新湘教版 数学 九年级上 4.1.3 余弦 教学设计
课题
4.1.3 余弦
单元
第四单元
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：
经历锐角的余弦的探索过程，理解余弦的概念；
②掌握余弦的符号，会根据余弦弦的定义正确求出锐角的正弦值。
③记住特殊角（30°、45°、60°）的正、余弦值；
④能由特殊角度来求角的余弦值，由余弦值求特殊角的度数；
⑤会用计算器求锐角的余弦值，也能由余弦值求角的度数。
过程与方法：
①采用引导、启发、合作、探究等方法，经历观察、发现、动手操作、归纳、交流等文学活动，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习.
②领会教学活动中的类比思想，提高学生学习数学的积极性；
③通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观：
①通过解答实际问题，激发学生学数学的兴趣，增长社会见识。
②使学生亲身经历求特殊角的余弦弦值的过程，以及用计算器计算有关余弦的值，感受数学知只的实用性，培养学生积极的情感和态度。
重点
余弦的概念、特殊角的正、余弦值，以及计算包含特殊角的正、余弦的代数式的值。
难点
余弦的概念、特殊角的正、余弦值，以及计算包含特殊角的正、余弦的代数式的值。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识
+
导入新课
在上节课中，我们已经学习了有关正弦的定义，而我们这节课要一起学习的是特殊角的正弦值。在上新课之前，我们一起回忆下前面学习的知识。
sinα=????
?角α的对边
角α的斜边
=
????
????
sin30°=
??
??
sin45°=
??
??
sin60°=
??
??
如图， △ABC 和△DEF 都是直角三角形， 其中∠A ＝ ∠D ＝α ， ∠C =∠F = 90°， 则
AC
AB
=
DF
DE
成立吗？ 为什么？
/
∵ ∠A =∠D =α， ∠C =∠F = 90°，
∴ ∠B =∠E .
从而sinB = sinE.
AC
AB
=
DF
DE
.
学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。
导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
讲授新课
+
例题讲解
讲授新课
+
例题讲解
从刚刚导入新课的探究中，我们可以得余弦的定义：
正弦的定义：
在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比值叫作角α的正弦函数，记作 sinα，即
cosα=????
?角α的邻边
角α的斜边
=
????
????
如图， △ABC 是直角三角形， 其中 ∠C =90°，∠A+∠B=90°. 分别求sin∠A、sin∠B、cos∠A、cos∠B的值，两者有什么关系？
∵ △ABC 是直角三角形， 其中 ∠C =90°
∴sin∠A =
????
????
、sin∠B=
????
????
cos∠A=
AC
AB
??????∠B=
BC
AB
.
可以发现： sin∠A= cos∠B=cos（90°-∠B）?；
sin∠B= cos∠A=cos（90°-∠A）?.
锐角的正、余弦值的关系：
对于任意锐角α，有
sinα= cos（????°?α）；
??????α= sin（90°-α）.
接下来，我们看一些具体的例子：
【例1】求cos30°、cos45°、cos60°
解：cos30°=sin（90°-30°）=sin60°=
3
2
cos45°= sin（90°-45°）=sin45°=
2
2
cos60° =sin（90°-60°）=sin30°=
1
2
/
/
【例3】利用计算器来求值：
1.已知角的度数，求正弦值：
例：求50°角的余弦值:在计算器上依次按键， /的显示结果为0.6427….
2.如果已知正弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角.
例如，已知cosα = 0.8661，依次按键，/，显示结果为29.9914…，表示角α 约等于30°.
【做一做】用计算器计算：
（1） cos 15°≈ 0.9659 （精确到0.0001）；
（2） cos 50° 48 ′≈ 0.6320 （精确到0.0001）；
（3） 若cos α = 0.965 9， 则α ≈ 14.2 (精确到0.1°）；
（4） 若cos α = 0.258 8， 则α ≈75.0 （精确到0.1°）.
【例4】计算：2×
2
sin 45°－
3
cos 30°＋sin 45°cos45°；
解：原式=2×
2
×
2
2
?
3
×
3
2
+
2
2
×
2
2
=2?
3
2
+
1
2
=1.
小结：
cosα=????
?角α的邻边
角α的斜边
=
????
????
cos60°=
??
??
cos45°=
??
??
cos30°=
??
??
结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握余弦的概念、特殊角的正余弦值以及关于正余弦的计算。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
讲授知识，让学生掌掌握余弦的概念、特殊角的正余弦值以及关于正余弦的计算。
让学生知道本节课的学习内容和重点。
课堂练习
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么cos A表示的值是（D）
A.
BC
AC
B.
BC
AB
C.
AC
BC
D.
AC
AB
2．把Rt△ABC各边的长度扩大3倍得到Rt△A′B′C′，那么锐角A、锐角A′的余弦值的关系是( A)
A．cos A＝cos A′ B．cos A＝3cos A′
C．3cos A＝cos A′ D．不能确定
3.已知cos α＝0.632，用计算器求锐角α(精确到0.1°)，以下按键顺序正确的是(C )
/
4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝
5
13
，则cos A的值是(D)
A.
5
12
B.
8
13
C.
2
3
D.
12
13
5.解答下列问题：
(1)用计算器求下列锐角的余弦值；(精确到0.000 1)
①28°； ②50°30′； ③85°6′.
0.8829 0.6363 0.0854
(2)已知下列余弦值，用计算器求对应的锐角α.(精确到0.1°)①cos α＝0.936 7； ②cos α＝0.253 8.
20.5° 75.3°
6.计算：
(1)cos260°-
2
cos 45°+cos230°；
解：原式= （
??
??
）2?-
??
×
??
??
+（
??
??
）2=
??
??
?1+
??
??
=0
(2)sin30°cos45°-cos60°sin45°；
解：原式=
??
??
×
??
??
?
??
??
×
??
??
=??
(3)
1
cos45°
＋2sin 45°-4sin2 60°-
2
sin 45°.
解：原式=
??
+??×
??
??
???×（
??
??
）2?
??
×
??
??
=
??
+
??
-???
??
×
??
??
=??
??
-4
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
课堂小结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
sinα=????
?角α的对边
角α的斜边
=
BC
AB
.
sin30°=
??
??
sin45°=
??
??
sin60°=
??
??
/
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。
帮助学生加强记忆知识。
板书
余弦
cosα=????
?角α的邻边
角α的斜边
=
????
????
.
cos60°=
??
??
sin45°=
??
??
cos30°=
??
??
/
借助板书，让学生知识本节课的重点。
作业
教材第115页练习第1、2、3题.
/
4.1.3 余弦
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题6分）
1．在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，则cosA的值等于（ ）
A．
3
5
B．
7
4
C．
4
5
或
7
4
D．
4
5
或
2
7
7
2．已知α是锐角，sinα=cos60°，则α等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．不能确定
3．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=4，BC=5，则cosB等于（ ）
/
A．
4
5
B．
3
5
C．
4
3
D．
3
4
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有（ ）个
（1）
????
????
（2）
????
????
（3）
????
????
（4）
????
????
．
/
A．1 B．2 C．3 D．4
5．关于三角函数有如下公式：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ
cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ
tan（α+β）=
????????+????????
1?????????????????
（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°=sin（30°+60°）=sin30°cos60°+cos30°sin60°=
1
2
×
1
2
+
3
2
×
3
2
=1
利用上述公式计算下列三角函数①sin105°=
6
+
2
4
，②tan105°=﹣2﹣
3
，③sin15°=
6
?
2
4
，④cos90°=0
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共5小题，每题6分）
6．计算：2cos45°= ．
7．在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，则cosA= ．
8．求值：sin260°+cos260°= ．
9．在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，CD=4，AC=6，则cosA的值是 ．
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，若AD=BC，则cos∠B= ．
/
三．解答题（共4小题，每题10分）
11．在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，求∠B的余弦值．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN=3，AM=4，求cosB的值．
/
13．计算：
??????45°+??????30°
3?2??????60°
﹣sin30°（cos45°﹣sin60°）
14．规定：sin（﹣x）=﹣sinx，cos（﹣x）=cosx，sin（x+y）=sinx?cosy+cosx?siny．据此
（1）判断下列等式成立的是 （填序号）．
①cos（﹣60°）=﹣
1
2
；②sin2x=2sinx?cosx；③sin（x﹣y）=sinx?cosy﹣cosx?siny．
（2）利用上面的规定求①sin75° ②sin15°．
试题解析
一．选择题
1．【分析】因为原题没有说明哪个角是直角，所以要分情况讨论：①AB为斜边，②AC为斜边，根据勾股定理求得AB的值，然后根据余弦的定义即可求解．
【解答】解：当△ABC为直角三角形时，存在两种情况：
/
【点评】本题考查了余弦函数的定义，理解定义是关键，并注意分类讨论．
2．【分析】直接利用特殊角的三角函数值计算得出答案．
【解答】解：∵sinα=cos60°=
1
2
，
∴α=30°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
3．【分析】根据余弦定义：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA可得答案．
【解答】解：∵∠A=90°，AB=4，BC=5，
∴cosB=
4
5
，
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形的三角函数定义，关键是掌握cosA=∠A的邻边：斜边．
4．【分析】根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，
∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴cosA=
????
????
=
????
????
=
????
????
，
故（1），（2），（4）正确．
故选：C．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键．
5．【分析】直接利用已知公式法分别代入计算得出答案．
【解答】解：①sin105°=sin（45°+60°）
=sin60°cos45°+cos60°sin45°
=
3
2
×
2
2
+
1
2
×
2
2
=
6
+
2
4
，故此选项正确；
②tan105°=tan（60°+45°）
=
??????45°+??????60°
1???????45°??????60°
=
1+
3
1?
3
=
(1+
3
)
2
?2
=﹣2﹣
3
，故此选项正确；
③sin15°=sin（60°﹣45°）
=sin60°cos45°﹣cos60°sin45°
=
3
2
×
2
2
﹣
1
2
×
2
2
=
6
?
2
4
，故此选项正确；
④cos90°=cos（45°+45°）
=cos45°cos45°﹣sin45°sin45°
=
2
2
×
2
2
﹣
2
2
×
2
2
=0，故此选项正确；
故正确的有4个．
故选：D．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及公式的应用，正确应用公式是解题关键．
二．填空题
6．【分析】将cos45°=
2
2
代入求解．
【解答】解：原式=2×
2
2
=
2
．
故答案为：
2
．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
7．【分析】根据勾股定理求出AC，根据锐角三角函数定义求出即可．
【解答】解：由勾股定理得：AC=
??
??
2
???
??
2
=
1
0
2
?
8
2
=6，
cosA=
????
????
=
6
10
=
3
5
，
故答案为：
3
5
．
【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
8．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解即可．
【解答】解：原式=（
3
2
）2+（
1
2
）2
=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
9．【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边长，利用锐角三角函数定义求出cosA的值即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=
1
2
AB，
∵CD=4，
∴AB=8，
∵AC=6，
∴cosA=
????
????
=
6
8
=
3
4
，
故答案为：
3
4
/
【点评】此题考查了锐角三角函数定义，以及直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
10．【分析】设AD=BC=x，根据相似三角形的性质得到BD=
5
?1
2
x，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：设AD=BC=x，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ABC∽△CBD，
∴
????
????
=
????
????
，即
??+????
??
=
??
????
，
∴BD=
5
?1
2
x（负根已经舍弃），
∴cos∠B=
????
????
=
5
?1
2
．
故答案为
5
?1
2
．
【点评】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
三．解答题
11．【分析】先利用勾股定理求得斜边AB的长，再根据余弦函数的定义求解可得．
【解答】解：如图，
/
在Rt△ABC中，∵BC=2、AC=4，
∴AB=
??
??
2
+??
??
2
=
2
2
+
4
2
=2
5
，
则cosB=
????
????
=
2
2
5
=
5
5
．
【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及余弦函数的定义．
12．【分析】根据AA可证△AMN∽△ABC，根据相似三角形的性质得到
????
????
=
????
????
=
3
4
，设AC=3x，AB=4x，由勾股定理得：BC=
7
x，在Rt△ABC中，根据三角函数可求cosB．
【解答】解：∵∠C=90°，MN⊥AB，
∴∠C=∠ANM=90°，
又∵∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC，
∴
????
????
=
????
????
=
3
4
，
设AC=3x，AB=4x，
由勾股定理得：BC=
??
??
2
???
??
2
=
7
x，
在Rt△ABC中，cosB=
????
????
=
7
??
4??
=
7
4
．
【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的性质勾股定理，本题关键是表示出BC，AB．
13．【分析】依据30°、45°、60°角的各种三角函数值，即可得到计算结果．
【解答】解：原式=
2
2
+
3
2
3?2×
1
2
﹣
1
2
×（
2
2
﹣
3
2
）
=
2
+
3
4
﹣
2
?
3
4
=
2
3
4
=
3
2
【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，其应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
14．【分析】（1）根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断；
（2）利用已知进而将原式变形求出答案．
【解答】解：（1）①cos（﹣60°）=cos60°=
1
2
，命题错误；
②sin2x=sinx?cosx+cosx?sinx=2sinx?cosx，命题正确；
③sin（x﹣y）=sinx?cos（﹣y）+cosx?sin（﹣y）=sinx?cosy﹣cosx?siny，命题正确．
故答案为：②③；
（2）①sin75°=sin（30°+45°）=sin30°?cos45°+cos30°?sin45°=
1
2
×
2
2
+
3
2
×
2
2
=
2
4
+
6
4
=
6
+
2
4
；
②sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°?cos30°﹣cos45°?sin30°
=
2
2
×
3
2
﹣
2
2
×
1
2
=
6
?
2
4
．
【点评】本题考查锐角三角函数以及特殊角的三角函数值，正确理解三角函数的定义是关键．
/
课件25张PPT。4.1 正弦与余弦数学湘教版 九年级上4.1.3 余弦?回顾知识导入知识?? 在一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.讲解知识正弦的定义：
在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比值叫作角α的余弦函数，记作 cosα，即 如图， △ABC 是直角三角形， 其中 ∠C =90°，∠A+∠B=90°. 分别求sin∠A、sin∠B、cos∠A、cos∠B的值，两者有什么关系？?讲解知识讲解知识?讲解知识【例1】求cos30°、cos45°、cos60° ?讲解知识??????观察以下各式，你发现了什么？30°，45°，60°这三个特殊角的正弦值分别等于它们的余角的余弦值。??注意：我们把（cos45°）2记作cos245°.讲解知识讲解知识 通过前面的学习，我们已经知道了三个特殊角（30°， 45°， 60°）的余弦值， 而对于一般锐角α 的余弦值， 仍可以利用计算器来求.讲解知识 1.已知角的度数，求正弦值：
例：求50°角的余弦值:在计算器上依次按键， 的显示结果为0.6427….
2.如果已知正弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角.
例如，已知cosα = 0.8661，依次按键， ，显示结果为29.9914…，表示角α 约等于30°.【例3】利用计算器来求值： 利用计算器计算：
（1） cos 15°≈ （精确到0.0001）；
（2） cos 50° 48 ′≈ （精确到0.0001）；
（3） 若cos α = 0.965 9， 则α ≈ (精确到0.1°）；
（4） 若cos α = 0.258 8， 则α ≈ （精确到0.1°）.讲解知识0.96590.632014.275.0??讲解知识?讲解知识?课堂练习DA课堂练习3.已知cos α＝0.632，用计算器求锐角α(精确到0.1°)，以下按键顺序正确的是( )?CD课堂练习5.解答下列问题：
(1)用计算器求下列锐角的余弦值；(精确到0.000 1)
①28°； ②50°30′； ③85°6′.
(2)已知下列余弦值，用计算器求对应的锐角α.(精确到0.1°)
①cos α＝0.936 7； ②cos α＝0.253 8.0.88290.63630.085420.5°75.3°课堂练习????课堂总结???????课堂总结板书设计?板书设计??????作业布置教材第115页练习第1、2、3、4题. 谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！
详情请看：
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
