新湘教版 数学 九年级上 4.1.1 正弦 教学设计
课题
4.1.1 正弦
单元
第四单元
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：
经历锐角的正弦的探索过程，理解三角函数的概念；
②掌握正弦的符号，会根据正弦的定义正确求出锐角30°的正弦值。
过程与方法：
①经历锐角的正弦的探索过程，理解三角函数的概念；
②采用引导、启发、合作、探究等方法，经历观察、发现、动手操作、归纳、交流等文学活动，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习.
③通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观：
①通过解答实际问题，激发学生学数学的兴趣，增长社会见识。
②使学生亲身经历正弦的探索过程，感受数学知只的实用性，培养学生积极的情感态度。
重点
理解正弦概念，理解当直角三角形的锐角固定时，其对边与斜边的比值是固定值.
难点
理解正弦概念，理解当直角三角形的锐角固定时，其对边与斜边的比值是固定值.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识
+
导入新课
从这节课开始，我们将一起学习有关三角函数的知识。如图是上海东方明珠电视塔的远景图， 你能想办法测量出该塔的高度吗？测量高度或者距离之类的问题，一般可以用本章锐角三角函数的知识来解决．
问题1:画一个直角三角形， 其中一个锐角为65°， 量出65°角的对边长度和斜边长度， 计算
65°的对边
斜边
= = ？
与同桌和邻桌的同学交流， 看看计算出的比值是相等（精确到0.01）的吗？
/
小明量出∠A的对边BC=3cm，斜边AB=3.3cm，算出：
∠A的对边
斜边
=
3
3.3
=
10
11
？
小亮量出∠A’的对边B’C’=2cm，斜边A’B’=2.2cm算出：
∠
A
′
的对边
斜边
=
2
2.2
=
10
11
？
问题2：由问题1猜测：在有一个锐角为65°的所有直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它等于
10
11
.
这个猜测是真的吗？ 若把65°角换成任意一个锐角α， 则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？
你能想办法利用已学的知识证明吗？
问题3：如图4－2， △ABC 和△DEF 都是直角三角形， 其中∠A＝ ∠D ＝α ， ∠C =∠F = 90°， 则
BC
AB
=
EF
DE
成立吗？ 为什么？
/
∵ ∠A =∠D =α， ∠C =∠F = 90°，
∴ Rt△ABC∽Rt△DEF.
∴
BC
EF
=
AB
DE
则
BC
AB
=
EF
DE
在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.
学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。
导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
讲授新课
+
例题讲解
讲授新课
+
例题讲解
从刚刚导入新课的探究中，我们可以得到正弦的定义：
正弦的定义：
在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比值叫作角α的正弦函数，记作 sinα，即
sinα=????
?角α的对边
角α的斜边
=
????
????
.
结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.
接下来，我们看一些具体的例子：
【例1】如图4-3，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5.
（1）求sinA的值；
解：∠A的对边BC=3，斜边AB=5.于是sinA=
BC
AB
=
3
5
.
（2）求sinB的值．
解：∠B的对边AC，根据勾股定理，得
AC2 = AB2-BC2
= 52-32 = 16.
于是 AC = 4.
因此sinB=
4
5
.
【例2】在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有什么关系？若设30°角所对的直角边为1，则斜边的值是多少？
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
可以得到：sin30°=
?1
2
.
【扩展】如图， 在平面直角坐标系内有一点P（3，4）， 连接OP， 求OP与x轴正方向所夹锐角α 的正弦值.
解： 平面直角坐标系内点P的坐标为（3，4），
连接OP，由勾股定理得 OP=5,
角α的对边是直角边，边长为4，而斜边长OP为5 ，
∴ sin α =
3
5
.
小结：
sinα=????
?角α的对边
角α的斜边
=
????
????
1.sina 是在直角三角形中定义的，∠a是锐角.
2.sina不是sin与a的乘积，而是一个整体，表示∠a的正弦。
3.sina是线段的一个比值，无单位，注意比的顺序.
4.sina 的大小只与∠a的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握有关正弦的定义。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
讲授知识，让学生掌掌握正弦的定义。
让学生知道本节课的学习内容和重点。
课堂练习
1．在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值是一个______常数__，与直角三角形的___大小____无关．
2．如图，在直角三角形中，锐角α的_____对边__与__斜边___的比叫作角α的___正弦____，记作sin α，即sin α＝
?角α的对边
角α的斜边
.
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则
AC
AB
表示( B)
A．sin A B．sin B
C．sin C D．以上都不对
4．下列说法正确的是( C )
A．sin A表示一个角
B．sin A表示sin和A的乘积
C．sin A表示一个比值
D．sin A表示两条线段
5. 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=6，AB=10.
（1）求sinA的值；
答： sinA =
6
10
=
3
5
.
（2）求sinB的值．
答： sinB =
8
10
=
4
5
.
6.已知a，b，c是△ABC的三边，a，b，c满足等式b2＝(c＋a)(c－a)，且5b－4c＝0，求sin A＋sin B的值．
解：1∶b2＝(c＋a)(c－a)，∴b2＝c2－a2，∴a2＋b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°.
又∵5b－4c＝0，
∴
??
??
=
4
5
，则
??
??
=
3
5
，∴sinA+sinB=
7
5
.
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
课堂小结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
/正弦的定义：
在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比值叫作角α的正弦函数，记作 sinα，即
sinα=????
?角α的对边
角α的斜边
=
BC
AB
.
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。
帮助学生加强记忆知识。
板书
正弦
在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比值叫作角α的正弦函数，记作 sinα，即 sinα=????
?角α的对边
角α的斜边
=
BC
AB
.
借助板书，让学生知识本节课的重点。
作业
教材第111页练习第1、2题.
/
4.1.1 正弦
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题6分）
1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，则sin∠A=（ ）
/
A．
4
5
B．
3
5
C．
4
3
D．
3
4
2．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB于点D，表示sinB错误的是（ ）
/
A．
????
????
B．
????
????
C．
????
????
D．
????
????
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=
3
5
，则AC：AB=（ ）
A．3：5 B．3：4 C．4：3 D．4：5
4．在△ABC中，∠C=90°，AC=3BC，则sinA的值为（ ）
A．
1
3
B．3 C．
10
10
D．
3
10
10
5．如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，则sinα等于（ ）
/
A．
????
????
B．
????
????
C．
????
????
D．
????
????
二．填空题（共5小题，每题6分）
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=8，sinA=
4
5
，则AC= ．
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=
3
5
，则斜边AB边上的高CD的长为 .
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=
3
，则sinA= ．
9．如图，在Rt△ABC，∠C=90°，sinB=
4
5
，AB=15，则AC的值是 ．
/
10．将∠BAC放置在5×5的正方形网格中，顶点A在格点上．则sin∠BAC的值为 ．
/
三．解答题（共2小题，每题20分）
11．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，AD=BC=5，cos∠ADC=
3
5
，求：sinB的值．
/
12．把含30°角的三角板ABC，绕点B逆时针旋转90°到三角板DBE位置（如图所示），求sin∠ADE的值．
/
试题解析
一．选择题
1．【分析】根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠C=90°，AB=10，BC=8，
∴在Rt△ABC中，sinA=
????
????
=
8
10
=
4
5
，
故选：A．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键．
2．【分析】根据三角函数的定义解答即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD⊥AB于点D，
∴sinB=
????
????
=
????
????
=
????
????
，
故选：D．
【点评】此题考查锐角三角函数的定义，关键是根据正弦函数是对边与斜边的比进行解答．
3．【分析】直接根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数关系得出答案．
【解答】解：如图所示：∵∠C=90°，sinA=
????
????
=
3
5
，
∴设BC=3x，则AB=5x，
故AC=4x，
故AC：AB=4：5．
故选：D．
/
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确表示出各边长是解题关键．
4．【分析】根据勾股定理，可得AB与BC的关系．根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
【解答】解：由勾股定理，得
AB=
??
??
2
+??
??
2
=
10
????，
sinA=
????
????
=
10
10
，
故选：C．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
5．【分析】先由∠B+∠BAC=∠ACD+∠BAC=90°知∠B=∠ACD=∠α，再分别在Rt△ABC、Rt△BCD、Rt△ACD中表示出sinα，据此可得答案．
【解答】解：∵AC⊥BC、CD⊥AB，
∴∠ACB=∠CDB=90°，
∴∠B+∠BAC=∠ACD+∠BAC=90°，
则∠B=∠ACD=∠α，
在Rt△ABC中，sinα=
????
????
；
在Rt△BCD中，sinα=
????
????
；
在Rt△ACD中，sinα=
????
????
；
故选：C．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
二．填空题
6．【分析】根据已知结合锐角三角函数关系，得出AB，AC的长即可．
【解答】解：如图所示：∵∠C=90°，BC=8，sinA=
4
5
，
∴
????
????
=
8
????
=
4
5
，
∴AB=10，
∴AC=
1
0
2
?
8
2
=6，
故答案为：6．
/
【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系以及勾股定理，正确记忆直角三角形中边角关系是解题关键．
7．【分析】作CD⊥AB于D，如图，在Rt△ACB中利用正弦的定义可计算出BC=
12
5
，再利用勾股定理计算出AC=
16
5
，然后利用面积法计算CD的长
【解答】解：作CD⊥AB于D，如图，
/
在Rt△ACB中，∵sinA=
????
????
=
3
5
，
∴BC=
3
5
×4=
12
5
，
∴AC=
??
??
2
???
??
2
=
16
5
，
∵
1
2
CD?AB=
1
2
AC?BC，
∴CD=
16
5
×
12
5
4
=
48
25
，
即斜边上的高为
48
25
．
故答案为：
48
25
．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
8．【分析】直接画出图形进而利用锐角三角函数关系得出答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=
3
，
∴sinA=
????
????
=
3
2
．
故答案为：
3
2
．
/
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确记忆边角关系是解题关键．
9．【分析】由sinB=
????
????
得AC=ABsinB，据此可得．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵sinB=
????
????
，
∴AC=ABsinB=15×
4
5
=12，
故答案为：12．
【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握正弦函数的定义．
10．【分析】直接连接BC，进而得出∠ABC=90°，再利用特殊角的三角函数值得出答案．
【解答】解：如图所示：连接BC，
∵AB=BC=
10
，AC=2
5
，
∴AB2+BC2=AC2，
∴∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∴sin∠BAC=
2
2
．
故答案为：
2
2
．
/
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解题关键．
三．解答题
/
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理，熟记角三角函数的定义及勾股定理是解答此题的关键．
12．【分析】过点E作EF⊥AD，且交AD于点F；设BD=x，进而可得AB、BE、AD的值，利用边的关系可得AE的值；在Rt△AEF中，由三角函数的定义可得EF、AF的值；最后在Rt△DEF中，根据三角函数的定义可得sin∠ADE的值．
【解答】解：过点E作EF⊥AD，且交AD于点F；
设BD=x，则AB=x，BE=
3
3
x，AD=
2
x；
DE=
????
2
+
????
2
=
??
2
+
(
3
3
??)
2
=
2
3
3
x，
在Rt△AEF中，AE=x﹣
3
3
x=
3?
3
3
x；
易得EF=
2
2
?AE=
3
2
?
6
6
x；
则AF=EF=
3
2
?
6
6
x，
在Rt△DEF中，
根据三角函数的定义可得：sin∠ADE=
????
????
=
6
?
2
4
；
答：sin∠ADE的值为
6
?
2
4
．
/
【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
/
课件22张PPT。4.1 正弦与余弦数学湘教版 九年级上4.1.1 正弦导入知识ABCBC=5.2mAB=54.5m根据已知条件，你能用
塔身中心线与垂直中心
线所成的角度来描述比
萨斜塔的倾斜程度吗？?讲解知识??讲解知识?????讲解知识??导入知识在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.讲解知识?【例1】如图4-3，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5.
（1）求sinA的值；?讲解知识 【例1】如图4-3，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5.
（2）求sinB的值．?讲解知识 【例2】在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有什么关系？若设30°角所对的直角边为1，则斜边的值是多少？ 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.讲解知识? 如图， 在平面直角坐标系内有一点P（3，4）， 连接OP， 求OP与x轴正方向所夹锐角α 的正弦值.?讲解知识α结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.1.sina 是在直角三角形中定义的，∠a是锐角.
2.sina不是sin与a的乘积，而是一个整体，表示∠a的正弦。
3.sina是线段的一个比值，无单位，注意比的顺序.
4.sina 的大小只与∠a的大小有关，而与直角三角形的边长无关.讲解知识课堂练习1．在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值是一个________，与直角三角形的_______无关．
2．如图，在直角三角形中，锐角α的_______与_______的比叫作角α的_______，记作sin α，即sin α＝ .正弦斜边对边大小常数??课堂练习BC5. 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=6，AB=10.
（1）求sinA的值；（2）求sinB的值．?课堂练习?拓展练习 6.已知a，b，c是△ABC的三边，a，b，c满足等式b2＝(c＋a)(c－a)，且5b－4c＝0，求sin A＋sin B的值．?1.直角三角形中，角a的正弦函数等于哪两边之比呢？
2.直角三角形中，sina有单位吗？大小与什么有关？
3.学习角a的正弦值时，用到了什么主要的数学思想方法？课堂总结?sinα无单位，大小与a的大小有关，与直角的边长无关.数形结合的方法，画直角三角形，借助图形来解正弦值.课堂总结?板书设计?作业布置教材第111页练习第1、2题. 谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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