4.5 相似三角形判定定理的证明课时作业

4.5 相似三角形判定定理的证明课时作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（　　）
A．4 B．4 C．6 D．4
在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠D=60°，∠E=80°，，那么∠B的度数是（　　）
A．40° B．60° C．80° D．100°
如图□ABCD,E是BC上一点,BE:EC=2:3,AE交BD于F,则BF:FD等于(?? )
A．2:5 B．3:5 C．2:3 D．5:7
如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点，BD与CE交于点O，连接DE．下列结论：①=；②=；③=；④=．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，AD：BD=5：3，CF=6，则DE的长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（　　）
A． （1， ） B． （， ） C． （，2） D． （，2）
如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2，（　　）
A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2 B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2
C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2 D．若2AD＜AB，则3S1＜2S2
如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且∠DBA=∠C，若AD=2cm，AB=4cm，那么CD的长等于　 　cm．
如图，在中，，，，则的长是________．
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是边AB的中点，现有一点P位于边AC上，使得△ADP与△ABC相似，则线段AP的长为　 　．
已知线段AD，BC相交于点O，OB∶OD＝3∶1，OA＝12 cm，OC＝4 cm，AB＝30 cm，则CD＝_______cm.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，则△BCD与△ABC的周长之比为________．
如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在AB边上，且AM=3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN=　　．
如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是　 　．
三、解答题
如图，在△ABC中，点D在边AB上，满足且∠ACD=∠ABC，若AC=2，AD=1，求DB的长.
如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在AC，AB上，且，AE＝BE，连接DE，BD．求证：∠AED＝∠CBD．
如图， ，试说明：∠ABD=∠EBC．
如图，正方形的边长为，点是的中点，点在上，且，求证：．
如图，在中，已知，于，是上一点，于，交于点，
求证：；
若，求的度数．
已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE中，CF=6，CE=12，∠FCE=45°，以点C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径作弧，交EF于点B，AB∥CD．
（1）求证：四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；
（2）求四边形ACDB的面积．
答案解析
一、选择题
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】根据AD是中线，得出CD=4，再根据AA证出△CBA∽△CAD，得出=，求出AC即可．
解：∵BC=8，
∴CD=4，
在△CBA和△CAD中，
∵∠B=∠DAC，∠C=∠C，
∴△CBA∽△CAD，
∴=，
∴AC2=CD?BC=4×8=32，
∴AC=4；
故选B．
【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】根据可以确定对应角，根据对应角相等的性质即可求得∠B的大小，即可解题．
解：∵，
∴∠B与∠D是对应角，
故∠B=∠D=60°．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形对应角相等的性质，考查了对应边比值相等的性质，本题中求∠B和∠D是对应角是解题的关键．
【考点】平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质
【分析】先根据BE：EC=2：3，BE+EC=BC，易求BE：BC=4：9，而四边形ABCD是平行四边形，那么AD∥BC，AD=BC，于是BE：AD=4：9，再根据平行线分线段成比例定理的推论可知△ADF∽△EBF，从而=，可求BF：FD．
解：如图所示，
∵BE：EC=2：3，BE+EC=BC，∴BE：BC=2：5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△ADF∽△EBF，BE：AD=2：5，∴=，∴BF：FD=2：5．故选A
【考点】三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质
【分析】由点D，E分别是边AC，AB的中点知DE是△ABC的中位线，据此知DE∥BC且=，从而得△ODE∽△OBC，根据相似三角形的性质逐一判断可得．
解：∵点D，E分别是边AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC且=，②正确；
∴∠ODE=∠OBC、∠OED=∠OCB，
∴△ODE∽△OBC，
∴===，①错误；
=（）2=，③错误；
∵===，
∴=，④正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理及相似三角形的判定与性质．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】由DE∥BC可得出∠ADE=∠B，结合∠ADE=∠EFC可得出∠B=∠EFC，进而可得出BD∥EF，结合DE∥BC可证出四边形BDEF为平行四边形，根据平行四边形的性质可得出DE=BF，由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出BC=DE，再根据CF=BC﹣BF=DE=6，即可求出DE的长度．
解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B．
∵∠ADE=∠EFC，
∴∠B=∠EFC，
∴BD∥EF，
∵DE∥BF，
∴四边形BDEF为平行四边形，
∴DE=BF．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴===，
∴BC=DE，
∴CF=BC﹣BF=DE=6，
∴DE=10．
故选C．
【考点】相似三角形的性质；坐标与图形性质．
【分析】根据相似三角形对应边成比例求出CB、AC的关系，从而得到=，过点C作CD⊥y轴于点D，然后求出△AOB和△CDB相似，根据相似三角形对应边成比例求出CD、BD，再求出OD，最后写出点C的坐标即可．
解：∵A（﹣4，0），B（0，2），
∴OA=4，OB=2，
∵△COB∽△CAO，
∴====，
∴CO=2CB，AC=2CO，
∴AC=4CB，
∴=，
过点C作CD⊥y轴于点D，
∵AO⊥y轴，
∴AO∥CD，
∴△AOB∽△CDB，
∴===，
∴CD=AO=，
BD=OB=，
∴OD=OB+BD=2+=，
∴点C的坐标为（，）．
故选B．
【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】根据题意判定△ADE∽△ABC，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．
解：∵如图，在△ABC中，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=（）2，
∴若2AD＞AB，即＞时，＞，
此时3S1＞S2+S△BDE，而S2+S△BDE＜2S2．但是不能确定3S1与2S2的大小，
故选项A不符合题意，选项B不符合题意．
若2AD＜AB，即＜时，＜，
此时3S1＜S2+S△BDE＜2S2，
故选项C不符合题意，选项D符合题意．
故选：D．
【点评】考查了相似三角形的判定与性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．
【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【分析】如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；
解：如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∵FN∥AD，
∴四边形ANFD是平行四边形，
∵∠D=90°，
∴四边形ANFD是矩形，
∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，
∵AN=BN，MN∥AE，
∴BM=ME，
∴MN=a，
∴FM=a，
∵AE∥FM，
∴===，
故选：C．
【点评】本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题
【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】由条件可证得△ABC∽△ADB，可得到=，从而可求得AC的长，最后计算CD的长．
解：∵∠DBA=∠C，∠A是公共角，
∴△ABC∽△ADB，
∴=，即=，
解得AC=8，
∴CD=8﹣2=6cm．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握利用两组角对应相等可判定两个三角形相似是解题的关键．
【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】由平行可得到DE：BC=AD：AB，由DE=6可求得BC．
解：∵DE∥BC,
∴DE:BC=AD:AB=1:3，
即6:BC=1:3，
∴BC=18.
故答案为：18.
【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.
【考点】相似三角形的判定
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再分△ADP∽△ABC与△ADP∽△ACB两种情况进行讨论即可．
解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB==10．
∵D是边AB的中点，
∴AD=5．
当△ADP∽△ABC时，=，即=，解得AP=4；
当△ADP∽△ACB时，=，即=，解得AP=．
故答案为：4或．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
【考点】相似三角形的判定
【分析】根据：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.证 △AOB∽△COD,得.
解：因为，, OB∶OD＝3∶1，
所以，,
又因为∠AOB=∠COD,
所以，△AOB∽△COD,
所以，
所以，CD=
故答案为：10
【点睛】
本题考核知识点：相似三角形的判定和性质. 解题关键点：熟记相似三角形的判定和性质.
【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】易证得△BCD∽△BAC，得∠BCD=∠A=30°，那么BC=2BD，即△BCD与△BAC的相似比为1：2，根据相似三角形的周长比等于相似比即可得到正确的结论．
解：∵∠B=∠B，∠BDC=∠BCA=90°，
∴△BCD∽△BAC；①
∴∠BCD=∠A=30°；
Rt△BCD中，∠BCD=30°，则BC=2BD；
由①得：C△BCD：C△BAC=BD：BC=1：2；
故答案为：1:2．
【点睛】此题主要考查的是直角三角形和相似三角形的性质；相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】分别利用，当MN∥BC时，以及当∠ANM=∠B时，分别得出相似三角形，再利用相似三角形的性质得出答案．
解：如图1，当MN∥BC时，
则△AMN∽△ABC，
故==，
则=，
解得：MN=4，
如图2所示：当∠ANM=∠B时，
又∵∠A=∠A，
∴△ANM∽△ABC，
∴=，
即=，
解得：MN=6，
故答案为：4或6．
【点评】此题主要考查了相似三角形判定，正确利用分类讨论得出是解题关键．
【考点】相似三角形的判定和性质
【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，先利用三角形面积公式计算出AH=3，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，再证明△AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性质得=，然后解关于x的方程即可．
解：作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，
∵△ABC的面积是6，
∴BC?AH=6，
∴AH==3，
设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴=，即=，解得x=，
即正方形DEFG的边长为．
故答案为．
三 、解答题
【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】根据∠ACD=∠ABC，∠BAC=∠CAD，得出△ADC∽△ACB，再利用相似三角形的性质进而得出AB的长，求出答案即可．
解：∵∠ACD=∠ABC，∠BAC=∠CAD，
∴△ADC∽△ACB.
∴.
∵AC=2，AD=1，
∴.
∴DB=AB-AD=3.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质和判定.
【考点】相似三角形的判定和性质
【分析】由∠A＝∠C＝60°，＝，＝，＝，得＝，∠A＝∠C，所以△AED∽△CBD，可得∠AED＝∠CBD.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠C＝60°，
又点E为AB的中点，＝，＝，＝，
∴＝，又∠A＝∠C，
∴△AED∽△CBD，
∴∠AED＝∠CBD
【点睛】本题考核知识点：相似三角形的判定和性质. 解题关键点：熟记相似三角形的判定和性质.
【考点】相似三角形的判定和性质
【分析】先根据三边对应成比例,两三角形相似可判定△ABC∽△DBE,再根据相似三角形对应角相等可得: ∠ABC＝∠DBE,然后根据角的和差关系可得∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC,继而可证: ∠ABD＝∠CBE.
解：∵,
∴△ABC∽△DBE,
∴∠ABC＝∠DBE,
∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC,
即∠ABD＝∠CBE.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质,解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定和性质.
【考点】相似三角形的判定和性质
【分析】先证明，得出，由，证出，从而.
证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵是的中点，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质，证明三角形相似得出相等的角是解决问题的关键.
【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】（1）根据已知条件得出∠CFA=∠BAC，再利用相似三角形的判定得出△CAF∽△CEA，即可得出AC2=CE?CF；
（2）先证出△CAD∽△CBA，得出CA2=CB×CD，再根据CA2=CF×CE，得出CD?BC=CF?CE，从而证出△CDF∽△CEB，得出∠CFD=∠B=38°．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；∵，，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质.
【考点】菱形的性质和判定，解直角三角形，相似三角形的性质和判定
【分析】（1）根据折叠和已知得出AC=CD，AB=DB，∠ACB=∠DCB，求出AC=AB，根据菱形的判定得出即可；
（2）根据相似三角形的性质得出比例式，求出菱形的边长和高，根据菱形的面积公式求出即可．
（1）证明：∵由已知得：AC=CD，AB=DB，
由已知尺规作图痕迹得：BC是∠FCE的角平分线，
∴∠ACB=∠DCB，
又∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠DCB，
∴∠ACB=∠ABC，
∴AC=AB，
又∵AC=CD，AB=DB，
∴AC=CD=DB=BA∴四边形ACDB是菱形，
∵∠ACD与△FCE中的∠FCE重合，它的对角∠ABD顶点在EF上，
∴四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；
（2）解：设菱形ACDB的边长为x，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CE，
∴∠FAB=∠FCE，∠FBA=∠E，
△EAB∽△FCE
则：，
即，
解得：x=4，
过A点作AH⊥CD于H点，
∵在Rt△ACH中，∠ACH=45°，
∴，
∴四边形ACDB的面积为：．
【点评】本题考查了菱形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，能求出四边形ABCD是菱形是解此题的关键．