4.7 相似三角形的性质课时作业

4.7 相似三角形的性质课时作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题
1.两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（　　）
A．： B．2：3 C．4：9 D．8：27
2.已知△ABC∽△DEF，且周长之比为1：9，则△ABC与△DEF的高的比为（　　）
A．1：3 B．1：9 C．1：18 D．1：81
3.如图，已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则下列等式一定成立的是（　　）
A．= B．= C．= D．=
4.已知△ABC∽△A′B′C′，，AB边上的中线CD长4cm，△ABC的周长20cm，则△A′B′C′的周长和A′B′边上的中线C′D′分别长（　　）
A．10cm，2cm B．40cm，8cm C．40cm，2cm D．10cm，8cm
5.两相似三角形对应高长的比为3：4，则对应中线长的比为（　　）
A．3：4 B．9：16 C．：2 D．4：3
6.如图，已知△ABC，D，E分别是AB，AC边上的点．AD=3cm，AB=8cm，AC=10cm．若△ADE∽△ABC，则AE的值为（　　）
A．cm B．cm或cm C．cm或cm D．cm
7.如图，在射线AB上顺次取两点C，D，使AC=CD=1，以CD为边作矩形CDEF，DE=2，将射线AB绕点A沿逆时针方向旋转，旋转角记为α（其中0°＜α＜45°），旋转后记作射线AB′，射线AB′分别交矩形CDEF的边CF，DE于点G，H．若CG=x，EH=y，则下列函数图象中，能反映y与x之间关系的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
8.已知：如图，在中，、是上两点，且是等边三角形，，则的度数是________．
9.在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是______.
10.两个相似三角形的最短边分别为5cm和3cm，他们的周长之差为12cm，那么大三角形的周长为______.
11.若△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，则△ABC与△DEF的周长之比为　　　　　　．
12.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为　 　．
13.如图，将钢球放置到一个倒立的空心透明圆锥中，测得相关数据如图所示（图中数据单位：cm），则钢球的半径为　 　cm（圆锥的壁厚忽略不计）．
14.矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为　 　．
15.如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是　 　．
三、解答题
16.如图，已知△ABC∽△AED，AD=5cm，AC=10cm，AE=6cm，∠A=66°，∠ADE=65°，求AB的长及∠C的度数．
17.已知△ABC中，AB=15cm，BC=21cm，AC=30cm，另一个与它相似的△A′B′C′的最长边长为40cm，求△A′B′C′的其余两边的长．
18.如图，已知△AOB∽△DOC，OA=2，AD=9，OB=5，DC=12．求AB，OC的长．
19.已知：如图，△ADE∽△ABC，AB=10cm，AD=6cm，BC=12cm，∠A=56°，∠ADE=40°．求：
（1）∠ACB的度数；
（2）DE的长．
20.已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k．
（1）如果CD和C′D′是它们的对应高，那么等于多少？
（2）如果CD和C′D′是它们的对应角平分线，那么等于多少？如果CD和C′D′是它们的对应中线呢？
答案解析
一 、选择题
1.【考点】相似三角形的性质
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
解：∵两三角形的相似比是2：3，
∴其面积之比是4：9，
故选：C．
2.【考点】相似三角形的性质．
【分析】利用相似三角形对应的高线的比等于相似比即可得到答案．
解：∵△ABC与△DEF的周长之比为1：9，
∴两三角形的相似比为1：9，
∴△ABC与△DEF对应的高的比1：9，
故选B．　
3.【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形的性质判断即可．
解：∵△ABC∽△DEF，
∴=，A不一定成立；
=1，B不成立；
=，C不成立；
=，D成立，
故选：D．
4.【考点】相似三角形的性质
【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比，对应中线的比等于相似比求解．
解：根据题意，设△A′B′C′的周长为x
则，解得x=40
又，CD=4cm
∴C′D′=8cm
故选：B．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
5.【考点】相似三角形的性质
【分析】由两相似三角形对应高长的比为3：4，根据相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比，即可求得答案．
解：∵两相似三角形对应高长的比为3：4，
∴此两个三角形的相似比为：3：4，
∴对应中线长的比为：3：4．
故选：A．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比定理的应用是解此题的关键．
6.【考点】相似三角形的性质
【分析】先连接DE，由于△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质，可得AD：AB=AE：AC，代入数值计算即可．
解：连接DE，
∵△ADE∽△ABC，
∴AD：AB=AE：AC
∴3：8=AE：10
∴AE=
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，该题难度较小．
7.【考点】动点问题的函数图象．
【分析】根据矩形的性质得到CF∥DE，根据相似三角形的性质即可得到结论．
解：∵四边形CDEF是矩形，
∴CF∥DE，
∴△ACG∽△ADH，
∴，
∵AC=CD=1，
∴AD=2，
∴=，
∴DH=2x，
∵DE=2，
∴y=2﹣2x，
∵0°＜α＜45°，
∴0＜x＜1，
故选D．
二 、填空题
8.【考点】相似三角形的性质
【分析】由可得出∠BPM=∠A,进而由等边三角形性质和角的转化可得.
解：∵
∴∠BPM=∠A,
∵是等边三角形
∴∠A+∠APN=60°，∠APN+∠MPN=60°
∴∠APB=∠BPM+∠MPN+∠APN=60°+60=120°.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟悉换算是解决本题的关键.
9.【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质
【分析】构建三角形中位线定理得DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，所以，由此即可证明．
解：如图，∵AD=DB，AE=EC，
∴DE∥BC．DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
故答案为．
【点评】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是记住相似三角形的面积比等于相似比的平方，属于中考常考题型．
10.【考点】相似三角形的性质
【分析】利用相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比得到两三角形的周长的比为5：3，于是可设两三角形的周长分别为5xcm，3xcm，所以5x﹣3x=12，然后解方程求出x后，得出5x即可．
解：根据题意得两三角形的周长的比为5：3，
设两三角形的周长分别为5xcm，3xcm，
则5x﹣3x=12，
解得x=6，
所以5x=30，
即大三角形的周长为30cm．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
11.【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比求解．
解：∵△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，
∴△ABC与△DEF的相似比为5：4；
∴△ABC与△DEF的周长之比为5：4．
故答案为：5：4．
12.【考点】相似三角形的性质；等腰三角形的性质．
【分析】由△ACD是等腰三角形，∠ADC＞∠BCD，推出∠ADC＞∠A，即AC≠CD，分两种情形讨论①当AC=AD时，②当DA=DC时，分别求解即可．
解：∵△BCD∽△BAC，
∴∠BCD=∠A=46°，
∵△ACD是等腰三角形，∵∠ADC＞∠BCD，
∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD，
①当AC=AD时，∠ACD=∠ADC=（180°﹣46°）=67°，
∴∠ACB=67°+46°=113°，
②当DA=DC时，∠ACD=∠A=46°，
∴∠ACB=46°+46°=92°，
故答案为113°或92°．
13.【考点】圆锥的计算，相似三角形的性质
【分析】由勾股定理求得AE，再根据相似三角形的性质求出钢球的半径．
解：AB=12+14=26（cm），
由勾股定理得AE==24（cm），
由△ADO～△AEB得
=，
∴=，
∴OD=5．
答：钢球的半径为5cm．
故答案为：5．
【点评】考查了圆锥的计算，相似三角形的性质，关键是求出钢球的直径．
14.【考点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质
【分析】根据勾股定理求出BD，分PD=DA、P′D=P′A两种情况，根据相似三角形的性质计算．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=90°，
∴BD==10，
当PD=DA=8时，BP=BD﹣PD=2，
∵△PBE∽△DBC，
∴=，即=，
解得，PE=，
当P′D=P′A时，点P′为BD的中点，
∴P′E′=CD=3，
故答案为：或3．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质、勾股定理和矩形的性质，掌握相似三角形的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
15.【考点】相似三角形的性质
【分析】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到AP的长的取值范围．
解：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，
此时0＜AP＜4；
如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，
此时0＜AP≤4；
如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，
此时，△CPG∽△CBA，
当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4，
∴CP=1，AP=3，
∴此时，3≤AP＜4；
综上所述，AP长的取值范围是3≤AP＜4．
故答案为：3≤AP＜4．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
三 、解答题
16.【考点】相似三角形的性质
【分析】由△ABC∽△AED，AD=5cm，AC=10cm，AE=6cm，∠A=66°，∠ADE=65°，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AB的长，根据相似三角形的对应角相等，即可求得∠C的度数．
解：∵△ABC∽△AED，∠ADE=65°，
∴∠ADE=∠C=65°，
∵，
∴=，
解得：AB=12cm．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
17.【考点】相似三角形的性质
【分析】设△A′B′C′的其余两边的长度分别是x，y，根据三角形的相似性质列出比例式，求出x和y的值．
解：设△A′B′C′的其余两边的长度分别是x，y，
根据题意，得=，=，
解得x=20，y=28，
答：△A′B′C的其余两边的长分别是20cm和28cm．
【点评】本题考查相似三角形的性质．利用相似三角形的性质时，要注意相似比的顺序．
18.【考点】相似三角形的性质
【分析】先根据OA=2，AD=9求出OD的长，再根据△AOB∽△DOC即可得出==，再把已知数据代入进行计算即可．
解：∵OA=2，AD=9，
∴OD=9﹣2=7，
∵△AOB∽△DOC，
∴==，
∵OA=2，OB=5，DC=12，
∴==，解得OC=，AB=．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
19.【考点】相似三角形的性质
【分析】根据三角形相似，对应角相等，对应边的比相等，可以把本题转化为求∠AED的问题，再根据对应边的比相等，就可以求出DE的长．
解：△AED中已知，
∵∠A=56°，∠ADE=40°，
∴∠AED=84°．
∵△ADE∽△ABC，
∴∠ACB=∠AED=84°，．
∴=．
∴DE=7.2（cm）．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，对应角相等，对应边的比相等．
20.【考点】相似三角形的性质
【分析】（1）相似三角形的相似比等于其对应高的比；
（2）第二问中相似三角形的相似比同样也等于三角形对应中线的比，角平分线的比．
解：（1）相似三角形的相似比等于其对应高的比，∴=k．
（2）当其为角平分线时，=k．
当其为中线时，=k．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质问题，能够熟练掌握．