上海市浦东新区2019届高三上学期期中质量检测数学试题

2018-2019学年度第一学期高三数学期中考试

考生注意：1.请在答题纸规定的地方解答，写在其他地方一律无效
2.本次考试满分150分，答题时间120分钟

一、填空题（本大题共有12道小题，请把正确答案直接填写在答题纸规定的地方，其中1-6题每小题4分，7-12题每小题5分。共54分）
1、设，则不等式的解集为_______.[
2、设全集，若集合，则______.
3、已知函数是奇函数，则实数=______.
4、现在学校开了物理、化学、生物、政治、历史、生物六门学科，小茗同学将来准备报考的高校某专业要求必须选择物理，其它两门课可以任意选择，则小茗同学有____种不同的选科方法（用数字作答）.
5、 设常数，函数．若的反函数的图像经过点，则 ．
6、若实数满足，则的最小值为_____.
7、在的二项展开式中，项的系数为___.（结果用数值表示）
8、已知函数为奇函数,且当时,,则____．
9、某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______.
10、函数的值域为________.
11、在右图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积S=_________cm2。

来源:学§科§网Z§X§X§K]
12、已知函数若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是______

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。选对得5分，否则一律得零分。
13、已知，则“”是“”的（ ）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件
14．既是偶函数又在区间上单调递减的函数是（ ）
（A） （B） （C） （D）
15、函数的大致图像是（ ）

(A) (B) (C) (D)
16、设a, b, c均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是（　）
（A） （B）
（C） （D）

三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
17、（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
设集合，
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．


18、（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
已知A是△BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点，
（1）求证：直线EF与BD是异面直线；
（2）若AC⊥BD，AC=BD，求EF与BD所成的角.


19、（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2，
（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
（2）设，是底面半径，且，为线段的中点，如图，求直线与圆锥底面所成的角的大小．



20、（本题满分16分，第1小题6分，第2小题8分）
一企业生产某种商品吨，所需生产费用万元，当出售这种商品时，每吨价格为万元，这里为常数，
（1）为了使这种商品的生产费用平均每吨最低，那么这种商品的产量应为多少吨？
（2）如果生产出来的商品能全部卖完，当产量为120吨时企业利润最大，此时出售的价格是每吨160万元，求常数的值。








21、 （本题满分18分；第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知函数，且
（1）求定义域；
（2）若函数的反函数是其本身，求a的值；
（3）求函数的值域。








2018-2019学年度第一学期高三数学期中考试试题答案
(满分: 150分 答题时间:120分钟)
一、填空题（本大题共有12道小题，请把正确答案直接填写在答题纸规定的地方，其中1-6题每小题4分，7-12题每小题5分。共54分）
1、设，则不等式的解集为___(2,4)____.[
2、设全集，若集合，则___.
3、已知函数是奇函数，则实数=__0__.
4、现在学校开了物理、化学、生物、政治、历史、地理六门学科，小茗同学将来准备报考的高校某专业要求必须选择物理，其它两门课可以任意选择，则小茗同学有__10__种不同的选科方法（用数字作答）.
5、 设常数，函数．若的反函数的图像经过点，则 7．
6、若实数满足，则的最小值为_____.
7、在的二项展开式中，项的系数为 21 （结果用数值表示）．
8、已知为奇函数,且当时,,则-2 ．
9、某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______.
10、函数的值域为_ _.
11、在右图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积S=__2600__cm2.

来源:学§科§网Z§X§X§K]
12、已知函数若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是______.
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。选对得5分，否则一律得零分。
13、已知，则“”是“”的（ A ）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件
14．既是偶函数又在区间上单调递减的函数是（ C ）
（A） （B） （C） （D）
15、函数的大致图像是（ A ）

(A) (B) (C) (D)
16、设a, b, c均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是（　B　）
（A） （B）
（C） （D）

三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
17、（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
设集合，
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
解析：．……………………4分
（1）得．…………………………7分
（2） ……………………9分
∴ ……………………………………11分
解得．…………………………………………14分

18、（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
已知A是△BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点，
（1）求证：直线EF与BD是异面直线；
（2）若AC⊥BD，AC=BD，求EF与BD所成的角.
【解答】（1）用反证法.
假设EF与BD不是异面直线，…………1分
则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面， ………………………………3分
所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾.………………………6分
故直线EF与BD是异面直线. …………………7分
（2）取CD的中点G，…………………………8分
连结EG、FG，则EG∥BD，…………………10分
所以相交直线EF与EG所成的锐角或直角即为异面直线EF与BD所成的角.………………………12分
在Rt△EGF中，求得∠FEG=45°，
即异面直线EF与BD所成的角为45°.………14分

19、（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2，
（2）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
（2）设，是底面半径，且，为线段的中点，如图，求直线与圆锥底面所成的角的大小．
【解】（1）PB=4，OB=2，
∴该圆锥母线的高 ……3分
又圆锥的底面积S=，………………………4分
∴圆锥的体积…………………………6分
（2）连结OM，则∠PMO即为所求.……8分
在等腰直角三角形AOB中，OM=，……10分
在中，tan∠PMO=……12分
∴∠PMO=arctan ，
∴直线与圆锥底面所成的角的大小为.…………14分
20、（本题满分16分，第1小题8分，第2小题8分）
一企业生产某种商品吨，所需生产费用万元，当出售这种商品时，每吨价格为万元，这里为常数，
（1）为了使这种商品的生产费用平均每吨最低，那么这种商品的产量应为多少吨？
（2）如果生产出来的商品能全部卖完，当产量为120吨时企业利润最大，此时出售的价格是每吨160万元，求常数的值.
【解答】（1）由题意知商品的生产费用平均每吨为…………………………4分
……………………………6分
当且仅当，上述等号成立…………………………………………7分
这种商品的产量为100吨时，生产费用平均每吨最低。 ……………8分
（2）设生产这种商品吨得到的费用为万元，则有：

……………………10分
依题：代入

由二次函数的最值可得：……12分
所以……………16分

21、 （本题满分18分；第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知函数，且
（1）求定义域；
（2）若函数的反函数是其本身，求的值；
（3）求函数的值域.
【解答】（1）由………………………………………2分
解得；所以其定义域为 ……………………………4分
（2）由，且
解得 ……………………………………………7分
互换、，得， …………………………8分
由于函数的反函数是其本身，所以 ……………10分
（3）=
=， ……………12分
，当且仅当时等号成立，……13分
∴的取值范围是（0,49] ………………………15分
∴当时，
当时，
∴，当时，函数的值域是…17分
当时，函数的值域是. ……18分