课件22张PPT。4.3.1 角知识目标目标突破第四章 几何图形初步总结反思知识目标4.3.1 角1．借助实物和几何模型，理解角的概念，会用不同的方法表示角．
2．通过演示射线绕端点旋转的活动，理解直角、平角和周角的概念．
3．通过阅读教材和类比时间单位，认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简单的换算．4.3.1 角目标一 会用字母表示角，能确定角的个数目标突破4.3.1 角4.3.1 角4.3.1 角4.3.1 角目标二 会进行直角、平角和周角之间的换算B4.3.1 角4.3.1 角4.3.1 角目标三 会对度、分、秒进行换算4.3.1 角4.3.1 角总结反思4.3.1 角知识点一 角的概念两条射线顶点边4.3.1 角端点知识点二 角的表示方法4.3.1 角知识点三 角度制的换算4.3.1 角1分1秒3601806060知识点四 画一个角等于已知角4.3.1 角4.3.1 角4.3.1 角4.3.1 角4.3.1 角4.3 角
4．3.1 角
情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣
情景导入 同学们，小学时就已经接触过“角”，我这里展示几张生活图片，看看你们能不能从图中找到角．
(多媒体展示图片)
图4－3－1
[说明与建议] 说明：用源于生活的美丽图片吸引学生的注意力，激发他们的好奇心，调动学生的学习情趣，增强感性认识，诱发学生对新知识的需求，并由此引出新课．建议：重点让学生仔细观察图形，找到图中包含的角，为本节课的学习做好铺垫．
图4－3－2
复习导入 小学的时候我们学习过角，对角有了一定的印象，在我们身边也存在很多的角，你还记得角的概念是怎么说的吗？观察图形，你能在图中找到角吗？
[说明与建议] 说明：回顾复习角的概念，为本节课奠的学习定基础，同时揭示本节课的课题，明确目标．建议：引导学生结合图形，理解角的概念，能准确找出图中包含的角．也可以让学生找出教室里的角．
[命题角度1] 角的表示
注意：不管用哪种表示方法，都不能漏掉角的符号，另外要切记用三个大写字母表示一个角时，顶点字母一定要写在中间．
例 [开县期末] 如图4－3－3所示四个图形中，能用∠α、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是(B)
图4－3－3
[命题角度2] 利用角的度分秒进行计算
角的单位有度、分、秒，度、分、秒之间的换算关系：1°＝60′，1′＝60″，1°＝3600″；1″＝′，1′＝°，1″＝°.根据它们之间的关系进行计算．
例 [辽阳中考] 2700″＝__0.75__°.
[命题角度3] 画一个角等于已知角
(1)利用量角器可以度量角的大小并画出角；
(2)利用三角尺可以画出特殊的角，如30°，45°，60°，90°角等．
例 利用量角器画一个54°的角．
[答案：略]
[命题角度4] 时钟上的角度问题．
时针的规律：
(1)钟表一周为360°，大格有12个，小格有60个，每个大格为30°，每个小格为6°；
(2)分针的速度为1小格/分，时针的速度为小格/分；
(3)分针的速度为6度/分，时针的速度为度/分．
时针和分针的夹角公式：m点n分时，时针和分针的夹角为∠α＝|0.5(60m＋n)－6n|度，若∠α算出来超过180°，则360°－∠α即为所求的夹角．
解这类题通常会用到方程思想．
例1 [成都模拟] 时针在3点半时，分针与时针所夹的角的度数是(B)
A．67.5° B．75° C．82.5° D．90°
例2 在下午2点到3点之间，时钟的时针和分针何时重叠？
解：设2点x分时，时钟的时针和分针重叠，则x分钟内，时针转过(0.5x)°，分针转过(6x)°.
根据题意，得6x－0.5x＝60，解得x＝.
即在2点分时，时钟的时针和分针重叠．
P134练习
1．6时整，钟表的时针和分针构成多少度的角？8时呢？8时30分呢？
[答案] 6时整，时针与分针成180°的角；8时整，时针与分针成120°的角；8时30分，分针与时针成75°的角．
2．(1)35°等于多少分？等于多少秒？
(2)38°15′和38.15°相等吗？如不相等，哪一个大？
[答案] (1)35°＝2100′＝126000″；
(2)不等，38.15°＝38°9′，38°9′<38°15′.
3．从蜂巢的入口处看，蜂巢由许多正六边形(六条边相等，六个角也相等)构成，按图示的方示，利用三角尺和圆规画出一个正六边形．
[答案] 如图所示：
[当堂检测]
1. 关于角的定义，下列说法：
（1）两条射线构成角，
（2）构成角的两条射线越长角越大，
（3）一条射线绕端点旋转而成的图形叫做角，
（4）在放大镜下看到的角比原角大.
其中正确的有（ ）
A．一个 B. 两个 C. 三个 D. 四个
2. 角的主要表示方法有：
（1）一个大写字母，
（2）三个大写字母，
（3）一个小写字母，
（4）一个数字.
其中一定正确的有（ ）
A．一个 B.两个 C.三个 D.四个
3. 下列说法：
（1）平角是一条直线，
（2）周角是一条射线，
(3) 平角的两边构成一条直线，
(4)平角的一半是直角.
其中正确的是（ ）
A．一个 B.两个 C.三个 D.四个
4. 用“度、分、秒”表示32.26°= ，57°27′＝ 度．
5. 三点时时针与分针构成多少度？四点呢？
参考答案：
1. A
2. C
3. B
4. 32°15′36″ 57.45
5. 90° 120°
《长度单位“米”和“码”》
在日常生活中,计算长度的单位我们一般使用 “米”，但是关于 “米”的使用,则是近二百年的事情.
18世纪, 随着科学技术的不断发展, 人们对地球的知识了解得更加透彻, 为了方便, 科学家们假象出了经线和纬线.到了1791年, 法国科学家认为, 要测量地球的经线, 首先要有一个明确的度量单位, 于是他们规定地球经线的四千万分之一为1米.在法国科学界的大力推动下, “米” 作为一种长度度量单位而得到世界各国的承认.
现在, “米”是一种最常用的长度度量单位.在公制中,科学家把通过巴黎子午线全长的四千万分之一作为1米.
另外,计算长度的单位还有一个 “码”, 它是英制中比较常用的长度单位.它的使用比米要早九百多年.相传,它是由英国国王亨利一世设置的.它的设置,体现出了君王 “一言九鼎”的权威.据说有一天, 亨利一世上朝时,坐在宝座上无事可做,就召集几个大臣一起闲聊.在闲谈之中,他伸直手臂,翘起大拇指,对大臣们说: “你们听着,从我的鼻尖到大拇指的距离,作为一个基本的长度单位,就把它命名为 ‘码’吧”.从此, “码”作为一个长度单位沿用到今天.
“码”的英文是YARD, 一码=3英尺,1英里=1760码.码与公制的换算关系是: 1 码=0.9144米,码与市制的换算关系是:1码=2.7423市尺.
4.3.1 角
【知能点分类训练】
知能点1 角的概念与角的表示方法
1．下图中表示∠ABC的图是（ ）．
2．下列关于角的说法正确的是（ ）．
A．两条射线组成的图形叫做角； B．延长一个角的两边；
C．角的两边是射线，所以角不可以度量； D．角的大小与这个角的两边长短无关
3．下列语句正确的是（ ）．
A．由两条射线组成的图形叫做角
B．如图，∠A就是∠BAC
C．在∠BAC的边AB延长线上取一点D；
D．对一个角的表示没有要求，可任意书定
4．如图所示，能用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角的图形是（ ）．
5．如图所示，图中能用一个大写字母表示的角是______；以A为顶点的角有_______个，它们分别是________________．
6．从一个钝角的顶点，在它的内部引5条互不相同的射线，则该图中共有角的个数是（ ）．
A．28 B．21 C．15 D．6
知能点2 平角与周角的概念
7．下列各角中，是钝角的是（ ）．
A．周角 B．周角 C．平角 D．平角
8．下列关于平角、周角的说法正确的是（ ）．
A．平角是一条直线 B．周角是一条射线
C．反向延长射线OA，就形成一个平角 D．两个锐角的和不一定小于平角
9．一天24小时中，时钟的分针和时针共组合成_____次平角，______次周角．
知能点3 角的度量
10．已知∠α=18°18′，∠β=18.18°，∠γ=18.3°，下列结论正确的是（ ）．
A．∠α=∠β B．∠α<∠β C．∠α=∠γ D．∠β>∠γ
11．（1）把周角平均分成360份，每份就是_____的角，1°=_____，1′=_______．
（2）25．72°=______°______′_______″．
（3）15°48′36″=_______°．
（4）3600″=______′=______°．
12．如图所示，将一个矩形沿图中的虚线折叠，请用量角器测量一下其中的α，β，得α________β．
13．计算下列各题：
（1）153°19′42″+26°40′28″ （2）90°3″-57°21′44″
（3）33°15′16″×5
（4）175°16′30″-47°30′÷6+4°12′50″×3
【综合应用提高】
14．（1）1点20分时，时钟的时针与分针的夹角是几度？2点15分时，时钟的时针与分针的夹角又是几度？
（2）从1点15分到1点35分，时钟的分针与时针各转过了多大角度？
（3）时钟的分针从4点整的位置起，按顺时针方向旋转多少度时才能与时针重合？
15．如图所示，已知∠α和∠β（∠α>∠β），求作：
（1）∠α+∠β；（2）∠α-∠β．
16．如图所示，指出OA是表示什么方向的一条射线，并画出表示下列方向的射线：
（1）南偏东60°；（2）北偏西70°；（3）西南方向（即南偏西45°）．
【开放探索创新】
17．（1）用10倍放大镜看30°的角，你观察到的角是_______．
（2）用10倍放大镜看50°的角，60°的角，你观察到的角是______，______．
由（1），（2），你能得到什么结论？请把你的结论让同学们进行验证，看是否正确．
【中考真题实战】
18．（北京）在图中一共有几个角？它们应如何表示？
19．（广州）（1）3.76°=______度_____分_______秒．
（2）3.76°=______分=______秒．
（3）钟表在8：30时，分针与时针的夹角为______度．
答案:
1．C （点拨：用三个大写字母表示角，表示角顶点的字母在中间）
2．D
3．B （点拨：根据定义知A，C不正确，根据角的表示方法知D不正确）
4．D （点拨：∠O是一个单独的大写英文字母，它只能表示独立的一个角，而∠O还可用∠1或∠AOB表示）
5．∠B，∠C 6个 ∠CAD，∠CAE，∠CAB，∠DAE，∠DAB，∠EAB
6．B [点拨：有公共顶点的n条射线，所构成的角的个数，一共是n（n-1）个]
7．C （点拨：平角=180°，钝角大于90°而小于180°，平角=×180°=120°，故选C）
8．C （点拨：根据定义可知A，B不正确；锐角大于0°而小于90°，所以两个锐角的和小于180°，D不正确；反向延长射线OA，O成为角的顶点，故选C）
9．24 24 （点拨：分针每小时转动一周与时针形成一次平角，一次周角）
10．C [点拨：1°=60′，∴18′=（）°=0.3°，∴18°18′=18°+0.3°=18.3°，即∠α=∠γ]
11．（1）1度 60′ 60″
（2）25 43 12
（3）15.81 （点拨：根据度、分、秒互化）
（4）60 1
12．=
13．（1）153°19′42″+26°40′28″
=179°+59′+70″
=179°+60′+10″
=180°10″
（2）90°3″-57°21′44″
=89°59′63″-57°21′44″
=32°38′19″
（3）33°15′16″×5
=165°+75′+80″
=165°+76′+20″
=166°16′20″
（4）175°16′30″-47°30′÷6+4°12′50″×3
=175°16′30″-330′÷6+12°36′150″
=175°16′30″-7°-55′+12°38′30″
=187°54′60″-7°55′
=180°
14．解：∵分针每分钟走1小格，时针每分钟走小格．
∴1点20分时，时针与分针的夹角是 [20-（5+×20）]×=80°．
2点15分时，时针与分针的夹角是[15-（10+×15）]×=22.5°．
（2）从1点15分到1点35分，时钟的分针共走了20小格．
∴分针转过的角度是（35-15）×=120°，
时针转过的角度是×120°=10°．
（3）设分针需要按顺时针方向旋转x度，才能与时针重合，
则时针按顺时针方向旋转了x度．
根据题意，得x-x=120
解得x=130
∴分针按顺时针旋转（130）°时，才能与时针重合．
15．作法：（1）作∠AOC=∠α．
以点O为顶点，射线OC为边，在∠AOC的外部作∠COB=∠β，
则∠AOB就是所求的角．
（2）作∠AOC=∠α，
以点O为顶点，射线OC为边，在∠AOC的内部作∠COB=∠β．
则∠AOB就是所求的角．
16．略
17．（1）30° （2）50° 60° 角度不变．
（点拨：放大镜只有把图形放大，但不能把角度放大）
18．3个角，∠ABC，∠1，∠2．
19．（1）3 45 36 （2）225.6 13536 （3）75.
课件5张PPT。第四章 几何图形初步4.3 角第四章 几何图形初步4.3.1 角4.3.1 角探究新知活动1 知识准备我们在小学已经对角有了初步的了解和认识，请画出一个锐角，并试着说出角的组成元素． 4.3.1 角活动2 教材导学时钟上的角度4.3.1 角[答案] 时针每小时转动360÷12＝30°；
巴黎时间：时针与分针所成的角的度数为30°；
伦敦时间：时针与分针所成的角的度数为0°；
北京时间：时针与分针所成的角的度数为30°×4＝120°；
东京时间：时针与分针所成的角的度数为30°×3＝90°. 课件21张PPT。4.3.2 角的比较与运算知识目标目标突破第四章 几何图形初步总结反思知识目标4.3.2 角的比较与运算1．通过类比比较线段长短的方法以及用量角器测量角度、用直尺画图等活动，能比较角的大小．
2．通过阅读教材以及用一副三角尺拼图等活动，理解角的和、差的概念，并能计算角的和、差．
3．通过类比线段的中点、阅读教材、折纸等活动，理解角平分线的意义，会进行与角平分线有关的计算．4.3.2 角的比较与运算目标一 能比较角的大小目标突破4.3.2 角的比较与运算4.3.2 角的比较与运算4.3.2 角的比较与运算4.3.2 角的比较与运算目标二 会计算角的和、差4.3.2 角的比较与运算4.3.2 角的比较与运算4.3.2 角的比较与运算4.3.2 角的比较与运算目标三 会进行与角平分线有关的计算 4.3.2 角的比较与运算4.3.2 角的比较与运算4.3.2 角的比较与运算总结反思4.3.2 角的比较与运算知识点一 角的大小比较叠合度量知识点二 角的和、差4.3.2 角的比较与运算∠1∠2∠2∠1知识点三 角的平分线4.3.2 角的比较与运算相等4.3.2 角的比较与运算4.3.2 角的比较与运算4.3.2 角的比较与运算4.3 角
4.3.2 角的比较与运算
情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣
情景导入 成功永远属于肯攀高峰的人．如图4－3－20①，你选择从哪一面上山呢？
图4－3－20
从图中我们找到了陡坡和缓坡，其实就是比较两个角的大小．同学们能直接观察出图4－3－20②这两个角的大小吗？
[说明与建议] 说明：展示图片，学生找路径，其实质是比较两个角的大小，用眼直接能够观察出大小，然后出示两个大小近似的角，不能通过肉眼观察直接比较大小，从而引出课题．建议：重点让学生掌握比较两个角的大小的方法，为本节课的学习做好铺垫．可以提示性的提问学生：“你能从比较线段的长短的方法得到的启示来比较两个角的大小吗？
图4－3－21
类比导入 回顾小学认识的各种角，通过动画演示它们的形成过程，看看角的分类(提示：锐角小于直角，直角小于钝角，钝角小于平角)，角的大小比较是否存在其必要性？那我们又应该怎样比较两个角的大小呢？前面学过的一些方法在这儿能否借鉴？
上节课我们学习了线段的长短比较，大家还记得怎样比较吗？(度量法，叠合法)
那角的比较能不能类比线段的比较方法呢？如果能，又该怎样比较呢？本节课我们就来解决这个问题．
[说明与建议] 说明：回顾上节课学习的角的度量、角的表示以及小学学习中关于锐角、钝角、直角的概念，通过类比，让学生学会角的比较的方法．建议：引导学生结合实际生活理解比较角的大小的方法．
[命题角度1] 角的大小比较
角的大小比较有(1)叠合法；(2)度量法．也可以根据锐角、直角、钝角、周角之间的关系比较角的大小．注意角的大小与边的长短无关，只与角的两边张开角度的大小有关．
例 观察、探究与思考．根据图4－3－22，求解下列问题：
(1)比较∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE的大小，并指出其中的锐角、直角、钝角、平角；
(2)写出∠AOB，∠AOC，∠BOC，∠AOE中某些角之间的两个等量关系．
图4－3－22
解：(1)根据图形可得∠AOB＜∠AOC＜∠AOD＜∠AOE；
锐角是∠AOB，直角是∠AOC，钝角是∠AOD，平角是∠AOE.
(2)根据图形可得
∠AOB＝∠AOC－∠BOC.
∠AOB＋∠BOC＋∠AOC＝∠AOE.
[命题角度2] 利用三角尺作角
当利用三角板已有的角度进行角度的和差运算时，要考虑全所有可能的情况．
角的度数
画角的方法
15°
45°－30°＝60°－45°＝15°
75°
45°＋30°＝75°
105°
45°＋60°＝105°
120°
60°＋60°＝90°＋30°＝120°
135°
90°＋45°＝135°
150°
90°＋60°＝150°
165°
90°＋30°＋45°＝165°
例 用一副三角板，不可能画出的角是(D)
A．15°的角 B．75°的角
C．165°的角 D．145°的角
[命题角度3] 角度的计算
根据角平分线的定义可以求出所分的两个较小的角的度数，再结合其他的角度，进行加减运算，进而可以求出未知角的度数．注意在计算角的度数时，在只有几何语言表述而没有图形的情况下，要注意考虑图形的不同情形，以确保答案不重复、不遗漏．
图4－3－23
例 如图4－3－23，∠AOC＝80°，∠BOC＝50°，OD平分∠BOC，求∠AOD的度数．
解：∠AOD＝∠AOC＋∠DOC＝80°＋∠BOC＝80°＋25°＝105°.
P136练习
1．估计图中∠1与∠2的大小关系，并用适当的方法检验．
[答案] ∠1<∠2；∠1＝∠2.
2．如图，把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度？如果要使每份中的角是15°，这个蛋糕应等分成多少份？
[答案] 360°÷8＝45°，360°÷15°＝24.
答：把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是45°；要使每份中的角是15°，这个蛋糕应等分成24份．
3．如图，O是直线AB上一点，OC是∠AOB的平分线，∠COD＝31.28′，求∠AOD的度数．
[答案] ∵∠AOB＝180°，∠AOC＝∠BOC，
∴∠AOC＝∠AOB＝90°.
∴∠AOD＝∠AOC－∠COD＝90°－31°28′＝58°32′.
[当堂检测]
1. 在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，则一定存在（ ）
A.∠AOB＞∠AOC B.∠AOB＞∠BOC
C.∠BOC＞∠AOC D.∠AOC＞∠BOC
2. 【2012?滨州】 借助一副三角尺，你能画出下面哪个度数的角（ ）
A．65° B．75° C．85° D．95°
3. 根据下图，完成下列填空：
（1）∠BOD=∠BOC+_______；∠AOC=______+_______；
∠AOB=______+_____+______；
∠AOD+∠BOC=_______-______；
（2）若∠AOC=90°，∠BOC=30°，则∠AOB=________．
4. 计算：
（1）25°16′20″×3;
（2）133°25′÷4
5. 如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线，且
∠AOB=130°，求∠COE是多少度.
参考答案：
1. A
2. B
3.（1）∠DOC ∠AOD ∠DOC ∠AOD ∠DOC ∠COB ∠AOB ∠DOC
（2）120°
4.（1）75°49′
（2）33°21′15″
5. 解：∵OC平分∠AOD，OE平分∠AOD，
∴ ∠COD= ∠AOD，∠DOE= ∠BOD.
∴∠COE=∠COD+∠DOE=∠AOD+∠BOD=∠AOB=65°.
《罗素悖论》
一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言。
因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理。由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的。
这是一个著名的悖论，称为“罗素悖论”。这是由英国哲学家罗素提出来的，他把关于集合论的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。
1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了。就在这时，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。
此后，为了克服这些悖论，数学家们做了大量研究工作，由此产生了大量新成果，也带来了数学观念的革命。
4.3.2角的比较与运算
一、填空:
1.如图1,∠AOB______∠AOC,∠AOB_______∠BOC(填>,=,<); 用量角器度量∠BOC=____°,∠AOC=______°,∠AOC______∠BOC.
2.如图2,∠AOC=______+______=______-______;∠BOC=______-______= _____-________.
3.OC是∠AOB内部的一条射线,若∠AOC=________,则OC平分∠AOB;若OC 是∠AOB的角平分线,则_________=2∠AOC.
二、选择：
4.下列说法错误的是( )
A.角的大小与角的边画出部分的长短没有关系；
B.角的大小与它们的度数大小是一致的；
C.角的和差倍分的度数等于它们的度数的和差倍分；
D.若∠A+∠B>∠C,那么∠A一定大于∠C。
5.用一副三角板不能画出( )
A.75°角 B.135°角 C.160°角 D.105°角
6.如图3,若∠AOC=∠BOD,那么∠AOD与∠BOC的关系是( )
A.∠AOD>∠BOC B.∠AOD<∠BOC; C.∠AOD=∠BOC D.无法确定
7.如果∠1-∠2=∠3,且∠4+∠2=∠1,那么∠3和∠4间的关系是( )
A.∠3>∠4 B.∠3=∠4; C.∠3<∠4 D.不确定
8.OC是从∠AOB的顶点O引出的一条射线,若∠AOB=90°,∠AOB= 2∠BOC, 求∠AOC的度数.
9.如图,把∠AOB绕着O点按逆时针方向旋转一个角度,
得∠A′OB′,指出图中所有相等的角,并简要说明理由.
10.如图,BD平分∠ABC,BE分∠ABC分2:5两部分,∠DBE=21°,求∠ABC的度数.
11.如图,已知∠α、∠β ,画一个角∠γ，使∠γ=3∠β-∠α.
12.如图,A、B两地隔着湖水,从C地测得CA=50m,CB=60m,∠ACB=145°,用1 厘米代表10米(就是1:1000的比例尺)画出如图的图形.量出AB的长(精确到1毫米), 再换算出A、B间的实际距离.
13.如图,∠AOB是平角,OD、OC、OE是三条射线,OD是∠AOC的平分线, 请你补充一个条件,使∠DOE=90°,并说明你的理由.
答案:
1．略。
2.∠AOB,∠BOC,∠AOD,∠COD;∠BOD,∠COD,∠AOC,∠AOB
3.∠AOB,∠AOB
4.D 5.C 6.C 7.B
8.40°或120°
9.∠AOB=∠A′OB,∠AOA′=∠BOB′
10. 设∠ABE=x°,得2x+21=5x-21,解得x=14,所以∠ABC=14°×7=98°。
12．略。
13.OE平分∠BOC或∠AOD+∠EOB=90°,
因为∠AOC+∠BOC=180°, OE平分∠BOC，OD是∠AOC的平分线，
所以2∠DOC+2∠EOC=180°,
所以∠DOE=90°。
课件5张PPT。第四章 几何图形初步4.3 角第四章 几何图形初步4.3.2 角的比较与运算4.3.2 角的比较与运算探究新知活动1 知识准备1．56.32°＝______°______′______″.
2．106°14′24″＝__________°.
3．小刚每晚19：00都要看央视的“新闻联播”节目，这时钟面上时针与分针夹角的度数为________． 56 19 12 106.24 150° 4.3.2 角的比较与运算活动2 教材导学> > 角的和差4.3.2 角的比较与运算∠AOB ∠BOC ∠AOD ∠COD 课件18张PPT。4.3.3 余角和补角知识目标目标突破第四章 几何图形初步总结反思知识目标4.3.3 余角和补角1．通过阅读教材，理解余角、补角的概念，会识别余角或补角．
2．通过画图、分析推理等探索活动，掌握余角和补角的性质．
3．通过学习例题，理解方向角的概念，会用方向角表示物体的位置．4.3.3 余角和补角目标一 会识别余角或补角目标突破4.3.3 余角和补角4.3.3 余角和补角4.3.3 余角和补角目标二 利用余角和补角的性质解决有关问题4.3.3 余角和补角4.3.3 余角和补角目标三 会用方向角作图4.3.3 余角和补角4.3.3 余角和补角总结反思4.3.3 余角和补角知识点一 互为余角、补角90180知识点二 余角、补角的性质4.3.3 余角和补角相等相等知识点三 方向角4.3.3 余角和补角4.3.3 余角和补角4.3.3 余角和补角4.3.3 余角和补角4.3.3 余角和补角4.3 角
4.3.3 余角和补角
情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣
图4－3－58
情景导入 举世闻名的比萨斜塔位于意大利的比萨小镇，是一座由白色云石建成的古塔．该塔发生倾斜但斜而不倒，比萨因此远近闻名．比萨斜塔始建于1173年，从地面到塔顶高55米，自建成以后曾发生多次倾斜，常人只凭眼睛也能察觉．意大利科学家伽利略曾在斜塔的顶层做过自由落体运动的实验，开创了实验物理的新时代，斜塔也因而更加闻名遐迩．意大利政府曾想尽办法制止古塔的继续倾斜，但到目前为止未能成功．你知道斜塔的倾角是多少度吗？你能用什么方法测量呢？某位游客设计的测量斜塔倾角的方案是：将斜塔看成一条线段OA在正午太阳直射地面时标记塔顶的影子B，画出直线OB，想办法测出了∠AOB＝85度，然后让学生思考：
(1)斜塔OA倾斜了多少度？(2)斜塔OA与OC所成的角是多少度？(3)斜塔OA与OB所成的另外一个角即∠AOD是多少度？
[说明与建议] 说明：从学生的兴趣着手，激发学生的探究欲望，给学生一种轻松的心理氛围，易于学生学习新知识，让学生注重观察生活，知道数学来源于生活，并服务于生活．建议：让学生自由组合，相互讨论，活跃课堂气氛，从他们的兴趣入手，让学生无形中参与到课堂的活动中，在学生的讨论探究中口头归纳出余角和补角的性质．
复习导入 (课件演示)计算：
(1)44°＋46°＝__90_°__；(2)30°20′34″＋59°39′26″＝__90_°__；
(3)10°＋25°＋55°＝__90_°__；(4)96°＋84°＝__180_°__；
(5)58°45′＋121°15′＝__180_°__．
学生计算并回答，总结它们的特点．
[说明与建议] 说明：通过计算复习上节课的知识，设置悬念，调动学生的积极性，更进一步促使学生渴望尽快寻求到答案，同时也为判断余角和补角做铺垫．建议：教师应关注：计算的准确性，学生是否认真观察并思考．
[命题角度1] 直接运余角与补角的概念求角的度数
在计算时要紧扣余角、补角的定义进行计算．注意互余的两个角都是锐角，互补的两个角可能是一个是锐角，另一个是钝角；也可能两个角都是直角．
例 求35°42′角的余角和补角的度数．
解：余角的度数为90°－35°42′＝54°18′；其补角的度数为180°－35°42′＝144°18′.
[命题角度2] 根据余角、补角的性质说理的问题
余角、补角的性质是：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等．这个性质也为说明两个角相等提供了思路．认真观察分析图形，挖掘出图形中隐含的数量关系是关键．
例1 已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1＝∠3，那么∠2与∠4有什么关系？说说理由．
解：由∠1与∠2互补，∠3和∠4互补，得∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，又∠1＝∠3，根据等角的补角相等，可知∠2＝∠4.
图4－3－59
例2 如图4－3－59，点E，O，A在同一直线上，∠AOB＝∠COD＝90°，那么图中与∠AOD互补的角为__∠DOE，∠BOC__．
[解析] 因为∠DOE＋∠AOD＝180°，所以∠DOE与∠AOD互为补角．根据∠AOB＝∠COD＝90°，可得出∠DOE＝∠BOC，所以∠BOC＋∠AOD＝180°，所以∠BOC与∠AOD互为补角．这样，∠AOD的补角有两个分别是：∠DOE，∠BOC.
[命题角度3] 用角度表示方向
方位角是以南北方向为起始方向，一般是以北偏东，南偏西等加上角度来表示的．特殊的方位角如下：
例 如图4－3－60，OA表示什么方向的一条射线？并画出表示下列方向的射线．
(1)北偏西60°；(2)南偏东30°；(3)西南方向．
图4－3－60
图4－3－61
[答案：OA表示北偏东30°的射线 (1)射线OB (2)射线OC (3)射线OD(如图4－3－61所示)]
P138练习
1．图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？
[答案] 10°与80°互为余角；30°与60°互为余角；10°与170°互为补角；30°与150°互为补角；60°与120°互为补角；80°与100°互为补角．
2．一个角是70°39′，求它的余角和补角．
[答案] 余角：90°－70°39′＝19°21′，补角：180°－70°39′＝109°21′.
3．∠α的补角是它的3倍，∠α是多少度？
[答案] 设这个角为x°，则它的补角为180°－x°.根据题意，得3x＝180－x，解这个方程，得x＝45.所以∠α＝45°.
4．一个角是钝角，它的一半是什么角？
[答案] 锐角．
P139习题4.3
复习巩固
1．如果把钟表的时针在任一时刻所在的位置作为起始位置，那么时针旋转出一个平角及一个周角，至少各需要多长时间？
[答案] 6小时，12小时．
2．凭你的感觉画出30°，45°，90°，120°，135°的角，再用量角器量一量，你画的准确度如何？
[答案] 略．
3．计算：
(1)48°39′＋67°31′； (2)21°17′×5.
[答案] (1)116°10′；(2)106°25′.
4．如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，则∠1________∠3；
如果∠1>∠2，∠2>∠3，则∠1________∠3.
[答案] ＝ >
5．如图，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且∠DBC＝∠ECB＝31°，求∠ABC和∠ACB的度数，它们相等吗？
[答案] ∠ABC＝2∠DBC＝2×31°＝62°，∠ACB＝2∠ECB＝2×31°＝62°.所以∠ABC＝∠ACB.
6．按图填空：
(1)∠AOB＋∠BOC＝________；
(2)∠AOC＋∠COD＝________；
(3)∠BOD－∠COD＝________；
(4)∠AOD－________＝∠AOB.
[答案] (1)∠AOC；(2)∠AOD；(3)∠BOC；(4)∠BOD.
7．如图，要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量？
[答案] 延长AO或BO，先量出∠AOB的补角的度数，再计算出∠AOB的度数．
8．按照上北下南，左西右东的规定画出表示东南西北的十字线，然后在图上画出表示下列方向的射线：
(1)北偏西30°；
(2)南偏东60°；
(3)北偏东15°；
(4)西南方向(南偏西45°)．
[答案] (1)如图所示，射线OA表示北偏西30°；
(2)如图所示，射线OB表示南偏东60°；
(3)如图所示，射线OC表示北偏东15°；
(4)如图所示，射线OD表示西南方向．
综合运用
9．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
(1)如果∠AOB＝40°，∠DOE＝30°，那么∠BOD是多少度？
(2)如果∠AOE＝140°，∠COD＝30°，那么∠AOB是多少度？
[答案] (1)∠BOD＝70°；(2)∠AOB＝40°.
10．如图，一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是多少度？如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是多少度(精确到分)?
[答案] 360°÷15＝24°；360°÷22≈16°22′.
答：齿轮有15个齿时，相邻两齿中心线间的夹角为24°；有22个齿时，其夹角约为16°22′.
11．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，在哪种摆放方式中∠α与∠β互余？在哪种摆放方式中∠α与∠β互补？在哪种摆放方式中∠α与∠β相等？
[答案] 在(1)中∠α与∠β互余；在(2)(3)中∠α与∠β相等；在(4)中∠α与∠β互补．
12．如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东60°方向有一艘船，同时，从B地发现这艘船在它北偏东30°方向．试在图中确定这艘船的位置．
[答案] 如图所示，图中O点即为这艘船的位置．
13．(1)互余且相等的两个角，各是多少度？
(2)一个锐角的补角比这个角的余角大多少度？
[答案] (1)都是45°；(2)90°.
拓广探索
14．画几个不同的四边形，使每个四边形中都有30°，90°，105°的角，量一量这些四边形中另一个角的度数，你能发现什么规律？
[答案] 图略，每一个四边形的另一个角都等于135°.
规律：四边形的四个内角的和为360°.
15．(1)图(1)中，射线AD，BE，CF构成∠1，∠2，∠3，量出∠1，∠2，∠3，并计算∠1＋∠2＋∠3.画出几个类似的图，计算相应的三个角的和，你有什么发现？
(2)类似地，量出图(2)中∠1，∠2，∠3，∠4，计算∠1＋∠2＋∠3＋∠4.再换几个类似的图试试，你有什么发现？
综合(1)(2)的发现，你还能进一步得到什么猜想？
[答案] (1)∠1＋∠2＋∠3＝360°.发现：无论是怎样的三角形，与每个内角相邻的三个外角的和都为360°.
(2)∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°，发现：无论是怎样的四边形，与每个内角相邻的四个外角的和都为360°.
综合(1)(2)发现，多边形的外角和都为360°
[当堂检测]
1. 下列说法:（1）互余的两个角都是锐角;（2）若两角都是锐角，则这两角互余;（3）∠A+∠B+∠C=90°，则∠A、∠B、∠C互余;（4）同一个锐角的补角一定比它的余角大90°;
（5）钝角只有余角、没有补角.其中正确的有（ ）
A．一个 B. 两个 C. 三个 D. 四个
2. 小明站在小颖的北偏东４０°，则小颖在小明的（ ）
Ａ.东偏北４０° Ｂ.东偏北５０°
Ｃ.南偏西５０° Ｄ.南偏西４０°
3. 如果∠α=39°31°,∠α的余角∠β =_____,∠α的补角
∠γ=_____.
4. 如图所示，，且∠AOC=∠BOD，则∠AOC的余角是______________.
5. 一个角的余角比它的补角的 少40°,求这个角的度数.
参考答案：
1. Ｂ
2. Ｄ
3. 50°29′ 129°31′
4. ∠BOC或∠AOD
5. 40°
[能力培优]
专题一 角的个数与表示
1. 下列说法中正确的个数是（ ） ①由两条射线组成的图形叫做角，②角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关，③角的两边是两条射线，④把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角度数也扩大10倍．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.下图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有 个角；画2条射线，图中共有 个角；画3条射线，图中共有 个角，求画n条射线所得的角的个数．
专题二 钟面上的角度问题
3. 4点10分，时针与分针所夹的小于平角的角为（ ）
A．55° B．65° C．70° D．以上结论都不对
4.如图，在地面上有一个钟，钟面的12个粗线段刻度是整点时时针（短针）所指的位置，根据图中时针与分针（长针）所指的位置，该钟面所显示的时刻是 时 分．
5.周末莉莉跟妈妈去乡下的外婆家，8点多临出门她看到墙壁上钟表的时针与分针正好是重
合的，下午2点多她和妈妈回家后，一进门看见钟表的时针与分针方向相反，正好成一条
直线，问莉莉是几点钟去姥姥家？几点钟回到家？共用了多少时间？
专题三 角的折叠与拼接
6. 一副三角板不能拼出的角的度数是（拼接要求：既不重叠又不留空隙）（ ）
A．75° B．105° C．120° D．125°
7．一副三角板按如图所示方式重叠，若图中∠DCE=35025′则∠ACB=_________.
8.如图，先找到长方形纸的宽DC的中点E，将∠C过E点折起任意一个角，折痕是EF，再将∠D过E点折起，使DE和C′E重合，折痕是GE，你得到的∠GEF是直角吗？为什么？
专题四 角的和、差、倍、分
9.已知α、β是两个钝角,计算的值,甲、乙、丙、丁四位同学算出了四种不
同的答案分别为24°、48°、76°、86°,其中只有一个答案是正确的,则正确的答案是（ ）．
A．86° B．76° C．48° D．24°
10.计算：
11.已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB和OC，使∠AOB=60°，∠BOC=20°，
求∠AOC的度数.
12. 已知∠AOB=∠BOC，∠COD=∠AOD=3∠AOB，求∠AOB和∠COD的度数.
13. 已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC.
（1）如图①，若∠AOC=30°，求∠DOE的度数;
（2）在如图①中，若∠AOC=，直接写出∠DOE的度数（用含的代数式表示）;
（3）将图①中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图②的位置.
①探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②在∠AOC的内部有一条射线OF,满足：∠AOC－4∠AOF=2∠BOE+∠AOF,试确定∠AOF 与
∠DOE的度数之间的关系，说明理由.
专题五 余角、补角、方位角
14．（2012?孝感）已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β-∠γ的值等于（ ）
A．45° B．60° C．90° D．180°
15. 如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西偏北50度． （1）若∠AOC=∠AOB，则OC的方向是 ； （2）OD是OB的反向延长线，OD的方向是 ； （3）∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD，作∠BOD的平分线OE，OE的方向是 ； （4）在（1）、（2）、（3）的条件下，∠COE= ．
16.已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数．
17.如图所示：点O是直线AB上的一点，OE平分，OD平分。
求：(1) 的度数；
（2）图中互余的角有多少对？请把它们写出来.（一定要仔细哦!）
知识要点：
1.有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.
2.1度=60分，1分=60秒.1周角=2平角=4直角=360°.
3.从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.
4.如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角.
5.同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等.
温馨提示：
1.与角有关的注意事项：
（1）角的两条边是射线，而不是线段，所以无法度量和延长.
（2）角的大小与边的长短粗细无关．
（3）放大镜不能改变角的度数.
（4）平角是一个角，它有角的内部，而直线是一条线，故不能说“平角是一条直线”.同理周角是一个角，而不是一条射线，故不能说“周角是一条射线”．
2.与角的和、差、倍、分有关的注意事项.
（1）度分秒加法：度与度相加，分和分相加，秒和秒相加，计算结束后，满60进一；
（2）度分秒减法：度与度相减，分和分相减，秒和秒相减，如果不够减，就向前一位借1，借1°就相当于60′，借1′就相当于60″；
（3）度分秒乘法：计算结束后，满60进一；60″就相当于1′, 60′就相当于1°.
（4）度分秒除法：余1°就相当于60′，余1′就相当于60″．
3.余角与补角中的注意事项：
（1）互为余角、互为补角均是指两个角的关系，与第三个角无关；
（2）互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．
（3）锐角的余角为锐角，锐角的补角为钝角；钝角的余角不存在，钝角的补角为锐角.
（4）表示方向时我们一般书写形式为“南（北）偏东（西）×°”．
方法技巧：
1.在已知角内画n条射线所得的角的个数为：1+2+3+…+（n+1）=.
2.时钟上每格30°，时针速度0.5度/分钟，分针速度6度/分钟，这三个结论是解决时钟问题
的基本工具．
3.用一副三角板可以画0°~180°中15°的倍数的角，即15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、
120°、135°、150°、165°、180°．共12个角.
4.如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角．
5.在没有给出图形，角的位置关系不确定时，需要分类讨论.
答案：
1. B 解析:①角是有公共端点的两条射线所构成的图形,故①错误；②角的大小与边的长短
无关，只与两条边张开的角度有关，故②正确；③角的两边是两条射线，故③正确；④把一
个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角度数不变，故④错误．
2. 解：因为在已知角内画1条射线，图中共有3个角，即1+2=3个角；在已知角内画2条射线，图中共有6个角，即1+2+3=6个角；在已知角内画3条射线，图中共有10个角，即1+2+3+4=10个角所以在已知角内画n条射线所得的角的个数为：1+2+3+…+（n+1）=.
3. B 解析：因为4点10分时，分针从12到2转动两个格转动角度为：30°×2=60°，时针转动4×30°=125°，所以4点10分时，分针与时针的夹角是125°－60°=65°.
4. 9时12分 解析：由图可知，时针过1个大格线，走过×60=12分钟，所以，分针逆时针数12小格即为12点的位置，所以，该钟面所显示的时刻是9时12分．
5. 解：设8点x分时针与分针重合，则：6x－0.5x=180+60，解得：x=．
所以约8点43分时莉莉出门去姥姥家．
设2点y分时，时针与分针方向相反．则：6x－0.5x=180+60，解得：y=．
所以约2点43分时莉莉回家.所以共用了6个小时．
6. D 解：一副三角板的度数分别为：30°、60°、45°、45°、90°，因此可以拼出75°、105°和120°，不能拼出125°的角．
7. 144°35′解析：因为∠ACD=∠BCE=90°,故∠ACE=∠ACD－∠DCE=90°－ 35025′=54035′.
所以∠ACB=∠ACE+∠BCE=90°+54035′=144°35′.
8. 解析：∠GEF是直角.理由如下：
由折纸实验，知∠3=∠1，∠4=∠2，而∠1+∠2+∠3+∠4=1800，
所以∠1+∠2=900，所以∠GEF是直角．
9. C 解析: 因为α、β是两个钝角，所以90°＜α＜180°, 90°＜α＜180°．
所以180°＜α＋β＜360°，所以30°＜＜60°．所以C选项符合要求．
10.
（4）176°52′÷3=58°+172′÷3=58°+57′+60〞÷3=58°57′20〞.
11. 解析 ：若OC在∠AOB的内部，如图1，则∠AOC=∠AOB－∠BOC=60°－20°=40°;若OC在∠AOB的外部，如图2，则∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+20°=80°.所以∠AOC的度数为40°或80°.
图1 图2
12. 解析：设∠AOB=x°，所以∠COD=∠AOD=3∠AOB=3x°.
因为∠AOB=∠BOC，所以∠BOC=2x°.因为∠BOC+∠COD+∠AOD+∠AOB=360°，
所以3x+3x+2x+x=360. 解得x=40.所以∠AOB=40°，∠COD=120°.
13. 解析：（1）因为∠AOC=30°，所以∠BOC=180°－30°=150°.
因为OE平分∠BOC，所以∠EOC=∠EOB=150°÷2=75°.
因为∠COD是直角，所以∠DOE=∠COD－∠EOC=90°－75°=15°.
（2）α.
（3）①∠DOE =∠AOC .
设∠DOE=x,则∠COE=90°－x，∠AOC=180－2∠COE=180－2(90－x)=2x.
所以∠DOE =∠AOC.
②4∠DOE －5∠AOF=180°，设∠DOE=x,∠AOF=y.则∠AOC=2x，∠BOE=90-x.
因为∠AOC－4∠AOF=2∠BOE+∠AOF,所以2x－4y=2(90－x)+y，所以4x－5y=180.
所以4∠DOE －5∠AOF=180°.
14. C 解析：由题意得，∠α+∠β=180°，∠α+∠γ=90°，两式相减可得：∠β-∠γ=90°．故选C．
15. 解：（1）∠AOC=∠AOB=90°-50°+15°=55°，OC的方向是北偏东15°+55°=70°； （2）OD是OB的反向延长线，OD的方向是南偏东40°； （3）OE是∠BOD的平分线，∠BOE=90°；OE的方向是南偏西50°； （4）∠COE=90°+50°+20°=160°．
16. 解：设这个角的度数是x，则（180°-x）-3（90°-x）=10°，解得x=50°．答：这个角的度数为50°.
17．解析:（1）=90°.
因为O是直线AB上的一点，所以 ,
因为 OE平分,所以
因为 OD平分，所以 ,
所以 ，即.
（2）图中互余的角有4对.
例谈角在生活中的应用
学过有关角的基本知识后,能用来解决许多现实生活中所遇到的问题.下面举例谈谈角在生活中的应用.
一、钟表问题.
例1 如图,是一块手表,下午2点针的时针、分针位置如图
所示,试求分针OA与时针OB所成的角的度数.
析解 若把钟表看成一个周角,其中共有12个大格,
所以每大格度数为,又由图可知包含了其中的2
份,所以.
二、台球问题
例2 如图,∠1=∠2,若∠3=,为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中,那么击打白球时必须保证∠1为( )
A． B． C． D．
析解:∵∠3=,∴∠2=,∵∠1=∠2,∴∠1=.故选C．
三、折纸问题
例3 如图，先找到长方形纸的宽DC的中点E，将∠C过E点折起任意一个角，折痕是EF，再将∠D过E点折起，使DE和CE重合，折痕是GE，请探索下列问题：
（1）∠FEC和∠GEC互为余角吗？为什么？
（2）∠GEF是直角吗？为什么？
（3）在上述折纸图形中，还有哪些互为余角？还有哪些互为补角？
解析：（1）由折纸实验，知∠3=∠1，∠4=∠2，而∠1+∠2+∠3+∠4=1800
所以∠1+∠2=900，即∠FEC+∠GEC=900，故∠FEC和∠GEC互为余角．
（2）因为∠GEF=∠1+∠2=900，，所以∠GEF是直角．
（3）∠3和∠4，∠1和∠EFG互为余角，∠AGF和∠DGF、∠CEC和∠DEC互为补角等
四、方位角问题
例3 如图,在一张某地区的地图上,原标有学校、邮局、电影院三地,由于污损, 电影院的具体位置已看不清,根据记忆,电影院位置在学校的北偏东的方向,在邮局的西北方向.根据上述信息,你能在图上确定电影院的位置吗?如能,请画图说明.
解析 根据题意,电影院位置在学校的北偏东的方向上,作图时,应以学校所在地为测点,往往在此处画上“十字型”,以正北方向的射线为始边,顺时针旋转,电影院就在所得的射线上;同理,在邮局的西北方向可作出另一条射线,这两条射线的交点,即为电影院所在的位置.如图,分别从学校画北偏东的射线和从邮局画西北方向的射线,两射线的交点就是电影院的位置.
课件4张PPT。第四章 几何图形初步 4.3 角第四章 几何图形初步4.3.3 余角和补角4.3.3 余角和补角探究新知活动1 知识准备25 4.3.3 余角和补角活动2 教材导学1．在一副三角板中，每个三角板都有一个角是90°，那么其余两个角的和是________．
2．我们知道，若两数的和为0，则这两数互为相反数；若两数的积等于1，则这两数互为倒数．那么当两角的和等于90°或180°时，该怎样表述它们的关系呢？ 90° 余角、补角
