整性设计的。有了此环节，整个内容就变得完整了，但由于此环节所涉及的内容有很大的难度，所以会在此有所保留，提供给有学习余力的孩子来尝试。】
五、质疑问难，思考再现
师：一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0除外），积也乘（或除以）几。同学们，你们想过没有，一个因数不变，另一个因数加（或减）几，积也会加（或减）几吗？带着这个问题，我们回家想一想，用你认为可行的方法找出答案。
【设计意图：既然在乘法中其中一个因数不变，另一个因数乘或除以几，积就乘或除以几。那么一个因数不变，另一个因数加（或减）也会有这样的变化规律吗？我想，学生一定会很想知道，也会有这样的疑问，因此把这一疑问留给学生回家思考，培养学生的学习热忱，建立拓展延伸、探究问题的意识。】
【板书设计】 积的变化规律
（1）10×2=20（平方厘米）
（2）10×4=40（平方厘米）
（3）10×6=60（平方厘米）
（4）10×8=80（平方厘米）
乘法算式中，一个因数不变，另一个因数乘几（或除以几，０除外）积也乘几（或除以几）。
【设计意图：板书的呈现是随着课程的开展而板演的，课件的演示赋予板书更丰富的内涵，而板书又能辅助课的深入探讨。这样的板书设计能很好的体现本节课的重点内容，且板书书写的顺序指导着学生观察的顺序，从而帮助学生总结出“积的变化规律”。】
10厘米
2厘米
10厘米
4厘米
10厘米
6厘米
10厘米
8厘米
20厘米
2厘米
10厘米
2厘米
（10×2）厘米
（2×2）厘米
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