江苏省苏州市2019届高三上学期期中调研测试数学试题（小题解析）

2018—2019学年第一学期高三期中调研试卷
数 学（正题） 2018．11
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置)
1．设全集，若集合，则 ▲ ．
考点：集合的运算。
答案：
解析：因为，所以，
2．命题“”的否定是 ▲ ．
考点：常用逻辑用语中的命题的否定。
答案：
解析：把“存在”改“任意”，否定结论，注意符号。
3．已知向量，，且，则实数的值是 ▲ ．
考点：平面向量的坐标运算，数量积，向量垂直的概念。
答案：1
解析：因为，所以，＝0，即
（2，m）（1，－2）＝0，即2－2m＝0，解得：m＝1
4．函数的定义域是 ▲ ．
考点：对数函数、二次根式的定义。
答案：
解析：依题意，有：，解得：，注意一个有等号，另一个没有等号。
5．已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的面积为 ▲ ．
考点：扇形面积的计算，弧度制下弧长的运算。
答案：
解析：弧长l＝6×＝2
扇形面积：＝＝
6．已知等比数列的前项和为，，则 ▲ ．
考点：等比数列的前项和。
答案：10
解析：，所以，，

7.设函数（为常数， 且）的部分图象如图所示， 则的值为 ▲ ．

考点：正弦函数的图象及其性质。
答案：
解析：T＝，，，
当x＝时，y取最小值－A，所以，＝－A，
，＝
8．已知二次函数,不等式的解集的区间长度为6(规定：闭区间的长度为)，则实数的值是 ▲ ．
考点：一元二次不等式及其解法。
答案：－5
解析：，即
对于方程，有：，
依题意，得：｜｜＝6
｜｜＝＝＝＝6
解得：m＝－5
9．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3．如果池底每1 的造价为150元，池壁每1的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为 ▲ ．
考点：基本不等式，列不等式解应用题。
答案：160
解析：设水池底部长为xm，宽为ym，则有
3xy＝4800，即xy＝1600
总造价Z＝150×xy＋6×120×（x＋y）＝240000+57600＝297600
当x＝y＝40时，总造价最低，此时，水池底的周长为160m
10．在中，，则的最大值是 ▲ ．
考点：正弦定理和余弦定理，基本不等式。
答案：
解析：因为，由正弦定理，得：
＝0，即＝0，化简，得：
cosA＝＝
所以，的最大值是
11．已知函数，若，则的取值范围是 ▲ ．
考点：函数的导数及其应用，函数图象的性质。
答案：
解析：x＜1时，显然f（x）是增函数，f（x）＜1+


12．已知数列的通项公式为，数列的通项公式为,若将数列，中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列，则的值为 ▲ ．
考点：数列的综合应用，应用数学知识解决问题的能力。
答案：256
解析：设，则有：，　即
因为m是正整数，所以，k+1或k－1是5的整数倍
设k+1＝5t或k－1＝5t，即
k＝5t－1或k＝5t+1
所以，k＝4、6、9、11、14、16、19、21…
所以，＝162＝256

13．如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点M为边BC上的动点，则的最小值为 ▲ ．

考点：平面向量的综合应用。
答案：
解析：


14．函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ▲ ．
考点：函数的导数及其应用，分类讨论的数学思想。
答案：或
解析：

二、解答题(本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本题满分14分)
已知，．
（1）若，且，求在上的取值范围；
（2）若，且、的终边不在轴上，求的值．

16．(本题满分14分)
已知等差数列的前n项和为， ，．数列的前n项和为，且．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．

17 ．(本题满分14分)
某湿地公园围了一个半圆形荷花塘如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴线OC上设计一个观景台D（点D与点O，C不重合），其中AD，BD，CD段建设架空木栈道，已知km，设建设的架空木栈道的总长为ykm．
（1）设，将表示成的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）试确定观景台的位置，使三段木栈道的总长度最短．


18．(本题满分16分)
已知是奇函数．
（1）求实数的值；
（2）求函数在上的值域；
（3）令，求不等式的解集．


19．(本题满分16分)
已知数列的首项为1，定义：若对任意的，数列满足，则称数列为“M数列”．
（1）已知等差数列为“M数列”， 其前项和满足，求数列的公差的取值范围；
（2）已知公比为正整数的等比数列为“M数列”，记数列满足，且数列不为“M数列，求数列的通项公式．

20．(本题满分16分)
设函数，a为常数．
（1）当时，求在点处的切线方程；
（2）若为函数的两个零点，．
①求实数的取值范围；
②比较与的大小关系，并说明理由．




















2018—2019学年第一学期高三期中调研试卷
数 学 (附加) 2018．11
注意事项：
1．本试卷共2页．满分40分，考试时间30分钟．
2．请在答题卡上的指定位置作答，在本试卷上作答无效．
3．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试证号填写在答题卡的规定位置．
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，在答题卡上填涂选作标志，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．（本题满分10分）
已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB，FC.
（1）求证：；
（2）若AB是△ABC外接圆的直径，，，求AD的长．


B．（本题满分10分）
已知可逆矩阵A=的逆矩阵为，求的特征值．

C．（本题满分10分）
在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆的极坐标方程；
（2）过极点O作直线与圆C交于点A，求OA的中点所在曲线的极坐标方程．
D．（本题满分10分）
已知函数，，若存在实数使成立，求实数的取值范围．
22．（本题满分10分）
如图，在四棱锥中， ⊥，，，，，．
(1)求二面角的余弦值；
(2)若点在棱上，且平面，求线段的长．

23．（本题满分10分）
已知函数，设是的导数，．
(1) 求的值；
(2) 证明：对于任意，等式都成立．














2018—2019学年第一学期高三期中调研试
数学参考答案与评分标准 2018．11
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1. 2. 3. 1 4. 5. 6. 10
7. 8. 9. 160 10. 11. 12. 256 13.
14. 或
二、解答题(本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本题满分14分)
解：（1）因为，所以．
所以， ………………2分
即， ………………3分
因为，所以；所以； ………………5分
所以的取值范围是． ………………7分
（2）由，所以， ………………9分
所以， ………………10分
所以，
因为、的终边不在轴上，所以均不为0，
所以， ………………12分
因为所以． ………………14分
16．(本题满分14分)
解：（1）因为是等差数列,
设的公差为，由，，得 ………………2分
所以，，所以； ………………4分
由可知，当时，； ………………5分
当时，，所以，
从而， ………………7分
又，所以，所以是等比数列， ………………8分
所以． ………………9分
（2）因为，所以，
，
， ………………11分
所以，
所以． ………………14分
17. (本题满分14分)
解：（1）由，，，
则，，所以， ………………4分
所以,. ………………7分
（注：表达式2分，的的取值范围1分）
(2) ， ………………9分
令,得，又，所以， ………………10分
当时，，是的减函数；当时，，是的增函数.
………………12分
所以，当时， ，此时. ………………13分
答：当D位于线段AB的中垂线上且距离AB边处时,能使三段木栈道总长度最短.
………………14分
18．(本题满分16分)
解：（1）函数的定义域为，因为为奇函数，由可知，，
所以，所以； ………………3分
当时，，此时为奇函数． ………………4分
（2）令（），所以
所以，对称轴， ………………5分
①当时，，所求值域为； ………………7分
②当时，，所求值域为； ………………9分
（3）因为为奇函数，所以
所以为奇函数，
所以等价于， ………………10分
又当且仅当时，等号成立，
所以在上单调增，
所以， ………………13分
即，又，
所以或． ………………15分
所以不等式的解集是． ………………16分
19．(本题满分16分)
解：（1）因为等差数列为“M数列”，所以， ………………2分
由 ，得 ， 由题意，得对均成立，
即对均成立， …………………4分
当时，均成立； …………………5分
当时，恒成立，
因为，所以， ………………7分
综上可得，数列的公差的取值范围是． …………………8分
（2）设数列的公比为，则，
因为公比为正整数的等比数列为“M数列”，
所以，

所以至少为大于等于2的正整数； …………………9分
又，所以数列单调递增，
所以在数列中，为最小项， …………………11分
由为“M数列”，可知只需，即 ，所以 ………12分
同理，在中，“”为最小项，
因为不是“M数列”，所以存在，
又“”为最小项，所以， 即 ，所以…………………14分
因为，，． …………………16分
20．(本题满分16分)
解：（1）当时，，得，
所以，所以在点处的切线方程为； ………………3分
（2）①（）,得，
当时，，单调递减不满足题意； ………………4分
当时，，；，；
所以在上单调减，在上单调增．
因为函数有两个零点，所以，得． …………6分
下证：在区间和内分别存在一个零点.
在内，因为，而，又在上单调减，所以由零点存在性原理可知：在内有一个零点； ………………9分
法一：在内，可以证明，所以即，
所以，
取，得， 而，
又在上单调递增，所以由零点存在性原理可知：在内有一个零点． ………………12分
法二:在内，因为（易证），所以即，所以，令且，因为，所以存在，使得，所以，而，又在上单调增，所以由零点存在性原理可知在内，有一个零点． ………………12分
法三:在内取，所以，令，，可证：，
所以，所以，而，又在上单调增，所以由零点存在性原理可知在内，有一个零点． ………………12分
②． ………………13分
证明如下：由，，所以即，
要证，即证，即证，
令，令，，所以，所以． ………………16分





2018—2019学年第一学期高三期中调研试卷
数学 (附加) 参考答案与评分标准 2018．11

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．（本题满分10分）
证明：（1）∵AD平分∠EAC，∴∠EAD =∠DAC，
∵四边形AFBC内接于圆,∴∠DAC =∠FBC，
∵∠EAD =∠FAB =∠FCB， ∴∠FBC =∠FCB，∴FB = FC. ……………5分 (2) ∵AB是圆的直径，∴∠，
∵，，，
在Rt△ACB中，∵BC = 6，∠BAC =60°，∴AC = 2，
又在Rt△ACD中，∠D =30°，AC=2， ∴AD = 4．…………………10分
B．（本题满分10分）
解：由可知，

所以，， …………………3分
所以； …………………5分
所以，， …………………8分
由，，． …………………10分
C．（本题满分10分）
解：（1）由，所以圆C的普通方程，………………3分
又点为极点，为极轴，所以，
所以圆C的极坐标方程是； ………6分
（2）设OA的中点为，则，所以，即，
所以OA的中点所在曲线的极坐标方程为． …………………10分
D．（本题满分10分）
解：因为f(x)＋g(x)＝＋ ＝(，1)·(，)…………………3分
≤·＝8, …………………5分
当且仅当＝,即x＝10时取等号． …………………7分
所以f(x)＋g(x)的最大值是8． …………………8分
所以a<8，即实数a的取值范围是(－∞,8)．…………………10分
22．（本题满分10分）
解： (1)在△中，因为，，，
所以，所以⊥．
所以，建立空间直角坐标系，如图所示． …………………1分
所以，，，，，
，．
易知平面的一个法向量为． ……2分
设平面的一个法向量为，
则 即
令，则． ……………………4分
设二面角的平面角为，可知为锐角，
则，
即二面角的余弦值为． …………………6分
(2)因为点在棱，所以，． 因为，
所以，．
又因为平面，为平面的一个法向量，
所以，即，所以． …………………9分
所以，所以． …………………10分

23．（本题满分10分）
解：(1)法一：由已知， …………………1分
故， …………………2分
所以，即＋． …………………3分
法二：由已知得：，等式两边分别对求导：， …………………1分
即，类似可得：，
所以+． …………………3分
(2)由已知得：，等式两边分别对求导：，
即，类似可得：，
，．
下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立． …………………6分
①当时，由上可知等式成立；
② 假设当时等式成立，即．
因为，
，
所以．
因此当时，等式成立． …………………9分
综合①，②可知等式对所有的都成立．
令，可得．
所以． …………………10分