【湘教版】九年级数学上册：3.4.1《相似三角形的判定》教案

3.4.1相似三角形的判定
教学目标
【知识与技能】
经历三角形相似的判定定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”和“三边成比例的两个三角形相似”的探索及证明过程.
【过程与方法】
让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.
【情感态度】
在合作、交流、探讨的学习氛围中，体验学习的快乐，树立学习的信心.
【教学重点】
掌握判定定理，会运用判定定理判定两个三角形相似.
【教学难点】
会准确的运用两个三角形相似的条件来判定两个三角形是否相似.
教学过程
一、情景导入，初步认知
问题：（1）相似三角形的定义是什么？
三边成比例，三角分别相等的两个三角形相似.
(2) 判定两个三角形相似，你有哪些方法？
方法1：通过定义 (不常用)；
方法2：通过平行线（条件特殊，使用起来有局限性）；
方法3：判定定理1， 两角分别相等的两个三角形相似.
【教学说明】引导学生复习学过的知识，承前启后，激发学生学习新知的欲望.

二、思考探究，获取新知
下面我们来探究还可用哪些条件来判定两个三角形相似.
1.我们学习了三角形相似的判定定理1，类似于三角形全等的“SAS”判定方法，你能通过类比的方法猜想到三角形相似的其它判定方法吗？
2.任意画△ABC与△A′B′C′，使∠A′=∠A， =k.
(1)分别度量∠B′和∠B，∠C′和∠C的大小，它们分别相等吗？
(2)分别度量BC和B′C′的长，它们的比等于k吗？
(3)改变∠A或k的大小，你的结论相同吗？由此你有什么发现？
【教学说明】引导学生画图，并鼓励证明命题归纳结论.
【归纳结论】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
3.如图，在△ABC与△DEF中，已知∠C=∠F,AC=3.5cm,BC=2.5cm,DF=2.1cm,EF=1.5cm.求证：△ABC∽△DEF.

证明：∵AC=3.5cm，BC=2.5cm,DF=2.1cm,
EF=1.5cm，

又∵∠C=∠F，
∴△ABC∽△DEF.
4.我们已经学习了三角形相似的2个判定定理，类似于三角形全等的“SSS”判定方法，你能通过类比的方法猜想三角形相似的其他判定方法吗？
5.你能证明你的结论吗？
已知：如图，在△A′B′C′和△ABC中，

求证：△A′B′C′∽△ABC.

【教学说明】引导学生证明.
【归纳结论】三边成比例的两个三角形相似.
6.如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，.求证：△ABC∽△A′B′C′.

分析：已知两边成比例，只需证明三边成比例就可以证明两个三角形相似.可以利用勾股定理来证明.
【教学说明】用已学过的知识解题，并通过解题巩固对判定定理的理解.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P82例6、P84例8.
2.如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．

解:（1）△ADE∽△ABC，两角相等；
（2）△ADE∽△ACB，两角相等；
（3）△CDE∽△CAB，两角相等；（4）△EAB∽△ECD，两边成比例且夹角相等；（5）△ABD∽△ACB，两边成比例且夹角相等； （6）△ABD∽△ACB，两边成比例且夹角相等．
3.在△ABC和△A′B′C′中，已知下列条件成立，判断这两个三角形是否相似，并说明理由.
（1）AB＝5，AC＝3， ∠A=45°，
A′B′＝10，A′C′＝6，∠A′＝45°；
（2）∠A=38°，∠C=97°，
∠A′=38°，∠B′=45°；
（3）AB=2 ,BC=2，AC=10，
A′B′=2, B′C′=1 ,A′C′=5.
解：(1)SAS，相似；
(2)AA，相似；
(3)SSS，相似.
4.如图，BC与DE相交于点O.问
（1）当∠B 满足什么条件时，△ABC∽△ADE?
（2）当AC∶AE 满足什么条件时，△ABC∽△ADE ？
（学生小组合作交流、讨论，教师巡视引导.）

解：（1）∵ ∠A=∠A ,
∴ 当∠B=∠D时， △ABC∽△ADE.
（2）∵ ∠A=∠A ,
∴ 当AC∶AE=AB∶AD时，
△ABC∽△ADE.
5.如图，在等腰直角三角形ABC中，顶点为C，∠MCN=45°，试说明△BCM∽△ANC．
解：∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°．
又∵∠MCN=45°，
∠CNA=∠B+∠BCN=45°+∠BCN，
∠MCB=∠MCN+∠NCB=45°+∠BCN．
∴∠CNA=∠MCB，
在△BCM和△ANC中，
∠A=∠B
∠CNA=∠MCB，
∴△BCM∽△ANC．
6.如图，已知△ABC、△DEB均为等腰直角三角形，∠ACB=∠EDB=90°，点E在边AC上，CB、ED交于点F.
证明：△ABE∽△CBD.
证明：∵△ABC、△DEB均为等腰直角三角形，
∴∠DBE=∠CBA=45°,
∴∠DBE-∠CBE=∠CBA-∠CBE.
即∠ABE=∠CBD，又=2，
∴△ABE∽△CBD.
7.在平行四边形ABCD中，M，N为对角线BD上两点，连接AM交BC于E，连接EN并延长交AD于F．
试说明△AMD∽△EMB.
解：∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ADB=∠DBC，
∠MAD=∠MEB，
∴△MAD∽△MEB．
8.如图，已知△ABD∽△ACE，求证：△ABC∽△ADE.
分析：由于△ABD∽△ACE，则∠BAD=∠CAE，因此∠BAC=∠DAE，如果再进一步证明ABAD=ACAE，则问题得证．
证明:∵△ABD∽△ACE，
∴∠BAD=∠CAE．
又∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，
∠DAE=∠DAC+∠CAE，
∴∠BAC=∠DAE．
∵△ABD∽△ACE，∴．

在△ABC和△ADE中，
∵∠BAC=∠DAE,A，
∴△ABC∽△ADE.
【教学说明】通过练习，使学生能够综合运用相似三角形的判定定理解决问题.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业:教材“习题3.4”中第1、3、4 题.
教学反思
相似三角形的判定主要介绍了四种方法 ,从练习的结果来看,不是很理想,绝大部分学生对定理的应用不是很熟练，特别对于"两边对应成比例且夹角相等"不能灵活运用,夹角也不能准确找到.我想问题的主要原因在于学生对图形的认知不深,对定理的理解不透,一味死记结论.不能理解每个量所表示的含义.我想在下一阶段中应培养他们认识图形的能力,合情推理的能力,争取这方面有所提高.